複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

経営 と経済 第

8 6

3

2 0 0 6

1 2

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

上 野 清 貴

Abst ract

Thepur po s eo ft hi spa pe ri st oe xpl ai nt hec ompo undo pt i ona c ‑ c o unt i nga ndt her a i nbo wo pt i o nac c o unt i ng,a nddi s c us st hec or po r a t e va l ua t i o nf unc t i o no fr e a lopt i o na c c ount i ng.Thes i mul t a neo usc om‑

po undo pt i o na c c o unt i nga ndt hes e q ue nt i a lc o mpo undo pt i o nac c o unt ‑ 1 nga r edi s c us s e do nt i l ec ompo undo pt i o na c c o unt i ng.Ther a i nbo wo p

t i o nac c o unt i ngi se xpl a i nedus i ngt heq uad r a no mi a la ppr o ac h. Ther a i n‑

bo w o pt i o na c c o unt i ngwi t hi nde pe nde ntunc e r t a i nt i e sa ndt her a i nbo w o pt i o na c c o unt i ngwi t hc or r e l a t e dunc e r t a i nt i e sa r edi s c us s e di no r de r . Fur t he r mo r e,t heme t hodo ft hec or po r a t eva l ua t i o nbyt her e a lo pt i o n a c c o unt i ngl Se xpl a ine d.Fi na ll y,i ti spoi nt e do utt ha tt her e a lo pt i o na c ‑ c o unt i ngwi l lbewi de l ya ppl i e da ndwi l lbeve r yI mpo r t a nti nt hef ut ur e.

Keywords:c ompo undopt i o n,r ai nbow opt i on,qua dr a nomi ala p‑

pr oa c h,c o r po r a t eva l ua t i o n

Ⅰ

リアル ･オプシ ョンは,金融資産を評価す るために開発 されたオプシ ョン 理論 を,実物資産 を評価するために,動的で不確実な企業環境 に応用 しよう とするものである｡ リアル ･オプシ ョンは 1種類ではな く,次の ようない く つかの種類があ り, これ らを組 み合わせ ることによって実際の リアル ･オプ シ ョンが行われる｡

(1)延期オプシ ョン :プロジ ェク トの開始を延期するオプシ ョン

( 2 )撤退オプシ ョン :プロジ ェク トの全部を売却 して中止するオプシ ョン ( 3 )縮小オプシ ョン :一定の価格でプロジ ェク トの一部 を売却するオプシ

ョン′

( 4)拡張オプシ ョン :投資額 を増加 してプロジ ェク ト規模 を拡張す るオプ

( 5 )延長オプシ ョン :行使価格 を支払 うことによってプロジ ェク ト期間を

( 6)切替 オプシ ョン :一定 の コス トをかけ るこ とに よって2

( 7)複合オプシ ョン :段階的な投資の場合のオプシ ョンに対するオブシ ョ ー /

( 8)

この リアル ･オプシ ョンを会計的にみた場合,それは次の ような特質 およ び機能を有 している とい うことがで きる｡

( 1 )

対処す る｡

( 2)

に比較 し,各状況 に適合する,弾力的で最適な意思決定 を行 うことがで きる｡

( 3)

経

これまで, これ らの うち, リアル ･オプシ ョン会計の種類 に関 して,延期

オプシ

オプシ

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

3

その意思決定機能を中心 に論 じて きた｡そ こで本稿は,残 りの リアル ･オプ シ ョン会計の うち,複合オプシ ョンおよび レインボー ･オプシ ョンの内容を 説 明し, リアル ･オプシ ョン会計の企業価値評価機能について論 じることを

目的 としてい る｡

本稿の内容は以下の とお りである｡

(1)まず,複合オプシ ョン会計を説 明する｡その場合,複合オプシ ョン会 計には同時複合オプシ ョン会計 と段階複合オプシ ョン会計 があるので,

それ らを別 々に論 じる｡

( 2 )次に, レインボー ･オプシ ョン会計を, 4

( 3)

( 4)

Ⅱ 複合オプシ ョン会計

上述 した ように, これまで, リアル ･オプシ ョン会計の うち,延期オプシ ョン,撤退オプシ ョン,縮小オプシ ョン,拡張オプシ ョン,延長オプシ ョン な どについて述べて きた｡ これ らは比較的単純な リアル ･オプシ ョン会計で あ り,これを現実の企業活動 に適用するには,さ らに進んだ応用的な リアル ･ オプシ ョン会計を理解 しなければな らない｡そ して,その代表的な ものの 1 つが,複合オプシ ョン会計である｡

この複合オプシ ョン会計 には大 き く分けて

2

( s i mul t a n e o u sc o mpo u ndo p t i o n)

場合であ り,段階複合オプシ ョン

( s e que nt i a lc o mpo undo pt i o n)

1

まず,同時複合オプシ ョン会計であるが,これを説 明す るための典型例は, 負債のある企業の株式 に関 してオプシ ョン価値 を計算する例である｡ この場 令,負債のあ る企業の株式 は,その企業の価値 に依存するオプシ ョン (コー ル ･オプシ ョン)であ り,その場合のオプシ ョンの行使価格は企業の負債の 額面価格であ り,満期 日は負債の満期 日である｡ したがって, この企業の株 式 を原証券 とするコール ･オプシ ョンは,オプシ ョンに対するオプシ ョンで

あ り,それ らが同時に存在する ところにこのオプシ ョンの特徴 がある｡

この同時複合オプシ ョン会計を,具体的な数値例で説 明することにす る1)0 いま,ある企業の現在価値 が1000ドルである とする｡ この企業価値 のボラテ

ィ リテ ィは

12%

( 〟)

1. 1 2 7 5 0(‑e O 1 1 2 )

( d)

0. 8 8 6 9 2( ‑e0 ･ 1 2 )

8%

この企業の株式は,額面価格800ドル,満期 3年 ,ゼ ロ ･クーポンの負債 の劣後 にある｡ この株式の行使価格 は400ドルで, 3年満期であ る｡ この場 令, この株式 に対するコール ･オプシ ョンの価値 を計算することが, ここで の課題である｡

このオプシ ョン価値の計算は, 2段階で行われ る.まず,株式 を,企業の 価値 に対するコール ･オプシ ョン として評価する｡その際,行使価格は負債 の額面価格 に等 しい とする｡それに基づ くイベン ト ･ツ リーがコール ･オプ シ ョンの原資産 とな り,いま,その企業価値のイベン ト ･ツ リーを示す と, 表 1の ようになる｡

通常の リアル ･オプシ ョン会計では,表 1に基づいて企業価値 のデ ィシジ ョン ･ツ リーを作成するが,複合オプシ ョン会計では,それが複合オブシ ョ

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

表

1

0 ^{1 2' 3}

0 ^{1, 0 0 0 . 0 0 1 , 1 2 7. 5 0 1, 2 7 1. 2 6 1 , 4 3 3. 3 4}

1 8 8 6. 9 2 1, 0 0 0. 0 0 1 , 1 2 7. 5 0

2 7 8 6. 6 3 8 8 6. 9 2

5

ソの基礎 とな るイベン ト ･ツ リー とな り,株式価値 の イベン ト ･ツ リー とな る｡ これを, リスク中立確率アプローチを用いて作成す る と,表 2の ように な る｡

表

2

0 ^{1 2 3}

0 ^{( 1 0 ) 3 7 1. 1 9 ( 8 ) 4 4 5. 7 8 ̲( 5 ) 5 3 2. 7 6}

^{1 ) 6 3 3. 3 4}

1 ( 9 ) 2 0 8. 1 5 ( 6 ) 2 6 1. 51 ( 2 ) 3 2 7. 5 0 2 ( 7 )6 5. 4 9 ( 3 )8 6. 9 2

この場合, リス ク中立確率 (p)は次の ように して求め られ る｡

e r f ‑d e O ･ 0 8 ‑0. 8 869 2

u‑d 1. 1 2750‑0. 8869 2 0. 81 622,119‑0. 1 8 37 8

表 2における各数字 は,次の ように算定 される｡

(1)Ma

x[

1, 4 33. 34‑800‑63 3. 3 4), 0]

( 2)Ma x[

1, 1 27. 5 0‑800‑32 7. 5 0), 0 ] ( 3 )Ma x[( 886. 9 2‑8 0 0‑86. 9 2 ), 0]

( 4)Ma x[( 697. 6 8‑80 0‑‑1 0 2. 3 2 ), 0 ]

( 5)Max[( 1, 271. 26‑800‑471. 26), ( 0. 81 622( 633. 34)

0. 1 8378( 327.

50)) β 0･ 0 8 ‑5 32. 76 ]

( 6)Max[

, 0 00‑8 00‑20 0), 〈 0. 81 62 2( 32 7. 5 0) + 0. 1 837 8( 86. 92 )) β 0･ 0 8

261. 5

( 7) Ma x[ ( 786. 63‑800‑‑1 3. 37), ( 0. 81 622( 86. 92)

0. 1 8378( 0)) β 0･ 0 8

‑65. 49 ]

( 8) Ma x[

1, 1 27. 50‑800‑327. 50), (0. 81 622( 532. 76)

0.1 8378( 261.

51 )) e1 0･ 0 8 ‑445. 78]

( 9) Ma x[ ( 886. 92‑800‑86. 92), (0. 81 622( 261. 51 )

0.1 8378( 65. 49))

β 0･ 0 8 ‑2 08. 1 5 ]

( 1 0) Ma x

, 000‑800‑200), ( 0. 81 622( 445. 78)

0. 1 8378( 208. 1 5)) β 0･ 0 8

‑371. 1 9]

その結果,企業の株式価値 は

371. 1 9

1, 000

, 1 000

ドル ‑

371. 1 9

‑628. 81

次 に,複合オプシ ョンの価値 を評価する｡ これは,行使価格 を

400

になる｡

表

3

0 ^{1 2 3}

0 ^{( 1 0 ) 9 9. 81 ( 8 )1 3 2. 4 7 ( 5 )1 7 5. 81}

^{1 ) 2 3 3. 3 4}

1

( 9 ) 0 ^{( 6)} 0 ^{( 2 ) 0}

2 ( 7 ) 0 ^{( 3 ) 0}

表

3

(1)

Ma x[ ( 633. 34‑400‑233. 34), 0]

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

7 ( 2)Ma xl( 327. 50‑400

‑72. 5 0), 0]

( 3)Ma x[( 86. 92‑400‑‑31 3. 08), 0]

( 4)Ma x[( 0‑400

‑400), 0]

( 5)Ma xl( 532. 76‑400‑1 32. 76), ( 0. 81 622( 233. 34) + 0. 1 8378( 0)) e‑ 01 0 8

‑1 75. 8

( 6 )Ma x[( 261. 51‑400 ‑ ‑1 38. 49), ( 0. 81 622( 0) + 0. 1 8378( 0)) β 0 ･ 0 8‑0 ] ( 7)Ma xl( 65. 49‑400‑1334. 5

) , ( 0. 81 622( 0) +0. 1 8 3 7 8( 0 )) e‑ 0･ 08 ‑0 ] ( 8)Ma x[( 445. 78‑400‑45. 78), ( 0. 81 622( 1 75. 8

)+ 0. 1 8378( 0)) β 0･ 0 8 ‑

1 32. 47]

( 9 )Ma x[ 208. 1 5‑400‑‑1 91. 85), ( 0. 81 622( 0)

0. 1 8378( 0 )) e 10 ･ 0 8‑0]

( 1 0)Ma x[ 371. 1 9‑400‑‑28. 81 ), ( 0. 81 622( 1 32. 47) + 0. 1 8378( 0)) ♂‑ 0･ 0 8

‑99. 8

その結果, この複合オプシ ョンの価値 は99.

81

2 段階複合オプシ ョン会計

次は,段階複合オプシ ョン会計である｡現実の企業活動 において,段階的 な投資はすべて このオプシ ョン形式を とり, この会計は現実において非常に 有用である｡ この段階複合オプシ ョン会計を具体的に説 明するために,次の

ような計算の前提 をお く｡

いま,ある企業 において,時系列的に順次繋がった

2

1

第

2

3

る とする｡したがって,その前提条件 も同じであ り,ボラティリテ ィが

1 2 %

8

0. 81 622

この場合,複合オプシ ョン会計の計算に際 しては,最初 に第 2オプシ ョン を計算 し,次に第

1

1

1

4

表

4

0 ^{1 2 3}

0 ̲ ^{( 1 0 ) 3 4. 4 9 ‑ ( 8 ) 4 5. 7 8 ･ ( 5 ) 5 3 2. 7 6 ( 1 ) 6 3 3. 3 4} 1 ⁽

0 ^{( 6 ) 2 61. 51 ( 2 ) 3 2 7, 5 0}

2 ( 7 )6 5. 4 9 ( 3 )8 6. 9 2

3 ( 4 ) 0

これ らの数字を少 し詳 し く説明する必要がある｡ まず,第 2オプシ ョンの 計算過程 は次の ようであ り, これは, リアル ･オプシ ョン会計における通常 の計算過程 である｡

(1)

Max[

1 , 433. 34‑800‑6 33. 34), 0 ] ( 2)Max[( 1, 1 27. 50‑800‑327. 50), 0]

( 3)

a xl( 886. 92‑8 00‑86. 92)

( 4)Max[( 69 7. 68‑800‑‑1 02. 32), 0]

( 5)Max[ ( 1 , 271. 26‑800‑471. 26), ( 0. 81 622( 633. 34)+0. 1 8378( 327.

5 0 )) e ‑ O･ 0 8 ‑5 3 2. 7 6 ]

( 6)Ma x[( 1, 000‑800‑200), ( 0. 81 622( 327. 50)+0. 1 8378( 86. 92)) β 0･ 08

‑261. 5

( 7)Ma xl( 786. 63‑800‑‑1 3. 37), ( 0. 81 622( 86. 92)+0. 1 8378( 0)) e‑ 0･ 08

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価 9

‑6 5. 49 ]

問題は第

1

1

1

,40 0

( 8 )( 0. 81 6 2 2( 5 3 2. 76 ) + 0. 1 8 3 7 8( 2 61. 5 1))e‑0･ 0 8 ‑4 45. 7 8 Ma x[( 4 45. 7 8‑4 0 0‑4 5. 7 8 ), 0 ]

( 9 )( 0. 81 6 2 2( 2 61. 51 ) + 0. 1 8 3 7 8( 6 5. 49 ) ) e ‑ 01 0 8 ‑2 0 8. 1 5 Ma x[( 2 08. 1 5‑4 0 0‑‑1 91. 8 5 ), 0 ]

( 1 0 )( 0. 81 62 2( 4 45. 7 8 ) + 0. 1 8 3 7 8( 2 0 8. 1 5 )) β 0･ 0 8 ‑3 71. 1 9

Ma x[( 371. 1 9‑4 0 0‑‑2 8. 8

) , ( 0. 81 622( 4 5. 7 8)

0. 1 837 8( 0)) β 0･ 0 8

‑3 4. 49 ]

その結果, この複合オプシ ョンの価値 は

3 4. 49

り,第 2オプシ ョンが より優先順位の高いオプシ ョン とい うことになる｡

なお, これ らの計算結果 に基づいて段階複合オプシ ョンによる意思決定過 程を示 してお くと,表

5

表

5

0

^{2 3} 0 ^{( 1 0 )}

^{( 8 ) 4 0 0}

^{( 5 )}

^{1 ) 8 0 0}

1 ( 9 )

( 6 )

( 2 ) 8 0 0

2 ( 7 )

( 3 ) 8 0 0

3 ( 4 )

Ⅲ

応用的な リアル ･オプシ ョン会計の もう1つの代表 は, レインボー ･オプ シ ョン会計であ る｡既述の ように,レインボー ･オプシ ョン とは,複数の不 確実性要因が存在す る場合のオプシ ョンであ り,その うち本節では

,2

｢4

｣( qua dr a no mi a la ppr oa c h)

( Co pe l a nda ndAnt i ka r o v[ 2 0 03 ]pp. 2 79‑2 86

2 82‑2 8 8

1 4

4

2

つ 2

1

V

ul

d

d 2

と仮定 した ときに

,1

4

co

定

Cul u2‑M

Vo ‑X , 0 ]

Culd2‑Maxluld2

Vo ‑X , 0 ]

C ^{d l u2 ‑Ma x[ dl u2 Vo ‑X , 0 ]}

Cdld2‑Max[dld2

Vo ‑X , 0 ]

図

1

1

4

図

1

4

4

4

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価 ill

確実性要因問の相関関係であ る

p l,

2

この

4

4

C o ‑( ^{pul u2Cul u2}

^{Pul d2Cul d2}

^{Pdl u2Cdl u2} + Pdl d2Cdl d2 ) e ^{‑r f}

2

4

4

Pul u2

Pul Pu2 Pul d2

Pul Pd2 Pdl u2 = Pdl Pu2 Pdl d2

Pdl Pd2

(

2

これ らの リスク中立確率を (1)式 に適用すれば, リアル ･オプシ ョン価値 を計算す ることがで きる｡

しか し, 2つの不確実性要因の間に相関関係がある場合,問題は複雑 にな り

,

｣

いま,

X

Y

2

X

pu x

P u x )

XfElXu,Xd]

Y

2

pu

Y

f e l Y u

2

X

X

Y

X

Y

p( Y ^u

‑P ^uY p( X

u ) ‑P ^{u x}

この ように,

2

4

[ Y u

X

Y

に乗 じれば得 ることがで きる｡

しか し, 2つの不確実性要因が相関関係にある場合,条件付 き確率 と無条 件確率は もはや等 し くはない｡条件付 き確率 と無条件確率 との関係は,次の ベ イズの公式で表 され る｡

p( Y

‑

これが ｢ベ イズの定理｣ と呼ばれるものであ り, この場合,♪(

‰ n

pul u2

X

Y

4

2)

2つの不確実性要 因がある場合の リス ク中立確率の説 明をさ らに続 け よ う｡資産の価値 は幾何ブラウン運動 をた どって変化するが,資産の利益率は 算術ブラウン運動 をた どって変化する｡例 えば,株価は決 して負の値 たな ら ず,その時系列変化は幾何ブラウン運動過程 としてモデル化で きる｡しかし, 株価の利益率は負の値 を とることもあ り,算術ブラウン運動 としてモデル化 で きる｡

資産価値 の変化は,次式の ような幾何ブラウン運動過程 をた どる

3)

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

dV ‑ F L Vdt +aVd z

1 3

( 3)

1

4 )

C

C

dC‑( 諾 pv瑠 +

語 C

P) dt ･ 詰 ovd z

次に,オプシ ョンが

C‑1 n( S)

∂ C ̲1 aV S

∂ 2 C 1

∂TP

S2

( 4 )

( 5)

苫

これ らの関係を伊藤 の レンマに代入すると,算術ブラウン運動の式が得 られ る｡

dC

･

( 6)

∂ C‑∂ V / V

,1 n

(V)の増加率は,平均 (FL‑0

2

O J

これ らの知識を前提 として,算術ブラウン運動 にしたが う 2つの不確実性 要因がある場合のモデル化を行 うことにしよう｡いま,開発段階にあ る新製 品の単価 と数量 を,

2

gl ,

中立の状況下では,価格 と数量の増加率は リスクフ リー ･レー トに等 しく, 価格 をP,数量 を

Q

2

dl n( P)‑( r f ‑ ^{% ) dt}

^{ql d z}

2 gl ‑( r r ^{% ) dt}

そ して,数量については,次の ようになる｡

2

dl n( Q) ‑( r f一昔) dt 'C 2 d z 2

gZ ‑( r r ^{% ) dt}

( 7 )

( 8 )

( 9 )

( 1

0)

ここでは,上昇率および下落率は算術ブラウン運動 にしたがい,プラスマ イナスが逆の一定 の値 (すなわち

u

Al n

Al n

Al n

o)+

1

Al n

+ ^u2

Al n

‑ hu上

2

Al n

+ u2

Al n

2

図

2

これ ら2つの変数の値が相互 に独立 している場合は, 6つの未知数 か らな る

6

6

りであ る｡

2

Ebl)At

‑

r f一昔 ) At ‑( Pu l u 2 ･ Pu l d 2 ) ul ‑( hl u 2

Pd l d 2 ) ul

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

6号At

‑(

(

Pd

d

E

r f 一

‑(

Pd l u 2 ) u2

0･三At

‑(

一( pu ^l d 2 +Pd l d

)

p

‑(

‑

‑

+

+

+

= 1

1 5

(12) (13)

(14)

(1 5) ( 1 6)

1

(

ll )

1 3)

2

12)

( 1 4)

( 1 5)

( 1 6 )

1

6

6

これ らを解 くと,起 こりうる各状態の リスク中立確率が得 られ る｡

Pul従2

九 1♂2=

ulu2+u2gl+ulg2+ p1.2(7162At 4〝1〝2

̲ulu2+u2gl+dlg2‑ Pl.2(7102△t 4〝1〝2

ーulu2+d2g

l

Pdld2=

4〝1〟2

̲ulu2+d2g

l

p

(17)

( 1 8)

(1 9)

( 20)

2

u

. ‑o l J i

u2

‑6 2 J i

2

以上が

4

2

いま,あ る企業 においてある製品の開発プロジ ェク トがあるとする｡不確 実性要因は,価格 と数量の

2

2

2

( PxQ)

4, 00 0

2

6

これが継続価値 となる｡プロジ ェク トは,期間終了時に

5 0, 0 0 0

トは,年率

1. 2 5 %

図

3

初期数量

( Oo ) ‑1, 0 0 0

1期間当た りのボラテ ィリティ

‑l o 財

1期間当た りの上昇率

( 〟) ‑β 0･ 1

1. 1 051 7 1

‑e 0･ 1 ‑0. 9 0 4 8 4

‑ (eo･ 01 2 5‑ 0. 9 0 4 8 4) /

1: 1 0 51 7‑0. 9 0 4 8 4 )

‑0. 5 3 7 8 0

‑0. 46 2 2 0

Qo 1 , 0 0 0. 0 0

≡ ∋

萎

1 , 1 0 5. 1 7 9 0 4. 8 4

≡

図

3

1 , 2 2 1 . 4 0

1 , 0 0 0. 0 0

8 1 8. 7 3

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

1 7

また,図

4

2

初期値

‑1 0

1

‑6 %

1期間当た りの上昇率

( 〟)‑β 0 ･ 0 6 ‑1. 0 61 8 4

‑e0 1 0 6 ‑0. 9 41 7 6

‑( e

‑( β 0 ･ 0 1 2 5 ‑ 0. 94176)/ ( 1 . ^{061 84‑0. 941 76)}

‑0. 58977

‑0. 41 023

po

i i :: 4 6 2 2≡ ≡

4

そ して,次の

2

5)

4, 000

6)の イベン ト ･ツ リーを示 している｡

Q

1, 1 05. 1 7: 1 0. 6 2

1, 1 05. 1 7:9. 42

9 04. 8 4: 1 0. 6 2

9 04. 8 4:9. 42

5

1, 221. 40: l l. 27

1, 221. 40: 1 0. 00

1, 221. 40:8. 87

1, 00 0. 00: l l. 27

1, 00 0. 00: 1 0. 00

1, 000. 00:8. 87

81 8. 73: l l. 27

81 8. 73: 1 0. 00

81 8. 73:8. 87

F

F 6

7, 7 3 6. 9 1

6

, 4 1 0. 7 0

5, 〉 6 0 9. 4

4, 5 2 3. 9 3

CF

9, 7 6 5. 1 8 5 8, 5 9 1 . 0 8 8, 21 4. 0 0 4 9, 2 8 4. 0 0 6, 8 3 3. 8 2 41 , 0 0 2. 9 2 7, 2 7 0. 0 0 4 3, 6 2 0. 0 0 6, 0 0 0. 0 0 3 6, 0 0 0. 0 0 4, 8 7 0. 00 2 9, 2 2 0. 0 0 5 , 2 2 7

9 3 1 , 3 6 2. 5 4 4

1 8 7

2 5, 1 2 3. 8 0

1 9, 5 7 2. 8 4

図

6

これ らの数値 に基づいて,次 に行わなければな らないのは,プロジ ェク ト の現在価値の算定 とそれに対応するイベン ト ･ツ リーの作成である｡そ して, その場合 に必要 なのが リスク中立確率の計算であ り,それは,

( 2)

4 つ

1

pu l u 2 ‑ Pu l Pu 2 ‑0. 5 3 7 8 0( 0. 5 8 9 7 7 )‑0. 3 2 pu l d 2

P u l Pd 2 ‑0. 53 780( 0. 41 023 )‑0. 2 2 pd l u 2 ‑ Pd l Pu 2 ‑0. 46 2 2 0( 0. 5 8 9 7 7 )‑0. 2 7 pd l d 2 ‑ Pd l Pd 2 ‑0 . 46 2 2 0( 0. 41 0 2 3 )‑0. 1 9

プロジ ェク トの現在価値 は,各 ノー ドでキ ャッシ ュ ･フローに リスク中立 確率を乗 じ,その結果を リスクフ リ‑ ･レー トで除す ことによって求め られ

る｡そ して,それをイベン ト ･ツ リーで示す と,図

7

この場合,ノー ド

E

A

B‑〈 0. 3 2( 6 8, 3 5 6. 2 6 )+0. 2 2( 5 7, 4 9 8. 0 0 )+0. 2 7( 5 0, 8 9 0. 0 0 ) +0. 1 9( 4 2, 0 00. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5+ 7, 7 3 6. 91‑6 3, 2 8 2. 1 0

C ‑( 0. 3 2( 5 7, 4 9 8. 0 0 )+0. 2 2( 4 7, 8 3 6. 7 4 )+0. 2 7( 42, 0 0 0. 0 0 )

+0. 1 9( 3 4, 0 9 0. 0 0) ) β 0･ 01 2 5 +6, 41 0. 7 0‑5 2, 5 7 0. 6 2

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

A 5 6, 7 0 5. 6 3

6 3, 2 8 2. 1 0 5 2, 5 7 0. 6 2 4 6, 0 7 3. 5 3 3 7, 3 0 4. 0 5

義 図 7

6 8, 3 5 6. 2 6 5 7, 4 9 8. 0 0 4 7, 8 3 6. 7 4 5 0, 8 9 0. 0 0 4 2, 0 0 0. 0 0 3 4, 0 9 0. 0 0 3 6, 5 8 9. 6 3 2 9, 3 1 1 . 1 0 2 2, 8 3 4. 9 8

1 9

D‑( 0. 3 2( 5 0, 89 0. 0 0 )+0. 2 2( 42, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 7( 3 6, 5 8 9. 6 3 ) +0. 1 9( 2 9, 31 1. 1 0 )) e‑01 01 2 5 +5, 6 0 9. 40‑4 6, 0 73. 5 3

E ‑( 0. 3 2( 42, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 2( 3 4, 09 0. 0 0)+0. 2 7( 2 9, 31 1. 1 0 ) +0. 1 9( 2 2, 8 3 4. 9 8 )) β 0･ 01 2 5 +4, 5 2 3. 9 3‑3 7, 3 0 4. 05

A ‑( 0. 3 2( 6 3, 2 8 2. 1 0 )+0. 2 2( 5 2, 5 7 0. 6 2 )+0. 2 7( 46, 0 7 3. 5 3 ) +0. 1 9( 3 7, 3 0 4. 0 5 )) β 0･ 01 2 5 +6, 0 0 0. 0 0‑5 6, 7 0 5. 6 3

最後 に, この イベン ト ･ツ リーに基づいて,現在価値のデ ィシジ ョン ･ツ リーを作成 しなければな らない｡ この場合のペ イオフには,プロジ ェク トを

5 0, 0 0 0

8

この場合, ノー ド

E

A

B‑( 0. 3 2( 6 8, 3 5 6. 2 6 )+0. 2 2( 5 7, 4 9 8. 0 0 )+0. 2 7( 5 0, 89 0. 0 0 ) +0. 1 9( 5 0, 0 0 0. 0 0 )) β 0･ 01 2 5 +7, 7 3 6. 91‑6 4, 7 8 3. 2 2

C ‑〈 0. 3 2( 5 7, 49 8. 0 0 )+0. 2 2( 5 0, 0 0 0. 00 )+0. 2 7( 5 0, 0 0 0. 0 0 )

+0. 1 9( 5 0, 0 0 0. 0 0 )) β 0･ 0 1 2 5 +6, 41 0. 7 0‑5 8, 1 5 9. 1 4

A 6 3, 9 6 0. 9 0

ち6 4, 7 8 3. 2 2 C5 8, 1 5 9. 1 4 D 5 5, 2 6 9. 5 5 E 5 3, 9 0 2. 8 2

義

図

8

6 8, 3 5 6. 2 6 5 7, 4 9 8. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 8 9 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0

D

‑( 0. 3 2( 5 0, 89 0. 0 0 )+0. 2 2( 5 0, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 7( 5 0, 0 0 0. 0 0 0 ) +0. 1 9( 5 0, 00 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +5, 6 0 9. 4 0‑5 5, 2 6 9. 5 5

E‑( 0. 3 2( 5 0, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 2( 5 0, 00 0. 0 0 )+0. 2 7( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) +0. 1 9( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +4, 5 2 3. 9 3‑5 3, 9 0 2. 8 2 A‑〈 0. 3 2( 6 4, 7 8 3. 2 2 )+0. 2 2( 5 8, 1 5 9. 1 4)+0. 2 7( 5 5, 2 6 9. 5 5 )

+0. 1 9( 5 3, 9 0 2. 82 ) ) β 0･ 0 1 2 5+ 6, 0 0 0. 0 0‑6 3, 9 6 0. 9 0

これによって明 らかな ように,オプシ ョンのないプロジ ェク トの現在価値 を表す図

7

8

6 3, 96 0. 9 0‑5 6, 7 0 5. 6 3‑7, 25 5. 2 7

る｡この差額は

,2

3

次に, 2つの不確実性要因の間に相関関係がある場合の具体例を説明しよ う｡ この場合 ,相関係数 がプラス30%

(p l , 2 ‑0. 3 )であ る と仮定するOキ

6

( 21 )

( 2 2 )

2

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

21

ul

u2

u1

0 1 J i ‑0. 1

d1

‑u 1

1 0.1

u2

0 2 J i

0.

d2

‑ u 2

1 0.

次 に,

( 8 )

1 0)

2

gl

昔 ) dt ‑( 0･ 01 2 5‑

^{‑o･ 00 7 5}

2

g2

r f 一 ^{昔 ) dt}

^一旦

^{‑o･ 01 0 7}

そ して最後 に,

( 1 7)

( 2 0 )

4

1

5) 6 )

pul u2 ‑( 0. 1×0. 06 + 0. 0 6×0. 0 0 7 5 + 0. 1×0. 01 0 7 + 0. 3×0. 1×0. 0 6 ) / ( 4×0. 1×0. 0 6 )‑0. 3 9

pul d2 ‑( 0. 1×0. 0 6 + 0. 0 6×0. 0 0 7 5‑0. 1×0. 01 0 7‑0. 3×0. 1×0. 06 ) / ( 4×0. 1×0. 0 6 )‑0. 1 5

pdl u2 ‑( 0. 1×0. 0 6‑0. 0 6×0. 0 0 7 5 +0. 1×0. 01 0 7‑0. 3×0. 1×0. 06 ) / ( 4×0. 1×0. 0 6 )‑0. 2 0

pdl d2 ‑( 0. 1×0. 0 610. 0 6×0. 0 0 7 5‑0. 1×0. 01 0 7

0. 3×0. 1×0. 0 6 )/

( 4×0. 1×0. 0 6 )‑0. 2 6

プロジ 土ク トの現在価値 は,前項 と同様 に,各 ノー ドでキ ャッシ ュ ･フロー に リスク中立確率を乗 じ,その結果を リスクフ リー ･レー トで除す ことによ って求め られ る｡そ して,それをイベン ト ･ツ リーで示す と,図

9

この場合, ノー ド

E

A

A 5 6, 9 5 7. 6 8

B6 3, 4 1 8. 1 7 C5 2, 6 9 1 . 6 9 D4 6, 1 8 4. 9 3 E3 7, 4 0 3. 1 7

図

9

6 8, 3 5 6. 2 6 5 7, 4 9 8. 0 0 4 7, 8 3 6. 7 4 5 0, 8 9 0. 0 0 4 2, 0 0 0. 0 0 3 4, 0 9 0. 0 0 3 6, 5 8 9. 6 3 2 9, 3 1 1. 1 0 2 2, 8 3 4. 9 8

る｡

B ‑( 0. 3 9( 6 8, 3 5 6. 2 6 )+0. 1 5( 5 7, 49 8. 0 0 )+0. 2 0( 5 0, 8 9 0. 0 0 ) +0. 2 6( 4 2, 0 0 0. 0 0 )) ♂‑0･ 0 1 2 5 +7, 7 3 6. 91‑6 3, 41 8. 1 7

C ‑( 0. 3 9( 5 7, 49 8. 00 )+0. 1 5( 4 7, 83 6. 7 4 )+0. 2 0( 4 2, 0 0 0. 0 0 ) +0. 2 6( 3 4, 09 0. 0 0 )) ♂‑0･ 01 2 5+ 6, 41 0. 7 0‑5 2, 691. 6 9 D‑( 0. 3 9( 5 0, 89 0. 0 0)+0. 1 5( 42, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 0( 3 6, 5 8 9. 6 3 )

+0. 26( 2 9, 31 1. 1 0 ) ) β 0･ 01 2 5+ 5, 6 0 9. 4 0‑4 6, 1 8 4. 9 3 E ‑( 0. 39( 42, 0 0 0. 0 0 )+0. 1 5( 3 4, 09 0. 0 0)+0. 2 0( 2 9, 31 1. 1 0 )

+0. 2 6( 2 2, 8 3 4. 9 8 )) β 0･ 01 2 5 +4, 5 2 3. 9 3‑3 7, 4 0 3. 1 7 A‑( 0. 3 9( 6 3, 41 8. 1 7 )+0. 1 5( 5 2, 6 91. 6 9 )+0. 2 0( 46, 1 8 4. 9 3 )

+0. 2 6( 3 7, 40 3. 1 7 )) β 0･ 01 2 5 +6, 0 0 0. 0 0‑5 6, 9 5 7. 6 8

図

9

,5 6, 7 0 5. 6 3

5 6, 9 5 7. 6 8

7 )

最後 に, この イベン ト ･ツ リーを基礎 として,撤退プ ット ･オプシ ョンを 適用 し,現在価値のデ ィシジ ョン ･ツ リーを作成する｡その場合,各 ノー ド

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

2 3

1 0

A 6 4, 6 7 8. 6 9

B6 5, 4 7 2. 3 3

C

5 8, 6 7 7. 4 8 D 5 5, 3 3 1 . 0 8

E

5 3, 9 0 2. 8 2 義

6 8, 3 5 6. 2 6 5 7, 4 9 8. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 8 9 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0 5 0, 0 0 0. 0 0

図

1 0

この場合,ノー ド

E

A

B‑( 0. 3 9( 6 8, 35 6. 2 6 )+0. 1 5( 5 7, 49 8. 0 0 )+0. 2 0( 5 0, 89 0. 0 0) +0. 2 6( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +7, 73 6. 91‑6 5, 4 72. 3 3 C‑( 0. 3 9( 5 7, 4 9 8. 0 0 )+0. 1 5( 5 0, 0 0 0. 0 0 )+0. 2 0( 5 0, 0 0 0. 0 0 )

+0. 2 6( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +6, 41 0. 7 0‑5 8, 6 7 7. 4 8

D‑( 0. 39( 5 0, 89 0. 0 0 )+0. 1 5( 5 0, 00 0. 0 0 )+0. 2 0( 5 0, 0 0 0. 0 0 0 ) +0. 2 6( 5 0, 00 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +5, 6 0 9. 4 0‑5 5, 3 31. 0 8

E‑(0

'

3 9( 5 0, 00 0. 0 0 )+

1 5( 5 0, 00 0. 0 0 )+0. 2 0( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) +0. 2 6( 5 0, 0 0 0. 0 0 ) ) β 0･ 01 2 5 +4, 5 2 3. 9 3‑5 3, 9 0 2. 8 2 A‑( 0. 3 9( 6 5, 47 2. 3 3 )+0. 1 5( 5 8, 6 7 7. 4 8 )+0. 2 0( 5 5, 3 31. 0 8 )

+0. 2 6( 5 3, 9 0 2. 8 2 ) ) β 0･ 01 2 5 +6, 0 0 0. 0 0‑6 4, 6 7 8. 6 9

その結果,オプシ ョンおよび相関関係のあるプロジ ェク トの現在価値 は

6 4

6 78. 6 9

5 6, 705. 63

て

,7, 9 7 3. 06

2

Ⅳ 企業価値評価

これまで,複合オプシ ョン会計および レインボー ･オプシ ョン会計 とい う 応用的な リアル ･オプシ ョン会計 について述べて きたが,最後 に,その延長

として, リアル ･オプシ ョン会計 による企業価値評価の方法について説明す ることにしよう｡

1

リアル ･オプシ ョン会計 による企業価値評価の基礎 になるのは,現在価値 会計 による企業価値評価であ る｡そこでまず,現在価値会計 による企業価値 評価の方法について述べることにする｡

現在価値会計では,企業価値 は将来期間のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの 現在価値合計 とな る｡すなわち,次の ようになる｡

企業価値 ‑将来期間のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの現在価値

( 23)

｢2

企業価値 ‑予測期間におけるフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの現在価値 +予測期間以降のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの現在価値

( 24 )

複合オプシ ョン会計 と企業価値評価

2 5

予測期間以降のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの現在価値 は,遠い将来 に対 して予測が継続する と仮定 して算定する価値であるので ｢継続価値｣ と呼ば れ,一般 に次の式で計算 される

8)

継続価値

^T T ^.1

1

/ ROI C)

WACC‑g ^{( 25 )}

ここで,各記号は次の こと表 している｡

NOPA ^T T ^.1

g‑NOPAT

ROZ C

‑NOPAT/

WACC

( we i g ht e da ve r a gec o s to fc a pi t a l )

以上が現在価値会計 による企業価値評価の概要であるが, これを実際に行 う場合の重要なポイン トは,予測期間においてフ リー ･キ ャッシ ュ ･フロー をどの ように具体的に予測するかである｡ これに関 して,予測は次のステ ッ プで行 うことになる

( Co pe l a nd,Ro l l e ra ndMur r i n [ 2 0 00 ]pp. 2 33

2 7 3

(1) どれだけの期間について, どれほ ど詳細 に将来予測 をたてるのかを決 定す る｡上述 した ように, これには一般 に 2段階アプローチが適用 され

る｡

( 2 )将来の業績 について,戦略 レベルで見通 しをたてる｡ この場合,業界

( 3)戦略 レベルの見通 しを,損益計算書,貸借対照表,フ リー ･キ ャッシ

( 4)上の ( 2)

3)

( 5)全体 として予測 に矛盾はないか,戦略 レベルの見通 しと適合す るかを

チ ェックす る｡特 に,

ROI

これ らの作業が終了する と,最後 に企業価値 を算定 し評価するために,以 下の手続を行 う｡

(1)予測 した各期のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローを,加重平均資本 コス ト

( WACC)

( 2 )

WACC

( 3 )各期のフ リー ･キ ャッシ ュ ･フローの現在価値合計 に継続価値の現在

以上が現在価値会計 における企業価値評価の手続であ るが,これに対 して, リアル ･オプシ ョン会計は,現在価値会計 によって算定 された企業価値 を出 発点 とする｡二項モデルによるリアル ･オプシ ョン価値の計算は,次の3段 階のプロセスで行われる｡

(1)割引キ ャッシ ュ ･フローによる現在価値の計算

( 2 )

( 3 )デ ィシジ ョン ･ツ リーの作成

これ らの うち,現在価値会計は第 1段階の割引キ ャッシ ュ ･フローによる 現在価値の計算 に該 当 し,そ こで企業価値評価は終了する｡ リアル ･オプシ ョン会計は これを出発点 として,さらにイベン ト ･ツ リーの作成 とデ ィシジ ョン ･ツ リーの作成 を行 う

｡

第

2

1

2

3