フリーズパターンと多角形の三角形分割 橋本 浩介

フリーズパターンと多角形の三角形分割

 橋本 浩介 

(

)

§ 1. Introduction

フリーズパターンとは、あるルールに基づいて作られる数の並びのことである。

フリーズパターンを生成するためのルールは一通りではない。フリーズパターン を生成するルールをある種のものに限ると、フリーズパターンは繰り返し模様に

なる。

1970

Conway

Coxeter[3]

な性質を持っていることを発見した。この数の並びは現在

A

(Conway-Coxeter

)

本論文では、

A

Conway

Conway

A

ることができることを用いて、正多角形の三角形分割の対称性と

A

§ 2. ^{フリーズパターン}

この章では、

[2]

A

(Conway-Coxeter

)

2.1. A

(Conway-Coxeter

)

A

(Conway-Coxeter

)

段、最下段に

1

a,b,c,d

ad = bc + 1

b

a d

(ad =

+ 1)

このことから、a,b,cがわかると、d

= (bc + 1)/a

d

このルールを用いることにより、最上段、最下段の

1

(1)

(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

(1)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 1 5 1

1 3 3 3 1 4 4 1

1 4 4 1 3 3 3 1

1 5 1 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(2)

(2)

これは繰り返し模様になる。

A

1

n

A

A

A

2.2. A

A

1

d(=(bc + 1)/a)

質を

Conway-Coxeter

2

Conway-Coxeter

§ 3. Conway ^{の魔法の定理}

A

Conway

Conway

Conway

3.1. Conway

世の中には右の図のような、様々な対称を持つ模様が存在 する。この模様は

5

(

)

この節では、右の図やフリーズパターンに現れる対称性を 数学的に分類するために、それぞれの対称性について

Conway

＊

定義

3.1.1(

)

1

Conway

∗

●*3

定義

3.1.2(

)

2

≧ 2)

n

n

Conway

∗ n

3

3

∗ 3

(n= ∞ )

Conway

∗∞

2

(a

b

· · · )

∗ abc · · ·

(ただし、a ≧ b ≧ c ≧ · · ·

)

●4

定義

3.1.3(

)

回転させると元の模様に戻るような対称性のことを旋回と いい、回転の中心を旋回点という。例えば、右の模様には、

90

,180

,270

,360

4

4

n

n

い、

Conway

n

(

Conway

4

である。

)

1

360

(

)

(n= ∞ )

は、

Conway

∞

2

(a

位の旋回、

b

c

· · · )

abc · · ·

(

だし、a

≧ b ≧ c ≧ · · ·

・ ・

3.1.4(

)

平行移動した方向と垂直な軸に対して折り返しをする対称性 をすべり鏡映という。

(

:

)

Conway

定義

3.1.5(

)

対称性がなく、２つの方向へ平行に移動させるだけの対称性 を平行移動という。平行移動の

Conway

o

3.2. Conway

前節では、

5

[1]

定理

3.1. Conway

(

)

 帯模様の繰り返し模様のパターンは次の

7

∗∞∞ , ∞∞ , ∗ 22 ∞ , ∞∗ , 2 ∗ ∞ , 22 ∞ , ∞

ただし、帯模様の対称性は、球面の赤道上に帯模様を貼り付けて調べるため、帯 模様において、

∗∞

∞

3.3.

Conway

定理

3.1

7

2.2

2

すべり鏡映、のいずれかが存在することと同じである。このことから、次のこと がわかる。

定理

3.2.

A

4

∗ 22 ∞ , ∞∗ , 2 ∗ ∞ , ∞

§ 4. A _n 型フリーズパターンと三角形分割

この章では、三角形分割した

(n + 3)

A

分かりやすくするために、

n = 3

0 1

1

1 1

2

0 1 1

1 2

3 0

1

1 2

3 5

1 1 1

2 1

1 2

3 0

1 3 5

数字の割り振り方は次の通りである。

1.

1

0

2. 0

1

3.

a,b

a + b

4.

0

1

これらのルールによって、すべての六角形の頂点に上の図のように数字を割り振 り終えたら、次のように

A

0

0

1

1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 2 1 3 2

1 2 5 1 2 5 1

1 3 2 1 3 2 1

1 1 1 1 1 1 1

このような方法で作られたフリーズパターンをよく見ると、

A

(n + 3)

A

§ 5. A _n ^{型フリーズパターンの} Conway ^{記号の決定}

この章では、第

4

A

,A

,A

Conway

5.1.

A

Conway

(n = 3, 4, 5

)

5.1.1.

4

である。

① ② ③ ④

それぞれに対応するフリーズパターンと

Conway

⃝ 1 ^{1 1 1 1 1 1 1}

2 2 2 1 4 1 2

3 3 1 3 3 1 3

4 1 2 2 2 1 4

1 1 1 1 1 1 1

Conway

: 2 ∗ ∞

(4

1

2

⃝ 2 ^{1 1 1 1 1 1 1}

2 1 3 2 1 3 2

1 2 5 1 2 5 1

1 3 2 1 3 2 1

1 1 1 1 1 1 1

Conway

: ∞∗

(2

)

⃝ 3 ^{1 1 1 1 1 1 1}

3 1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2 2

3 1 3 1 3 1 3

1 1 1 1 1 1 1

Conway

: 2 ∗ ∞

⃝ 4 ^{1 1 1 1 1 1 1}

1 2 3 1 2 3 1

1 5 2 1 5 2 1

2 3 1 2 3 1 2

1 1 1 1 1 1 1

Conway

: ∞∗

5.1.2.

6

である。

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

それぞれに対応するフリーズパターンと

Conway

5.1.3.

19

⃝

たパターンを考え、次に

2

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩

⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲

それぞれに対応するフリーズパターンと

Conway

5.2.

前節で、正六角形、正七角形、正八角形の三角形分割全てのパターンのフリー ズパターンと

Conway

Conway

A

,A

,A

定理

5.1

A

(n = 3, 4, 5)

正

(n + 3)

(a)

(b) 180

(1) (a)

Conway

2 ∗ ∞ (2) (b)

Conway

∞∗

(3) (a),(b)

Conway

∗ 22 ∞

(4) (a),(b)

Conway

∞×

上の定理は

n=3,4,5

n

参考文献

[1]

,

, 2016.

[2]

,

-

,

http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20120810FriezePattern.pdf.

[3] J.H.Conway and H.S.M.Coxeter,“Triangulated polygons and frieze patterns”

Math. Gaz. 57 (1973), 87-94 , 175-183.

七角形の三角形分割に対応するフリーズパターンと

Con w a y

1 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 5 1 2 3 3 3 1 4 4 1 3 4 4 1 3 3 3 1 4 5 1 2 2 2 2 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

2 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 4 2 1 2 5 3 1 3 7 1 2 3 7 1 2 5 3 1 3 4 2 1 3 2 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Con w a y

: 2 ∗ ∞ Con w a y

: ∞

3 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 1 4 1 3 2 2 5 1 3 3 2 2 3 3 2 2 2 5 1 3 4 1 3 1 3 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1

4 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 4 1 2 5 2 2 2 3 3 1 5 3 3 1 5 2 2 2 3 4 1 2 3 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Con w a y

: ∞

Con w a y

: ∞

5 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 2 4 1 2 3 5 2 1 7 3 1 3 7 3 1 3 5 2 1 7 4 1 2 2 3 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1

6 ⃝

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 3 1 1 5 5 1 2 8 2 1 2 8 2 1 5 5 1 2 3 3 1 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Con w a y

: ∞

Con w a y

: 2 ∗ ∞

八角形の三角形分割に対応するフリーズパターンと

Con w a y

(1) 1 ⃝

111111111 222221612 333315513 444144414 551333315 612222216 111111111

2 ⃝

111111111 322215213 533149125 741374137 912533149 213222152 11111111

Con w a y

: 2 ∗ ∞ Con w a y

: ∞

3 ⃝

111111111 221513132 314422253 133713371 225314422 132215131 111111111

4 ⃝

111111111 123132151 152251441 233323332 144152251 151231321 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: 2 ∗ ∞ 5 ⃝

111111111 231315122 522244135 331733173 413522244 122313151 111111111

6 ⃝

111111111 125122231 194133521 473147314 352194133 231251222 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: ∞

7 ⃝

111111111 221431232 3131121553 128712871 1553131121 232214312 111111111

8 ⃝

111111111 142141321 371332513 532253225 251371332 321421413 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: ∞

9 ⃝

111111111 213313142 128222371 155315531 237128222 142133131 111111111

10

⃝

111111111 312421323 217712552 13123131231 255217712 323124213 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: 2 ∗ ∞

八角形の三角形分割に対応するフリーズパターンと

Con w a y

(2) ⃝

111111111 214221422 137313731 25101251012 373137313 422142214 111111111

12

⃝

111111111 214141232 133331551 228222822 155133331 232141412 111111111

Con w a y

: ∞∗ Con w a y

: 2 ∗ ∞ ⃝

111111111 141314131 332233223 251525152 322332233 131413141 111111111

14

⃝

111111111 312413133 217322282 135513551 228217322 133124131 111111111

Con w a y

: ∗ 22 ∞ Con w a y

: ∞

⃝

111111111 241231412 731523317 522352235 331731523 412412314 111111111

16

⃝

111111111 412241224 313731373 21105211052 137313731 224122412 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: ∞∗

18

⃝

111111111 312331233 215821582 12135121351 158215821 233123312 111111111

Con w a y

: ∞

Con w a y

: ∞∗

Con w a y

: ∞∗