多変量解析における簡便法　—Sに学ぶ—

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メモランダム

このコラムは， ORにかかわる概念，知識(手法.原理)，それらの図解.よい教材や問題，実学 ORの実施経験，そこから得られた智恵やアドパイス，失敗談と教訓し新しい視点，視座，フレームワ久未だ解けていない問題，面白い研究テー?などを.“新鮮にしかも“コンパクトに" 表現し，提示していただくものです.ユニークなアイディア，フレ y ンュな見方，発想.だれかと意見をたたかわせたい問題提起など，ふるってご投稿ください. (原稿は.刷り上がり，半ページから 3 ベジに納まるようにお書きくだきい.簡単に F 加筆訂正をお願いする場合があります)

多変量解析における簡便法

-$に学ぷー

上田太一郎

1

.はじめに判別分析，数量化理論 II 類(以下 II 類)は回帰分析，数量化理論 I 類と同様に多変量解析のなかで広〈活用されている有効な手法です.また数量化理論III 類(以下 III 類)も有効な手法としていろいろな分野で使われています.筆者もー企業の OR マンとしていろいろな局面でパソコンソフト S を用いて適用しています.この S で簡単にできる判別分析(Il類)の変数(要因) 選択法を考えました.実際に適用し，有効な結果が得られているのでご紹介します.また， III 類の簡便法についてもご紹介します.

2. 判別分析

II 類の変数(要因)選択法

判l 別分析はサンプル(データ)が，たとえば，合格・不合格のようにグループに分類きれていて，同時にサンプルの数値デタが所与のとき，数値データを説明変数として，できるだけ明確にグループ化するように未知係数(判別関数の係数)を求める方法です.さらに所属不明なサンプルがどのグループに属すのか判別 (予測)にも使用されます. II 類と判別分析との違いは II 類は説明変数がアイテム・カテゴリと呼ばれる不連続な定性的なデタとなっている点です.判別分析， II 類はともに要因分析と予測に役立つ手法です. 実際に適用する上で重要な点は，判別分析では説明変数 II 類では要因(アイテム)をいかにして選択するか，つまり最適な説明変数，要因を求めることだと感じています. ところで，パソコンで使用可能なソフトウェアうえだたいちろう三菱電機東部コンビュータシステム鮒生産管理部干 244 横浜市戸塚区川上町 87-1 1995 年 8 月号

SAS

,

SPSS 等では判別分析の変数選択がサポートきれています.しかしながら， II 類の要因選択はサポートされていないようです. s でもサポートされていません.そこで S を用いて簡単にできる判別分析(II類) の変数(要因)選択法を考えました.実際に適用し有効な結果が得られているのでご紹介します. 変数(要因)選択規準は，回帰分析の変数選択規準のアナロジーから思いつきました.回帰分析の変数選択規準の 1 つに佐和の予測用修正重相関係数 Rs があります[l J. Rs は次式で表わされます. Rs=l 一 (1-R2)

(n-1)

(n-2)/{(n- ρ-2) (n- ρ-1)

}

ここで n ・デタ数(サンプル数)， ρ: 変数の個数， R ・重相関係数です.この規準値が最大となる変数の組合せを最適な変数としています. 提案する判別分析 (11 類)の変数(要因)選択規準

Du

( 仮に予測用修正正準相関係数と呼びます)は

Du=l-

(

l

-17I)

(n-

l

)

(n-2)/

{(n ρ2) (n- ρ1)

}

となります.ここで m は第 1 正準相関係数です.グループ数が 2 のときは判別関数は回帰式と同等(係数が比例関係にある)であることがわかっていて [2] ，しかも 171 =R です.したがって，重相関係数のかわりに第 1 正準相関係数をもってきたわけです.この Duが最大となる変数の組み合せを最適な変数とします

[

3 ]

.

II 類では Duが最大となるアイテムの組合せです.また II 類では ρ は(カテゴリ総数ーアイテム数} です. s によるソースは以下のようになります. ルnction

(x

,

y

)

{η <-nroω (x)

ρ < -ncol(;τ)

:

syusei<-((n-2)

*

(n-I))/

(n ρ-2)/(ηρ- 1)

:

1-

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y

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s

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*

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d

i

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c

r

(x

,

y

)

$

c

o

[

1 ]

)

再 co [lJ は第 1 正準相関係数}

(49)

4

3

(2)

discr(x

,

y) は S の正準判別分析関数です. (相関比を最大にする判別分析では正準相関係数のかわりに相関比を用いることになります.)簡便法ですのでパソコンで簡単に使用できます. 2 グループはもちろん 3 グループ以上でも適用可能であることを強調しておきます.

3. 適用例

3 .

1

2 グループの判別分析の例 [4J ある球団の採用テストの結果と合否の判定の結果は表 1 のようになっています. 変数の組合せごとの Du 値， T}1 を求めると表 2 のようになります. Duが最大となる X"

X

3

,

X. ,

x

5

の組合せを最適な説明変数とします. [4J でも変数増減法の結果は同様に X"

X

3

,

X. ,

X

5

を選択しています.

3 .

2

3 グループの判別分析の例フィッシャによるアイリス・データです. 3 種のアヤメの 4 部位の測定値 (X

1

-X.) が掲載されています(データは [5J を参照してください).変数の組合せごとの Du値，引を求めると表 3 のようになります. Du が最大なのは X1-X. です (0.984).

X

2 - X. でも 0.983 とあまり違いがありませんので X

2

-X. を選択してもよいでしょう.

-

3 .

3

2 グループの II 類の例 [4J 電子レンジ保有世帯と非保有世帯 2 グループを外的規準とし，アイテムを世帯年収(I l) ，主婦の就業状況

(

1

2) ，家族全員での食事回数(I 3) で判別する例です(データは表 4). アイテムの組合せごとの Du値，引を求めると，表 5 のようになります.

1" 1

2 を選択したとき 0.619 と最大になりまた.最適なアイテムは世帯年収，主婦の就業状況ということです. 前述したように 2 グループのときの判別分析， II 類は回帰分析で可能であることがわかっていますので，念のため回帰分析でアイテム選択をやりました.

AIC

と佐和の予測用修正重相関係数 Rs によると，ともに

1" 1

2 を選択しました. II 類は判別分析の特殊なケースといわれています. 判別分析プログラムで II 類を実行するときは各アイテムのたとえば先頭カテゴリデタを削除して実行し，

444 (

5

0 )

カテゴリスコアを求め，先頭カテゴリのカテゴリスコアは O とすればよいことが知られています.したがって，判別分析プログラムさえあればここで紹介した簡便法で判別分析の変数選択， II 類のアイテム選択が容易に可能となります. -'f!iJ 別分析はパソコンでサボトされているので簡便法を活用きれてみてはいかがでしょ 7 カヒ

4. III 類と特異値分解

次のようなデータを考えます.年齢・性別の異なる人々に好きなスポーツを回答してもらった仮想、のデータです(表 6)

.

表 6 のデータを特性値反応、データとみなし， r もの j と「特性」との反応パターンからみて似たスポーツ同士は近くに，そうでないスポーツは遠くに配置するようにしたのがIII類です(同時に年齢・性別も配置し直してくれます). きて， III類と特異値分解とは数学的に同ーのものであることがわかっています(鷲尾・大橋 [6J ，西里 [7]，統計学辞典等).そこで，このデタを III類と特異値分解によりプロットしてみました(図 1 ，図 2). ここで， III類ではん(第 2 固有値)とんに，特異値分解ではぬ(第 2 特異値)とぬとに対応させています (d

2

とぬとに対応させたのがミソです ).図 1 を見ると右にいくほど高齢，左にいくほどヤングになっています. 上半分は女性，下半分は男性がフ。ロットきれています. このようにヨコ軸，タテ軸て解釈することもできます. また，たとえばスキー，サッカ，女 20 未満，男 20 未満，男 21-30 は比較的近くにプロットされていることがわかるのでパターン分類をする手法ともいえます. 図 2 でも同様な解釈が可能なことがわかります.簡単な例だと目視でも可能でしょうが，表 6 のデータでさえコンビュータのカが必要になります. r もの」ゃ「特性j が多くなると，コンビュータプログラムにたよらざるをえないことになります. このように数量化理論III類は大変有用であるにもかかわらず，コンビュータプログラムがない等の理由で利用したくても必ずしもうまく利用されているとは言えないようです.特異値分解は FORTRAN ， C 言語等でサブルーチンとしてサポートされている(たとえば [8J) ので活用されてみてはいかがでしょうか. 謝辞原稿を読んでいただき，貴重なコメントをいただきました編集委員会に感謝いたします. オベレーションズ・リサーチ © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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電子レンジ保有・非保有世帯電子レン ;i柑紺帯 !齢制 J 伺噸

i

世帯年取 !眠糊 J 錦噸表 4 採用テスト結果と合否

1

:合格表 l 電子レンヲ躍有世帯世帯刊

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:不合格合百祖力握力 100m走ポー!段ボー J~ t 'Yトエラ思量速度量一量目量

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1

'inLqd 必せ RuρnuntnnuqunU14nL 『 ua 品ZRupontnon3nU 唱 i 唱 i 咽 1 ・ 1 唱 i 唱 i 唱 i'i 唱 i'IηL 出所.菅民郎『初心者がらくらく読める多変量解析の実践(上)1

p

.

9

4

表 2 変数の組合せと Du 値，変数の組合せ

Du

0 .

9

1

3

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9

1

3

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9

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8

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7

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8

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9

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1

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8

0

出所:菅民郎『初心者がらくらく読める多変量解析の実践(下)J

p

.

4

111 111 表 5 アイテムの組合せと Du{1直. 111 アイテムの組合せ力テゴリ総数

Du

111

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7

2

9

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7

4

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7

9

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111 表 3 変数の組合せと Du 値，変数の組合せ

Du

111

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5 X

1

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,

X

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,

X

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,

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51 )

445

(4)

表 6 スポーツの好み 1 はい

o

:いいえ

か尽き

テニススキサッカ一野球コソレフ男 20未満

1

。男 21-30 。

_I

₁

。男 31-40 。

₁

。

₁

男 41 以上

I

。。

_l

₁

女20未満

1 l

1

。。女21-30

1

。。。女31-40

l

1

。。。女41 以上

1

。。。

₁

参考文献

[

l

J

佐和隆光: I計量経済学の基礎J (1970) ，東洋経済新報社. 0.5 立 21- 30 女 31-40 テニス立 4 1 以上立 2 0 未満 . スキ男 2 0 来満男 4 1 以上サ y カ男 21- 3 0

-,

女 2 0 来満スキー男 31- 40 野球図 1 数量化 3 績によるプ口 y ト図 l テニス立 21-30 官 4 1 以上立 3 1-~ 0 ゴルフ

[

2 J

奥野・久米・芳賀・吉津「多変量解析法J 0.0 サ y カーゴルフ

(1971)

, 日科技連出版社.

[

3 J

上回太一郎，小林整功 (1994) :“ソフトウェア業界の特質についてー判別分析変数選択規準とその適用例情報処理学会第 49 回(平成 6 年後期)全国大会予稿集.

[

4 J

菅民郎「初心者がらくらく読める多変量解析の実践上下 J (1993) ，現代数学社.

[

5 J

東大教養学部統計学教室編「自然科学の統計学」 (1992) ，東大出版会.

[

6 J

鷲尾・大橋「多次元データの解析J (1989) ，岩波書店.

446 (

5

2 )

男 21-30 男 31 -40 -0.5 野球一0.4 ・0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 図 2 特異値骨解によるプ口 y ト図 2

[

7 J

西里静彦「質的データの数量化J (1982) ，朝倉書店.

[

8 J

渡部他監修 IFORTRAN 77 による数値計算ソフトウェア J ，丸善.

多変量解析における簡便法 —Sに学ぶ—

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