1Introducci´on EnnisRosas CarlosCarpintero α -S-LocallyFinitePropertyis α -Semi-Open TheIntersectionofanArbitraryFamilyofOpenSubsetswiththe α -S-LocalmenteFinitaes α -Semiabierta LaIntersecci´onArbitrariadeunaFamiliadeSubconjuntosAbiertosconlaPropiedad

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La Intersecci´ on Arbitraria de una Familia de Subconjuntos Abiertos con la Propiedad

α-S-Localmente Finita es α-Semiabierta

The Intersection of an Arbitrary Family of Open Subsets with the α-S-Locally Finite Property is α-Semi-Open

Carlos Carpintero

([email protected])

Ennis Rosas

([email protected]) Departamento de Matem´aticas.

Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.

Cuman´a. Venezuela.

Resumen

En este trabajo buscamos condiciones necesarias y suficientes para que la intersecci´on arbitraria de conjuntos abiertos seaα-semiabierta.

Palabras y frases clave: α-semiabierto, propiedadα-SLF, operador estrella.

Abstract

In this work we look for a necessary and suficient condition in order that the arbitrary intersection of open sets isα-semi-open.

Key words and phrases: α-semi-open,α-SLF property, star opera- tor.

1 Introducci´ on

Después de los trabajos de Levine [4], una gran cantidad de matemáticos cen- traron su atención en la generalización de conceptos topológicos, considerando conjuntos semiabiertos en lugar de los conjuntos abiertos usuales. La noción de operador fué introducida posteriormente por Kasahara en [1]. Rosas y Vielma en [2] introducen el concepto de conjunto α-semiabierto, el cual ge- neraliza las nociones anteriormente citadas y observaron que la intersección

Recibido 1999/04/06. Revisado 1999/09/17. Aceptado 2000/04/01.

MSC (2000): Primary 54A05; Secondary 54A10, 54D10.

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de dos conjuntosα-semiabiertos no es necesariamenteα-semiabierta. En este trabajo se plantean ciertas condiciones a un operadorαpara obtener condiciones necesarias y suficientes para que la intersecci´on (resp. uni´on) arbitraria de conjuntos abiertos (resp.cerrados) sea α-semiabierta (resp. α-semicerrada).

2 Operadores asociados y conjuntos α-semiabiertos

A continuaci´on daremos una serie de definiciones y teoremas que son nece- sarios para el desarrollo del trabajo. P(X) denotar´a la familia de partes del conjunto X.

Definición 1 ([2]). Sea (X,Γ) un espacio topológico. Una funciónαdeP(X) en P(X) se dice que es un operador asociado con Γ si satisface la siguiente propiedad: U ⊆α(U) para todoU ∈Γ.

Observemos que el dominio de un operador es todoP(X) y no solamente los conjuntos abiertos, como originalmente lo define Kasahara en [1].

Ejemplo 1. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico. Entoncesα, β:P(X)→P(X) dados por α(A) = A, β(A) = cl(A) para todo A ∈ P(X) son operadores asociados a Γ en el sentido de la definici´on anterior, denominados identidad y clausura respectivamente.

Ejemplo 2. Sean X ={a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b}}y α: P(X) → P(X) dado por α(A) =f r(A)^c para A∈P(X). Entoncesαes un operador asociado a Γ.

Observe que: α(A) =

X siA∈ {∅, X},

{a, b} siA∈P(X)− {∅, X}.

Ejemplo 3. Sea Rcon la topolog´ıa usual, Entonces α:P(R)→ P(R) dado por:

α(A) =





A si 0∈A cl(A) si 0∈/ A6=∅ {1} siA=∅ es un operador asociado a la topolog´ıa usual de R.

Ejemplo 4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yα:P(X)→P(X) un operador asociado a Γ. SiV es un subconjunto deX distinto del vac´ıo, arbitrario pero fijo, entonces β : P(X) → P(X) dado por β(A) = α(A)∪V para todo A∈P(X) es un operador asociado a Γ distinto deα.

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Definición 2 ([2]). Sea (X,Γ) un espacio topológico yαun operador asociado con Γ. Un subconjunto AdeX esα-semiabierto si existe un conjunto abierto U ∈ Γ tal que U ⊆A ⊆ α(U). Un subconjunto A de X se dice α- semicerrado si el complemento deAes un conjuntoα-semiabierto. α-SO(X) denotará la colección de todos los conjuntosα-semiabiertos deX.

Definici´on 3. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yαun operador asociado con Γ. Decimos que un subconjunto AdeX es unaα-semivecindad de un punto x∈X,si existeO∈α-SO(X) tal quex∈O⊆A.

Observemos que la definición 2 generaliza la noción de conjunto semi abier- to dado por Levine en [4], en el sentido que los conjuntos semiabiertos según Levine son conjuntos clausura semiabiertos. Cuando el operadorαes la identidad, entonces los conjuntos α semiabiertos son justamente los conjuntos abiertos. Además para un operadorαarbitrario todo conjunto abierto esα- semiabierto, esto es, Γ⊆α-SO(X). Observemos también que la definición 3 generaliza la noción usual de vecindad de un punto, ya que cuandoαes el operador identidad, la definición anterior coincide con la definición de vecindad.

También podemos notar que cuandoαes el operador clausura, la definición anterior coincide con la definición dada en [3].

Cabe destacar que en general la intersecci´on arbitraria de una familia de conjuntosα-semiabiertos (resp. abiertos) no necesariamente esα-semiabierta (resp. abierto). Los ejemplos siguientes ilustran ciertas situaciones interesan- tes.

Ejemplo 5. Anteriormente observamos que Γ⊆α-SO(X). Veremos que en general la inclusi´on es estricta. SiX ={a, b, c}, Γ ={∅, X,{a},{b},{a, b}}y αes el operador clausura asociado a Γ, entoncesA={a, c} esα-semiabierto, pues {a} ⊆A⊆α({a}), peroA /∈Γ.

Ejemplo 6. Con respecto al operador descrito en el ejemplo 2, observe que α(∅) = X, luego P(X) =α-SO(X), en este caso A = {a, c} y B = {b, c} est´an enα-SO(X), peroA∩B={c}∈/ Γ, asi la intersecci´on de conjuntos α semiabiertos no es abierta.

Ejemplo 7. En relación al ejemplo 3, nótese que {(−1/n,1/n) : n ∈ Z⁺} es una colección de conjuntos abiertos cuya intersección no esα-semiabierto, puesT∞

n=1(−1/n,1/n) ={0}y el ´unico conjunto abierto contenido en{0}es el conjunto vac´ıo, luego si {0} ∈ α-SO(R) entonces∅⊆ {0} ⊆α(∅) = {1}, lo cual es imposible. As´ıT_∞

n=1(−1/n,1/n)∈/ α-SO(R).

Ejemplo 8. Sea X un espacio topol´ogico de Hausdorff y A un subconjun- to finito de X. Consid´erese un operador β definido como en el Ejemplo 4.

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Entonces α-SO(X) ⊂ β-SO(X). Adem´as la contensi´on es estricta, pues el conjunto Aesβ-semiabierto pero noα-semiabierto.

En la siguiente definici´on se introducen propiedades de un operador asociado a una topolog´ıa las cuales traen consecuencias muy ´utiles en este trabajo.

Definici´on 4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yαun operador asociado a Γ.

Decimos queαes un operadorestrella si satisface la siguiente propiedad: para todo parU, V de conjuntos abiertos en Γ se tiene queα(U)T

V ⊆α(UT V).

Definición 5. Sea (X,Γ) un espacio topológico yαun operador asociado a una topolog´ıa Γ. Decimos que αes un operador monótono si para todo par U, V de conjuntos abiertos en Γ tales queU ⊆V ocurre queα(U)⊆α(V).

Ejemplo 9. En relación con el ejemplo 4, observe que si el operador α es monótono (resp. estrella) entonces el operadorβ es monótono (resp. estrella).

Los operadores: identidad y clausura son mon´otonos y estrella, mientras que el operador αdefinido por α(V) = f r(V)^c, para V ∈Γ, donde f r(V) es la frontera de V, es estrella y no es mon´otono.

Ejemplo 10. Sea X = {a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}} y β el operador definido como sigue:

β(A) =

A sib /∈A cl(A) sib∈A

Observe que β es un operador mon´otono, el cual no es estrella, ya que si tomamos V ={a, b} y U = {a, c}, entonces β(U ∩V) =β({a}) = {a} y β(V)∩U =X∩ {a, c}={a, c}

Observe que según lo visto en estos dos últimos ejemplos, la noción de operador estrella y de operador monótono son nociones dis´ımiles.

En [2] se estudian y caracterizan los operadores monótonos y se prueba que si un operador αes monótono entonces la unión de conjuntosα-semiabiertos esα-semiabierta. Usando este hecho podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado con Γ. Un subconjunto H de X es αsemiabierto si y solo si H es una α-semivecindad de cada uno de sus puntos.

Demostraci´on. Sup´ongase queHes unaα-semivecindad de cada puntox∈H.

Esto significa que para cada x∈H existeOx∈α-SO(X) tal que x∈Ox ⊂ H. Por lo tanto, como α es mon´otono, H = S

x∈HOx es α-semiabierto.

El siguiente teorema caracteriza a los conjuntos α-semiabiertos, cuando el operador es mon´otono.

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Teorema 2. Sea (X,Γ) un espacio topológico y α un operador monótono asociado con Γ. Un subconjunto A de X es α semiabierto si y sólo si A ⊆ α(int(A)).

Demostraci´on. Supongamos que A es un conjunto α-semiabierto, entonces existeU ∈Γ tal queU ⊂A⊂α(U), esto implica queA⊆α(int(A)).

Rec´ıprocamente, siA⊆α(int(A)), entonces tomandoU =int(A) obtene- mos queU ⊂A⊂α(U) y as´ıA es un conjuntoα-semiabierto.

Teorema 3. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico,αun operador mon´otono aso- ciado conΓy Aun subconjunto α-semiabierto deX. Si B es un subconjunto deX tal queA⊆B⊆α(int(A)), entoncesB es un conjuntoα-semiabierto.

Demostraci´on. Como A ⊆ B, entonces α(int(A)) ⊆ α(int(B)), luego B ⊆ α(int(B)), ahora usando el teorema anterior el resultado sigue.

Definici´on 6. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador asociado con Γ. Decimos queαes un operadoridempotente siα²=α.

Ejemplo 11. Sea X = {a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}} y β el operador definido por:

β(A) =

A sib∈A cl(A) sib /∈A Es f´acil observar queβ es un operador idempotente.

El siguiente teorema nos da una relaci´on estrecha entre operadores mon´otonos, operadores idempotentes y conjuntosα-semiabiertos.

Teorema 4. Sean (X,Γ) un espacio topol´ogico, α un operador mon´otono e idempotente asociado con Γ y A un conjunto α-semiabierto. Si B es un subconjunto de X tal que A ⊆ B ⊆ α(A), entonces B es un conjunto α- semiabierto.

Demostraci´on. Supongamos que A ⊆ B ⊆ α(A). Luego int(A) ⊆ int(B) y como α es mon´otono, se tiene que α(int(A)) ⊆ α(int(B)). Ahora usan- do el hecho de que A es un conjunto α-semiabierto, obtenemos que A ⊆ α(int(A))⊆α(int(B)), peroαes idempotente, as´ıα(A)⊆α(int(B)). Luego B ⊆α(int(B)) y as´ıB es un conjuntoα-semiabierto.

Es de observar que, en general, la intersecci´on de un conjunto abierto con un conjuntoα-semiabierto no es un conjuntoα-semiabierto, como lo indica el siguiente ejemplo.

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Ejemplo 12. SeaRel conjunto de los n´umeros reales dotado de la topolog´ıa usual, y definamosαcomo sigue:

α(A) =

cl(A) si 0∈A, A si 0∈/ A.

N´otese que el intervalo [−1,1] es un conjunto α-semiabierto y (0,2) es un conjunto abierto, luego [−1,1]∩(0,2) = (0,1] no es un conjuntoα-semiabierto.

Estamos interesados en buscar condiciones para las cuales se cumpla que la intersección de un conjunto abierto con un conjuntoα-semiabierto sea α- semiabierto. Observe que el operador definido en el ejemplo anterior es distinto del operador clausura como también del operador iidentidad, además, este operador no es un operador estrella. El siguiente teorema nos da una condición necesaria que debe satisfacer el operadorαpara que la intersección de un conjunto abierto con un conjunto α-semiabierto sea α-semiabierto. Es de observar que dicho teorema generaliza el resultado dado en [3].

Teorema 5. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador estrella aso- ciado con Γ.Si A∈Γ y O∈α-SO(X), entoncesO∩A∈α-SO(X).

Demostraci´on. Por hip´otesis O ∈ α-SO(X), entonces existe U ∈ Γ tal que U ⊆O⊆α(U),luegoU∩A⊆O∩A⊆α(U)∩A⊆α(U ∩A) ya queαes un operador estrella, peroU∩A∈Γ. Esto nos indica queO∩A∈α-SO(X).

En la siguiente sección estudiamos una generalización de la propiedad de la intersección finita, considerando conjuntos α-semiabiertos, la cual jugar´a un papel importante para obtener el resultado buscado en este trabajo.

3 Propiedad α-s-localmente finita

Definición 7. Sea (X,Γ) un espacio topológico yαun operador asociado con Γ. Decimos que una familia{A_i}i∈I de subconjuntos deX tiene la propiedad α-S-localmente finita, denotada por α-SLF, si para cada x ∈ X existe una α-semivecindad Ox de x tal que Ox∩Ai =∅ para todo i ∈ I excepto un número finito.

Como comentario a la definici´on anterior podemos decir que una familia {Ai}ⁱ∈I tiene la propiedadα-SLF enx, si existe unaα-semivecindadOxdex y un subconjunto finito Ω0 deI, tal que Ox⊂T

i∈I−Ω₀A^c_i.

Observe que cuando α es el operador identidad la propiedad α-SLF es equivalente a la propiedad localmente finita estudiada en topolog´ıa general y

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cuandoαes el operador clausura, la propiedadα-SLF es equivalente a la dada por Caldas.

Definici´on 8. Sea (X,Γ) un espacio top´ologico y α un operador asociado con Γ. Una familia {A_i}i∈I de subconjuntos de X tiene la propiedad α-S- localmente finita relativa a un subconjunto T de X si esta familia tiene la propiedadα-SLF en cada punto deT.

El siguiente teorema da una condici´on de equivalencia para que la intersecci´on de conjuntos abiertos sea α-semiabierto en t´erminos de la propiedad α-SLF.

Teorema 6. Sea (X,Γ) un espacio topólogico y α un operador estrella y monótono asociado conΓ.Una condición necesaria y suficiente para que la in- tersección de una familia {Ai}ⁱ∈I de subconjuntos abiertos seaα-semiabierta es que la familia {A^c_i}ⁱ∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto A=T

i∈I A_i.

Demostraci´on. (Suficiencia) Sup´ongase que la familia{Ai}ⁱ∈I tiene la propiedad α-SLF relativa al subconjunto A = T

i∈I Ai, donde Ai ∈ Γ. Conside- remos x ∈ A. Por hip´otesis existe un subconjunto finito Ω0 de I y una α- semivecindadO_xdextal queO_x⊂T

i∈I−Ω₀A_i. LuegoU =O_x∩(T

i∈Ω₀A_i)⊂ (T

i∈I−Ω₀A_i)∩(T

i∈Ω₀A_i) =A.

Observe que T

i∈Ω₀A_i ∈ Γ y O_x ∈ α-SO(X). Como α es un operador estrella, concluimos queU esα-semiabierto y as´ıAes unaα-semivecindad de cadax∈A; peroαes mon´otono, as´ı queA esα-semiabierto.

(Necesidad) Sup´ongase que A = T

i∈I A_i es α-semiabierto, entonces A^c = S

i∈IA^c_i esα-semicerrado. SeaV =A, entonces V es unaα-semivecindad de cada uno de sus puntos tal queV∩A^c=∅. ComoV∩A^c=V∩(S

i∈ΩA^c_i) = S

i∈Ω(V ∩A^c_i) obtenemos queV ∩A^c_i =∅para todoi∈I,esto nos dice que la familia{A^c_i}ⁱ∈I satisface la propiedadα-SLF en cada punto deA.

Ejemplo 13. Nótese que{(−1/n,1/n) :n∈Z⁺}es una colección de conjuntos abiertos en la topolog´ıa usual deRcuya intersección es un conjunto cerra- do, puesto queT∞

n=1(−1/n,1/n) ={0}. Siαes definido porα(V) =f r(V)^c, para V abierto en la topolog´ıa real, dondef r(V) denota la frontera deV, se observa que el único conjunto abierto contenido en{0} es el conjunto vac´ıo, luego ∅⊆ {0} ⊆α(∅) =R y as´ı{0} ∈α-SO(R), además esta colección no satisface la propiedadα-SLF.

Corolario 1. Sea (X,Γ) un espacio topólogico y α un operador estrella y monótono asociado con Γ. Una condición necesaria y suficiente para que la

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uni´on de una familia {A_i}i∈I de subconjuntos cerrados sea α-semicerrada es que la familia {A^c_i}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto D= (S

i∈I A_i)^c.

Demostraci´on. Aplique el teorema anterior.

Observe que la condición de que α sea un operador monótono no pue- de ser omitida en los dos últimos resultados, porque exactamente es ésta la condición que se necesita para asegurar que la unión arbitraria de conjuntos α-semiabiertos seaα-semiabierta.

Finalmente daremos un ejemplo de un operador estrella y mon´otono di- ferente de los operadores identidad y clausura. Observe que el operador α definido por α(V) = f r(V)^c es un operador estrella pero no es mon´otono.

Ahora consideremos un espacio topol´ogico de Hausdorff X y seaA un subconjunto finito de X. El operadorαdefinido porα(V) =A∪Cl(V) para V abierto enX, dondeCl(V) denota la clausura deV, es un operador mon´otono y estrella. SO(X) ⊂α-SO(X), A es un conjunto α-semiabierto pero no es semiabierto.

Referencias

[1] Kasahara, S. Operations-Compact Spaces, Mathematica Japonica 24 (1979), 97–105.

[2] Rosas, E., Vielma, J., Carpintero, C., α-Semi Connected and Locally α- Semi Connected Properties in Topological Spaces, submitted.

[3] Caldas C., M. La Intersecci´on Arbitraria de una Familia de Subconjun- tos Abiertos con la propiedad S Localmente Finita es Semi-Abierta, PRO MATHEMATICA, Vol X Nos. 19-20 (1996), 35–42.

[4] Levine, N. Semi-Open Sets and Semi-Continuity in Topological Spaces, Amer. Math. Monthly70(1963), 36–41.