確率論 I 練習問題

確率論 I ^練習問題

2011/01/12, 西岡

1 ^{組み合わせ}

問題1.1. 10人から 4人のリレーチームを選ぶ. (i) 走る順番を考えると，何通りのチームが選べるか?

(ii) 走る順番を考えずに, 4人を選らぶと何通りのチームが選べるか?

問題1.2. (i) 3 を2 個, 5を3 個使い, 5桁の数字を作る. 何種類の数字ができるか? (ii) 3を2個, 5を3個, 4を2 個使い, 7桁の数字を作る. 何種類の数字ができるか? 問題1.3. 下の図は AからB までの経路図だが↑,→,%方向のみに移動が可能である.

(i) AからB という道筋で最短のものは幾つあるか? ただし「斜めの移動」は「縦+横」や「横＋縦」より短い. (ii) AからB という道筋は幾つあるか? ただし最短と2番目に短い道筋のみを考えよ．

A

B X

Y

Z

2 ^確率空間, ^{条件付き確率}, ^{ベイズの定理}

問題 2.1. ある銀行への融資申し込みは 40 %が優良企業である. 優良企業からの申し込みは 90 %の確率,そ うでない企業からの申し込みは20 %の確率で審査を通る. この銀行の審査を通過した企業が優良である確率を 求めよ.

問題2.2. ある試験では,問題が 5問,解答が4 択になっている. 全ての問題にランダムに解答したとき, 2問正 解となる確率を求めよ.

問題2.3. 2 つの箱がA, Bあり,箱Aは 赤玉60個,白玉40個,箱Bには 赤玉10個,白玉20個が入ってい る. 箱A, Bのどちらかを等確率で選び,玉を一つ取り出す.

(i) 取り出した玉が 赤である確率p1を求めよ.

(ii) 取り出した玉が赤であるとき,それが 箱 Aから取り出された確率p2を求めよ.

問題2.4. 100 枚の中に2 枚の当たりa, bがあるクジ引きを行う. Xが4枚のクジを引いた. (i) Xが 当たりa を引くとするとき,彼が両方の当たりを引く確率p1を求めよ.

(ii) Xはa, bのうち少なくとも1つを引くとするとき,彼が両方の当たりを引く確率p2 を求めよ.

問題2.5 (1999年アクチュアリー,難問). 1家族に子供がn人いる確率は (1−p)pⁿ (

n >0, 0< p <1) で ある.

子供が男である確率および女である確率は, ともに1/2 とする. 有る家庭に男の子供がk 人いる確率を求 めよ.

3 ^{確率変数の平均}, ^分散, ^共分散

問題3.1. 次の確率変数X にたいし,E[X], σ²[X], E[2^X], σ²[2^X],を計算せよ.

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

問題3.2. 不良品発生率10%の製品がある. その中から,サンプルを四つ取り出す. k回目に取り出したサンプ ルにたいし,

X_k ≡

{ 1 サンプルが不良品

0 サンプルが良品, k= 1,· · · ,4 とおく.

(i) 確率変数X1 の平均と分散を求めよ. (ii) 確率変数X2 の平均と分散を求めよ.

(iii) 確率変数S≡X1+· · ·+X4 の平均と分散を求めよ. (ヒント: X1,· · ·, X4 は,それぞれ独立なベルヌイ試行.)

問題3.3 (2006年公認会計士試験). 表が出る確率がp,裏が出る確率1−pのコインをn 回投げた. このとき, 表が出た回数をSn とする.

(i) 確率変数S_n の平均 E[S_n]および分散 V[S_n]を求めよ.

(ii) p= 0.5 であるコインを10回投げ,各回毎に表が出れば1歩前に進み,裏が出れば1 歩後ろに進む. 10回 投げ終わったときに元の位置にいる確率を求めよ.

(iii) p= 0.5であるコインを10回投げたとき, 6歩以上前進している確率を求めよ.

問題3.4. 2つの株式A, B の1期当たりの収益率( 1単位当たり)を,それぞれRA,RB とする. 更に固定金利 2%の国債がある.

RA, RB は確率変数で,

E[RA] = 0.05, E[RB] = 0.1, σ²[RA] = 4, σ²[RB] = 16, で,両者の相関係数は-0.5である.

このとき,株式Aにx単位,B にy 単位,国債に z単位,投資する.

(i) 1期当たりの平均収益額が6 単位となるポートフォリオI(z)をz で表せ. ただし

x+y+z= 100単位. (ii) このポートフォリオI(z)のリスクが最少となるz を求めよ.

4 解答

[問題1.1解答] (i) 10·9·8·7 = 5040. (nPk =n·(n−1)·(n−k)と表記するので,答えは ₁₀P4 でもよい.) (ii) 10C4= 10·9·8·7

4·3·2·1 = 210.

[問題1.2解答] (i) 5 個の箱があり,数字3 を2個入れる場所を選ぶ. ₅C₂= 5!

2! 3! = 5·4 2! = 10.

(ii) 7個の箱があり,まず数字 3を2個入れ,次に 数字5 を3 個入れる場所を選ぶ.

7C₂·5C₃= 7!

2! 5! · 5!

3! 2! = 5·4

2! = 7!

2! 3! 2! = 210. 2

[問題1.3解答] (i) 最短で行くには,%^{を使うので},Y に到着しなければならない. Y にいく最短路は ₃C1 = 3.

(ii) X に行く道筋は₃C1= 3,X →B の道筋は1. Z に行く道筋は 1で,Z →B も1. またY →B という 道筋は3. よって3·1 + 3·3 + 1· · ·1 = 13.

[問題2.1解答] 優良企業の申し込み件数をx,それ以外の企業からの申込件数をyとする. 審査を通過した企業 の数zはz= 0.9x+ 0.2y. 一方 y/x= (1−0.4)/0.4 = 1.5. これより

審査を通過した企業が優良である確率= 0.9x

z = 0.9x

0.9x+ 0.2y = 0.9x

0.9x+ 0.2·1.5·x= 0.75. 2 [問題2.2解答] 「1 問当たりの正答確率は1/4」のベルヌイ試行. よって2 問正答である確率は

5C₂(1 4

)2(3 4

)3

= 135

512 ∼0.264. 2

[問題2.3解答] 事象を次で定義: A =箱Aを選ぶ, B =箱Bを選ぶ, R =取り出した玉が赤, W = 取り出し た玉が白.

p₁=P[R] =P[R∩A] +P[R∩B] =P[R/A]·P[A] +P[R/B]·P[B] = 60 100 ·1

2+10 30· 1

2 = 7 15. p2=P[A/R] =P[A∩R]

P[R] =P[R/A]·P[A]

P[R] = 60 100 ·1

2 ·15 7 = 9

14. 2

[問題2.4解答] A で当たりクジaを引く, B で当たりクジbを引く事象とする. まず P[A] = ⁹⁹C3

100C₄ = 99!

96! 3!· 96! 4!

100! = 4

100 =P[B].

P[A∩B] = ⁹⁸C2

100C₄ = 98!

96! 2!·96! 4!

100! = 4 100 · 3

99. P[A∪B] =P[A] +P[B]−P[A∩B] = 2· 4

100 − 4 100· 3

99 = 13 165. あとは条件付き確率の定義に従って,

p1=P[B/A] = P[A∩B]

P[A] = 4 100 · 3

99·100 4 = 1

13. p₂=P[A∩B/A∪B] = P[A∩B]

P[A∪B] = 4 100· 3

99·165 13 = 1

65. 2 [問題2.5解答] (難問) Step 1. n人子供がいて,男の子がk人で有る確率Q(k, n)は

Q(k, n) = (1−p)pⁿ_nC_k (1 2)^k(1

2)^n−k = (1−p)_nC_k (p

2)ⁿ, n≥k.

よって,男の子供が k人いる確率は

∑∞ n=k

Q(k, n) =

∑n

n=k

(1−p)nCk (p 2)ⁿ この和は直接計算できない. 母関数を使う.

Step 2. |s|<1 なる実数sにたいし, R(s)≡

∑n k=0

s^k ∑

n≥k

Q(k, n) =

∑∞ n=0

∑n k=0

Q(k, n)s^k

=

∑∞ n=0

∑n

k=0

(1−p) (p

2)ⁿ _nC_k s^k = (1−p)

∑∞ n=0

(p

2)ⁿ (1 +s)ⁿ= 1−p 1−p(1 +s)/2. となり,

∑∞ n=k

Q(k, n) = 1 k!

d^kR(s) d s^k

s=0

を計算すればよい. Step 3. d^k

d x^k 1

1−x = k!

(1−x)^{k+1 だから} 1

k!

d^k

d s^kR(s) = 1

k! (1−p) k! (p/2)^k (1−p(1 +s)/2)k+1. よって,

∑∞ n=k

Q(k, n) = 1 k!

d^kR(s) d s^k

s=0

= (1−p) (p/2)^k (1−p/2)^k+1 . 2 [問題3.1解答] X の分布表より

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

X²の値 0 1² 2² 3² となるので，「平均値/分散の計算ツール」を使うと,

E[X] = 0·2 6 + 1·1

6 + 2· 2 6+ 3·1

6 =8 6. σ²[X] =E[X²]−(

E[X])2

= 0²·2

6 + 1²·1

6 + 2²· 2

6+ 3²·1 6 −(8

6)²= 11 9 . 2^X はX から作られた新しい確率変数で,その確率分布は以下の通り:

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

2^X の値 2⁰= 1 2¹= 2 2²= 4 2³= 8

E[ 2^X] = 2⁰·2

6 + 2¹·1

6 + 2²· 2

6+ 2³·1 6 = 10

3 σ²[ 2^X] =E[ 2^2X]−(

E[ 2^X])2

= 2^2·0· 2

6+ 2^2·1·1

6 + 2^2·2·2

6 + 2^2·3·1 6 −(10

3 )²= 17−100 9 =53

9 . 2 [問題3.2解答] ベルヌイ試行Y が

P[Y = 1] =p, P[Y = 0] = 1−p

とすると,

(4.1) E[Y] = 1·p+ 0·(1−p) =p, σ²[Y] = 1²·p+ 0²·(1−p)−p²=p(1−p).

(i) X₁ はベルヌイ試行で, (4.1)でp= 0.1. つまり

E[X1] =p= 0.1, σ²[X1] =p(1−p) = 0.1(1−0.01) = 0.09.

(ii) X₂ もX₁ と同じ確率分布をもつから,

E[X₂] = 0.1, σ²[X₂] = 0.09.

(iii) X₁,· · ·, X₄ は独立で同分布. 「平均値/分散の計算ツール」から E[S] =E[X1] +· · ·+E[X4] = 4·0.1 = 0.4,

σ²[S] =σ²[X1] +· · ·+σ²[X1] = 4·0.09 = 0.36. 2 [問題3.3解答] 確率変数 X_k を

X_k=

{ 1 k回目のコイン投げで表がでた時 0 k回目のコイン投げで裏がでた時 とおく. すると Sn=X1+X2+· · ·+Xn であり, ‘勝率pの２項分布’に従う:

P[Sn=k] =nC_k p^k (1−p)^n−k, k= 0,1,· · ·, n.

(i) S_n の平均と分散を2項分布から求めるのは面倒. S_n は独立, 同分布の確率変数の和だから E[X_k] = 1·p+ 0·(1−p) =p, σ²[X_k] = 1²·p+ 0²·(1−p)−p²=p(1−p).

これより

E[Sn] =n p, σ²[Sn] =n p(1−p).

(ii) 10回投げて元の位置にいるから,表が出た回数は5 回. P[S10= 5] =10C₅(1

2)⁵ (1

2)⁵= 10!

5! 5! (1

2)¹⁰= 252

1024 '0.247. . . (iii) 10回投げて6 歩以上前進しているから,表が出た回数は8 回以上.

P[S10≥8] =P[S10= 8] +P[S10= 9] +P[S10= 10]

=₁₀C₈(1 2)⁵ (1

2)⁵+₁₀C₉ (1 2)⁵ (1

2)⁵+₁₀C₁₀ (1 2)⁵ (1

2)⁵= (45 + 10 + 1) (1 2)¹⁰

= 56

1024 '0.0547. . . 2 [問題3.4解答] (i) 次の連立方程式の解:

x+y+z= 100, 0.05·x+ 0.1·y+ 0.02·z= 6,

⇒x= 80−1.6z, y= 20 + 0.6z.

(4.2)

(ii) I(z)のリスクは分散で評価できる. (4.2)を使って,

σ²[I(z)] =σ²[x·RA] +σ²[y·RB]−2 Cov[x·RA, y·RB]

=x²·4 +y²·16−2xy·0.5·√ 4·16

= 4x²−8xy+ 16y²= 4(x−y)²+ 12y²

= 592

25 z²−768z+ 19200

= 592 25

(z− 25 592·768

2 )2

+ 19200− 25 592·(768

2 )²

= 592 25

(z−600 37

)2

+48×10⁴ 37 . よって,z= 600

37 ^のときσ²[I(z)]は最低となる. (0≤z≤50でないと,xが負になるがこの条件はOK. ) 2