一61一
〈論 説〉
公 共 財 の 配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ン テ ィ ヴ
吉 岡 忠 昭
1序
理 論 経 済 学 で は,す べ て の経 済 主 体 の 間 で 同 じ 量 だ け 消 費 さ れ る(等 量 消費 とよ ばれ る)性 質 を 持
つ 財 を 公 共 財 と定 義 す る。 つ ま り,ひ と りの 経 済 主 体 が こ の 公 共 財 を あ る数 量 だ け 消 費 す る と,他
の す べ て の経 済 主 体 も そ の数 量 だ け消 費 す る こ と に な る。 この よ う に,あ る 主 体 が 公 共 財 を 消 費 す れ ば,他 の 主 体 を そ の 消 費 か ら排 除 す る こ と が で き な い。 こ の 性 質 を 公 共 財 の 非 排 除 性 とよ ぶ 。
等 量 消 費 と い う性 質 を 持 っ 公 共 財 の 例 と して は,国 防,警 察,消 防,放 送,公 園,灯 台 な どが あ げ られ る こ と が 多 い。 これ らの 公 共 財 の持 つ 等 量 消 費 の 性 質 に は 程 度 の 差 が 存 在 して い る こ と に 気 付 か れ る だ ろ う。 例 え ば,警 察 や 消 防 の サ ー ビ ス は一 時 に利 用 が 集 中 して しま う と等 量 消 費 は 実 現 しそ う に も な い。 ま た,放 送 や 公 園 な ど に つ い て は,料 金 を 払 う人 だ け に 消 費 を 限 定 す る よ うな し くみ を っ く る こ と もで き る。 しか しな が ら,警 察 の よ うに そ の存 在 自体 が サ ー ビ ス と な り う る の
で 等 量 消 費 の 性 質 は保 持 さ れ て い る と考 え る こ と もで き る。 ま た,放 送 の よ うに 通 信 衛 星 に よ る受 信 者 管 理 と い っ た 料 金 徴 収 の し くみ が コ ス トを 理 由 に実 現 しな け れ ば や は り等 量 消 費 の 性 質 が 保 持 さ れ る と い え よ う。 こ の よ う に 程 度 の 差 は あ って もあ る種 の 財 は等 量 消 費 の 性 質 を 持 っ 。 理 論 経 済 学 で は,こ の 性 質 を 公 共 財 と して 純 粋 化 して 理 論
モ デ ル の 中 で 取 り扱 う。
完 全 競 争 の 条 件 が す べ て 満 た さ れ て い る と して
も,公 共 財 が 存 在 す る と厚 生 経 済 学 の 第 一基 本 定 理 が 成 立 し な い と い う こ と はす で に 広 く知 られ て い る。 公 共 財 の もつ 等 量 消 費 と い う性 質 か ら,ひ と た び 誰 か が 公 共 財 を 消 費 す る と,そ の他 の す べ て の 個 人 は対 価 を 払 う こ と な くそ の 公 共 財 を 同 じ 量 だ け 消 費 で き る。 そ こ で,他 人 の 公 共 財 消 費 を あ て に して 自 分 で は公 共 財 を 購 入 し よ う と しな い 個 人 が あ らわ れ る。 こ の 個 人 を フ リー ・ラ イ ダ ー と呼 ぶ 。 完 全 競 争 の条 件 が 成 立 して い て 個 人 が 財 の 価 格 を 所 与 と して 行 動 す る場 合 に も,公 共 財 が 存 在 す る と フ リー ・ラ イ ダ ー の 出 現 に よ っ て,社 会 的 に 望 ま しい 水 準 よ り も公 共 財 の 供 給 量 は少 な
くな って しま う。
こ の 公 共 財 の 過 少 供 給 の 問 題 に 対 して さ ま ざ ま な 解 が 提 案 さ れ て き た 。 最 も 代 表 的 な も の に Lindahl(1919)に よ る公 共 財 の 個 人 別 市 場 とい う 方 法 が あ る。 私 的 財 に つ い て は価 格 が す べ て の 個 人 で 共 通 で あ り消 費 量 を 個 人 別 に 決 定 す る と い う 完 全 競 争 市 場 の 方 法 で そ の最 適 供 給 を 達 成 で き る こ と か ら,公 共 財 の 場 合 に は,す べ て の 個 人 で 共 通 で あ る の は公 共 財 の 消 費 量 で あ る の で 公 共 財 の 価 格 を 個 人 別 に 設 定 す れ ば そ の最 適 供 給 が 達 成 さ れ る と い う発 想 で あ る 。 彼 の 方 法 で 均 衡 配 分 を計 算 す れ ば 確 か に パ レー トの 意 味 で 最 適 で か っ 個 人 合 理 的 な 配 分 が 得 られ る。 し か し な が ら,こ の Lindah1に よ る方 法 は,Samuelson(1954)が っ
ぎ の よ う に 指 摘 す る よ う に,問 題 点 が あ る。
Howevernodecentralizedpricing systemcanservetodetermineoptim‑
allytheselevelsofcollectivecon一
一62一 公 共 財 の配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ン セ ンテ ィヴ
sumption...itisintheselfishinter‑
estofeachpersontogivefalsesignals, topretendtohavelessinterestina givencollectiveconsumptionactivity thanhereallyhas...
‑Samuelson(1954)よ り 引 用 。
個 人 別 市 場 に お い て は 消 費 者 が ひ と り し か 参 加 しな い の で,各 消 費 者 は個 人 別 価 格 を 所 与 と
み な す と は考 え に く くyLindahlの 個 人 別 市 場 は うま く機 能 しな い と い え る。 そ こで は各 個 人 に は フ リー ・ラ イ ダ ー と な る べ く 戦 略 的 な 行 動 を と る イ ンセ ン テ ィ ヴ が 働 く こ と に な る だ ろ
う。
このSamuelsonの 問 い か け に は 久 し く解 答 が 寄 せ られ な か っ た が,1970年 代 に な って 一 っ の解 決 の 方 向 が 示 さ れ た 。そ れ はGrovesand Ledyard(1977)と な って 報 告 さ れ た もの で あ る。
彼 ら は,各 消 費 者 が 公 共 財 の個 別 価 格 と数 量 に 関 す る数 値 情 報 を メ ッセ ー ジ と して 表 明 し,そ れ ら を 集 あ て 公 共 財 の 供 給 量 と個 別 の 費 用 負 担 額 を あ らか じめ 定 め られ た ル ー ル に よ っ て 決 定 しよ う と す る も の で あ る。 彼 らの 提 案 し た ル ー ル の も と で,各 消 費 者 が あ る 種 の 非 協 力 的 な 行 動 を と る (す なわ ち私 的 な イ ンセ ンテ ィヴが働 く)と き,結 果 と して 得 られ る配 分 は パ レー ト最 適 で あ る こ とが 示 さ れ た 。
ル ー ル を さ ら に改 善 す る こ と に よ っ て,パ レ ー ト最 適 だ け で な く,ど の 個 人 も初 期 状 態 よ り効 用 水 準 が 下 が る こ と が な い と い う個 人 合 理 性 を も満 た す 配 分(例 え ば先 述 のLindahl配 分)が 得 られ な い だ ろ う か 。 こ の 問 題 に 最 初 に 答 え た の が Walker(1981)で あ る 。そ こ で は,3人 以 上 の経 済 主 体 が 存 在 す る と き にLindahl配 分 が 遂 行(イ ン プ リメ ン ト)さ れ る よ うな ル ー一ル,す な わ ち 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム が 示 さ れ て い る。
本 稿 で は,フ リ ー ・ラ イ ダ ー の 存 在 を 考 慮 し て,Walkerが 扱 わ な か っ た2人 の 場 合 に つ い て, Lindahl配 分 を イ ン プ リメ ン トす る た め の 資 源 配
分 メ カ ニ ズ ム を 考 案 す る。 まず,完 全 競 争 下 で 厚 生 経 済 学 の 基 本 定 理 が 成 立 しな い こ と を簡 単 な モ デ ル を 作 って 説 明 し,次 にLindah1に よ る方 法 と そ の 問 題 点 に つ い て の べ,最 後 に筆 者 に よ る方 法 に つ い て で き る だ け 平 易 に 解 説 す る。
2モ デ ル
問 題 の 本 質 を そ こ な わ ず に 最 も 簡 単 な モ デ ル で 議 論 す る た め,以 下 に 述 べ る よ う な2人 経 済 を 考 え よ う 。
経 済 に 存 在 す る2人 の 消 費 者 を1,2と い う 番 号 で 呼 び,こ の 番 号 を 代 表 す る 記 号 と し て2を 用 い る 。 以 下 でi=1,2の よ う な 記 号 を 用 い る が, こ れ は 消 費 者iが1,2そ れ ぞ れ に つ い て と い う 意 味 で あ る 。 私 的 財 は1種 類 と し,消 費 者2の 消 費 量 をxi∈R+で し め す(21,2)。 公 共 財 も1 種 類 と し,等 量 消 費 で あ る か ら そ の 量 をz∈R+
で 示 す 。 こ こ で,消 費 者Z=1,2の 効 用 関 数ui (銑,z)は,
ui:R+×R+→R+;(xi,z)トui(xi,Z)(1)
の よ う に 定 義 さ れ る 。 こ の 効 用 関 数 に つ い て 次 の よ う な 標 準 的 な 仮 定1を 置 く。
仮 定1各 消 費 者i=1,2に つ い て,効 用 関 数ut (κ,,z)は 連 続 関 数 で あ る 。
仮 定2各 消 費 者Z‑1,2に つ い て,効 用 関 数ui (xti,z)は2回 連 続 微 分 可 能 で あ る 。
仮 定3各 消 費 者i=1,2に つ い て,効 用 関 数ui (xi,z)は 狭 義 の 準 凹 関 数 で あ る 。 す な わ ち,実 数 t∈(0,1)と 相 異 な る(x1,z),(xti,z')E鵡 に 対
し て
ut(xy,z)≧ πゴ(xi,z')=⇒
ui(t(■f,Z)+(1一 の(xyz'))〉 πf(κlz') で あ る 。
仮 定4各 消 費 者i=1,2に つ い て,効 用 関 数u2 (x1,z)は κ歪,zの そ れ ぞ れ に つ い て 強 い 単 調 増 加 関 数 で あ る 。 す な わ ち,(κ 、,Z)≧(xE,z')と 軌,g)
1こ れ らの 仮 定 に関 す る議 論 は標 準 的 な ミク ロ経 済 学 の テ キ ス トに 譲 る。
公 共 財 の 配 分 メ カ 轟 ズ ム と私 的 イ ンセ ンテ ィヴ ー63‑・
≠(xliz')を 満 た す よ う な(κ 、,z),(x=z̀)∈R2 に 対 し て
π̀(xi,z)〉%(xi,z') で あ る 。
仮 定5各 消 費 者i=1,2に つ い て,効 用 関 数 殆 (xiz)は(xi,z).平 面 上 の 無 差 別 曲 線 は κト 軸 と g.軸 の ど ち ら と も 交 わ ら な い 。す な わ ち,2=1,2
に つ い て,(xi,z)∈R2+と 少 な く と も 一 つ の 要 素 が ゼ ロ で あ る よ う な(rxt,g')∈1苔 に 対 し て
笏(xi,z)>u1(xt,z') で あ る 。
さ ら に,消 費 者i=1,2は 私 的 財 に 限 っ て 初 期 保 有 を ωfだ け 持 っ て い る も の と す る。 議 論 の 単 純 化 の た め に,公 共 財 に つ い て は初 期 保 有 量 が ゼ ロ
で あ る とす る。 こ れ は,Xiが 消 費 者i=1 ,2の 最 終 的 な 消 費 量 を 示 して い る の に 対 して,zは 公 共 財 の 最 終 的 な 消 費 量 か ら初 期 保 有 量 を の ぞ い た純 取 引 量 を 示 して い る と考 え れ ば よ い 。
っ ぎ に,公 共 財 の生 産 技 術 に つ い て
仮 定6
x+α9=0,α>0(2)
と い う線 形 の 生 産 関 数 を 仮 定 す る。 た だ し,xは 負 の 値 を と る と き私 的 財 の 投 入 量 を 示 し,zは 正
の 値 を と る と き公 共 財 の 生 産 量 を 示 す 。 この 生 産 技 術 に
F(x,z)=x十 α言=0
の よ う なFと い う記 号 を 与 え れ ば ,こ の生 産技 術 に 関 す る限 界 転 形 率 は,
aF
eαaF ax
と 計 算 さ れ る 。 ま た,こ の 式 ② を 変 形 す れ ば, z=⊥(‑x)
a
(3)
(4) な の で,投 入 物 と して の 私 的 財 の 限 界 生 産 力 は 1/α で あ る。 変 形 後 の(4}式 よ り,1単 位 の 私 的 財 か ら1/α 単 位 の 公 共 財 が 生 産 さ れ る こ と が わ か
る。 つ ま り,私 的 財1単 位 は 常 に 公 共 財1/α 単 位 と交 換 さ れ,私 的 財 の 価 格 を1と す る と きの 公 共 財 の 相 対 価 格 は α で あ る2。
3公 共財の存在 による市場の失敗
3.1パ レ ー ト最 適 条 件
以 下 の 分 析 で 重 要 と な る 公 共 財 が 存 在 す る場 合 の パ レー ト最 適 条 件 を 求 め て お く。 本 稿 の モ デ ル で は,各 種 最 大 化 問 題 の 解 は す べ て 内 点 解 で あ り,最 適 の た め の 一 階 条 件 や 消 費 者 の 効 用 最 大 化 の た め の 一 階 条 件 は,効 用 関 数 と生 産 技 術 に 関 す る仮 定 に よ っ て,い ず れ も必 要 十 分 条 件 で あ る。
し た が って,一 階 条 件 だ け に 集 中 して 検 討 す れ ば よ い こ と に な る 。
こ こで も と め る パ レ ー ト最 適 条 件 と完 全 競 争 市 場 で の 条 件,Lindahlの 方 法 に よ る均 衡 に お け る 条 件,本 稿 で 提 案 す る私 的 イ ンセ ン テ ィ ヴ を 考 慮 に い れ た 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム で の 均 衡 に お け る 条 件 を そ れ ぞ れ 比 較 す る と い う 方 法 で 検 討 して い
く。
パ レ ー ト最 適 な 資 源 配 分 の 定 義 は あ る一 人 の 効 用 水 準 を 上 げ る た め に は 他 の 個 人 の 効 用 水 準 を 下 げ な けれ ば な ら な い よ う な資 源 配 分 と い う も の で あ る。 この 定 義 に よ れ ば,一 方 の 個 人 の 効 用 水 準 を 一 定 水 準 に と め て 資 源 の 制 約 の も と で 他 方 の 効 用 水 準 を 最 大 に す る よ う に 資 源 配 分 を 決 め れ ば よ い こ と に な る。 消 費 者2の 効 用 水 準 をu2に 固 定 す る と い うの は,
u2(xz,z)=u2(5)
と表 現 で き る。 こ の 経 済 に は 私 的 財 が そ の 初 期 保 有 量 の 合 計 で あ る ω1+ω2だ け存 在 し,そ れ は消 費 者1の 消 費 にx,,消 費 者2の 消 費 にx2,公 共 財 をzだ け つ く る た め の 投 入 に使 用 され る。 生 産 技 術 の 仮 定 か ら公 共 財zを つ く る に は 儂 だ け の 私 的 財 が 必 要 な の で 資 源 の 制 約 は,
x1十x2十az=wi+w2(6)
と書 け る。 これ ら⑤,(6)の 制 約 の 下 に,消 費 者1 の 効 用 関 数ul(x,,の の 値 を最 大 に す る よ う に 資
2こ の よ うな 線 形 の 生 産 関数 を もっ 生 産 者 の 利 潤 は常 に ゼ ロで あ るが,こ れ を 言 い換 え れ ば, す こ と も絶 対 に な い と い うこ と な の で,こ の生 産 者 は常 に操 業 可能 で あ る。
この生産者 は黒字 を出す こと も赤 字を出
s4 公 共 財 の 配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ンテ ィ ヴ
源 配 分(x,,x2,z)を 決 め れ ば パ レ ー ト最 適 な 資 源 配 分 が 求 め られ る。 す な わ ち,つ ぎ の 最 大 化 問 題 か ら得 られ る条 件 が 公 共 財 の 存 在 す る経 済 で の パ
レ ー ト最 適 条 件 で あ る。
maxui(x,,z)
x,,x2,z
subjecttou2(x2,z)=u2
x,+x2+az=W,+ω2
こ の 問 題 を 解 く た め に ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数L° を L°=u(κ1,z)
+λ0(u2(x2,z)‑u2)
十 μ0(x,十 κ2十 α9一 ω1一 ω2)
の よ う に 定 義 す る 。 た だ し,λo,μoは ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 で あ る 。 こ の ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数L° を 変 数xl,xz,Zを 動 か す こ と で 最 大 化 す れ ば よ い 。
そ の た め の 条 件 は, aL° =aul+u°=o
∂冤1
∂冤1
aL° 一 λ・au2+u・ 一 。 axeaxe
aL° ̲aul
az̲az+λ ・讐+μ ・α 一 ・
と い う こ と に な る。 こ れ ら の3条 件 か ら ラ グ ラ ン ジ ュ乗 数 λo,μoを 消 去 す る と,っ ぎ の ひ と っ の 条 件 に ま とめ る こ と が で き る。
8ulau2
8u+auZ‐a(7)
∂'x,∂ 冤2
資 源 の 制 約 式(6)と この 条 件 式(7)を満 た す 配 分(ax,, x°,z°)がパ レ ー ト最 適 配 分 で あ る。 こ の 式(7)が意 味 す る の は,各 消 費 者 の 限 界 代 替 率 の 合 計 が 限 界 転 形 率 に 等 しい と い う こ と で あ る。 こ の パ レ ー ト 最 適 条 件 は,有 名 な 公 共 財 の 最 適 供 給 の た め の Samuelson条 件 と 呼 ば れ て い る も の で あ る。
公 共 財 が 存 在 す る と き の パ レー ト最 適 条 件 はパ レー ト最 適 な 資 源 配 分 の 定 義 か ら求 め られ た が, そ の 過 程 で の 最 大 化 問 題 を 解 く経 済 主 体 は 存 在 し な い。 最 大 化 問 題 の 定 式 化 か ら もわ か る よ う に, こ の 問 題 を 解 け る経 済 主 体 は他 人 の 効 用 関 数 と い う情 報 を 知 って い な け れ ば な らな い。 しか しな が
ら,個 人 の 嗜 好 と い う情 報 を あ ら わ す 効 用 関 数 を 知 って い る他 人 が 存 在 す る こ と を 仮 定 す るの は 納 得 的 で な い 。 さ ら に,他 人 の 効 用 水 準 を 気 使 い な が ら自 分 の 効 用 を 最 大 化 す る個 人 と い うの が い つ で も存 在 す る と い うの も考 え られ な い 。 した が っ て,こ の パ レー ト最 適 な 資 源 配 分 と い う の は な ん らか の メ カ ニ ズ ム に よ らな くて は達 成 さ れ な い の で あ る。 そ こで 以 下 で は 特 定 の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ
ム に つ い て 検 討 す る。
3.2完 全 競 争 市 場 に よ る資 源 配 分
完 全 競 争 市 場 が 機 能 して い る と して も,公 共 財 が 存 在 す る と 資 源 配 分 が パ レ ー ト最 適 と な ら な い,つ ま り市 場 の 失 敗 が 起 こ る こ と を示 す 。 完 全 競 争 市 場 に お い て は す べ て の 消 費 者 は 同 一 の 価 格 に 直 面 す る の で,私 的 財 の 価 格 を1と す る と き公 共 財 の 価 格 が α と い う価 格 比 は 消 費 者 間 で 共 通
に な る。 した が って,消 費 者1の 予 算 制 約 式 は
xl十az,=wl
で あ り,消 費 者2の 予 算 制 約 式 は x2十az2=cv2 で あ る 。
(S) (9)
消 費 者1の 公 共 財 購 入 量 をZ1,消 費 者2の 公 共 財 購 入 量 をz2と 書 く と,公 共 財 の 等 量 消 費 の 性 質
か ら公 共 財 の 消 費 量 は ど ち らの 消 費 者 も z=z,十z2
と な る 。
以 上 の こ と か ら,消 費 者 の 効 用 最 大 化 問 題 は, 消 費 者1に つ い て は
maxu,(x,,zl+z2)
x,,z,
subjecttox,+az1=w,
の よ う に 表 現 さ れ,消 費 者2に つ い て は maxuZ(x2,z2+z2}
xZ,z2
subjecttox2十 α92=ω2 の よ う に 表 現 さ れ る こ と に な る 。
消 費 者1の 効 用 最 大 化 問 題 を 解 く た め に ・ ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数L,を
A
+λ1(xl+az一 ω1)
の よ う に 定 義 す る 。 消 費 者1は こ の 関 数 を 最 大 に す る よ う に 変 数xl,ziを 決 め れ ば よ い 。 そ の 条 件
公 共 財 の 配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ン テ ィ ヴ
を 求 め る と,
筈 一激+え1‑・
∂L1∂u,.
azlaz+λ1α;o
の よ う に な る 。 こ の2っ の 条 件 式 か ら ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 え1を消 去 して ま と め る と,っ ぎ の よ う な 効 用 最 大 化 の 条 件 が 導 か れ る 。
血
az =a(10) aul
axl
他 方,消 費 者2に つ い て も 効 用 最 大 化 の 条 件 を 求 め る 。 ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数LZを
L2‑u2Cx2,zi+z2)
+2(x2+azZ‐Wa)
の よ う に 定 義 す る 。 消 費 者1の と き と 同 様 に し て,
か ら
震 蕩+毎 一・
∂L2∂u2^
az2az+λ ・α=o
∂π2 az
と い う条 件 が 導 か れ る。
=α au2
∂冤2
f11}
完 全 競 争 市 場 が 機 能 して い る 場 合 の 配 分(名, x2,z)は,予 算 制 約 式 ⑧,⑨ と各 消 費 者 の 効 用 最
大 化 条 件(10),f11)を満 た す もの で あ る。 これ らの 最 大 化 条 件 よ り,各 消 費 者 は 自 らの 限 界 代 替 率 が 限 界 転 形 率 に等 し くな る よ う に 行 動 す る こ とが わ か る。
と こ ろ で,こ れ らの効 用 最 大 化 条 件(10),(11)をパ レー ト最 適 条 件 で あ る(7)式
aulout azaz
∂ul+伽 、;α
axlaxe
と比 較 して み る。 明 らか に,完 全 競 争 市 場 が 機 能 して い る場 合 の 効 用 最 大 化 の 条 件 式(1①と(11)が成 立
一65一
して い れ ば,パ レー ト最 適 の 条 件 式(7)は一 般 に は 成 り立 た な い 。 前 者 が 各 消 費 者 の 限 界 代 替 率 が 限 界 転 形 率 に 等 しい こ と を 要 求 して い る の に 対 し, 後 者 は各 消 費 者 の 限 界 代 替 率 の 合 計 が 限 界 転 形 率
に 等 しい こ と を 要 求 して い る と い う違 い が あ る。
っ ま り,完 全 競 争 市 場 が 機 能 して い る場 合 の 資 源 配 分(AxlAx2,z)は,パ レー ト最 適 で は な い,と い う こ と が 明 らか に な った 。 これ が 公 共 財 が 存 在 す る場 合 の 市 場 の 失 敗 で あ る。
4Lindahlに よ る 方 法
4.1Lindahl均 衡 の 条 件
完 全 競 争 市 場 と い う資 源 配 分 メ カ ニ ズ ムが う ま く機 能 して い て も公 共 財 が 存 在 す る と パ レー ト最 適 な 資 源 配 分 が 達 成 さ れ な い こ とが わ か れ ば,そ
れ を 達 成 で き る別 の資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム を 探 さ な くて は な らな い 。 私 的 財 の み の 経 済 で は 各 個 人 に 共 通 な の は財 の 価 格 で あ っ て,そ の 消 費 量 が 個 人 別 に異 な っ て い た。 そ の 場 合 は,周 知 の よ う に,
ア ダ ム ・ス ミス の"見 え ざ る 手"が 働 い て 各 個 人 が 自 らの 効 用 を 最 大 に す る よ うに 行 動 す る と結 果 と して パ レー ト最 適 な 状 態 に落 ち 着 く。 公 共 財 に は消 費 量 が 個 人 間 で 共 通 で あ る と い う性 質 が あ る の で,そ の 価 格 を個 人 別 に設 定 し私 的 財 と は逆 の 関 係 に な る よ う な 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム を 採 用 す れ ば パ レー ト最 適 な状 態 が 達 成 で き る こ と が 予 想 さ れ よ う。 こ の 方 法 を 提 案 した の がLindah1(1919) で あ る。
各 個 人 に っ い て そ れ ぞ れ 公 共 財 の 価 格 が 異 な る も の と し,消 費 者Ze1,2の 公 共 財 価 格 をri∈
Rと か く。 消 費 者2=1,2は1単 位 の 公 共 財 を 価 格 れ で 手 に 入 れ る こ と が で き る の で,そ の 予 算 制 約 式 は そ れ ぞ れ
x,+riz=w,{121 x2+解 薫 ω2㈱
と な る 。 した が っ て,各 消 費 者 の 効 用 最 大 化 問 題 は
maxu,(x,,z)
xエ,x
subjecttoxl十r,z=ω1 maxu2(x2,z)
z2,z
一66一 公 共 財 の配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ンテ ィヴ
subjecttoxz十7多==ω2
の よ う に 表 現 さ れ る 。 パ レ ー ト最 適 の 条 件 を 求 め た と き と 同 様 に して ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 を
L1=u,{x,,z)
+気1(xl+71㍗ ω1) LZ=uzCx2,z)
+気2(x2+解 一 ω,)
と 定 義 し,効 用 最 大 化 の 条 件 を も と め る 。 こ こ で 消 費 者i=1,2は 公 共 財 の 価 格 η を 所 与 に し て 私 的 財 の 量 κfと 公 共 財 の 量zを 変 化 さ せ る こ と で 自 ら の 効 用 を 最 大 に す る よ う に 行 動 す る の で, 以 下 の 条 件
垂 一aul+え 、̲0
8x,8x1
唆 一 筈+え1ハ ー ・
と
∂L・ 一 ∂u・+え,一 。 axeaxe
箸 一 覆 ・+λ ・r・e・
が 導 か れ る 。 そ れ ぞ れ ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 λDλ2を 消 去 し て 整 理 す る と,
aul
az ;rl(1の au,
axl 亜
az =r2(15) au2
axe の よ う に な る 。
私 的 財 だ け の 経 済 で は 均 衡 に お い て は 財 の 需 要 と 供 給 が 等 し い と さ れ た 。 公 共 財 の 場 合 は,と く にLindahlの 方 法 で は 価 格 と 量 の 役 割 を 交 換 し て い る の で,そ の 均 衡 条 件 も,個 人 別 の 公 共 財 価 格r,,rZの 合 計 が 生 産 者 に と っ て の 公 共 財 価 格 α
に 等 し い と い う も の に な る 。 す な わ ち, rk+r2=a(161
で あ る 。 こ の 均 衡 条 件(16)を使 っ て,Lindah1配 分
(x、,x、,z)は,予 算 制 約 式 ⑬,㈱ と 効 用 最 大 化 条 件 (1の,⑮ さ ら に 均 衡 条 件(16)を満 た す も の と定 義 さ れ る 。 こ のLindahl配 分 で は,効 用 最 大 化 条 件(10, (151と均 衡 条 件(16)よ り,
∂ul∂u2
∂2∂z
∂ul+∂ πrα ax,axe
で あ る こ と が わ か る 。 こ れ は パ レ ー ト最 適 条 件(7) と 同 じ 条 件 で あ る 。 し た が っ て,Lindah1配 分 (xl,x2,z)は パ レ ー ト最 適 で あ る こ と が わ か る 。
4.2Lindahlの メ カ ニ ズ ム の 問 題 点
この よ うに,Lindahlの 方 法 に よ れ ば パ レー ト 最 適 な 資 源 配 分 が 達 成 さ れ るが,1序 で も述 べ た
よ う に 問 題 点 が あ る。
こ こで の 消 費 者 の効 用 最 大 化 問 題 に 注 目 して み よ う。各 消 費 者i=1,2は 個 人 別 の 価 格rを 所 与 に して い た 。 個 人 別 に 価 格 を設 定 す る と い う こ と
は,個 人 ひ と り ひ と り に公 共 財 の 市 場 を っ く ら な け れ ば な ら な い 。 こ の 個 人 別 の 市 場 に は も ち ろん 一 人 しか 買 い 手 が い な い 。 す る と,こ の 買 い手 は 買 手 独 占 と い う現 象 を 引 き起 こす だ ろ う と み る の は 自然 で あ る。 この 独 占者 は価 格 支 配 力 を 行 使 す る の で,各 消 費 者 が 個 人 別 価 格 を 所 与 に して 行 動 す る3と い うLindah1の シ ナ リ オ は 崩 れ る の で あ る。
私 的 財 の 完 全 競 争 市 場 で は,各 個 人 が 所 与 とす る私 的 財 価 格 は す べ て の 個 人 に つ い て 共 通 で あ っ た 。 した が って,私 的 財 の 場 合 は 公 共 財 の 個 人 別 市 場 よ り も価 格 支 配 力 を 行 使 で き る個 人 が 存 在 す る と は考 え に くい。 しか しな が ら,こ れ も程 度 問 題 で あ っ て,そ の 可 能 性 が 全 く な い わ け で は な い。 これ はHurwicz(1979a,b)が 指 摘 して い る が 本 稿 で は も っ ぱ ら公 共 財 に 注 意 を 集 中 しよ う。
5Lindahl配 分 の ナ ッ シ ュ ・イ ン プ リ メ ン テ イ シ ョ ン
こ う し てLindahlの 提 案 し た 個 別 市 場 に よ る
3こ の 点 の他 に㈹ の よ う な均 衡 条 件 式 を 誰 が 成 り立 た せ るの か と い う問 題 もあ るが,こ こで は これ 以 上 言 及 しな い。
公 共 財 の配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ンテ ィ ヴ
公 共 財 の 最 適 供 給 は う ま く機 能 しな い 可 能 性 が あ る こ とが わ か った 。 そ こ で,ま た 別 の 資 源 配 分 メ カ ニ ス ム を 探 す こ と に な る。
筆 者 が 提 案 す る公 共 財 の最 適 供 給 の た め の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム を定 義 す る。 各 消 費 者2=1,2に 対 して 次 の よ う な集 合!風 を 割 り当 て る。
Mi:eR(m Z
消 費 者Zは こ の 集 合 の 中 か ら ひ と っ の 要 素mt=
(Tm;,循)∈Mtを 表 明 す る こ と が で き る 。 こ の 集 合M,を 消 費 者2の メ ッ セ ー ジ 集 合,表 明 さ れ た そ の 要 素mti‑(循,zm=)を 消 費 者iの メ ッ セ ー ジ と 呼 ぶ 。 各 消 費 者 の メ ッ セ ー ジ集 合 を ま と め て ,
11/1:=ルf1× ルf2
の よ う な 記 号 を 用 い る こ と も あ る 。 ま た,消 費 者 の メ ッ セ ー ジ を ま と め てmと か く と き は,
m‑(ml,rrt2)一(噺,"z萱,m',rlZz2)
と い う こ と で あ る 。 こ の メ ッ セ ー ジ が あ る 規 則 の も と に 公 共 財 の 供 給 量 を き め る た あ に 使 用 さ れ る 。 そ の 規 則g(m)=(舛(m),9z(m),ゲ(m))
は,
鋼:一 ω1《 号+m2}(m;+m2)
‑(m'十m')
2
z(18) 鋼:一 ω・一(号+m')(m;+mZ)
2
(mi‑1‑mz)y(197
ゲ(m):=z耀 十 η循 ⑳
の よ うに 定 義 さ れ る。 消 費 者 の メ ッセ ー ジ は こ の 規 則 に よ って 計 算 さ れ,嫉(m)は 消 費 者1の 私 的 財 の 量xl,φ(m)は 消 費 者2の 私 的 財 の 量 x2,ゲ(m)は 公 共 財 の量gに 指 定 さ れ る。 こ の よ うな 規 則 を 結 果 関 数 と呼 ぶ こ と もあ る 。 メ ッ セ ー ジ集 合 と結 果 関 数 の ペ ア 〈M,S(m)〉 が こ こ で の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム で あ る。 こ れ は法 律 の条 文 の よ う な も の で だ れ もが 受 け 入 れ て い る と して お
こ う。
この 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム の も と で 各 消 費 者 は 相 手 の表 明 す る メ ッセ ー ジ を所 与 と して 自 らの 効 用 を 最 大 に す る よ うに 行 動 す る と い う,ナ ッ シ ュ均 衡 の 考 え 方 で 表 現 さ れ る よ う な 行 動 仮 説 を 導 入 す る 。 各 消 費 者 が 所 与 とす る の は相 手 の メ ッセ ー ジ
一67一
で あ る の で,こ れ に対 す る 支 配 力 は こ の メ ッセ ー ジを 表 明 す る 消 費 者 に の み あ る と考 え る の は 自 然 で あ る。 こ こがLindahlの メ カ ニ ズ ム の個 人 別 価 格 と の 違 い で あ る。 ま た,ナ ッ シ ュ均 衡 で 想 定 す る行 動 仮 説 に は あ る種 の 非 協 力 的 な行 動 が 表 現 さ れ て い て,そ れ を 公 共 財 が 存 在 す る 経 済 で の ブ リー ・ラ イ ダ ー の 非 協 力 的 な 行 動 と解 釈 す れ ば , ナ ッ シ ュ均 衡 を こ こ で 採 用 す る こ と は 適 切 で あ る と思 わ れ る。 一 般 に,こ の ナ ッ シ ュ均 衡 の 行 動 仮 説 の も と に,資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム 〈M,g(m)〉 が あ る特 定 の 資 源 配 分 を も た らす と き,こ の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム は そ の 資 源 配 分 を ナ ッ シa遂 行
(ナ ッシ ュ ・イ ン プ リメ ン ト)す る と い う。
さ て,Lindahlの 方 法 に よ って 得 られ た 配 分 で あ るLindahl配 分 はパ レ ー ト最 適 で あ り,パ レ ー トの 意 味 で の"望 ま しい"資 源 配 分 で あ る。 こ の パ レ ー ト最 適 性 に は ,そ の定義 か らもわ か る よ う に,最 も弱 い価 値 判 断 しか 含 ま れ て お らず,厚 生 経 済 学 で は しば しば 採 用 さ れ て き た 基 準 で あ る。
本 稿 で は,そ の 基 準 を 満 た す 配 分 の 中 で も と く に Lindahl配 分 を え らぶ こ と に して ,(m,⑱,(19)と
⑳ で 定 義 さ れ た 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム 〈、M,S (m)〉 が パ レ ー トの 意 味 で 望 ま し いLindahl配 分 を ナ ッ シ ュ ・イ ンプ リメ ン トす る こ と を 示 そ う。
資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム 〈M,9伽)〉 の も と で,各 消 費 者 の 効 用 最 大 化 問 題 は次 の よ う に 定 式 化 さ れ
る。
maxu,(㎡(m),ゲ(m)) m,
subjecttoml∈M, maxu2(蜷(解),ゲ 伽))
m2
subjecttom2∈M2
こ こで は ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 を 使 用 す る こ と な く, メ カ ニ ズ ム の 定 義 ⑰,⑱,㈲ と⑳ に 十 分 注 意 して 効 用 最 大 化 の 条 件 を も と め る こ と が で き る。 消 費 者 ぢ=1,2は 他 人 の メ ッ セ ー ジ を 所 与 に して 自 ら の 効 用 を 最 大 に す る よ う に 自 らの メ ッ セ ー ジm1 を 決 定 す る の で,以 下 の 条 件
轟1‑{致{‑2(m'a+mr2)}e・
・i 公 共 財 の配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ン テ ィ ヴ
農 ≒‑8u,axl{一(2+m2)1+aul̲8z・
∂u・auZ{ ‑2(m'+y12r2)}‑O axe
伽 至
銑 一8u2axe{一(2+m')}+8u2̲az・
が 導 か れ る 。 限 界 効 用 ∂ul/∂'xl,∂u,/∂z,∂ π2/∂'xz,
∂u2/8zは す べ て ゼ ロ で な い こ と に 注 意 し て 整 理 す る と,
mr+m'2=0⑳ 8ul
az ̲̲a+m2×22) au,2
axl au2
蔑,a2+mrt㈱
axe
の3式 に な る 。 ナ ッ シ ュ 均 衡 で の メ ッ セ ー ジ7ガ は こ れ ら⑳,⑳,(23)を 満 た す も の で あ る 。 こ れ ら よ りmr*,%㌔ 麟*+n'lz2の 値 が 確 定 す る が,結 果 関 数 の 公 共 財 の 供 給 量 を き め る 式 ⑳ に 注 意 す れ ば,ナ ッ シ ュ 均 衡 メ ッ セ ー ジm*に お け る 資 源 配 分(x*,x*,zつ=S(m*)=(疏(m*),詫Qが),
Z(m*))は 確 定 す る こ と が わ か る。
こ こ で メ ッ セ ー ジ の 各 要 素 が こ の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム 〈M,g(m)〉 で ど の よ う な 働 き を 持 っ て い る の か を 検 討 し て み る 。 結 果 関 数 の 定 義 よ り,あ き ら か に,mZとmzzは 公 共 財 の 供 給 量 を 各 消 費 者 が 増 減 さ せ る た め の メ ッ セ ー ジ で あ る 。 つ ぎ に, mrとnZr2は 公 共 財 の1単 位 の 生 産 費 用 α の 負 担,
っ ま りLindahlの 場 合 の 公 共 財 の 個 人 価 格 を 決 め る の に 使 わ れ て い る と み な せ る 。 式 ⑱ と(19)での 2乗 の 項 は,式 ⑳ が 満 た さ れ な い な ら ば そ の ま ま 2人 の 消 費 者 に と っ て 私 的 財 の 消 費 量 の 減 少 に つ な が る 。 こ の 項 は 式 ⑳ を 満 た さ な い 行 動 を と る 消 費 者 が 現 れ た 場 合 の 罰 則(パ ニ ッ シ ュ メ ン ト)と 解 釈 で き る 。 ナ ッ シ ュ 均 衡 で は 式 ⑳ が 満 た さ れ 罰 金 は ゼ ロ で あ る が,消 費 者1,2の 個 人 価 格 と 解 釈 さ れ る(α/2)+n2'2*,(α/2)+m;*はLindahl均 衡 の と き と 同 様 に 各 消 費 者 の 限 界 代 替 率 に 等 し く, そ れ ら の 値 を 公 共 財 の 供 給 量 に 掛 け 合 わ せ た 量 を
消 費 者1,2の 私 的 財 の 初 期 保 有 か ら 支 払 っ て い る と み る こ と が で き よ う ◎
こ う し て 考 え て み る と,こ の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム に よ る 資 源 配 分(㎡(m*),勇Qが),ゲ(mつ)は
Lindah1配 分 に 等 し い こ と に 気 が 付 く。 す な わ ち,(α/2)+mTz*=rl,(α/2)+n2r1*=・r2と み な せ ば,条 件 式(22)と(23)はそ れ ぞ れLindahl均 衡 の 条 件 式 の ω と ㈲ に 同 じ で あ り,
(a2+栃 ・)+(a2+n2r1*)一 α
はLindahl均 衡 の 均 衡 条 件 式 の ㈹ に 同 じで あ る。
さ ら に,結 果 関 数 の 私 的 財 に 関 す る規 則 よ り,
Cm*)+(a2+m'*)2(nZz1*+mzz*)一 ω ・
鋼+(号+fir*1)(mz*+mzz*)一 ω ・
で あ り,こ れ ら は そ れ ぞ れLindah1均 衡 の と き の 予 算 制 約 式(12)と(13)に等 し い 。 こ の よ う に,か な り 大 ま か で は あ る が,本 稿 の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム
〈M,g{m)〉 が ナ ッ シ ュ 均 衡 に お い てLindahl配 分 を も た ら す こ と,っ ま りLindahl配 分 を ナ ッ
シ ュ ・イ ン プ リ メ ン ト し て い る こ と が わ か る 。 も ち ろ ん,パ レ ー ト最 適 条 件(7)が 満 た さ れ る こ と は 明 ら か で あ り,そ れ は ⑳,⑳,㈱ か ら容 易 に 計 算 で き る 。
6結 語
本 稿 で の 資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム の 方 法 に 問 題 点 が あ る と す れ ば 次 の よ うな こ と に な る だ ろ う。
・資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム が 経 済 主 体 に受 け入 れ ら れ る と して い る。
・ナ ッ シ ュ均 衡 に 表 現 さ れ た 非 協 力 的 行 動 だ け を 考 え て い る。
・消 費 者 が2人 で 私 的 財 と公 共 財 も1種 類 ず っ と い うモ デ ル で 一 般 性 に か け る。
こ れ らに た い して そ れ ぞ れ 次 の よ う に答 え る こ と が で き よ う。
・資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム が ど の よ う に して 経 済 主 体 に受 け 入 れ られ るか と い う問 題 は資 源 配 分 メ カ ニ ズ ム の 設 計 を 意 図 した本 稿 の範 囲 外 で
公 共 財 の 配 分 メ カ ニ ズ ム と私 的 イ ンセ ンテ ィヴ 一69一
あ る。 こ の 問 題 は も っ と広 い観 点 か ら捉 え る の が 適 切 と思 わ れ る。
・ナ ッ シ ュ均 衡 以 外 の非 協 力 的 行 動 を 考 察 す る こ と は大 き な 課 題 で あ る。 しか しな が ら,他 の 研 究 を み て もナ ッ シ ュ均 衡 の な か か ら あ る 性 質 を 持 っ た 解 を と りだ して 研 究 して い る も の が 多 く,現 状 で は ま ず ナ ッ シ ュ均 衡 で 考 え る こ と か ら は じ め る の が 一 つ の 方 法 で あ ろ う。
・問 題 点 を 明 確 に す る た め に 最 も簡 単 な か た ち で 議 論 した 。 と くに 本 稿 の 扱 っ た 問 題 は3人 以 上 の 場 合 な らWalker(1981)が 示 した よ う
な イ ン プ リメ ン トの しか た が あ るが,2人 だ け の ケ ー スで は一 見 問 題 が 簡 単 に な った よ う で 実 は 解 く こ と が 難 し くな っ て い る。 さ ら に,こ の2人 で の 方 法 は2人 以 上 で 私 的 財 も 公 共 財 も そ の 種 類 が 複 数 を 許 す よ うな モ デ ル へ 拡 張 可 能 で あ る。 こ れ に つ い て は Yoshioka(1993)を 参 照 さ れ た い 。
本 稿 で はLindahlの 方 法 を 私 的 な イ ン セ ン テ ィ ヴ と い う点 か らそ の 問 題 に っ い て 説 明 し,そ の 私 的 イ ン セ ンテ ィ ヴ を 考 慮 に入 れ た 公 共 財 の 配 分 メ カ ニ ズ ム を 設 計 して 解 説 を 加 え た 。 問 題 の 要 点 を 伝 え る た め に概 略 を 説 明 して 細 か な 部 分 に言
及 して い な い上 に,未 解 決 の 点 や ま だ 論 じ られ て い な い点 も あ ろ うが,そ れ ら は今 後 の 課 題 と して そ の 検 討 は 別 の 機 会 に 譲 る。
<引 用 文 献 ・ 参 考 文 献>
Groves,T.andJ.O.Ledyard(1977)"OptimalAllocationof PublicGoods:ASolutiontothe'FreeRider'Problem", Econometrica.
Hurvaicz,L.(1979a)̀"OutcomeFunctionsYieldingWalra‑
sianandLindahlAllocationsatNashEquilibrium Points",ReviewofEconomicStudies.
Hurwicz,L.(1979b)"BalancedOutcomeFunctionsYield‑
ingWalrasianandLindahlAllocationsatNashEquilibri‑
umPointsforTwoorMoreAgents",inJ.GreenandJ.A.
Scheinkmaneds.GeneralEquilibrium,Growth,andTrade, AcademicPress,NewYork.
Lindahl,E.(1919)DieGerechtigkeitderBesteuerung,Lund.
Samuelson,P.A.(1954)"ThePureTheoryofPublicEx‑
penditure",ReviewofEconomicsandStatistics.
Tian,G.(1989)'"lmplementationoftheLindahlCorre‑
spondencebyaSingle‑Valued,Feasible,andContinuous Mechanism",ReviewofEconomicStudies.
Vega‑Redondo,F.(1985)"NashImplementationoftheLin‑
dahlPerformanceinEconomieswithJustTwoConsum‑
ers‐AnImpossibilityResult‑一",EconomicsLetters, Walker,M.(1981)"ASimpleIncentiveCompatibleScheme
forAttainingLindahlAllocations",Econometrics.
Yoshioka,T.(1993)"AnIncentiveCompatibleTaxRulefor AttainingLindahlAllocations",EconomicStudiesQuar‑
terly.
