確率論 I – 練習問題

確率論 I – ^練習問題

2008

年後期

,

西岡

^*1

•

この練習問題および講義に関して疑問が有る場合は

,

そのままにせず

,

質問をすること^*2

.

1

組み合わせ

1.1

問題

練習問題

1.1. 10

人から

4

人のリレーチームを選ぶ

. (i)

走る順番を考えると，何通りのチームが選べるか

?

(ii)

走る順番を考えずに

, 4

人を選らぶと何通りのチームが選べるか

?

練習問題

1.2. (i) 3

を

2

個

, 5

を

3

個使い

, 5

桁の数字を作る

.

何種類の数字ができるか

? (ii) 3

を

2

個

, 5

を

3

個

, 4

を

2

個使い

, 7

桁の数字を作る

.

何種類の数字ができるか

?

練習問題

1.3.

下の図は

A

から

B

までの経路図だが

↑ , → , ↗

方向のみに移動が可能である

.

(i) A

から

B

という道筋で最短のものは幾つあるか

?

ただし「斜めの移動」は「縦

+

横」や「横＋縦」よ り短い

.

(ii) A

から

B

という道筋は幾つあるか

?

1.2

解答

[

練習問題

1.1

解答

] (i) 10 · 9 · 8 · 7 = 5040. (

n

P

k

= n · (n − 1) · (n − k)

と表記するので

,

答えは ₁₀

P

4で もよい

.)

(ii) 10

個のなかから

4

個選ぶ組み合わせの数

.

₁₀

C

₄

= 10 · 9 · 8 · 7 4 · 3 · 2 · 1 = 210.

[

練習問題

1.2

解答

] (i) 5

個の箱があり

,

数字

3

を

2

個入れる場所を選ぶ

.

5

C

2

= 5!

2! 3! = 5 · 4 2! = 10.

(ii) 7

個の箱があり

,

まず数字

3

を

2

個入れ

,

次に 数字

5

を

3

個入れる場所を選ぶ

.

7

C

2

·

5

C

3

= 7!

2! 5! · 5!

3! 2! = 7!

2! 3! 2! = 210.

*1 2号館11階38号室, [email protected], http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

*2オフィス・アワーは「通常:水曜4限」+「01/23(金), 4限」

[

練習問題

1.3

解答

] (i)

最短で行くには

, ↗

^{を使うので}

, Y

に到着しなければならない

. Y

にいく最短路 は ₃

C1 = 3.

(ii) X

に行く道筋は₃

C

1

= 3, X → B

の道筋は

1. Z

に行く道筋は

1

で

, Z → B

も

1.

また

Y → B

と いう道筋は

3.

よって

3 · 1 + 3 · 3 + 1 · · · 1 = 13.

2

確率空間

,

条件付き確率

,

ベイズの定理

2.1

問題

練習問題

2.1.

ある銀行への融資申し込みは

40 %

が優良企業である

.

優良企業からの申し込みは

90 %

の 確率

,

そうでない企業からの申し込みは

20 %

の確率で審査を通る

.

この銀行の審査を通過した企業が優良 である確率を求めよ

.

練習問題

2.2.

ある試験では

,

問題が

5

問

,

解答が

4

択になっている

.

全ての問題にランダムに解答したと き

, 2

問正解となる確率を求めよ

.

練習問題

2.3.

^*3 有る

50

人のクラスで

,

「ビール」「酎ハイ」「日本酒」「カクテル」のどれを一番好むか の調査を行った

.

ビール 酎ハイ 日本酒 カクテル 計

男子

10 9 8 3 30

女子

4 3 5 8 20

計

14 12 13 11 50

このクラスからランダムに

1

人

X

を選ぶ

.

(i) X

がビールを好む確率を求めよ

.

(ii) X

が女子であるとするとき

, X

がビールを好む確率を求めよ

.

(iii) X

がビールを好むとき

, X

が男子で有る確率を求めよ

. ⋄

練習問題

2.4 (2007

年公認会計士試験

).

ある製品を

1

個製造するためには

3

種類の原材料

D

1

, D

2

, D

3の うち

1

つを用いることができる

. 3

つの工場

A

1

, A

2

, A

3 では

,

原材料を次の表の比率で使用していることが 知られている

.

表1 各工場の原材料使用比率

D

1

D

2

D

3 計

A

1

p

11

p

12

p

13

1.0 A

2

p

21

p

22

p

23

1.0 A

3

p

31

p

32

p

33

1.0

たとえば

A

₁ 工場が出荷する製品のうち

, D

₁ を原材料として使用するものの比率は

p

₁₁

, A

₂ 工場が出荷 する製品のうち

D

₃ を使用する比率は

p

₂₃である

.

なお

,

各工場の出荷量の割合は

π

₁

, π

₂

, π

₃

(π

₁

+ π

₂

+ π

₃

= 1)

となっている

.

*3条件付き確率の感覚を掴むための問題.

(i)

いま

,

ある工場の製品を入れた箱があるが

,

どの工場から出荷されたものか不明である

.

そこで箱から取 り出した製品

5

個の原材料を検査したところ

,

「

2

個が

D

1

, 2

個が

D

2

, 1

個が

D

3」であった

.

このとき

,

この箱が工場

A

2 から出荷されたものである確率を式で表しなさい

. (ii)

略

2.2

解答

[

練習問題

2.1

解答

]

優良企業の申し込み件数を

x,

それ以外の企業からの申込件数を

y

とする

.

審査を通過した企業の数

z

は

z = 0.9x + 0.2y.

一方

y/x = (1 − 0.4)/0.4 = 1.5.

これより

審査を通過した企業が優良である確率

= 0.9x

z = 0.9x

0.9x + 0.2y = 0.9x

0.9x + 0.2 · 1.5 · x = 0.75. 2 [

練習問題

2.2

解答

]

「

1

問当たりの正答確率は

1/4

」のベルヌイ試行

.

よって

2

問正答である確率は

5

C

₂

(1 4

)

2

(3 4

)

3

= 135

512 ∼ 0.264. 2

[

練習問題

2.3

解答

] (i) [X

がビールを好む確率」を計算するときは

,

全体が

50,

ビールを好む人数は

14

だから

14 50 .

(ii)

「女子」と条件を付けたときの確率だから

,

全体が

20

となり

, 4 20 .

(iii)

「ビールを好む」と条件を付けたときの確率だから

,

全体が

14

となり

, 10

14 . [

練習問題

2.4

解答

] (i) Step1.

事象

H

を

H ≡ 5

個の製品の原材料は

, 2

個が

D

₁

, 2

個が

D

₂

, 1

個が

D

₃ とおく

.

求めるべきは

P[A

₂

/H]

である

.

Step2.

「事象

Q

1

≡ D

1 を原材料とする」

, · · · ,

「事象

Q

3

= D

3を原材料とする」 とおく

. H

は

5

回の試行で

Q

1

, Q

2 がそれぞれ

2

回

, Q

3 が

1

回起こった ことだから

,

多項分布の公式 を使い

,

P[H/A

1

] = 5!

2! 2! 1!

( P[Q

1

/A

1

] )

2

(

P[Q

2

/A

1

] )

2

P[Q

3

/A

1

] = 5!

2! 2! 1!

( p

11

)

2

( p

12

)

2

p

13

, P[H/A

2

] = 5!

2! 2! 1!

( P[Q

1

/A

2

] )

2

(

P[Q

2

/A

2

] )

2

P[Q

3

/A

2

] = 5!

2! 2! 1!

( p

21

)

2

( p

22

)

2

p

23

, P[H/A

₃

] = 5!

2! 2! 1!

( P[Q

₁

/A

₃

] )

2

(

P[Q

₂

/A

₃

] )

2

P[Q

₃

/A

₃

] = 5!

2! 2! 1!

( p

₃₁

)

2

( p

₃₂

)

2

p

₃₃

.

ここで

, P[Q

₁

/A

₁

], · · · , P[Q

₃

/A

₃

]

は「表

1

各工場の原材料使用比率」で与えられているので

,

それを代入 した

.

次にベイスの公式を適用し

P[H] = P[A

₁

] P[H/A

₁

] + P[A

₂

] P[H/A

₂

] + P[A

₃

] P[H/A

₃

]

= 5!

2! 2! 1!

{ π

1

( p

11

)

2

( p

12

)

2

p

13

+ π

2

( p

21

)

2

( p

22

)

2

p

23

+ π

3

( p

31

)

2

( p

32

)

2

p

33

}

再び ベイズの公式を使うと

,

設問の箱が工場

A

2より出荷された確率

P[A

2

/H]

は以下の通り

:

P[A

2

/H ] = P[A

2

] P[H/A

2

] P[H]

= π

2

( p

21

)

2

( p

22

)

2

p

23

π

1

( p

11

)

2

( p

12

)

2

p

13

+ π

2

( p

21

)

2

( p

22

)

2

p

23

+ π

3

( p

31

)

2

( p

32

)

2

p

33

. (2.1)

3

確率変数の平均

,

分散

,

共分散

3.1

問題

練習問題

3.1.

次の確率変数

X

にたいし

, E[X ], σ

²

[X ], E[2

^X

], σ

²

[2

^X

],

を計算せよ

.

確率

2/6 1/6 2/6 1/6

X

の値

0 1 2 3

練習問題

3.2.

不良品発生率

10%

の製品がある

.

その中から

,

サンプルを四つ取り出す

. k

回目に取り出し たサンプルにたいし

,

X

_k

≡

{ 1

サンプルが不良品

0

サンプルが良品

, k = 1, · · · , 4

とおく

.

(i)

確率変数

X

1 の平均と分散を求めよ

. (ii)

確率変数

X

2 の平均と分散を求めよ

.

(iii)

確率変数

S ≡ X

1

+ · · · + X

4 の平均と分散を求めよ

. (

ヒント

: X

1

, · · · , X

4 は

,

それぞれ独立なベルヌイ試行

.) ⋄

練習問題

3.3. 5

枚のカードがあり

,

それぞれに

1

〜

5

までの数字が書かれている

.

そのなかから

.

無作為に

1

枚引き

,

出た数字を

X

とする

.

(i)

「

1 ≤ X ≤ 2

なら

2

点獲得

, 3 ≤ X ≤ 4

なら

4

点獲得

, X = 5

なら

8

点獲得」というゲーム

A

を行 い

,

この

A

で獲得する点数を

Y

とおく

.

また「

2 × X

点を獲得」というゲーム

B

も行い

,

この

B

で 獲得する点数を

Z

とおく

.

次の表を完成せよ

:

数字

X 1 2 3 4 5

得点

Y

得点

Z (ii) Y

の平均値

m

Y および

Z

の平均値

m

Z を求めよ

.

(iii)

ゲーム

A

および ゲーム

B

をそれぞれ

m

_Y 点

, m

_Z 点で売り出す

.

どちらのゲームがハイリスク・ハ

イリターン型か

? (iv)

次の表を完成せよ

:

k 2 4 6 8 10

P[Y = 2, Z=k]

P[Y = 4, Z=k]

P[Y = 8, Z=k]

(v) Y

と

Z

の共分散をもとめよ

.

(vi) Y

と

Z

の相関係数をもとめよ

. ⋄

練習問題

3.4 (2006

年公認会計士試験

).

表が出る確率が

p,

裏が出る確率

1 − p

のコインを

n

回投げた

.

こ のとき

,

表が出た回数を

S

n とする

.

(i)

確率変数

S

_n の平均

E[S

_n

]

および分散

σ

²

[S

_n

]

を求めよ

.

(ii) p = 0.5

であるコインを

10

回投げ

,

各回毎に表が出れば

1

歩前に進み

,

裏が出れば

1

歩後ろに進む

.

10

回投げ終わったときに元の位置にいる確率を求めよ

.

(iii) p = 0.5

であるコインを

10

回投げたとき

, 6

歩以上前進している確率を求めよ

.

練習問題

3.5 (

公認会計士試験サンプル問題

). 2

つの株式

A, B

の収益率をそれぞれ

R

A

, R

B とする

.

確率変数

R

A

, R

B は

E[R

A

] = 2, E[R

B

] = 4, σ

²

[R

A

] = 4, σ

²

[R

B

] = 9,

で

,

両者の相関係数は

-0.5

である

.

このとき

,

株式

A

と

B

に同額投資した場合の収益率

(R

A

+ R

B

)/2

の期待値および分散を計算せよ

. ⋄

3.2

解答

[

練習問題

3.1

解答

] X

の分布表より

確率

2/6 1/6 2/6 1/6

X

の値

0 1 2 3

X

² の値

0 1

²

2

²

3

² となるので，「平均値

/

分散の計算ツール」を使うと

,

E[X] = 0 · 2 6 + 1 · 1

6 + 2 · 2 6 + 3 · 1

6 = 8 6 . σ

²

[X ] = E[X

²

] − (

E[X ] )

2

= 0

²

· 2

6 + 1

²

· 1

6 + 2

²

· 2

6 + 3

²

· 1 6 − ( 8

6 )

²

= 11 9 . 2

^X は

X

から作られた新しい確率変数で

,

その確率分布は以下の通り

:

確率

2/6 1/6 2/6 1/6

X

の値

0 1 2 3

2

^X の値

2

⁰

= 1 2

¹

= 2 2

²

= 4 2

³

= 8

これより

E[ 2

^X

] = 2

⁰

· 2

6 + 2

¹

· 1

6 + 2

²

· 2

6 + 2

³

· 1 6 = 10

3 σ

²

[ 2

^X

] = E[ 2

^2X

] − (

E[ 2

^X

] )

2

= 2

^2·0

· 2

6 + 2

^2·1

· 1

6 + 2

^2·2

· 2

6 + 2

^2·3

· 1 6 − ( 10

3 )

²

= 17 − 100 9 = 53

9 . 2 [

練習問題

3.2

解答

]

ベルヌイ試行

Y

が

P[Y = 1] = p, P[Y = 0] = 1 − p

とすると

,

E[Y ] = 1 · p + 0 · (1 − p) = p,

σ

²

[Y ] = 1

²

· p + 0

²

· (1 − p) − p

²

= p(1 − p).

(3.1)

(i) X

1 はベルヌイ試行で

, (3.1)

で

p = 0.1.

つまり

E[X

₁

] = p = 0.1,

σ

²

[X

1

] = p(1 − p) = 0.1(1 − 0.01) = 0.09.

(ii) X

2 も

X

1 と同じ確率分布をもつから

,

E[X

₂

] = 0.1, σ

²

[X

₂

] = 0.09.

(iii) X

₁

, · · · , X

₄ は独立で同分布

.

「平均値

/

分散の計算ツール」から

E[S] = E[X

₁

] + · · · + E[X

₄

] = 4 · 0.1 = 0.4,

σ

²

[S] = σ

²

[X

1

] + · · · + σ

²

[X

1

] = 4 · 0.09 = 0.36. 2

[

練習問題

3.3

解答

] (i)

数字

X 1 2 3 4 5

得点

Y 2 2 4 4 8

得点

Z 2 4 6 8 10 (ii)

上の表より

,

Y

の値

2 4 8

確率

2/5 2/5 1/5

Z

の値

2 4 6 8 10

確率

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

よって

E[Y ] = 2 · 2 5 + 4 · 2

5 + 8 · 1

5 = 4 ≡ m

Y

, E[Z] = 2 · 1

5 + 4 · 1

5 + · · · + 10 · 1

5 = 6 ≡ m

Z

. (iii) Y, Z

の分散を計算する

:

σ

²

[Y ] = 2

²

· 2

5 + 4

²

· 2

5 + 8

²

· 1

5 − 4

²

= 24 5 . σ

²

[Z] =

∑

5

k=1

(2k)

²

· 1

5 − 6

²

= 8.

ゲーム

B

の方が

A

よりハイリスク・ハイリターン型

. (iv) (i)

で作成した 表 より

k 2 4 6 8 10

P[Y = 2, Z = k] 1/5 1/5 0 0 0 P[Y = 4, Z = k] 0 0 1/5 1/5 0

P[Y = 8, Z = k] 0 0 0 0 1/5

Cov[Y, Z] = E[Y · Z ] − E[Y ] · E[Z]

= 2 · 2 · 1

5 + 2 · 4 · 1

5 + 4 · 6 · 1

5 + 4 · 8 · 1

5 + 8 · 10 · 1

5 − m

Y

· m

Z

= 28 5 . (vi)

相関係数

ρ[Y, Z] = 28/5

√ 24/5 · √

8 = 7

2 √

15 ∼ 0.9. 2 [

練習問題

3.4

解答

]

確率変数

X

k を

X

k

=

{ 1 k

回目のコイン投げで表がでた時

0 k

回目のコイン投げで裏がでた時

とおく

.

すると

S

n

= X

1

+ X

2

+ · · · + X

n であり

, ‘

勝率

p

の２項分布

’

に従う

: P[S

n

= k] =

n

C

_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

, k = 0, 1, · · · , n.

(i) S

n の平均と分散を

2

項分布から求めるのは面倒

. S

n は独立

,

同分布の確率変数の和だから「平均と分 散の計算ツール」を使う

:

E[X

k

] = 1 · p + 0 · (1 − p) = p,

V[X

_k

] = 1

²

· p + 0

²

· (1 − p) − p

²

= p(1 − p).

これより

E[S

n

] = n p, V[S

n

] = n p(1 − p).

(ii) 10

回投げて元の位置にいるから

,

表が出た回数は

5

回

.

P[S

10

= 5] =

10

C

₅

( 1 2 )

⁵

( 1

2 )

⁵

= 10!

5! 5! ( 1

2 )

¹⁰

= 252

1024 ≅ 0.247 . . . (iii) 10

回投げて

6

歩以上前進しているから

,

表が出た回数は

8

回以上

.

P[S

₁₀

≥ 8] = P[S

₁₀

= 8] + P[S

₁₀

= 9] + P[S

₁₀

= 10]

=

10

C

₈

( 1 2 )

⁵

( 1

2 )

⁵

+

10

C

₉

( 1 2 )

⁵

( 1

2 )

⁵

+

10

C

₁₀

( 1 2 )

⁵

( 1

2 )

⁵

= (45 + 10 + 1) ( 1

2 )

¹⁰

= 56

1024 ≅ 0.0547 . . . 2

[

練習問題

3.5

解答

]

平均を求める

. E[ R

A

+ R

B

2 ] = E[R

A

] + E[R

B

]

2 = 2 + 4

2 = 3.

分散を求めるために

,

まず

R

A と

R

B の共分散を計算する

. R

A と

R

B の相関係数が

-0.5

だから

− 0.5 = Cov[R

_A

, R

_B

]

√ σ

²

[R

A

] σ

²

[R

b

] = Cov[R

_A

, R

_B

]

√ 4 × 9 = Cov[R

_A

, R

_B

]

6 .

つまり

Cov[R

A

, R

B

] = − 3.

「共分散の計算ツール」をつかって

, σ

²

[ R

_A

+ R

_B

2 ] = 1 4 (

σ

²

[R

A

] + σ

²

[R

B

] + 2 Cov[R

A

, R

B

] )

= 1 4

( 4 + 9 + 2 · ( − 3) )

= 7

4 = 1.75. 2