ボルト締めランジバン形振動子の振動解析
杉長介武
藤
紀
行
Vibration Analysis of Langevin-type
Trnsducer Fastened with a Bolt
CHOSUKESUGI NORIYUKIMUTO
ABSaxlACT： Tlle｜〕oll ftu tenc〔l Langcvin−tyP巳trans〔lucer ha5 El llumber o∫excellentf叫鵬und it’
堰E sp・・i・11y・・it・1・1・r・・high P・w…P1・1i・・ti・n・・B・t，・・th画br1・ti・g 日y漁mis rluit．c c・mpliuatcd， its detit目杜d an［tlyti・・l investigati・n呂hllv・n砒b・・n d・11e、 Sullpf｝sing it： vibrtiti【｝n 治purely k】ngitudinal｛m〔1匡il）plying〔tquivalent four ter1皿inal network tl100ry， Nv LI rcd［1ccd i1S l・cl： Ol1川lcL・ COnditit〕11， ve1〔｝city distr｛butitコ11 and equiValent mass CC）1’ISli．UltS lLt i1S rEldilttillGr sur［ace． E4esurcd valueg． al tet t StunPlcS S110・㌧VCd a gond agre三menL 、vitll lllcエ，rctic‘Ll Vitlues．1．緒 首
ヲンジバン形振1助・子‘d：1七順的薄い「dl浪」ξ子で低い共 振周波数のものを作ることができて経済的となるばか りでなく，インピーグンスを低くできて使い易いので 広く川いli5れているカく，大きな入力在加えると接消面 が剥離しやすいのが欠点であるuそれで触近ポル・卜， ナット在1使って金属ブロックと出「目素子を締め付けた 構」曲のものが開発ゴれ，洗浄器などに；le’いて」1▲いられ ており1）’S｝，我国でもこれに関し二三三の研究が発表さ れている 一｝”’T）4 このような7ドル1・締めの構造にすると巾に接元！f而の 破壊が防」Lできるidlかりでなく，氾添セラミック素子 は材．櫻」ニモのi作容［1三縮応力か消：容弓1張田芯力よ［〕はる かに大きいのて三，許容り1張i〕応力よ1］数倍大きなfl嗣泡 1三E縮応力在加5して：le’くことができ，侃度上抑の許され る弛囲内で，氾浪索乎モのものに対する許容交？R力を かなリソくきくする巴とができるという大きな利点もあ る。 上述のように，このポルt締めリンジバン形振動子 には色kすぐれた点をもっているので，未だ疑間の点 もあるが，将来もっと広く各方面で利用されることが JVIt“i・される。しかしf可分振動系としてはかなt〕祖継に なり，未だ詳細な解析の発遅がない．それで，筆者ら は最も」占本「白な第一t−t・図に示すように，flt心に一本のボ ルトを通した，モしてモれらを構成する各1’｛粉がそれ ぞれ均一な断面をもったものについて検討を加え・そ の結果に基いて各部分の寸法の決定方法を導1’、たので モの結果をここに報借する。皿．共振周波数の解析
本諭文で検討するコンジパン形振動子の構造は第一 図に示すようなもので，①は前而金属プPツク（普通 の勘合軽金属），②は1圧歪素子（これはワッシヤが金 属の掲合は偶数枚，絶縁体の場合1燗数樋・iall・r・もの である），③は〒オ面金属ブロック臼18通は軟銅），④は 中心ボルトである。モしてこれらは，モれモれ軸O−− O’にi睡直な断lfiiがどこも均…なものとする。また・ これら四部加、酬1｛分のワ。恒とナ，b ’E1’ulく榊 付け励ている。杣，∫1蜥に当り④醐としては“一 印で示した艮さ14 ＝t，十1：の部分のみをとることと し…ご、。描端の良さ1M・）部分はワ，シ¶ナ・｝ と共に⑩：喘に臓て・汚え，これらの合i酬圏∫で 18∼わす。 解析に当っては次のような‘1更定をおく・口）各部分酬面、IW噸に比べて酬，小さ
く．波動は順向（。一。’）の縦波のみ聯ポ川輔めランジバン形振動子の振蜘晰
（杉・武藤） 一x−一一一一゜一一一一 』−rm1−一一一・一一一一一一一＿＿一．．＿．．＿＿ o ‘・「 ∠・一し 4 」3 轟 ① ②1
B一・ 1 一 4 一 ．r一 一 」 R 」⑧1
臨’ E；一叫七 一〇’第一図
ることができる。 （2）各部分の境界では力および速度が辿続であ る。 （3）ワッシャ，ナッH蹄崩ブロックおよびポル トに完全に密描している。 （4）⑭部分（中心7ドルトの長さt｝fの部分を含め て）は寸法が波長に比較して充分小さく，全体 を集ll1質lj』」1」と考え得る。 （5）内部の機械的損失は無祖できる。 以上のような仮定が成立するものとして解析を進める 訳であるが，このようなボルト締めランジパン形振動 子の共振条件を求める手段として③部分または⑭部分 内に仮想のギャ・プを考え，これらを二つの舩に分 割する。まずはじめに③部分内に1舳に垂〕1二1な微小平面 ギヤツプa−tl 1を設けたと仮想し，これを③’と③ttに 二分する、そして各部分モれモれの等価四端子回路を フロックで表わすと，全体の等価回路は第二図のよう にLt｝くことができる。 奮 芭 爾 蓋 整第二図
②および④都分の前而側か1う見た機脳ンピ．．Ptン スC“…， ：1とするとギャ。プ内麟空と継すれば， 飽＝ノ1芒B，’十∫ナ匹Ds’ “ Gご璃｝下圧一万：τ’ ：i＝二lti（βa”十．i al M D，”）十」］4 D 3〃 C4ω3”＋．㍍百研）コ万一万丁 （1） （2） いE；i， ＠’の右側齢Kギャ。プfilil）に働く力と速麟 F・㌔陀③〃の左酬面（ギ．。プ側）に働く力と105
〔c， D’〕一〔a1岩1〕・〔〕・〔61蓋：〕 ・〔il 3’B，’Cn’D，’〕 〔bi： 6SII〕一［61君1〕・［；：・〕・〔b4t isl〕 ・〔6 」（rtid〕・〔61措ll〕 で与えられる．よって各系統の四端子定数は， A’＝ノ11（A， A3’十B， Ca「）十（／11c‘十J31） ・（C2、Aユ’−i−D， Ca’） B’＝A1（A2 Blt十B2Dn’）十（／11：i十B，） ・（c2 Ba’十D2 Dゴ） c’＝＝Ci（A2 A，’十Bn c3’）十（c1砲十D1） ・（Cn」aat十D2 Ca’） D’＝Ci（Ae Bs’十B2 Dユリ十（Ci＝4十Dl） ・（c：B3’−i・D2D，’） ／］”＝〆11｛ノ1｛（As”十ノωハ｛fCu’ノ）十B4C昌”｝ 十（A4：r 2−｝−ls 1）・lc，（An t’十」ωMC3’」） 十D，Cn”｝ B，，＝」41｛！㌔（Ba t’十ノωMD3つ十B， D3t’1 −1−（A1吐十B1）・｛C，（lja ’，十」ωAd工）sり 十D4 Da t’｝ c”＝Ct｛A＋（A3ti十ゴωt、4 c3 ，，）十B4 Co ”｝ 十（Ct＝2十D‘）・｛C‘（A且”十」ωM口訂’） 十Dic♂’｝ D”＝q｛ん（Ba’t十」ωハ’f Da”）十B‘Ds”｝ 十（口1c2十D1）・｛c4（Bsv十」ω〃D3”） ・・i−D4 Da”｝ 辿度を」’a”，17㍗とし， 第’一・系統 〔FoIio〕＝＝〔9協〕・〔禽1〕 （3） 第二系統 〔Follo〕＝［6i： 6Sil〕・〔闇 （4） とおくと，上式中の各系統の｛云送マトリックスは A’B’ 1勾 （5） （6） （7） （8） となる。ところで，①∼④の各部分は，それぞれ，均 一一ﾈ断面をもっている。よって，回部分の材質の密度 をか，波動伝搬速度をC、・，波長定数をkuとし，ま た，その金長をln，断面問をS．とし， Zn＝ptl cu Stよ とおくと，⑪部分の四端子定va A I， Bn， C，i， Dnは 次式で与えられる。iil撫 （｛ ）
昭和41年12月
山梨大学工学部研究報告
第17号
錨部分に微小ギ・s，ップを想定した場合の共据衆件， すなわ’拍，（D部分のゐ…端1川力・ら子iに↓1た機牌インピー ダンフ・が零となる条件は，丑㌧二⑪，または，ll t’ ＝一（Oと して」江死られる白」二つて，．各部分が，それモ｛れ」勾一一・x、it l打肖fllをもつてVlる場合σ，」じ」辰条IP目」：， （7）’式で臼しえ られるB’〔または（H）式で与えられる月”〕に（9） 式在ナ1面川すれkl［ t｛」 e）れるr，その結果は， tlt：＝i一ト（一ZeZi）ttLll te2 ta tUll kn lo “1：1 ie， ／，〔（−2鍾一） ＋（Zaz：）t川・縞〃〕イ（兇｛・）t・n k4 ti＋（Z：） ・岬舳1・剛1・’」一（’多1・）t・m 1“ 3 inO ttLn ie・t・〕 亜・＝（晋）〔 Zn（ ト z2）t｛m kE’・lm・舳’ ＋（為”z‘）1川1晶’t1・1紬 ・卜（＋一／／・1−）tttn i“2 ta tnn ki ti〕＋（一多？・一）Uui Lta i・ ・1∫m姑’〔（−E：）t“n ka is〃＋（皇うt・mムん〕 ＋（皇）11m縞〃1・11姑〔嗜うtan k2’・ ＋悟）・mぷ’〕一〔‘vil’1（ ＿ づ＿ ロ Zi）＋（多｝）t匡mka X： ＋惨）11111k，1へ＋｛皇）（tll・1晶’ ’1’・ttt・kfi ta〃）〕 （10） とおき舳弓Wバ1（一：予） （11）
となるP 次に，Vn’＝1ノペ’ならしめるた地の条件を求める。 ギャップ1句を真恕と粗定すれば， πぺ＝炉訂’＝Oなる 故，（3），（・D式より 11q ＝． 1）’ IXs t ：Qt’ 11s”の関 係が成立し，従って、V訂＝玲”ならしめる条件は， D，’ ＝1）” （12） となる。し1：がって，これIC（7），（8）式を適用す ると， 口e Ba ’ ’1’ Du De ’＝Ba” （；rl’ Da”似十．’叫』ノDa〃口， （13） な叫，この（13）式に（9）式を入れると この的式を蹴するJzうにt・itと1・…”の比をとっ てギャ・プを設け2’u −JI，ギ・ぽのi岬胴・珊変が等 しくなる・よって・このような場合はギャーy 7”を熊く し③♪部分と③”部分在…・・体としてもモの共振周波数に 変化はなレ㌔モして，この場合ギャップ「酊は振動の腹 に当る・したがって・このように振動の胆が③部分内 にくるような場鍋ポル11糸櫛ランジパン形醐子の 共振条件は（」1）と（1・1）のi而式により一与えられるζ とが明らかである． 以上はギャップを③部分内に想定した場合であるが ときによると・ （」．・1）式で・与え1うれる条件によりギャ ップの位置を定めようとするとt ts t’が臼値になってし まうことがある。このような場合振動の胆かM部分に くるのであっT・ギャップを酬11分内でなく⑪柵内 に想定しなけれはな1うない。そして、このときはギi’ ッブ］よ問状とし，モの軸を振動子の軸0−0’に平行に する。かくして，ギャップにより⑪部分を二分し，そ の質h上A’1をA，flとA占に分けたとすると，この射合 の怨fl田回路は第三三1営1にポすようになる。第三1到
1 15r㌔プ爪 些 よって，折ξ動子の］噂τ面が無負荷の場合1ま， 意叩＝ 案 竃 些驚：㌧凛；；ぎllU
−（ωハ｛z4）・・病f・〃・i・妃、 （1・1） ／ （A2Aa＋トB， Cu）ノt’」A・t，十（A 2∫Bs十B2 Ds）一 （c，ノla−1一力2〔ノe）ノttJ i、・tl十（TO2βヨ十D2 D』） （15） ・・一…☆吉1㌧絵‡貴・ また， 第一系統： 〔田＝〔（｝場1〕・ぽ〕 第二系掘6： 〔FoVo〕＝〔吉君1〕・〔Fl〕 とおくと，上式中の各系統の四端子定1数は （1の （17） （iS） 力’＝．4L（イ4空．在謳→一日2Cs）1−（〆11：4十BI）（c己3 −1−D」Ca） B’＝ノr，｝八fi｛A1（．42／1n−1一王オ2 Cn）＋（ill ：4＋刀・） ・（C，／A，＋1）9 Cの＋レ11（．“le Bs ＋B： P』）＋ （A，＝4十BI）（Ca B3十D2 DD｝ボルト締めランジパン形振動子の振動解析 （杉・武藤） c’・＝c，（A2z㌔＋∫㌔C」）−1−（c1：i十力D（c，，㌔ 」−1）2c3） 1王＝ノ‘」」ハ∫1｛Cl仁4訂1 r卜1㌔C3）・｝一（C，□‘ 十 lr）1） ・（C2：1s−1−P，C3） 1 −1’｛〔∴（・i！ 2B，・1−B，D．，） ＋（Ci告十1），）（〔；’2 B，＋ノ）2 D，）｝ （1q，） fl” ＝一 A 1」14十（∬1 1た2十B，）C， tS・＝ノ，、典同舶．（z11＝2−LBl）c， i I ＋｛A1 B、 ＋（／h汀，＋nl：〕D、｝ 1
：：撒落鑑1∋②）
」：って，背而自由で⑪『lll分にギャップ在設けた場合に ①部分の前而から見た機械インピーグンスが！足となる 条件（すなわち共振条件）は・B♪ ＝OまたはB”＝ Oで 与えられる。よって，各部分が，モれそれ，均一一な断 面Eeもっている場合の共振条件は（19）式で与えられ るIS’〔または，（20）式で与えられるB”］に（9）式 を適用すれば導ぴかれ，モの結果は ・1−i19寸一！ej｝iL’斗（会）・・n止・’・一（畷） ・（旦1．Zn）111輌斗轡）（芸）・anゐ・r・ 《・顯1・・咽・・1・・k，， t・＋（讐1） ・（“；1’・）（ZL一21一）1・・／・2 1・・aii k・ i4 ＋（tr｝i、・ii互”｛）C饗）（芸・）・［in k’a 1・ t肌・姑 ＋1」警）（芸’…嚥t・・A’・」・細晶 θ・＝一k （∫，A・t t（2。）＋（讐）〕＋〔（“髪1）（警） 一（皇）〕…励＋〔 tt）Adt（ z3）（翌告）一・］ ・11m輌1＋〔 t，」 tl∫ t（ Za）（‘’2i！，1・1，）一、・1：）〕 − tilll k4 1‘ ＋ 〔 rnAl．（ z，）＋（当乎 ♪ （ 曇 ｝〕 ・11m晶加・k・ t・1ト〔 tt，M1（ z，）（芸） ＋（讐12）（z，Zs）〕・副・t…k・・t・ ＋〔 ‘r」A・f、、（−2、一）＋（」雲）（吾）〕輌・∼・ …n蜘〔（二多ξ）一（雪許一）（‘‘雲斗 ・（z2Za）〕・a・蜘醐・t・un L’一 t一 （21）107
とおき kll，：＝’ran−’（o、〃］） （22） 次に⑪部分内に想定したギャップの両側而の速度 V：とV一が相響しくなるための条件を求める。 背而無負宿1・ギヤップ内真空と考えると古＝F4＝0 なる故P3＝V4ならしめる条Pl：は，前に③部分にギ ・N・ップを想定したときのように，D’ ＝： Dvとなる。よ って（19），（20）式を適用し整丑liすると， （c， B・＋D： Da）＋1’ n） n4 i（c2 A 3＋Dコcの ＝D，十Jr∫杜、」2C4 （23） よって，戯③，④の各部分がモれぞれ均一・な断面を している場合は，これに（9）式を入れ （ωMlz：）li・k1i2c・s・k・ ta＋（雲）・。sk・ 1・ si・A’・・ rs −（‘nA’t2z4）・il・姑 ＝＝ cos k2 i2 cOs ka ia “一‘c・S lt＋ t、一傷）・i・k・i・ Si・le・r・ （賠
したがって， （24）式を満足するようにM1と』占の 比をとってAfを分割すれば，ギャップの両側面すな わちM，とtl’／，の速度が等しくなる。よってこのよう な場合はギャップを無くし，M1とM−．を一・体として しまってもその共振周波数には変化がない．そして， この場合⑪部分は振動の腹に当る。したがって，振動 の腹が⑪部分にくるような場合のポルr締め振動子の 共振条件は，（22）と（24）の両式の連立方程式とし て．与えられることになる。m，ボルト締め振動子内の交番速度分布
（1） 負荷インピーダンスが与えられた場合の 単一縦振動伝送体内の速度分布 Fe 互 互Z−pc5
工L
第四図
＞ ZL 第四図で示すような長さ1の縦振動伝送体において 一・福ﾌ端面を送端と考えモこから距離ユ：までの区間の 四端子定数をん・，B．r， C・・， D．とし，送端而に働く 力とその速度をFo， Vo，．T一断面におけるモれらを ．Fエ， Vエとすると，個和41嬬ド12ノ・is
川梨大学工学部研究報｛11
第17号
悟二41．rv，仁仁」Fo r2の Jfた， 送端から見プ二機柚インピーダンスZOは 他 端li耐の臼荷インピ1−〆ンス在k・tと：掩くと，z・・…6，認㍑・ rL6）
したがって，負荷イン［：「’一獅’ンスが副のときの辿1皇 分布lfi：次式で与且ら才’1る。藷≠一（i；｛1｝㌫i澗） （27）
よって，とくに伝送体が」勾一・一・な断而をもっている場合 には， （9）式を適川し 繭〃−」（覧一）…〃∫1㌃〃川号）sin A’ t （28）
と ；ltiくと， ・｛芒酬虎副’・i・止濡 となる、 （2）振動の哩が③部分内にllEる場合の， ボルト締め振動子内の速度分布 （i）①ll；1；分内の辿｝吏分布 （L9） i」辱｛辰1‘1｝」i）；数1“こ方±コごIJ：、lt’（o二〇なK｝ “ift， （25） i−℃ a；1） 藷÷・＝ノ1・1＝・・skt ：tri （：・ln） 印≦itr L S，！1） ．｛以礎・・…般に，，1：rtは回部分に於て，その左端而（第 一一一gXl）よりの距離を表；1コし，1「o ，tは回部分の2i三端前の 辿度rel，Nわす。｝ （ii）②部分内の辿度分市 ②部分の古端面（第一・一一図）に加わる負荷インピーぜ ン．x ＝ieは 剛＝鼎一，i・Za tan kn’at よって， （2め式により ・h1杣1−（皇）c・s ka t2 1“n kn ta’ 1’：．媚』：）・i1刷・頑，∼・・’（鋤
とおくと‡㌃一幅＋’i・ Si・k・・X、 （32）
したがって・籍＝（岳ヨ・（｛lll）−G舗1．バ（撫）
＝e・s At t t i（ces k：」r：＋1“’L・ 9， ill ke．ゆ（：】．a） （o≦」・コ已1め （iii）③’｝XII分内の連度ク｝布 共掴周波数に於ては③’の右端薗（第一一・図）に加わる ’”H’一“”一一‘“一一一一一一．．．一 負荷は零で1坊る，，よって（LS）式より∫∀づ蕊一汗一1一1・’ （3a）
と加くと‡ll；一 』晶’・i・k3 xa’
したがって 鷺ギー（1舞i）・G；li；）−1；ご）x2 ：t2 ’（帯） ＝c°slei！1（c・頭∼・＋∫’： sin A，， t：）（…』’＋1†・’・il由エの 岡
（O≦．2：n’≦「3’） （iv）④部分内の辿度分イlf ①部分の右端而（第一図）に加わる負荷インピーグ ンス2“は・…ノ緬卜』：：一∫z・腰琶）蜘叫
よつて（28）式により ハ＝＝E∼・一（釧（芸一
（36） とおくと 一儒㌍・・沽酬∫…i・止・口 したかって 慌一（Vo 4Voi）・（需）一儒｛）n一い（㍑） ＝c。sk・ lt（COsねτ4＋」”4 sin ki．z’一）（37） （o≦■≦14） （V） ③”部分内の速度分布 ③”の左端面（第一図）は無負荷であるeよって，C の場合に限り・7：s ’tは③”の右端面より測った距離とす ると， （28）式により・i11如馴（‘齋）・‘1n姑〕…杣
n”一慧念会；二＝…刷1〃
とおくと， （3B） 監き＝…走曲〃＋」・n・’・sin k・s ：t・ati したがって 曙一（170ぺ’Voエ）・｛｝‡1：）一（莞瓢、一正（｛lil） ＝…砧（，・S抽＋ノ・、si。ゐ、占X…ム・r・” 十n”5inka』・IIり （3）振動の腹が⑪部分に在る璃合の，、 ボルト締め振動子内の速度分布 （i）①部分内の速度分布 （39） ①部分内の速度分布は前の（2）の場合と同じt’ポル1締めランジパン形振動子の振動解析 （杉・武藤）
一一『’
@ 一一一’ ’一一r’f’一’一一帯＝山1−・n品町 （1・）
（0≦．T1≦∫1） （ii）②部分内の辿度分布 ②部分の右端而（第一一図）に加わる負荷＝12は ノ1旦」旦旭ユB』」旦些旦i9註逃±塑き旦i⊇旦ム °祠了1＋D…s k・ i3 一一一一（畷＋i嘱 （畷9＋・・n k・ ta＝ノ雪：（璽；挿姑
よつて， （28）式により一閨一［識i；笥
」1ゴ＝ （41） とおくと 憺一・n・』＋∫1・・i・輌・・ したがって ｛賠（Vo 2百：）・（1；三）ヰ｛；三），1−，1・G；三） ＝cos止1∼t〔cos k，．r：一←1’：5in k：．1：：〕 （42） （iii）③部分内の速度分布 ③部分の右端面（第一・図）に加わる負荷は，jmA’ft である。よって， （28）式により sink3’a＋（r∫」MIZn）cosA・， ta 「3＝’ﾋ工二（禦1卜」・」，∫、 （43）
とおくと 嘉・一…垣＋1・・ ・i・・ks a’3 したがって ㍑一（：言）・（誌）一（霞）x，。 1，・G…1） t・・c・t lel ll〔CO輌’： ・F 1「 ll sin k2 i：〕・［C・S ks ．Z’3 ＋1’3 si” k’a τa〕 ． （44） （o≦．’i’a≦ts） （iv）④部分内の速度分布 ④剖分の右端面（第一図）に加わる負荷は，」ωM2 であるnよつて（28）式により r，． 磨^”，Ll’，：rll−一（，．ilii．i］i：．Sii11：㈲ ㍑・一・。・』＋1’i sin k・ n，・ したがって 齢G；ご）・G㌔）一（Vrlllo t）．1．＝“・（‡壽） ＝C・9・ kEれ〔C・S ki a，、＋r、 ・in k4 nri〕 （4のW．ボルト締め振動子の端面等価質挺
（片面負荷） 前節にlbいてポル1・締め振動子の各部分の速度分布 が得られたので，それを刑い，送受端而，すなわち① 部分の左端而（第一図）に換騨した等価質且を求める ！」Fができる。回部分に対するξ牙；価質量をM。1，とすると 』・・v凹・一丁∫争ρ・5・v…砺 なる故，均一な密度と断面をもつ場合は tl’…一 tlii s・，．i’：”（｛雷｝24エ・ （47） よって振動子全体としての端面等価質阻ハ妬は，それ を構成する各部分の等価質互1をそれぞれ上式よ1〕求め て合計すれば19られる。 次にその計算結果を要約する。 ゼ （i）振動の腹が③部分内に在る場合 si・・L’・ ia＋（Za7コ）c…k・ 12 t・n k3 13’ （31）：J” ： ．． （36）：ハ＝ｲ白《皇）｛（勤撫向r，芋
co5ゐ‘1‘ ※ sinねt‘ とおき M・1＝ρ1；1「1・＋皇環舎1∫’） （・18） cos止2∫2−一（Za7ご）sin k， 12 tal1耳！3 1a’ （34）：’13’＝岨nメ・：「a’ （38） ： ∫㌃”＝tnn占3∼ヨ” ・i・姑＋（曇）｛（響）＋伽た・∫・〃｝ とおくと 』’t・2＝ρ2ｹ且・…k，・IE〔（1＋i’・・2＋…㌫「） ＋（ユーFの台i p誇，「旦一一2・r・c簑；誤〕 （49） 五」。，’＝『・。s・ktl・（…k・・1・ ピ ＋1・・ si・・k・ 1・）・・〔（・＋∫’・12＋‘｝i’） ＋（1−lt・・’2）sii…詰亭・亡一2 J「』1a’‘…署1…『；『・a二〕 （50） ユ09昭和41年12月
ljl梨大学工学都研究報告
第17号
一＋一 〃，，1〃…r’・1恒・」：c・sO ／“t t・（・・s lei 1i ピ ＋抽・杣）・・〔（1＋t’・”・＋貴：￡“） ・1・（1・一一ノi・〃り雪寵；・1二晒〃警蕊判 （51） 〃・・…’｛f−；・！㌔・・9： ie l・／i〔（・ナノ”＋…kCi1’r） ＋（1−i’1：）Hi；1今二仁2J㌦望薔｛｛〕間 Adn、↑’二＝A’fc‘〕sD止1「1（COH k4∼4−1・∫14：il1占4 t‘）： （馴リ モして tl ・lo ：：：Ailo i十1、ile ：・・1・〃“’十〃ロn”十A’ln 4十A ’fo」M （54） （ii） 振1助の腹が●部分にrEる場合ω）、1一竺竺止曇）竺竺．※
・剛・イ髪1）・i嚇
※⊥鍵÷劉
（4泊：」トー…一．＿＿Zs｛11勘濡÷〕
・杣r・＋（旦旦1・・skn 1，鍋；1㌔＝
窒пE・k・t．一（（tjAぜ2z4）・i・為、∼、 とおき ＾ずい」弓11L（・＋晋i1まノiL1・） （55）ハ∫・F迦禁…。…凧〔（ユ＋拙一濤：）
＋（H1の一竺謬。㌣、｛t−2’1・c璽辮一〕 （5臼 A・1・己弓・・［旦。。・・ k・ II（e・・嗣古・i・k・，，・t，）e ・〔い＋鼎窟丁）＋（1−1”st）一誓鴛謬一211・』職ムー〕 （57）
∧∫・ユ・量t｛’・…舳〔1＋1・42＋7缶） ＋（1− 1’4a）・辮、「L2r・蘂浩］（58） ・醜’・一（tOl、’llZs）・i・ku∼・ sin ki∼・＋（要ヨ・。s k・ t・ M・Mコ∫cos2丑ll，（co日輪’4＋i’4 sin L’4 14）t （59） そして 妬＝ハ’f・1＋AV・2＋Aifo 3 ’1・ A’le｛ ＋ Aro ．，f 細Ψ．共振周波数を与えて
各部の寸法を決定する方法 撫聞に対する端は決まってXe’ F）， a‘た臓の金 屈プPック①，③の断面酬Si， Ss，掘歪素子②の断 澗i5・およV：，その1醐加の1党ノ・は与えられた ものとする・中心ボルト④の断而積54はこれら①， ②，③の三部分を充分な圧縮力で締め付ける彗1ができ るようなものでなくてはならないが，田歪素子がなる べく大きな交番応力に耐えるようにすることを目標と すれは一般にセラミック刑歪講子の許容圧縮応力は許 容引張0応力よりはるかに大きいので，理想の偏椅圧 縮JJは大休出歪素子の許容圧縮力の1／2程度と考えれ ばよいことになるが，しかし，爽際は余裕を見て，こ れより1昔干小さい力で締め付けることにする．また⑪ 都分はワッシ・L’．1ナットおよび71｛ルトの先端部より成 るが圧縮力が決訣れば，これらの寸法も自ずから定ま 1），総質岨Mの値が決定する。また，t，＝「e十tsで ある故細；蹴るものはムとr、だけであるaモこで1、 とtaのうち，いずれか一方の値を暫定的にあたえる と，1他は（11）式と（14）式，あるいは（22）式と（2d） 式を連立式として解いて決定される。かくして決定し た振動子に対し，第・一系統内の共振蹄の辿度分布を求 め，その傾斜の最大になる所に②部分が当つていれば よいeもし希望に沿わない場合は始めに与えた暫定値 に修正を加えるa いま， ts〃＝ （」 ta ・ （61） とし，（1力式の左辺E“ tP l，右辺を也とおくと （1…：一・C・sk2t2c・s｛（・一δ）k・ t・｝一（会）・i・砧 ・｛（1一のkals｝￠㍗1墓：ll巖∵門
（62） tよって，A砲を（大体の繊をつc」’て）離的に定 め，随酬としてψ、とtP，のllll＃，・E・1・Eき，却類 を与えが＝δ疏求めると，この1叶定のk： tsに対レ k， 1、”一δ。k、1、， ks tst−（1一δn）融縦まる・そ して，このks ls”， k，・1，’を（ユ・）一：・lilL：入れ拠『’110
ポル締めランジパン形振動子の振動開π （］多・it’−kitts）
一
第 一一 表①1ア・・ミ
回1材質1外径（Cm）ip撒・m）1 Sn（・m・）1竺竺1郎（9／cm・）1
1／／
Cn（cmノリ ② 3．5 9．62L／／1
2，70 5．1×10slPZTI・・1
③卜欺鋼13．・
2，0 4．4112．。
ア，45 1？．8x・ao・・“ 1．2 8．4P 3，5 ア．80 i5．19X・10s④ アルミ
1・・P／1
0．79 5，5 2，70 5．1×10s A’tn＝ 3． 18 g M．N＝10g 」VTIt＝29 M＝＝』ぜ力→一』∬A・→−Aゾw＝：15．ユ8を求め，（11）式によりk・，ねが求まる。 以上は振動の腹が③部分内に在る場合であるが，と きによると，以上のようにしてboを求めた場合，これ が負値となることがある。このような場合は振動の胆 が⑪剖分に在るものとして計算しな目’ればならない。 このときは，
lll：已1）n，t｝ ㈹
とおき，これを（2・D武に入れるとづ攣蕊∼1蒜∼1※
※一（Zsz2）・脚・siぷ
※司。
o『 Oe Zs ＋（血，Mz‘）・i・砿 ※ 一（°， A’1 ）・刷・si・・k・ ts ＋（z、）si・・k・ 1・ （叫 よって，この式でrc・zを求め， （63）式よIOハ白，M2 を挟定し、その値を（21）式に入れてel， eaを計算 すれば，（22）式より桓ムを定めることができる。 1T．試 作 列 前面金属ブロックがアルミニウム，後面金属ブロッ クが軟鋼，電歪素子がPZT，共振周波数20kcのも のを第一表のようなデータを与えて上述の方法で計算 するとli ＝3．09 cm，1s’ ・3．47cm， ist’：＝O．04cmとな りtその内部の速度分布は第五図に示すようになる。 また・モの試作品のアドミ〃刈［跡の実測値は第六 図のようになった．、輻結 言
以上・仮想ギャップを想定してボルト締めランジパン形鋤遜綱聯する搬について述べた．一応
身Z
叫 o．1 o re2 一e4・第五図 速度分布計算結果
試作品の弱電特性はほぼ予想腋と一一一igxしたか，何分未 だ試作品の数が少いのでもっと色々な場合について突 験してみなければならない。また，とくに，強電流特 性やその安定性について今後充分実験検討を加える事 が緊要と考える。 文 献 1） Crawford， A． E．： Papcr N−23 at 4 th I．C， A． Copenhagen s Augu5t 1962ll問1川量自2月
