変断面チィモシェンコはりの自由振動

変断面チィモシェンコはりの自由振動

崎 山 毅*. 栗 原 和 夫 *

F r e e  V i b r a t i o n   o f   V a r i a b l e   C r o s s   S e c t i o n a l   Timoshenko  Beam 

by 

T a k e s h i   SAKIY  AMA 

(Department  o f   S t r u c t u r a l   E n g i n e e r i n g )  

Kazuo  KURIHARA 

(Department  o f   S t r u c t u r a l   E n g i n n r i n g )  

When t h e   s i z e   o f   c r o s s   s e c t i o n   o f   a s t e p p e d   beam i s   l a r g e   a s   compared  w i t h   i t s   l e n g t h

， 

i t   i s   n e c e s s a r y   t o   a n a l y z e   t h e   c h a r c t e r i s t i c s   o f   t h e   f r e e   v i b r a t i o n   by  u s i n g   t h e   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n s   o f   v a r i a b l e   c r o s s   s e c t i o n a l   Timoshenko  beam  i n c l u d i n g   t h e   e f f e c t   o f   r o t a t o r y   i n e r t i a   and  t r a n s v e r s e ‑ s h e a r   d e f o r m a t i o n .  

I n   t h i s   p a p e r

^， 

we deduced  t h e   f r e q u e n c y   and  normal  mode  e q u a t i o n s   o f   v a r i a b l e   c r o s s   s e c t i o n a l   Timoshenko  beam

， 

and  o b t a i n e d   n a t u r a l   f r e q u e n c i e s   and  normal  modes  o f   a r b t r a r y   d e g r e e s .  

The r e s u l t s   a r e   compared  w i t h   t h e   n a t u r a l   f r e q u e n c i e s   o f   s t e p p e d   beam which a r e   d e r i v i e d   from  t h e   c l a s s i c a l   B e r n o u l l i ‑E u l e r   t h e o r y

， 

and  t h e   e f f e c t   o f   r o t a t o r y   i n e r t i a

， 

t r a n s v e r s e  ‑ s h e a r   d e f o r m a t i o n   and  s t e p p e d l y   v a r y i n g   c r o s s   s e c t i o n   on  t h e   n a t u r a l   f r e q u e n c i e s   a r e   c l a r i f i e d .  

1.

序 文

断面がはりの長さ方向に変化する変断面はりの自由 振動に関しては，古くから理論的および実験的研究が なされてきている.変断面はりの長きに比して断面の 小さな自由振動，つまり B e r n o u l l i‑ E u l e r の初等曲げ 理論から導びかれる振動数方程式により，著書らの 1 人も先に，境界条件のいかんにかかわらず一般的に階 段状変断面はりに適用できる振動解法で，任意個の階 段を有する変断面はりの振動数方程式および振動モー ドの一般式を導ぴき，任意次数の固有円振動数および 振動形を求めた.

佐藤，斉高らは

1

個の断面急変部を有する片持はり の自由振動性状を長方形断面の場合について理論的お よび実験的に研究し，はりの長きに比して厚きが小き

*構造工学科

< 

，低次数の範囲では回転慣性，せん断変形の影響は 少なく， B e r n o u l l i  ‑ E u l e r の振動数方程式により十分 正確に振動性状を解析しうることを明らかにしている.

はりの長きに比して断面が大きくなると，曲げ変形 の他にせん断力による変形の影響を考え，たわみ角に よる回転慣性を考慮、した Timoshenko は り と し て 振 動性状を解析することが必要となる.

一様断面 Timoshenko はりの振動については， 多 くの研究がなされてきている. T C E 1 1 1 4 ) は 一 様断面の境界条件の異なる 6個の型のはりについて各 々の振動数方程式および振動モードの一般式を求めた.

その結果はりの固有円振動数におよほす回転慣性およ

ぴせん断変形の影響は，細長比が小きく，次数が高次

のとき大なることを明らかにしている. しかしながら

変断面 Timoshenko はりの振動性状については， い

34

長崎大学工学部研究報告第7号 昭和51年7月

ままでのところ十分明らかにされてない．ようである．

 本報告は変断面Timoshenkoはりの振動数方程式 および振動モードの一般式を導びき，任意次数の固有 円振動数および振動モードを求め，Bernoulli−Euler の初等曲げ理論により解析された変断面はりの固有円 振動数と比較することにより，薗有円振動数におよぼ す回転慣性，せん断変形および断面急変部の影響等を

明らかにしたものである．

2．基礎微分方程式

 直線はりのせん断変形を考慮に入れた基礎微分方程

式は次式である．

肩（・）一E・（・）雲

σ（・）一￡魚）（募一司

  ＝一σ（κ） 4σ

兜

嬰一σ（・）棚・）

（1・α）

（1・∂）

（1・o）

（1・6）

ただしσ（κ），吻（κ），π（κ），ζ7（κ），ψ（κ），Eノ（κ），

∠4（κ），G，πはそれぞれ荷重強度，モーメント荷重 強度，曲げモーメント，せん断力，曲げモーメントに よるたわみ角，曲げ剛性，断面積，横弾性係数，はり

のせん断変形係数である．

の数を表わす．

式（1・α）〜（1・4）および（2・α），（2・6）

よりせん断変形を考慮した階段状変断面はりの変形の 基礎微分方程式として次の連立微分方程式がえられる．

   肩（・）一一Eゐ、茎。・μ（・一・・）1妥 （3・・）

   σ（・）一雛・μ（・ ）（募一司（3・∂）

   釜一コ（・）   （3・・）

   嬰一σ（・）励）  （3・4）

Fig．1 Stepped beam

 図一1に示すような階段状変断面はりの断面2次モ ーメント1（κ）および断面積A（κ）は単位階段函数

％（κ一α∫）を用いて，次の様に表わされる．

       れ

   1（κ）＝・z。Σレ認（κ一α ）    （2・α）

       ε＝0         れ

   君（κ）＝んΣμμ（κ一の）  （2・ろ）

         ＝0

 ここにるおよび．4。は階段状変断面はりの左端一様 部分の断面2次モーメントおよび断面積である．

 レ およびμゴは左よりガ番目の断面急変部における断

面2次モーメントの変化率および断面積の変化率であ

る．なお，レ。＝μ。＝1である． またηは断面急変部

3．自由振動方程式

 図一1のはりの単位体積当りの質量をρ。とすると，

単位長さ当りの質量ρ。、4（κ）は単位階段函数κ（κ一αご）

を用いて

      れ

   ρ。／1（κ）；ρ。ノ1。Σμ％（κ一網）

          ＝0

で表わされる．したがって自由振動中の階段状変断面 はりの単位長さ当りの慣性力σ（κ）および回転慣性力 初（κ）は次式で与えられる．

   ・（・）㍉略μ・（・一の）券・（…）

   珈一一唖乳・μ（・一・の券（・・∂）

 ゆえに，回転慣性およびせん断変形を考慮した階 段状変断面はりの自由振動方程式として次式がえら

れる．

   肩ω一一E鴫・諏禰讐 （6・・）

   σ（・）一蹴・μ（・…）（募一司（6・∂）

   19一叫乳…（・一・の嘉

   響一σ」一威Σ。・μ（・一・の誰

式（6・σ）〜（6・4）に次の各式

   ア（κ， ）；y＊（κ）・4ω    肩（κ，≠）＝躍＊（κ）・4ω    σ（κ， ）一Q＊（か6ゴ・

   ψ（κ， ）＝ψ＊（κ）・4・

（6・6）

（6・4）

 ただしω：固有円振動数を代入すれば，たわみ，曲

げモーメント，せん断力および曲げモーメントによる

たわみ角の基準函数y＊（κ），ル1＊（κ），Q＊（κ）および

ψ＊（κ）に関する連立方程式をえる．

   財＊ω一一E砲・泌・一如髪

      12       Q（η）＝

       E。あ

（7・α）

σ（・）一夢略繍一・・）（壽一ザ（・））

       （7・∂）

   誓＊一一齢毒．…（・一・・）ノ（・）（…）

   誓σ（・）一ω蟻…（・一・・）ザ（・）

       （7・4）

 変数κを無次元変数η＝κ／1で置き換え，改めて断 面力ルf＊（η），Q＊（η）および変位y＊（η）に関して次の無 次元量初（η），Q（η）およびッ（η）を導入する．、

       ノ（η）

   y（η）＝

        1

   躍（・）一一毒躍＊（・）

         Q＊（η）

これらの無次元量を用いて式（7・α）〜（7・4）の各 式を書き換えると，無次元化された，たわみ，曲げモ ーメントによるたわみ角，曲げモーメントおよびせん 断力の基準函数y（η），ψ（η），M（η）およびQ（η） に

関する次式が導かれる．

   M（・）一三…（・一ξ∂霧  （8・・）

   Q（・）纐三一ξの（蕩一ψ）18・∂）

   霧＋Q＋謎。蜘一ξρψ一・（8・・）

   器略μ・・（・一ξ・）・一・ （8・4）

ただしλ・一 Q芳214・6・一誓…一￥

4．微分方程式の解

基準函数y（η），ψ（η），躍（η），Q（η）に関町る連立微分方程式（8・α）〜（8・4）の一般解は次の各式となる．

     r（切＝み・（η）躍（・）＋ゐ・（，）γ（。）＋み・（，）Q（。）＋ゐ、（，） ψ（。）

        れ

       ＋、Σ、｛ゐ，（，）躍（ξP＋ゐ6（，）γ（ξ、）坊・…Q（ξ・）＋ゐ・…ψ（ξ・）｝・（・一ξ・）   （9●・）

     ψ（η）一み1（η）翻（。）＋ゐ、（，）y（。）＋ゐ、（，）Q（。）＋ゐ4（，）ψ（。）

       ＋、Σ1｛ゐ5（η）躍（ξ、）＋ゐ・…γ（緋ゐ・・，・Q（ω＋ゐ・・…ψ（戯）｝・（η一ξ・）    （9 ∂）

     躍（，）一ん、（，μ〈。）＋ん・（，）γ（。）＋ん3（，）Q（。）＋ム・（，）ψ（。）

         れ

       ＋ん≧11｛ム5（η）ハ4（ξゐ）一ト」砺6（η）｝7F（ξた）＋漏7（η）Q（ξゐ）＋」㌦z8（η）ψ（ξρ｝π（η一ξゐ）       （9 6）

     Q（，）一ん1（，）躍（。）＋ん、（，）y（。）＋ん，（，）Q（。）＋ん、（，）ψ（。）

        れ

       ＋、Σ1｛ん5（，）潮（ξρ＋ん6（，）y（ξ、）＋ん・…Q（ξ、）＋乃・…ψ（ξ・）｝・（・一ξ・）   （9 4）

 このとき，式（9・α）〜（9・4）よりル1（ξρ，｝7（ξρ，Q（ξρおよびψ（ξρは，

    「躍（ξ、）＝α々1躍（。〉＋α々2γ（。）＋α々3Q（。）＋α々、ψ（。）      （10・・）

     r（ξ、）一ろ々1躍（。）＋∂々・γ（。）＋∂々・Q（。〉＋隔ψ（。）      （10・δ）

     Q（ξゐ）＝＝：6々11レ1（o）＋6・・y（・〉＋…Q（・）＋…ψ（・）        （10．・）

     ψ（ξ、）＝4々・躍（。）＋6々2y（。）＋6々3Q（。）＋4々4ψ（。）      （10・♂）

36      長崎大学工学部研究報告第7号 昭和51年7月

となる．したがって式（10・α）〜（10・4）を式（9・α）〜（9・4）に代入することにより積分定数躍（。），γ（。），

9（。）およびψ（。）のみを含む連立微分方程式（8・π）〜（8・4）の解y（η），ψ（η），M（η）およびQ（η）は

ここに，

   れ

y…＝ AΣ。｛91・1…躍（・・＋91・・…耳・・＋91・・…Q…＋91・・…ψ・・｝

   れ ψ・・＝、Σ。｛9・・1…躍、。，＋9・・・…耳・・＋9・・・…Q・。・＋9・・・…軟・・｝

   れ 珂・・＝濯。｛93々1（，）躍（。）＋93ん2（，）耳。）＋93々3（，）Q（。）＋93々4（，）ψ（｝

   れ Q，・＝、Σ。｛9・・1・，・躍・・＋9・・・…耳・・＋9・…，・Q，。，＋9・・・…ψ・。・｝

91々1（η）＝み1（η）δ々＋｛み5（η）乙Z々1＋ゐ6（η）∂々1＋ノレ7（η）6々1＋ゐ8（η）4々1｝π（η一ξの

91々2（η）＝ノ｝2（η）δ々＋｛ノ｝5（η）ごZ々2＋ゐ6（η）うん2＋ノ》7（η）6々2＋み8（η）4々2｝κ（η一ξの

91々3（η）＝」ら3（η〉δ々＋｛み5（η）ごZ々3＋」ら6（η）ろ々3＋ノ｝7（η）6々3＋ノ》8（η）01々3｝％（η一ξん）

91ん4（η）＝」ら4（η）δん＋｛ノ》5（η）α々4＋ゐ6（η〉ろ々4＋ゐ7（η）0々4＋ゐ8（η）4ん4｝π（η一ξん）

g2々1（η）＝ノ』1（η）δ々＋｛／1．5（η）α々1＋ノ1．6（η）∂々1＋ノ』．7（η）6々1＋ノ』．8（η）4々1｝％（η一ξの

92々2（η）＝ゐ2（η）δん＋｛ノ』・5（η）α々2＋ゐ6（η）ろ々2＋九7（η）6々2＋ゐ8（η）6々2｝π（η一ξん）

9、ん、（，）一ん（，）δ々＋｛五・・（，）α々・＋ゐ、（，）ろ々・＋五・7（，）6ん・＋ゐ・（，）4ん・｝・（η一ξ・）

9・・・…一ゐ・…δ・＋｛ゐ・・ク伽＋ゐ・…ろ・・＋ゐ・・・・…＋五・・轟・｝・（・｝ξ・）

93ん1（η）＝！祝1（η）δ々＋｛∫襯5（η）ごZ々1＋／珊6（η）ろ々1＋ル7（ゆ6々1＋ノ1辮8（η）6！々！｝π（η一ξの

93々2（η）＝∫窺2（η）δ屍＋｛／規5（η）ごZ々2＋ノ1耀6（η）∂々2＋ん7（η）6々2＋！摺8（η）4々2｝〃（η一ξゐ）

93々3（η）ニ∫耀3（η）δん＋｛／初5（η）α々3＋∫耀6（η）∂々3＋！卿7（η）6々3＋／魏8（η）4々3｝％（η一ξん）

93々4（η）；＝∫脱4（η）δ々＋：｛∫挽5（η）α々4＋／勉6（η）ろ々4＋∫祝7（η）0々4＋ノ1祝8（η）∂1々4｝％（η一ξん）

94々4（η）＝」㌔1（η）δ々＋｛」㌦5（η）α々1＋ノレ6（η）∂々1＋ノレ7（η）6々1＋！48（η）4々1｝％（η一ξゐ）

9、、、（，）一∫、2（，）δ・＋｛∫，5（，）催＋ん・（，）ろ、，ザ、・（，）C・・＋∫，8（，14・・｝・（η一ξ・）

94ん3（η）＝」㌔3（η）δ々＋｛」㌔5（η）α々3＋」㌦6（η）∂々3＋」㌔7（η）6々3＋」㌦8（η）4々3｝κ（η一ξん）

9、、、（，）一ん・（，）δ・＋｛ん・（，）α々、＋ゐ・（，）∂・4＋ん・（，）6・・＋ん・（，）ゴ・・｝・（η一ξ・）

％），M（。）， Q（。）宣ψ（。）；積分定数

δぬ；D辻acのδ一函数

（11・α）

（11・∂）

（11・o）

（11・4）

5．振動数方程式および振動モード

 変断面Timoshenkoはりの振動数方程式および振 動モードは，式（11・α）〜（11・6）と境界条件とか

ら求められ，次式となる．

 （i）単純支持はり

     丑4（。）＝｝1。）＝0・M（1）ニ｝て1＞＝0  振動数方程式

     れ      れ

     Σ91ん3（5）  Σ91左4（1）

      ん＝0     た＝〇

       二〇

     れ      れ

     Σ93ん3（1）  Σ93々4（1）

      た二〇     ん＝0

 振動モード

      π y（η）一Σ｛91々3（η）・α、＋91々4（η）｝

   鳶二〇

      Σ91々4（1）

   ただし・、一一禦

 （ii）両端固定はり     耳。）＝ψ（。）＝0，

振動数方程式     れ     Σ91々1（1）

   ん＝0      

   Σ92々1（1）

   ん＝0

振動モード      π

   η

    た＝0

Σ91々3（1）

ん＝0

耳1）＝ψ（1）＝0

カ

Σ91々3（1）

ん＝0

れ

濯。9…（1）

＝0

6．解析結果および考察

 得られた変断面Timoshenkoはりの振動数方程式 を用いて図一2（α），（∂）に示すごとき階段状変断 面はりの自由振動の固有振動数を算定した．

Fig．2（a）Nonsymmetric stepped beam

   ㌦一Σ｛91々1（η）・・，＋91々3（η）｝

      Σ91々3（1）

      ん＝0

      ただしα2＝一

      Σ91々1（1）

      た＝0  （iii）片持はり

     躍（o）＝Q（o）＝0・｝醍1）＝ψ（1）；0  振動方程式

     れ       れ

    Σ91た2（1）  Σ91々4（1）

    ん＝0

      ん＝0

       二〇

     アし      れ

    Σ92々2（1） Σ92々4（1）

    κ＝0

      ん＝0  振動モード

      れ

   耳，・＝温｛91・・（・）●4・＋91・・（・）｝

       れ       Σ91ん4（1）

      ただし・、一考。

      Σ91々、（1）

      ん＝0

 その他の任意の境界条件を有する変断面Timoshenko はりに関しても，全く同様にして，振動数方程式およ び振動モードの一般式をえることが可能である．

Fig．2（b）Symmetric stepped beam  三一3は，細長比 一がそれぞれ20，30，40，

・・でせん断変形の影響を無視した雛／嘉一…

の場合の図一2（α）に示すごとき逆対称型の階段状変 断面はりの第1次，第2次および第3次の固有値λニ

、喩些断面急変部の断面積の変化轍の

関係を示すものである．ただし第1次については細長 比ノ一一／・まで算定した．

34

＜＜3・3 当

雪 こ 呂3．2 ほ

3．1

3Q

2．9

1st VibratiQn

屠z・

B〔）rnQUU1ゼ1，！，ρrぞheorv

a＝30

a＝20

a＝【0 a＝50 a＝40

        Q5    1・0 、μI

Fig．3（a）Relationship between lst

     eigenvalue λ and the changes μ

     of cross sectional area

38

ftafiJk¥Xe#gwwZtw{ling 7 ll

K

J

2 as

c>

o o

io‑

3,4

33

32

3.1

30

29

lst Vibration

      ,[IRi‑ao

    Bernoulli‑Euler theory

       a=50        a=4O        a=30       a=2O

a:1O

Fig.

^3 (b)

     Q5 1.0 M,

Relationship between 1 st eigenvalue A and the changes Lti of cross sectional area

S}l‑oo

     =,5,O

     ;8

He$U51# 7 E

   7.5

K

L?

 Y 70 8

g‑

   6,5

   6,O

   5,5

Fig. 3(c)

2nd Vibration

       s         s     .afS

75

70

6.5

6P

5.5

JISE ‑2.o

   a=50

 a=40   aso

  a=20

K o

e _as

>

c

v or

di

Fig.

      05 1.0 ,1,t,

Relationship between 2nd eigenvalue A and the changes /ti of cross sectional area

2nd Vibration

       ggy         si

    <z9sl

3 (d)

      Q5 ID ,lat

Relationship between 2nd eigenvalue A and the changes Lti of cross sectional area

Fig.

  iIP

K IO.5

t.b

di

8 e

in‑

 1O.O

  9.5

  90

  8.5

  80

3 (e)

.3rd vibration

        gX       s    si

Jlgi ‑2o

a=50

a=40

a=30

a=20

      O.5 1.0 lli

Relationship between 3rd

eigenvalue A and the changes pt,

of cross sectional area

口．0

KIQ5

当

雲

．当

u」1QO

95

90

85

80

3rd VibratiQn 鹿…

       a＝50

通論

続／

a＝20

．25   0．5   ．μ・二〇．0

Q75

0，25   0．5    ノ」、＝02

075

Q25   Q5

  ノμ1＝0・8

α75

         0．5        1．0  

^ノよ1

Fig．3（f）Relationship between 3rd      eigenvalueλand the cha㎎esμl

     of cross sectional area

 これらより断面急変部を1個有する単純支持はりの 自由振動性状に関しては次のことが明らかとなる．

 （1）断面積の変化率μ・が増加すると固有値λはそ   れに伴って増加するが第1次の場合変化率μ・＝

  0．4〜0．6の付近で低下することがわかる．

 （2）固有値λにおよぼすせん断変形および回転慣性   の影響は第1次と第3次が同様の傾向を示す．

 （3）固有値λにおよぼすせん断変形の影響は回転慣   性の影響よりも次数によって異なるが一般的に若

  干大である．

 図一4は図一2（a）に示すごとき階段状変断面はりの

細長比／孕一・・，／吾一…の第・次の聯

一ドである．断面積の変化率μ、＝0．5において中央点 より右側は直線的なモードを描き，変化率μ、＝0．8，1．0，

1．2と増加すればそれに伴ってモードの最大値の位置が 中央点より左側に移動することがわかる．

図一5は細長比／平が1㈹・圃5・でせん

断変形の影響灘した雛／嘉一・．・の場合の図 一2（b）に示すごとき対称型の階段状変断面はりの第1         ρ・、4・ω2乃

次の固有値λ＝4

       と断面急変部の断面積の          Eん

0．25   0．5   μ，＝O．5

0フ5

0．25   0．5

   ．μ1ニ10 Q75

   O．25   05

      ノ」・＝t2

Fig．4Mode of lst

O．75

vibration

変化率防との関係を示すものである．これによれば，

変化率μεが増加すれば固有値は逆対称型の変断面はり

の固有値に比して，大なる増加をする．又固有値にお よぼすせん断変形の影響は回転慣性の影響より大なる ことがわかる．

図一6は図一2（・）に示すごときはりについて／蕃

＝2．0の場合のせん断変形および回転慣性の固有値λ＝

漕劣ヂにおよぼす影響を第玖第2次および

第3次について示すものである．これらによれば，次

のことが明らかとなる．

40

長崎大学工学部研究報告第7号 昭和51年7月

3．4

雪

而3．3

き 呂 薗

 32

3」

30

2．9

1st Vib「atiQn

@雇・Z・

   BernouU卜Euler theory

a＝30

a＝20

a＝10 a＝50 a＝40

34

ぐく・3。3

壽

§

832

3．1

30

29

1・・V・b・ati・n @厩一σ・

   BernQuUレヒu【er theory

a＝50  40  30  20  10

        0．5         1，0   ノ訊

Fig．5（a）Relationship between lst      eigenvalueλand the cha㎎esμ

     of cross sectional area

        OL5      ．1．0   ノ訊l

Fi g．5（b）Relationship between lst

     eigenvalueλand the cha㎎esμl      of cross sectional area

   ただし，λ。；Beroulli−Euler theoryによる

         固有値

（1）次数の増加に伴って，回転1貫性およびせん三三  形の固有値に与える影響は大となる．

（2）断面積の変化率μ の増加に伴う回転慣性および

 せん断変形の固有値に与える影響は高次になる程  大となる。

（3）すべての次数において細長比ギ赫さく

 なるにしたがってせん断変形および回転慣性の固  有値におよぼす影響は大になる．

7．結   語

 一般的に階段状変断面はりに適用できる振動解法を 用いてη個の階段を有するはりの振動数方程式および 振動モードの一般式を求めた．次にこの一般式を用い て2個の階段状変断面はりの自由振動性状を解析し，

回転慣性，せん断変形および断面急変部の固有値にお

よぼす影響等を明らかにした．

  逆対称型の階段守門断面はりにおいて固有値にお

馳

100

90

80

1st Vわration

言玄8

a二30 a＝20

a＝10

屠・z・

      Q5    1．O  μl

Fig．6（a）Effec‡of rotatory inertia and

     transverse−shear deformation

     on the natural frequencies

1OQ

90

80

2nd  Vibratlon

a＝50

a＝40

a二30

a＝20

儒・z・

       σ5    1．O  μ，

Fig．6（b）Effect of rotatory inertia and

     transverse−shear deformation

     on the natural frequenc ies

よぼすせん断変形の影響は回転慣性の影響より若干 大であるが対称型の階段状変断面はりにおいてはせ ん断変形の影響は大であり，又断面の変化率絢の 増加による影響も大なることが明らかになった．

 逆対称型および対称型の階段状変断面はりにおい て断面積の変化率絢が：増加するとそれに伴って固

有値は増加するが第1次の固，有値ではμ ＝0．4〜0．6

付近で低下する．これは変化する断面部材が大きく なり両部分の剛性に著しい差が生じるためであろう と思われる．

 細長比が小さいすなわちはりの長さに比して断面 の大きなはりになる程，せん断変形および回転慣性 の固有値におよぼす影響は大になる．

 なお，この振動解法で求めた振動数方程式および 振動モードの一般式を用いることによって，回転慣 性およびせん断変形の影響を考慮した階段声変断面 はりの固有円振動数を階段数ηのいかんにかかわら ず本文中に示されるような，2次の行列式として求 められる．数値計算は本学FACDM 270−30によっ

た．

100

90

80

7Q

3rd Vibration

a＝50

a＝40

a＝30

a＝20

鷹・z・

参考文献

（1）T．SAKIYAMA；An Analysis of Bending  Vibrations・of Nonuniform Beam， TheoreticaI  and Applied Mechanics， Vo123，1975．

（2）斉藤秀雄，佐藤秀紀；急変断面を有する弾性はり  の振動，日本機械学会論文集（第1部），34巻，

 261号，昭和43年5月．

（3）T．C．正｛UANG；The Effect of Rotatory

 Inertia and of Shear Deformation on the

 Frequency and Normal Mode Equations of  Uniform Beams With Simple end Conditions，

 Journal of Applied Mechanics， December，

 1961．

（4）S．P． TIMOSHENKO；工業振動学，東京図

 書．

（5）小坪清真；土木振動学，森北出版．

       05    1，Q  メ・

Fig．6（c）Effect of rotatory inertia and

     transverse−shear deformation

     on the natural frequenc ies