確率論 I – 練習問題

確率論 I – ^練習問題

^{Ver. 2.1}

2008/01/21,

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/〜nishioka ; [email protected]

• 本文の解答が理解し難い場合は，相談/質問をすること.

1 確率空間 , 条件付き確率 , 分布

問1.1. サイコロを1回なげる. このとき,起こりえる事象は

w1= 1の目がでる, w2= 2の目がでる, · · · , w6= 6の目がでる であり,事象空間は Ω ={w1, w2, . . . , w6}^である. サイコロは公平とする. つまり

P[w₁] =P[w₂] =· · ·=P[w₆] =1 6 である. 確率空間(Ω,P)で,

A≡^{サイコロの目が奇数}={w₁, w₃, w₅}, B ≡^{サイコロの目が}4以上={w₄, w₅, w₆} とおく. 次の確率を計算せよ.

(i)P[A∩B], (ii)P[A∪B], (iii)P[A] +P[B]−P[A∩B].

問1.2. (Ω,P)を 問1の確率空間とする.

(i) 事象C を‘3の倍数の目がでる’ とする. C をw₁,· · · , w₆ を使って表せ. (ii) 条件付き確率P[w3/C]を計算せよ.

(iii) 事象Cとw₃は独立か?

問 1.3. 6枚は赤, 4枚は黒の印を裏側に付けたカードがある. その10枚のカードを表側を上にして並べ,そ の中からランダムに選んだ３枚のカードを順に裏返す.

A≡ {最初に裏返したカードが赤印}, B≡ {2番目に裏返したカードが黒印}, C≡ {3番目に裏返したカードが赤印},

とおくとき,次の確率を計算せよ.

(i)P[A∩B], (ii)P[B], (iii)P[B∩C], (iv)P[C].

問1.4 (2006年公認会計士試験). C社の配当は,海外親企業の業績に依存して,以下の表の各行の確率で金額

が決まる.

配当金

1円 5円 10円 計

親企業の業績 最高(E1) 0.1 0.2 0.7 1.0 好調(E2) 0.2 0.6 0.2 1.0 停滞(E₃) 0.6 0.3 0.1 1.0

例えば業績が最高のとき配当が5 円である確率はP[5円/E1] = 0.2,業績が停滞のとき配当が10円である確

率はP[10円/E3] = 0.1 である. また業界情報に依れば,親企業の業績に関して以下のような観測がなされて

いる.

P[E1] = 0.2, P[E2] = 0.3, P[E3] = 0.5.

C社の配当が10円だったとき,親企業の業績が停滞であった確率P[E3/10円]はいくらか,求めなさい. な お計算過程も示しなさい.

問 1.5(2007年度公認会計士試験, 難問!). ある製品を1個製造するためには3 種類の原材料D1, D2, D3 の うち1つを用いることができる. 3つの工場A₁, A₂, A₃ では,原材料を次の表の比率で使用していることが知 られている.

表1 各工場の原材料使用比率 D1 D2 D3 計 A₁ p₁₁ p₁₂ p₁₃ 1.0 A₂ p₂₁ p₂₂ p₂₃ 1.0 A₃ p₃₁ p₃₂ p₃₃ 1.0

たとえばA₁ 工場が出荷する製品のうち,D₁ を原材料として使用するものの比率はp₁₁,A₂ 工場が出荷する 製品のうちD₃ を使用する比率はp₂₃である. なお,各工場の出荷量の割合はπ₁, π₂, π₃ (π₁+π₂+π₃= 1) となっている.

(i) いま,ある工場の製品を入れた箱があるが,どの工場から出荷されたものか不明である. そこで箱から取り 出した製品5 個の原材料を検査したところ, 2個がD₁, 2個がD₂, 1個がD₃ であった. このとき, この箱が 工場A2から出荷されたものである確率を式で表しなさい.

(ii) 各p_ij の値が下の表に与えられ, またπ₁ = 0.4,π₂= 0.2,π₃ = 0.4のとき, 前問の確率を数値で求めな さい.

D1 D2 D3 計 A₁ 0.1 0.2 0.7 1.0 A₂ 0.3 0.3 0.4 1.0 A₃ 0.5 0.3 0.2 1.0

2 確率変数の平均 / 分散 / 共分散

==========

確率変数の 平均/分散/共分散/分散係数 を計算するために以下の補題は便利である 補題3.2.4 X(w), Y(w)を確率変数,a, bを定数とする.

(i) E[

a X(w) +b Y(w)] =aE[X(w)] +bE[Y(w)].

(ii) 定数aにたいしては,E[a] =a.

(iii) X(w)とY(w)が独立なら E[X(w)·Y(w)] =E[X(w)]·E[Y(w)]. ⋄ 補題4.1.6 X(w), Y(w)を確率変数,c, c^′ を定数とする.

(i) V[c X(w) +c^′] =c²V[X(w)].

(ii) V[c] = 0. 逆に分散V[X(w)] = 0となる 確率変数X(w)は定数である. (iii) V[X(w)] =E[(

X(w))2

]−(

E[X(w)])2

. (iv) X(w)とY(w)が独立なら

V[X(w) +Y(w)] =V[X(w)] +V[Y(w)]. ⋄ 補題4.2.2 X(w), Y(w), Z(w)を確率変数,a, bを定数とする.

(i) Cov[X, Y] =E[X(w)·Y(w)]−E[X(w)]·E[Y(w)]. . (ii) Cov[X, X] =V[X].

(iii) Cov[a X+b Y, Z] =aCov[X, Z] +bCov[Y, Z].

(iv) V[X(w) +Y(w)] =V[X(w)] + 2Cov[X, Y] +V[Y(w)].

(v) X(w)とY(w)が独立なら, Cov[X, Y] = 0. ⋄

補題4.2.3 ρ[X, Y]を確率変数X(w), Y(w)の相関係数とする.

(i) 分散が存在するすべての確率変数X(w), Y(w)にたいし, ¯¯ρ[X, Y]¯¯≤1.

(ii) X(w)とY(w)が独立なら, ρ[X, Y] = 0. (ただし,ρ[X, Y] = 0でも独立とは限らない.) (iii) ある定数a, bがあり,Y(w) =a X(w) +b ならば, ¯¯ρ[X, Y]¯¯= 1. 逆に, ¯¯ρ[X, Y]¯¯= 1 なら,

X(w)−E[X(w)]

√V[X] =Y(w)−E[Y(w)]

√V[Y] . ⋄

==========

問2.1. 次の確率変数X にたいし,E[X], V[X], E[2^X], V[2^X],を計算せよ.

X の値 0 1 2 3

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

問 2.2(2006年公認会計士試験). 表が出る確率がp,裏が出る確率 1−pのコインを n回投げた. このとき, 表が出た回数をSn とする.

(i) 確率変数S_n の平均 E[S_n]および分散 V[S_n]を求めよ.

(ii) p= 0.5 であるコインを 10回投げ,各回毎に表が出れば 1歩前に進み,裏が出れば1 歩後ろに進む. 10 回投げ終わったときに元の位置にいる確率を求めよ.

(iii) p= 0.5であるコインを10回投げたとき, 6歩以上前進している確率を求めよ.

問2.3 (2007年公認会計士試験). A, B二人が次のようなゲームを行うとき,以下の問いに答えなさい. 白玉と赤玉がそれぞれ 5 個ずつ入っている壷の中から玉を取り出すとき,白玉が出れば Aの勝ち, 赤玉が出 ればBの勝ちとする. ただし, 取り出した玉は毎回壷に戻すものとする. 先に3 回勝った方がゲームに勝ち, 1000円の賞金を受け取るものとする.

(i) このゲームにおいて4回以下で勝負がつく確率を求めなさい. (ii) 勝負がつくまでの回数の期待値を求めなさい.

(iii) 1回目に白玉が出たとする. この時点で,ゲーム終了時にAが受け取る金額の期待値を求めなさい.

問 2.4. A, B 二人が‘先にN 回勝った方が賞金を手に入れる’ というゲームをしている. それぞれのゲーム でAの勝率はp, Bの勝率は 1−pである.

いま, A はN−m回, BはN−n回勝っている. このとき, Aが賞金を手に入れる確率Qを求めよ. 問2.5. A社の株X(w)とB社の株 Y(w)がある. それぞれの間には,

V[X(w)] = 1, V[Y(w)] = 2, Cov[X, Y] = 0.4

の関係がある. A社の株をx, B社の株を1−x保持する時, xをどう決めれば最も安全か?

問2.6 (2006年公認会計士試験). A社の株価は毎期,確率0.4で1.5倍に上昇するか,または確率0.6で0.6 倍に下落する. またB社の株価は毎期,確率0.6で1.2倍に上昇するか,または確率0.4で0.9倍に下落する. さらに両者の株価変動には関連性があり,共分散は 0.0.324である. なお,各期の株価の変動は互いに独立で ある.

A社とB社の今期の株価をともに1 万円とするとき,以下の問に答えなさい.

(i) A社およびB社の1期後における株価の期待値を求めなさい.

(ii) A社およびB社の1期後における株価の分散を求めなさい.

(iii) A社の株50株とB社の株50株から構成されるポートフォリオの1期後における価値の平均と分散を

求めなさい.

(iv) A社の株価が2期後に 1万円を上回る確率P_A および B社の株価が2 期後に1 万円を上回る確率P_B

を求めなさい.

問 2.7 (公認会計士試験–サンプル問題). 2つの株式A, B の収益率をそれぞれ R_A, R_B とする. 確率変数 RA, RB は

E[RA] = 2, E[RB] = 4, V[RA] = 4, V[RB] = 9,

で,両者の相関係数は-0.5 である. このとき,株式A とB に同額投資した場合の収益率(RA+RB)/2の期 待値および分散を計算せよ.

問2.8. 確率変数X(w), Y(w)が

E[X(w)] = 0, V[X(w)] = 1, E[Y(w)] = 1, V[Y(w)] = 1, Cov[X, Y] = 1 であるとする. このとき,次を計算せよ.

(i) E[2X(w) +Y(w)], (ii) V[X(w) +Y(w)], (iii) ρ[X, Y], (iv) Cov[X+Y,3X+Y], (v) ρ[X−1, X+ 2Y].

付録 A ^解答 – 1. ^確率空間 , ^{条件付き確率} , ^分布

問1.1 解答 (i) A∩B ={w₅}. よって P[A∩B] = 1/6.

(ii) A∪B={w1, w3, w4, w5, w6}. よって P[A∪B] = 5/6.

(ii) P[A] +P[B]−P[A∩B] = 1/2 + 1/2−1/6 = 5/6 =P[A∪B]. 2 問1.2 解答 (i) C={w3, w6}.

(ii) ベイスの公式より P[w3/C] = P[w₃∩C]

P[C] = 1/6 2/6 = 1

2. (iii) P[w₃/C] = 1

2 ̸=1

6 =P[w₃]だから, Cとw₃は独立ではない. 問1.3 解答 (i) P[A∩B] = 6

10·4 9 = 4

15. (ii) P[B]は直ぐには計算できない.

P[B] =P[A∩B] +P[A^c∩B] = 4 15+ 4

10·3 9 =2

5. (iii) P[B∩C]は直ぐには計算できない.

P[B∩C] =P[A∩B∩C] +P[A^c∩B∩C] = 6 10· 4

9·5 8 + 4

10·3 9 ·6

8 = 4 15. (iv) P[C]も直ぐには計算できない.

P[C] =P[A∩B∩C] +P[A^c∩B∩C] +P[A∩B^c∩C] +P[A^c∩B^c∩C]

= 6 10·4

9 ·5 8 + 4

10 ·3 9· 6

8+ 6 10·5

9 ·4 8 + 4

10 ·6 9· 5

8 = 3 5. 2 問1.4 解答 ベイスの公式より

P[E3/10円] = P[E3∩10円] P[10円] . これの分母と分子を計算する.

P[E3∩10円] =P[10円/E3]·P[E3] = 0.1·0.5 = 0.05.

さらに

E₁, E₂, E₃ は互いに素, P[E₁] +P[E₂] +P[E₃] = 1 だから,

P[10円] =P[10円∩E₁] +P[10円∩E₂] +P[10円∩E₃]

=P[10円/E1]·P[E1] + +P[10円/E2]·P[E2] +P[10円/E3]·P[E3]

= 0.7·0.2 + 0.2·0.3 + 0.1·0.5 = 0.25.

以上より

P[E3/10円] =0.05

0.25 = 0.2. 2

問1.5 解答 (i) 事象H を

H ≡5個の製品の原材料は, 2個がD₁, 2個がD₂, 1個がD₃ とおく. すると多項分布の公式を使い,

P[H/A1] = 5!

2! 2! 1!

(P[D1/A1])2(

P[D2/A1])2

P[D3/A1] = 5!

2! 2! 1!

(p11

)2( p12

)2

p13,

P[H/A2] = 5!

2! 2! 1!

(P[D1/A2])2(

P[D2/A2])2

P[D3/A2] = 5!

2! 2! 1!

(p21

)2( p22

)2

p23,

P[H/A3] = 5!

2! 2! 1!

(P[D1/A3])2(

P[D2/A3])2

P[D3/A3] = 5!

2! 2! 1!

(p31

)2( p32

)2

p33.

これにベイスの公式を適用し

P[H] =P[A₁]P[H/A₁] +P[A₂]P[H/A₂] +P[A₃]P[H/A₃]

= 5!

2! 2! 1!

{π₁ ( p₁₁)2(

p₁₂)2

p₁₃+π₂( p₂₁)2(

p₂₂)2

p₂₃+π₃( p₃₁)2(

p₃₂)2

p₃₃}

再び ベイズの公式を使うと,設問の箱が工場A2より出荷された確率 P[A2/H]は以下の通り: P[A2/H] = P[A₂]P[H/A₂]

P[H]

= π₂(

p₂₁)2( p₂₂)2

p₂₃ π₁(

p₁₁)2( p₁₂)2

p₁₃+π₂( p₂₁)2(

p₂₂)2

p₂₃+π₃ ( p₃₁)2(

p₃₂)2

p₃₃ . (1)

(ii) (1)に数値を代入して, P[A₂/H] = 0.253· · · 2

付録 B ^解答 – 2. ^{確率変数の平均} / ^分散 / ^共分散

問2.1 解答

E[X] = 0· 2 6+ 1·1

6 + 2·2 6+ 3·1

6 =8 6 V[X] =E[X²]−(

E[X])2

= 0²·2

6 + 1²·1

6 + 2²· 2

6+ 3²·1 6−(8

6)²=11 9 . 2^X はX から作られた新しい確率変数で,以下の通り:

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

2^X の値 2⁰= 1 2¹= 2 2²= 4 2³= 8

E[ 2^X] = 2⁰·2

6 + 2¹· 1

6+ 2²·2

6 + 2³·1 6 =10

3 V[ 2^X] =E[ 2^2X]−(

E[ 2^X])2

= 2^2·0·2

6 + 2^2·1·1

6 + 2^2·2·2

6+ 2^2·3· 1 6−(10

3 )²

= 17−100 9 = 53

9 . 2 問2.2 解答 確率変数X_k を

Xk =

{ 1 k 回目のコイン投げで表がでた時 0 k 回目のコイン投げで裏がでた時

とおく. すると Sn=X1+X2+· · ·+Xn であり, ‘勝率pの２項分布’に従う: P[Sn =k] =nC_k p^k (1−p)^n−k, k= 0,1,· · ·, n (i) E[Xk] = 1·p+ 0·(1−p) =p. V[Xk] = 1²·p+ 0²·(1−p)−p²=p(1−p).

これより

E[Sn] =n p, V[Sn] =n p(1−p).

(ii) 10回投げて元の位置にいるから,表が出た回数は5 回.

P[S10= 5] =10C₅ (1 2)⁵ (1

2)⁵= 10!

5! 5! (1

2)¹⁰= 252

1024 ≅0.247. . .

(iii) 10回投げて6 歩以上前進しているから,表が出た回数は8 回以上.

P[S10≥8] =P[S10= 8] +P[S10= 9] +P[S10= 10]

=₁₀C₈(1 2)⁵ (1

2)⁵+₁₀C₉ (1 2)⁵ (1

2)⁵+₁₀C₁₀ (1 2)⁵ (1

2)⁵

= (45 + 10 + 1) (1

2)¹⁰= 56

1024 ≅0.0547. . . 2 問2.3 解答確率変数Xk を

X_k=

{ 1 k回目の取り出しで白玉がでた 0 k回目の取り出しで赤玉がでた とおく. 白玉と赤玉は同数で毎回取り出すたびに壺に戻すから,

P[X_k = 1] = 1

2 =P[X_k = 0]

である. このとき S_n=X₁+X₂+· · ·+X_n とおく. このS_n は‘勝率1/2の２項分布’ に従う: P[Sn =k] =nC_k (1

2)^k (1

2)^n−k =nC_k (1

2)ⁿ, k= 0,1,· · ·, n 勝負がつくまでの回数をT とする. 3≤T ≤5 で,

{T = 3}={S3= 3} ∪ {S3= 0}, {T= 4}={S3= 2, X4= 1} ∪ {S3= 1, X4= 0}, {T = 5}={S4= 2, X5= 1} ∪ {S4= 2, X5= 0}={S4= 2}.

(2)

(i) (2)に従って確率を計算する.

P[T ≤4] =P[T = 3] +P[T = 4] = 2·(1

2)³+ (3C₂+3C1) (1 2)³·(1

2)

=1

4 + 6· 1 16 =5

8. (ii) 再び(2)に従い,

E[T] = 3·1

4+ 4· 6

16+ 5·P[S₄= 2] = 3 4+24

16+ 5· 6 16 = 66

16.

(iii) X1= 1の条件下でA が勝のは

H1≡2, 3回目に続けて白玉が出る,

H2≡2, 3, 回目に白玉が1回,赤玉が 1回でて, 4回目に白玉がでる, H₃≡2, 3, 4回目に白玉が1回,赤玉が2 回でて, 5回目に白玉がでる, の場合である. それぞれの確率を計算すると

P[H1] = (1 2)²= 1

4, P[H2] = 2·(1 2)²·1

2 =1

4, P[H3] = 3·(1 2)³·1

2 = 3 16.

つまりQ= 11/16だから,Aの受け取る金額の期待値は

1000·11

16 = 687.5. 2 問2.4 解答 0!≡1 と約束すると,

Q=

m+n∑−1

k=m

k−1C_m−1 p^m (1−p)^k−m. 2

問2.5 解答 A社の株をx, B社の株を1−x保持したときの分散 F(x)を計算する: F(x) =V[xX(w) + (1−x)Y(w)]

=V[x X(w)] + 2Cov[x X,(1−x)Y] +V[(1−x)Y(w)]

=x²V[X(w)] + 2x(1−x)Cov[X, Y] + (1−x)²V[Y(w)]

=x²+ 0.8x(1−x) + 2 (1−x)²

= 2.2x²−3.2x+ 2 = 2.2 (x−1.6

2.2)²+ 2−1.6² 2.2 . よって,x= 1.6/2.2 = 8/11のときに分散が最小となり,もっとも安全. 2 問2.6 解答. Xn, n= 1,2,· · · を独立同分布の確率変数で,

P[X_n = 1.5] = 0.4, P[X_n = 0.6] = 0.6.

とする. またYn, n= 1,2,· · · も独立同分布の確率変数で,

P[Y_n = 1.2] = 0.6, P[Y_n= 0.9] = 0.4.

するとA社, B社のn期目の株価SA(n), SB(n)は

S_A(n) =X_n·X_n−1· · ·X₁·S_A(0), S_B(n) =Y_n·Y_n−1· · ·Y₁·S_B(0) となる.

(i) E[X1] = 1.5·0.4 + 0.6·0.6 = 0.96だから

E[SA(1)] =E[X1·SA(0)] =E[X1]·SA(0) = 0.96·10⁴= 96·10². 同様にE[Y1] = 1.2·0.6 + 0.9·0.4 = 1.08となるので,

E[SB(1)] =E[Y1]·SB(0) = 1.08·10⁴= 108·10².

(ii) X1, Y1 の分散を計算する.

V[X₁] =E[(X₁)²]−(E[X₁])²= 1.5²·0.4 + 0.6²·0.6−0.96²= 0.1944.

V[Y1] =E[(Y1)²]−(E[Y1])²= 1.2²·0.6 + 0.9²·0.4−1.08²= 0.0216.

これより

V[SA(1)] =V[X1](

SA(0))2

= 0.1944·10⁸= 1944·10⁴, V[SB(1)] =V[Y1](

SB(0))2

= 0.0216·10⁸= 216·10⁴. (iii) A社50株, B社50株からなるポートフォリオのn期目の価値をQ(n)とする.

Q(n) = 50(

SA(n) +SB(n)) .

これより

E[Q(1)] = 50(

E[S_A(1)] +E[S_B(1)])

= 50(

0.96·S_A(0) + 1.08·S_B(0))

= 48·S_A(0) + 54·S_B(0) = 102·10⁴. V[Q(1)] = 50² V[SA(1) +SB(1)]

= 50²(

V[SA(1)] +V[SB(1)] + 2Cov[SA(1), SB(1)])

= 50²{

0.1944·(

SA(0))2

+ 0.0216(

SB(0))2

+ 2Cov[X1, Y1]·SA(0)·SB(0)}

= 50²{

0.1944·(

S_A(0))2

+ 0.0216(

S_B(0))2

+ 2·0.0324·S_A(0)·S_B(0)}

= 486(

S_A(0))2

+ 31.5(

S_B(0))2

+ 162·S_A(0)·S_B(0) = 679.5·10⁸. (iv) 1.5·0.6 = 0.9 だから

PA=P[SA(2)≥SA(0)] =P[X1= 1.5, X2= 1.5] = 0.4²= 0.16.

一方1.2·0.9 = 1.08だから,

P_B=P[S_B(2)≥S_B(0)]

=P[X1= 1.2, X2= 1.2] +P[X1= 1.2, X2= 0.9] +P[X1= 0.9, X2= 1.2]

= 0.6²+ 2·0.6·0.4 = 0.84. 2

問2.7 解答 平均を求める.

E[R_A+R_B

2 ] = E[R_A] +E[R_B]

2 = 2 + 4

2 = 3.

分散を求めるために,まずRA とRB の共分散を計算する. RA とRB の相関係数が-0.5だから

−0.5 = Cov[R_A, R_B]

√V[RA]V[Rb] = Cov[R_A, R_B]

√4·9 = Cov[R_A, R_B] 6 つまりCov[R_A, R_B] =−3.

V[RA+RB

2 ] = 1 4 (

V[RA] +V[RB] + 2Cov[RA, RB] )

=1 4

(4 + 9 + 2·(−3))

= 7 4. 2

問2.8 解答 (i) E[ 2X(w) +Y(w)] = 2E[X(w)] +E[Y(w)] = 2·0 + 1 = 1.

(ii) V[X+Y] =V[X] + 2Cov[X, Y] +V[Y] = 1 + 2·1 + 1 = 4.

(iii) ρ[X, Y] = Cov[X, Y]

√V[X]V[Y] = 1

√1·1 = 1.

(iv)

Cov[X+Y,3X+Y] =Cov[X,3X+Y] +Cov[Y,3X+Y]

= 3V[X] + (1 + 3)Cov[X, Y] +V[Y] = 3 + 4 + 1 = 8.

(v) V[X−1] =V[X] = 1. V[X+ 2Y] =V[X] + 4Cov[X, Y] + 4V[Y] = 1 + 4 + 4 = 9.

Cov[X−1, X+ 2Y] =Cov[X, X+ 2Y] =V[X] + 2Cov[X, Y] = 1 + 2 = 3.

これより

ρ[X−1, X+ 2Y] = Cov[X−1, X+ 2Y]

√V[X−1]V[X+ 2Y] = 3

√1·9 = 1. 2