気体の状態変化と熱・仕事
気体をある状態から別の状態へ変化させるとき、その条件によって、同じ熱量を加えた場合 でも、内部エネルギーの変化、外にする仕事は異なる。
定積変化
気体の体積Vを一定に保って気体に熱量Qを加える。気体は外に仕事をしないので、熱力 学第一法則
ΔU＝Q－W
において、W＝0とおくと、
（ ）
となる。つまり、加えた熱量Qが、すべて気体の内部エネルギーの増加ΔUとなる。
例題１）単原子分子の理想気体の体積 V[m3]を一定に保って熱量 Q[J]を与えたところ、気 体の圧力はΔp[Pa]増加した。QをΔpおよびVを用いて表せ。
解）内部エネルギーの増加量をΔU[J]とすると、
ΔU＝（ ）…(1)
一方、圧力p[Pa]、体積V、モル数n、温度T[K]の単原子分子の内部エネルギーU[J]は、理 想気体の状態方程式pV = nRTを用いると
U＝（ ）=（ ).…(2) と表される。ここで、関数の積の微分公式を用いると、
ΔU= 3
2 (Δp) V + 3
2 p (ΔV) …(2)’
より、体積Vが一定の場合は、
ΔU＝（ ）…(3) (1)、(3)より、
Q = ( ) と表される。
定圧変化
気体の圧力pを一定に保って、熱量Qを与える。このとき気体の体積の変化をΔVとする と、気体は外にW=( )の仕事をするので、内部エネルギーの変化ΔUは、
ΔU = Q－W = ( ) と表される。
例題２）なめらかに動くピストンをもつ円筒容器に単原子分子の理想気体が入っている。気
体の圧力 p[Pa]を一定に保って熱量 Q[J]を加えたところ、気体の体積はΔV[m3]増加した。
このとき、QをpおよびΔV[m3]を用いて表せ。
解）気体が外にした仕事W[J]は W＝（ ）…(4) と表される。
一方、(2)’ 式において、圧力pが一定（Δp=0）の場合、
ΔU＝（ ）…(5) と表される。(4)、(5)より、
Q＝ ΔU＋W ＝（ ） と表される。
等温変化
気体の温度が変わらないように、気体に熱量 Qを加える。気体の内部エネルギーは、気体 の温度が一定に保たれるので変化しない。熱力学第一法則において、ΔU＝0とおくことで、
Q ＝（ ）
の関係が得られる。つまり、等温変化では、気体に入る熱量は、気体が外にした仕事に等し い。
断熱変化
気体に出入りする熱量Qが0になるように気体の状態を変化させる。熱力学第一法則にお いて、Q＝0とおくことで、
ΔU ＝（ ）
の関係がなりたつ。W＞0のときは、気体が外にした仕事の分だけ内部エネルギーが減少す る。W＜0のときは、逆に気体は外から仕事をされるので、内部エネルギーはその分増加す る。
モル比熱
気体１molの温度を1K上げるのに必要な熱量をモル比熱という。
気体の状態変化の道筋によって、モル比熱の値は異なる。
定積モル比熱
気体の定積変化におけるモル比熱を定積モル比熱という。気体n[mol]に加えた熱量をQv[J]、
温度変化をΔT[K]とすると、定積モル比熱Cv[J/(mol・K)]は、定義より、
Cv =（ ）…(1) と表される。
一方、定積変化の場合、Qv は内部エネルギーの変化ΔU[J]に等しいので、Qv の代わりに
ΔUを用いると、
Cv＝（ ）…(1)’
また、単原子分子の場合、
ΔU＝（ ）…(2) (1)’、(2)より、
Cv＝（ ）（ ）[J/(mol・K)]…(3) となる。
定圧モル比熱
気体の定圧変化におけるモル比熱を定圧モル比熱という。気体 n[mol]の圧力を一定に保ち ながら、熱量 Qp[J]を加え、温度をΔT[K]だけ上昇させる。定圧モル比熱 Cp[J/(mol・K)]
は、定義より、
Cp = （ ）…(4)
気体が外にした仕事をW[J]とすると、熱力学第一法則より、
Qp ＝ ΔU + W…(5) である。
ここで、気体の圧力をp[Pa]、体積の変化をΔV[m3]とすると、
W＝（ ） …(6)
一方、理想気体の状態方程式pV = nRTにおいて、関数の積の微分公式を用いると、
p ΔV + (Δp) V = nR ΔT 定圧変化（Δp = 0）より、
p ΔV = nR ΔT
よって、 W = ( ) …(6)’
(4), (5), (6)’ および(1)’より、
Cp = ΔU/(nΔT) ＋ W/(nΔT)
＝（ ）…(7) 単原子分子の場合、
Cp＝（ ）（ ）[J/(mol・K)]…(8) となる。
(7)より、理想気体では、気体の種類によらず、定圧モル比熱は定積モル比熱より気体定数R
＝8.31[J/(mol・K)]だけ大きい。
問題） 空気の定積モル比熱は 21J/(mol・K)である。空気を理想気体とみなすとき、定圧 モル比熱はいくらか。
