Homogeneizaci´ on Peri´ odica de una Clase de Funcionales No-Coercivos

Homogeneizaci´ on Peri´ odica de una Clase de Funcionales No-Coercivos

Periodic Homogenization of a Non-coercive Class of Functionals Gaetano Tepedino Aranguren

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes

M´erida, Venezuela Resumen

En la pasada d´ecada varios autores demostraron resultados concer- nientes a la Γ-convergencia de familias de funcionales no coercivos de la formaJ=

R

Ωf(x,^x, u(x),∇u(x))dxpara→0, bajo ciertas condi- ciones enf (ver por ejemplo [4], [3], [1], [5], [6]). Este trabajo usa esos resultados existenciales del Γ-l´ımite para contruir una f´ormula que nos proporciona, mediante un esquema variacional, el c´omputo del mismo cuandof(x, ., u, z) esY-peri´odica. Se estudia primero el casof(^x,∇u) para el cual la demostraci´on del caso no coercivo es esencialmente la misma que la del caso coercivo; este ´ultimo est´a presentado en [4]. Del estudio de ese caso se desprenden f´ormulas para el caso general aqu´ı considerado. El trabajo concluye probando que, bajo ciertas condicio- nes especiales parafse tiene que para todo Ω⊂^RN abierto y acotado y para todau∈W^1,p(Ω) se tiene que

J(u) =

Z

Ω

fˆ(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(L^p(Ω)) lim

→0

Z

Ω

f(x,x

, u(x),∇u(x))dx, donde

fˆ(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper^1,p(Y)

.

La interpretaci´on f´ısica consiste en que conocida la estructura micros- c´opica de un medio f´ısico descripta porJ(u), entoncesJ(u) describir´a las propiedades macrosc´opicas de dicho medio.

Recibido 1998/09/25. Revisado 1999/04/12. Aceptado 1999/04/21.

MSC (1991): Primary 35B27; Secondary 73B27.

Palabras y frases clave: homogeneizaci´on, peri´odica, convexa, Γ- convergencia.

Abstract

During the last decade several authors proved results concerning the Γ-convergence of a class of non-coercive functionals of the form J =

R

Ωf(x,^x, u(x),∇u(x))dxas →0, under certain conditions on f (see for example [4], [3], [1], [5], [6]). This work uses those Γ-limit existence results to construct a formula which gives that limit when f(x, ., u, z) is Y-periodic. First the casef(^x,∇u) is studied, for which the proof in the non-coercive case is essentially the same as for the coercive case; this last case is presented in [4]. From the study of this case there follow formulae for the general case here considered. The paper ends proving that, under certain special conditions forf, for all Ω⊂^RN open and bounded and for allu∈W^1,p(Ω), it holds that

J(u) =

Z

Ω

fˆ(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(L^p(Ω)) lim

→0

Z

Ω

f(x,x

, u(x),∇u(x))dx,

where

fˆ(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper^1,p(Y)

.

The physical interpretation is that, known the microscopic structure of a physical medium described byJ(u), thenJ(u) describes the macro- scopic properties of such medium.

Key words and phrases: Homogenization, periodic, convex, Γ-con- vergence.

1 Definiciones y Notaciones

(1.1) (a) Dadox₀∈R^N,x₀= (x₀₁, . . . , x_0N), conx_0i>0,i∈ {1, . . . , N}, se denotar´a porY =Y(x₀) al rect´angulo abierto:

Y =

x∈R^N : 0< x_i < x_0i, i∈ {1, . . . N} (1.1)

(b) El volumen o medida de Lebesgue de este paralelep´ıpedo se denotar´a por

|Y|= YN i=1

x_0i=α (1.2)

Por lo tanto,∀δ∈N,δY es un paralelep´ıpedo abierto de volumen

|δY|=δ^N|Y|=δ^Nα (1.3) (c) Una funci´onu:R^N →Rse diceY-peri´odica si y s´olo si:

(∀x∈R^N,∀(δ1, δ₂, . . . , δ_N)∈Z^N) : u(x+ (δ₁x₀₁, δ₂x₀₂, . . . , δ_Nx_0N)) =u(x).

(d) La integral Z

A

∼f(x)dxes el promedio 1

|A|

Z

A

f(x)dx, donde|A|es el volumen deA.

(1.2) Dados N ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica; {gr}r>0 ⊂ L¹_loc(R^N), diremos que f ∈ H(N, a, p) si y s´olo si f : R^N ×R^N → R satisface las condiciones:

(a1) ∀z∈R^N :f(·, z) es medible,Y-peri´odica.

(a2) ∀y∈R^N :f(y,·) es convexa.

(a3) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀y, z∈R^N:

0≤f(y, z)≤a(y) +|z|^p (1.4) (ii) Sip=∞, entonces ∀x, z∈R^N,∀r >0,|z| ≤r:

0≤f(y, z)≤g_r(y) (1.5) (1.3) DadosN ∈N, 1 ≤p≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica; ω : R⁺ → R⁺ continua, creciente yω(0) = 0;b:R→Rcontinua;{gr}r>0⊂L¹_loc(R^N), diremos que f ∈ H(N, a, p, ω, b) si y s´e olo si f : R^N ×R^N ×R^N → R satisface las condiciones:

(b1) ∀y, z∈R^N :f(·, y, z) es medible.

(b2) ∀x, z∈R^N :f(x,·, z) esY-peri´odica, medible,

(b3) ∀x, y∈R^N :f(x, y,·) es convexa.

(b4) ∀x₁, x₂, y, z∈R^N:

|f(x₁, y, z)−f(x₂, y, z)| ≤ω(|x₁−x₂|) (a(y) +f(x₁, y, z)) (1.6) (b5) ∀x, y, z∈R^N se tiene

i) Si 1≤p <∞, entonces:

0≤f(x, y, z)≤b(x) (a(y) +|z|^p) (1.7) ii) Sip=∞, entonces si |z| ≤r:

0≤f(x, y, z)≤g_r(y)b(x) (1.8) (1.4) DadosN ∈N, 1 ≤p≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica; ω : R⁺ → R⁺ continua, creciente yω(0) = 0;b:R→Rcontinua;{g_r}r>0⊂L¹_loc(R^N), diremos quef ∈ H(N, a, p, ω, b) si y s´olo sif :R^N×R^N×R×R^N →R satisface las condiciones:

(c1) ∀y, z∈R^N;∀u∈R:f(·, y, u, z) es medible.

(c2) ∀x, z∈R^N;∀u∈R:f(x,·, u, z) esY-peri´odica, medible, (c3) ∀y, z∈R^N :f(·, y,·, z) es continua

(c4) ∀x, y∈R^N;∀u∈R:f(x, y, u,·) es convexa.

(c5) ∀x₁, x₂, y, z∈R^N;∀u₁, u₂∈R:

|f(x₁, y, u₁, z)−f(x₂, y, u₂, z)|

≤ω(|x₁−x₂| − |u₁−u₂|) (a(y) +f(x₁, y, u₁, z)) (1.9) (c6) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀x, y, z∈R^N;∀u∈R:

0≤f(x, y, u, z)≤b(x) (a(y) +|u|^p+|z|^p) (1.10) (ii) Sip=∞, entonces ∀x, y, z∈R^N;∀u∈R, ∀r >0,|z| ≤r:

0≤f(x, y, u, z)≤g_r(y)b(x) (1.11) Notar las inmersiones

H(N, a, p),→H(N, a, p, b, ω)e ,→ H(N, a, p, b, ω).

(1.5) DadoN ∈Nse denotar´a porA^N a la clase de todos los abiertos acotados deR^N.

(1.6) Si Ω∈ A^N se denotar´a porA(Ω) a la clase de todos los sub-conjuntos abiertosS⊂Ω para los cuales ¯S⊂Ω.

(1.7) Dado el paralelep´ıpedo Y definido en (1.1), C_per¹ ( ¯Y) denotar´a el con- junto de las funciones u ∈ C¹( ¯Y;R) que se extienden a todo R^N via Y-periodicidad. Es importante observar que

∀u∈C_per¹ ( ¯Y) : Z

Y

∇u(x)dx= (0,0, . . . ,0). (1.12)

Esto es una consecuencia del Teorema de la Divergencia de Gauss, del hecho obvio de que la frontera de Y es la uni´on de 2N hiperplanos de dimensi´onN−1 y de la periodicidad de u.

(1.8) Los espaciosW^1,p(Ω), W₀^1,p(Ω), W_per^1,p(Y), son respectivamente la com- pletacion de los espaciosC¹(Ω), C₀¹(Ω), C_per¹ (Y), bajo la norma usual:

kuk_1,p,Ω=kuk_p,Ω+k∇uk_p,Ω. (1.9) Trabajaremos con las siguientes m´etricas enC¹(Ω):

d_Ω(u, v) = ku−vk_p,Ω+k∇u− ∇vk_p,Ω=ku−vk_1,p,Ω σ_Ω(u, v) = ku−vk_p,Ω

τ_Ω(u, v) =

ku−vk_∞,Ω si sop (u−v)⊂Ω.

+∞ si sop (u−v)6⊂Ω.

Es decir, d_Ω es la m´etrica inducida por la norma k · k1,p,Ω y σ_Ω es la m´etrica inducida por la norma usual de L^p(Ω).

(1.10) Sea (E, τ) es un espacio topol´ogico el cual satisface el primer axioma de numerabilidad. El concepto de Γ-convergencia es usado en este trabajo en el sentido siguiente: seanA⊂E;S⊂R,a∈SyF_s:A→R,∀s∈S, una familia de funciones. Dadox∈A¯se dice que

λ= Γ(τ) lim

s→aF_s(x) (1.13)

si y s´olo si

(1) ∀{sn} ⊂S cons_n →ay∀{xn} ⊂A conx_n →xse tiene:

λ≤lim inf

n→∞ F_sn(x_n) (1.14)

(2) ∀{sn} ⊂S cons_n →a,∃{xn} ⊂Aconx_n→xpara el cual:

λ≥lim sup

n→∞ F_sn(x_n) (1.15)

DadosN ∈Ny Ω∈ A^N, el espacio topol´ogico que escogeremos esE=L^p(Ω) y A=W^1,p(Ω); donde, si 1≤p <∞entonces escogeremos paraEla topolog´ıa inducida por la m´etricaσ_Ω; y parap=∞, escojeremos paraE la topolog´ıa inducida por la m´etricaτ_Ω(definidas en (1.9)).

2 Homogeneizaci´ on en el caso Z

Ω

f ( x

, ∇u ) dx

Queremos investigar la Γ-convergencia expl´ıcita de la familia de funcionales:

J(u) = Z

Ω

f x

,∇u(x) dx ,

cuando→0, siendo f ∈ H(N, a, p).

Definici´on 2.1. Dados N ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica;

{gr}r>0 ⊂ L¹_loc(R^N) y f ∈ H(N, a, p), definimos el funcional fe: R^N → R como

f(z) = infe Z

Y

∼f(y,∇u(y) +z)dy : u∈W_per^1,p(Y)

. (2.1)

Para cada > 0, se definen los funcionales A : R^N → R y B :R^N →R como:

A(z) = inf Z

Y

∼f y

,∇u(y) +z

dy : u∈W₀^1,p(Y)

. (2.2)

B(z) = inf Z

Y

∼f y

,∇u(y) +z

dy : u∈W_per^1,p(Y)

. (2.3)

Se observa que,∀z∈R^N:

fe(z) =B₁(z). (2.4)

Adem´as como toda funci´on de W₀^1,p(Y) puede ser extendida a todo R^N viaY-periodicidad, entonces

W₀^1,p(Y),→W_per^1,p(Y) y por lo tanto∀z∈R^N,∀ >0:

B(z)≤A(z). (2.5)

Teorema 2.1. Si f ∈ H(N, a, p) y {n} ⊂ (0,+∞) con _n → 0, entonces existen {hn} ⊂ N mon´otona creciente y fb: R^N → R tales que ∀Ω ∈ A^N,

∀u∈W^1,p(Ω):

Z

Ω

fb(∇u)dx = Γ(σ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx

= Γ(τ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx

= Γ(d^∗_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx. (2.6)

Demostraci´on: En [1] se demuestra la existencia de una funci´on fb:R^N×R^N →R

y de una sucesi´on {h_n} ⊂ N mon´otona creciente, tales que ∀Ω ∈ A,∀u ∈ W_per^1,p(Ω) se satisfacen los Γ-l´ımites:

Z

Ω

fb(x,∇u)dx = Γ(σ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx

= Γ(τ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx

= Γ(d^∗_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f x

_hn,∇u

dx. (2.7)

Veamos que∀z∈R^N :fb(·, z) es constante en casi todas partes. SeaR >0 y B =B(θ, R). Usemos la Γ-convergencia mencionada escogiendo Ω =B. Sea {_n} ⊂(0,+∞) con_n→0 y sea{_nk}la subsucesi´on obtenida. Seay∈R^N fijo y escojamos{y_k} ⊂R^N yz_k = y_k

_nk de tal forma que

k→∞lim y_k=y , f(x+z_k,·) =f(x,·). (2.8) Seanr_k=R(1−1

k) yB_k=B(θ;r_k), entonces

∀k≥2 : B_k ⊂B_k+1 ⊂B. (2.9)

Paraξ∈Rⁿ sea

u(x) =hξ, xi. (2.10)

Claramente

u∈W^1,p(B) y ∇u(x) =ξ. (2.11) Entonces por definici´on de Γ-convergencia existe{u_k} ∈W^1,p(B) tal que

lim_k→∞kuk−ukp,B= 0

y (2.12)

Z

B

f˜(x,∇u)dx= lim

k→∞

Z

B

f x

_nk,∇uk

dx.

Sea >0, de (2.8) existe υ∈Ntal que

∀k≥υ: B_k+y_k⊂B+y. (2.13) De (2.10) y (2.12) obtenemos

Z

B

fˆ(x, ξ)dx = Z

B

fˆ(x,∇u(x))dx

= lim

k→∞

Z

B

fˆ x

_nk,∇u_k

dx. (2.14)

Usando (2.7) en (2.14), haciendo uso de (2.9) y un cambio de variable resulta

Z

B

fˆ(x, ξ)dx = lim

k→∞

Z

B

f x

_nk +z_k,∇uk

dx

= lim

k→∞

Z

B

f

x+y_{k nk} ,∇u_k

dx

= lim

k→∞

Z

B+yk

f x

_nk,∇u_k(x−y_k)

dx (2.15)

= lim

k→∞

Z

Bk+yk

f x

_nk,∇u_k(x−y_k)

dx

≥ lim inf

k→∞

Z

Bk+y

f x

_nk,∇uk(x−y_k)

dx. (2.16) Sea ue_k(x) =u_k(x−y_k), entonces de (2.11) y (2.12) se tiene que si eu= hξ, x−y_ki, entonces

{eu_k} ⊂W^1,p(B+y_k), ∇eu(x) =ξ, lim

k→∞keu_k−euk_p,B+yk= 0. (2.17) Debido a la Γ-convergencia se obtiene :

Z

B

fˆ(x, ξ)dx≥ Z

B+y

fb(x,∇eu)dx= Z

B+y

fb(x, ξ)dx. (2.18)

Usando el teorema de la Convergencia Mon´otona al tomar k → ∞ en (2.18) se obtiene finalmente

Z

B

fˆ(x, ξ)dx≥ Z

B+y

fb(x, ξ)dx= Z

B

fˆ(x+y, ξ)dx. (2.19)

ComoB es sim´etrico, entonces de (2.19) se obtiene

∀B(θ, R) : Z

B

fˆ(x, ξ)dx= Z

B

fˆ(x+y, ξ)dx. (2.20)

Es decir, existeM(ξ)⊂R^N con|M(ξ)|= 0 tal que

∀x∈R^N\M(ξ) : fb(x, ξ) =fb(x+y, ξ). (2.21)

En particular, se ha obtenido quefb(·, ξ) es constante en casi todas partes.

Teorema 2.2. ∀z∈R^N existe el l´ımite A(z) = lim

→0A(z) (2.22)

Demostraci´on: Parat >0 definamos bt=

t, sit∈N [t+ 1], sit6∈N

donde [x] denota la parte entera de x. Sean 0 < t < t+ 1 ≤ s, entonces 0< t≤bt < t+ 1≤s, por lo tanto

0< t≤bt < v≤t+ 1≤s , (2.23) dondev=

s bt

bt. ClaramentetY ⊂btY ⊂vY ⊂(t+ 1)Y ⊂sY, por lo tanto

W₀^1,p(Y)⊂W₀^1,p(btY)⊂W₀^1,p(vY), W₀^1,p(Y)⊂W_per^1,p(btY) =W_per^1,p(vY), puesto quebt yvson enteros positivos y toda funci´on deC₀¹(Y) se extiende a todo Rⁿ viaY-periodicidad.

Fijemosz∈R^N. De (2.2) se obtiene despu´es de un cambio de variable

A1

t(z) = inf Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx : u∈W₀^1,p(tY)

. (2.24)

Luego, dado >0 existeu∈W₀^1,p(tY) para el cual Z

tY

∼f (x,∇u(x) +z)dx <

3+A1

t(z). (2.25)

Sea ue(x) =

u(x), x∈tY

0, x∈btY \tY (2.26)

Observamos queeu∈W₀^1,p(btY). Comobt∈N, se puede extendereua todo R^N viaY-periodicidad; a partir de esta extensi´on definimos

ee u(x) =

ue(x), x∈vY

0, x∈sY \vY (2.27)

Claramente uee(x) ∈ W₀^1,p(sY) es Y-peri´odica; en consecuencia de (2.2) inferimos

A1 s(z)≤

Z

sY

∼f

x,∇eeu(x) +z

dx. (2.28)

Seaα=|Y |, entonces∀β >0: |βY |=β^Nα. De (2.27) y (2.28) notamos que:

A1

s(z) ≤ 1

s^Nα Z

vY

f (x,∇eu(x) +z)dx+ Z

sY\vY

f (x, z)dx

= 1

s^Nα(I₁+I₂). (2.29)

ParaI₁ hacemos el cambio de variabley=btx:

I₁= v

bt _NZ

btY

f v

bt,∇eu v

bty

+z

dy.

Usando laY-periodicidad de f(·, z) y deue:

I₁= v

bt _NZ

btY

f (x,∇eu(x) +z)dx. (2.30)

Donde usando (2.26) obtenemos Z

btY

f (x,∇eu(x) +z)dx= Z

tY

f (x,∇u(x) +z)dx+ Z

tY\^btY

f (x, z)dx.

(2.31)

Sustituyendo (2.31) en (2.30) y ´esto a su vez en (2.29) obtenemos:

A1 s(z) =

tv bts

_N Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx+ 1 αs^N

Z

sY\vY

f(x, z)dx

+1 α

v bts

_N Z

tY\^btY

f (x, z)dx,

y como tv

bts

≤1, 1 s <1

t , v bts ≤ 1

bt ≤1

t, entonces A1

s(z) = Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx+ Z

sY\vY

+ Z

tY\^btY

f(x, z)dx. (2.32)

Usando (2.4) y (2.10) en (2.32) obtenemos A1

s(z)≤ 3+A1

t(z) +q(z)γ(t), (2.33) donde

0≤γ(t)≤

"

2−

1−1 bt

_N

−

1−s bt

_N# .

Claramente γ(t)→0 sit→ ∞. Seam= lim inf

t→∞ A1

t(z); entonces, dado >0 escojamost >0 tal que

A1

t(z)≤m+

3 y γ(t)q(z)≤

3. (2.34)

De (2.33) y (2.34) se obtiene ∀s ≥ t+ 1 : A1

s(z) ≤ +m. Concluimos finalmente con la desigualdad

lim sup

t→∞ A1

t(z)≤lim inf

t→∞ A1 t(z), es decir, existe A(z) = lim

→0A(z).

Teorema 2.3. ∀z∈R^N,∀n∈N: B1

n(z) =B₁(z) (2.35)

Demostraci´on: Fijemosz∈R^N,n∈Nyg_n(z) =B1

n(z). De (2.3) se tiene g_n(z) =B1

n(z) = inf Z

Y

∼f (ny,∇u(y) +z)dy : u∈W_per^1,p(Y)

.

Luego, dado >0 existe u∈W_per^1,p(Y) para el cual Z

Y

∼f (ny,∇u(y) +z)dy ≤g_n(z) +. (2.36)

Sea β∈Z^+N, tal que 0≤β_i≤n−1,∀i∈ {1, . . . , N}. Definamoseu como e

u(x) = 1 n^N

X

α∈Z^+N

|α|≤|β|

u

x₁+α₁

nx_0,1, . . . , x_N +α_N n x_0,n

.

ComouesY-peri´odica, entonceseues _n¹Y-peri´odica. A su vezf_n(x, z) = f(nx, z) es _n¹Y-peri´odica, por lo tanto de (2.36) se concluye :

Z

Y

∼f (nx,∇eu(x) +z)dx ≤g_n(z) +. (2.37)

Sea eeu(x) =n˜u(x/n), entonces eeu ∈ W_per^1,p(Y). Por lo tanto un cambi´o de variable en (2.37) nos proporciona:

Z

Y

f

x,∇eeu(x) +z

dx ≤g_n(z) +. (2.38) Por otro lado de (2.3) tenemos que

B₁(z)≤ Z

Y

∼f

x,∇eeu(x) +z

dx. (2.39)

De (2.38) y (2.39) obtenemosB₁(z)≤B1

n(z) +. Comoes arbitrario, se concluye entonces:

∀z∈R^N : B₁(z)≤B1

n(z). (2.40)

Por otro lado, dado >0 usando (2.3) existeu∈W_per^1,p(Y) para el cual Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx ≤B₁(z) +. (2.41)

Seaue(x) = _n¹u(nx),∀x∈ _n¹Y. Entonceseu∈W_per^1,p _n¹Y

, por lo tanto B1

n(z)≤ Z

Y

∼f (nx,∇eu(x) +z)dx= Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx. (2.42)

De (2.41) y (2.42) se infiereB1

n(z)≤B₁(z) +. Pero >0 es arbitrario, entonces:

∀z∈R^N : B1

n(z)≤B₁(z). (2.43)

De (2.40) y (2.42) se infiere finalmente (2.35).

Teorema 2.4.

∀z∈R^N :fb(z)≤fe(z) =B₁(z) (2.44) Demostraci´on: De (2.1) y (2.3) se tiene quefe(z) =B₁(z). Por lo tanto s´olo debemos demostrarfb(z)≤B₁(z). De (2.3), dado >0 existeu∈W^1,p(Y), Y-peri´odica, para la cual

Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx ≤B₁(x) +. (2.45)

Claramente podemos extender u a todoR^N viaY-periodicidad. Dado z ∈ R^N, definimoszb:R^N →Rcomozb(x) =hz, xi. Seabu(x) =zb(x) +u(x/), entonces claramente

b

u∈W^1,p(Y) y lim

→0kbu−zkb _p,Y = 0. (2.46) De (2.3), (2.4) y 2.1 se tiene que, al ser∇bz=z:

|Y|fb(z) = Γ(σ_Ω) lim

n→∞

Z

Y

f x

_hn, z

dx.

Luego por definici´on de Γ-convergencia se tiene

|Y|f(z)b ≤lim inf

n→∞

Z

Y

f x

_hn, z+∇bu_hn(x)

dx. (2.47)

De la definici´on deuby (2.47) se infiere:

fb(z)≤lim inf

n→∞

1

|Y| Z

Y

f x

_hn, z+∇bu_hn x

_hn

dx. (2.48) Al cambiar variables y usar la Y-periodicidad def obtenemos:

fb(z)≤lim inf

n→∞ (_hn)^N 1

_hn + 1 _NZ

Y

∼f(x, z+∇u(x))dx. (2.49)

Reemplazando (2.45) en (2.49) resulta fb(z)≤B₁(z) +.

Como >0 es arbitrario, se infiere finalmente (2.44).

Teorema 2.5. ∀z∈R^N:

fe(z) =B₁(z) =A(z) = lim

→0B(z) (2.50)

Demostraci´on: Fijemos z ∈ R^N. De (2.1) y la definici´on de Γ-conver- gencia, dado que la funci´on nula pertenece a W^1,p(Y), resulta que existe {u_n} ⊂W^1,p(Y) con |u_n|_p,Y →0 para la cual:

lim sup

n→∞

Z

Ω

f y

_hn,∇u_n(y) +z

dy≤fb(z)|Y|.

Si bz(x) = hz, xi luego ∇bz =z, ∇un+z =∇(u_n+bz) y σ_Ω(u_n+z,b bz)→ 0, por lo tanto

lim sup

n→∞

Z

Y

∼f y

_hn,∇u_n(y) +z

dy≤fb(z). (2.51)

Sea v ∈W₀^1,p(Y), v > 0 en Y, y sea v_n = max{−v,min{un, v}} para cada n∈N. Claramente

{v_n} ⊂W₀^1,p(Y) y kv_nk_p,Y →0. (2.52)

Sea E_n={x∈Y :u_n(x)6=v_n(x)}. Comokun−v_nk_p,Y →0, entonces

n→∞lim |E_n|= 0. (2.53)

Por otro lado Z

Y

f(y,∇vn(y) +z)dy= Z

Y\En

f(y,∇vn(y) +z)dy+ Z

En

f(y,∇vn(y) +z)dy

= Z

Y\En

f(y,∇u_n(y) +z)dy+ Z

{x:vn(x)=v(x)}

f(y,∇v(y) +z)dy

+ Z

{x:vn(x)=−v(x)}

f(y,−∇v(y) +z)dy.

Usando (2.4) y la desigualdad cl´asica (|a|+|b|)^p≤2^p−1 (|a|^p+|b|^p) para p≥1, se obtiene

Z

Y

f (y,∇vn(y) +z)dy≤ Z

Y

f (y,∇un(y) +z)dy

+ Z

En

(a(y) + 2^p(|∇v|^p+|z|^p))dy.

(2.54)

De (2.51), (2.53) y (2.54) obtenemos lim sup

n→∞

Z

Y

∼f (y,∇vn(y) +z)dy≤fb(z). (2.55)

Usando (2.5) se obtiene

lim sup

n→∞ B_hn((z)≤lim sup

n→∞ A_hn(z). (2.56)

De (2.51, (2.53) y (2.54) inferimos:

lim sup

n→∞ A_hn(z)≤fb(z). (2.57)

Juntando (2.51), (2.44) del 2.4 y (2.57) se deduce finalmente:

lim sup

n→∞ B_hn(z)≤lim sup

n→∞ A_hn(z)≤fb(z)≤B₁(z). (2.58) Por otro lado usando (2.35) del Teorema 2.3 se obtienen:

fb(z) =B₁(z)≤ lim

n→∞B¹

n(z)≤lim sup

n→∞ B¹

n(z)≤ lim

→∞B(z). (2.59) De (2.58) y (2.59) se concluye (2.50).

Observaci´on: En los teoremas anteriores no s´olo se evidencia quefb=f,e si no a su vez que la Γ-convergencia es independiente de la sucesi´on {_n} escogida, por lo tanto se concluye con el siguiente resultado.

Teorema 2.6. . Dados N ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica;

{g_r}_r>0 ⊂ L¹_loc(R^N) ; f : R^N ×R^N → R la cual satisface las condiciones (a1)-(a3).

Entonces∀Ω∈ A^N,∀u∈W^1,p(Ω):

Z

Y

f˜(∇u)dx = Γ (σ_Ω) lim

→0

Z

Y

f˜ x

,∇u(x)

dx

= Γ (τ_Ω) lim

→0

Z

Y

f x

,∇u(x)

dx, (2.60)

donde fe:R^N →Res la funci´on convexa definida por (2.1).

Demostraci´on: Consecuencia del Teorema 2.1, junto con los Teoremas 2.2 a 2.5, los cuales manifiestan la independencia del Γ-l´ımite de la sucesi´on_n.

3 Homogeneizaci´ on en el caso Z

Ω

f ( x, x

, ∇u ) dx

En esta secci´on se dar´a una f´ormula expl´ıcita para la Γ-convergencia de la familia de funcionales:

J(u) = Z

Y

f

x,x

,∇u(x)

dx

cuando→0, dondef ∈H(N, a, p, b, ω).e

Dados N ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L¹_loc(R^N) Y-peri´odica; ω : R⁺ → R⁺ continua, creciente, con ω(0) = 0;b:R→Rcontinua;{g_r}r>0⊂L¹_loc(R^N).

Sea f ∈H(N, a, p, b, ω).e

Bajo tales condiciones definimos fe:R^N ×R^N →Rcomo:

fe(x, z) = inf Z

Y

∼f(x, y,∇u(y) +z)dy : u∈W_per^1,p(Y)

. (3.1) Sean N ∈ N y Ω ∈ A^N. Para cada k ∈ N, consideramos las siguientes coberturas abiertas de Ω, definidas como

L_k=

Ω∩Y^N

j=1

α_j2^−k,(α_j+ 1) 2^−k

: (α₁, . . . , α_N)∈Z^+N

. (3.2) Como ¯Ω es compacto, para cadak∈Nexistebk∈Ntal que

Ω⊂Ω¯ ⊂

bk

[

i=1

A_k,i, ∀k∈N. (3.3)

Escojemos puntos

x_k,i ∈A_k,i, ∀k∈N, ∀i∈ {1, . . . ,bk}. (3.4) Definimos las funci´onesS_k :R^N ×R^N ×R^N →Rcomo:

S_k(x, y, z) =

bk

X

i=1

χ(A_k,i) (x)f(x_k,i, y, z), (3.5)

dondeχ(A_k,i) (x) =

1, si x∈A_k,i 0, si x /∈A_k,i. .

Teorema 3.1. Sif ∈ H(N, a, p, b, ω)y {_n} ⊂(0,∞)con _n→ 0, entonces existen{h_n} ⊂Nmon´otona creciente yfb:R^N×R^N →Rtales que∀Ω∈ A^N,

∀u∈W^1,p(Ω):

Z

Y

fb(x,∇u(x))dx= Γ (σ_Ω) lim

n→∞

Z

Y

f

x, x

_hn,∇u(x)

dx

= Γ (τ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f

x, x

_hn,∇u(x)

dx (3.6)

Demostraci´on: Est´a demostrado en el art´ıculo [1] sobre la Γ-convergencia, al tomarf(x, z) =f x,^x, z

. Teorema 3.2.

∀y, z∈R^N :S_k(·, y, z)converge uniformemente sobreΩaf(·, y, z) (3.7) Demostraci´on: S´olo se mostrara el caso 1≤p <∞, pues el casop=∞es similar.

De (3.3), (3.4) y (3.5) tenemos que:

supx∈Ω|Sk(x, y, z)−f(x, y, z)|= sup

1≤i≤^bk x∈Asupk,i

|Sk(x_k,i, y, z)−f(x, y, z)|. (3.8) Usando (1.7) y (3.5) en (3.8) se obtiene

(3.8)≤ sup

1≤i≤^bk x∈Asupk,i

ω(|x−x_k,i|) (a|y|+|z|^p)

kbk_∞,Ω¯+ 1

. (3.9) Pero de (3.2) y de los hechos; ω : R⁺ → R⁺ continua, creciente, con ω(0) = 0 se concluye finalmente:

(3.9)≤ sup

1≤i≤^bk x∈Asupk,i

sup

t∈[0,√n2^−k]ω(t) (a|y|+|z|^p)

kbk_∞,Ω¯+ 1

. (3.10) En conclusi´on se infiere

x∈Ωsup|S_k(x, y, z)−f(x, y, z)| ≤0, lo cual implica (3.7).

Teorema 3.3. ∀k∈N,∀u∈W^1.p(Ω):

Z

Y

bk

X

i=1

χ(A_k,i) (x)fe(x_k,i,∇u(x))dx

= Γ (σ_Ω) lim_→0R

Y S_k x,^x,∇u(x) dx

= Γ (τ_Ω) lim_→0R

Ω

S_k x,^x,∇u(x)

dx (3.11)

Dondefees dada por (3.1).

Demostraci´on: Para cada k ∈ N, la funci´on S_k satisface las hip´otesis del teorema 3.1. Por lo tanto existe una funci´on boreliana ˆf :R^N ×R^N →Rtal que∀A∈ A(Ω) y∀u∈W^1,p(A):

Z

A

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ (σ_A) lim

n→0

Z

A

S_k

x, x

_hn,∇u(x)

dx

= Γ (τ_A) lim

n→0

Z

A

S_k

x, x

_hn,∇u(x)

dx. (3.12)

Esto nos dice que (3.11) quedar´a bien demostrado si se cumple que ∀k ∈N,

∀i∈ {1, . . . , k},∀u∈W^1,p(A_k,i):

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Z

Ak,i

f˜(x_k,i,∇u(x))dx. (3.13)

Para demostrar (3.13) fijemosk∈N,i∈ {1, . . . ,k}ˆ yu∈W^1,p(A_k,i).

Usando (3.12) podemos escribir:

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ σ_Ak,i

n→0lim Z

Ak,i

S_k

x, x

_hn,∇u(x)

dx

= Γ (τ_Ak,i) lim

n→0

Z

Ak,i

S_k

x, x

_hn,∇u(x)

dx. (3.14)

Reemplazando (3.5) en (3.14) obtenemos:

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ σ_Ak,i

n→0lim Z

Ak,i

f

x_k,i, x

_hn,∇u(x)

dx

= Γ (τ_Ak,i) lim

n→0

Z

Ak,i

f

x_k,i, x

_hn,∇u(x)

dx. (3.15)

Perof(x_k,i,·,·)∈ H(N, a, p) satisface las hip´otesis del Teorema 2.6. As´ı, paraf_k,i(y, z) =f_k,i(x_k,i, y, z) concluimos de (2.60), (3.6) y (3.15) que

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx = Γ σ_Ak,i

→0lim Z

Ak,i

f_k,i y

,∇u(y)

dy

= Γ (τ_Ak,i) lim

→0

Z

Ak,i

f_k,i y

,∇u(y)

dy

= Z

Ak,i

f˜_k,i(∇u(y))dy. (3.16)

De donde, seg´un (2.1),∀z∈R^N: f˜_k,i(z) = inf

Z

Y

∼f_k,i(y,∇u(y) +z)dy : u∈W_per^1,p(Y)

= inf Z

Y

∼f(x_k,i, y,∇u(y) +z)dy : u∈W_per^1,p(Y)

. (3.17)

Comparando (3.17) con (3.1) resulta que:

f˜_k,i(z) = ˜f(x_k,i, z). (3.18) De (3.16) y (3.13) se concluye que

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Z

Ak,i

f˜(x_k,i,∇u(x))dx. (3.19)

As´ı (3.19) demuestra (3.13), ∀k ∈ N, ∀i ∈ {1, . . . ,ˆk} y ∀ ∈ W^1,p(A_k,i);

en consecuencia esto hace que los l´ımites (3.12) sean independientes de la suceci´on{_n}, lo cual demuestra finalmente (3.11).

Teorema 3.4. Dadas las funcionesf ∈H(N, a, p, b, ω)˜ yf˜:R^N×R^N →R^N definida por (3.1), entonces f˜satisface:

(1) ∀x1, x₂, z∈R^N:

f˜(x₁, z)−f˜(x₂, z)≤ω(|x1−x₂)|) Z

Y

∼a(y)dy+ ˆf(x₁, z)

(3.20)

(2) (i) Si1≤p <∞, entonces ∀x, z∈R^N: 0≤f˜(x, z)≤b(x)

Z

Y

∼a(y)dy+|z|^p

(3.21)

(ii) Sip=∞, entonces ∀r >0,∃γ_r∈Rtal que:

∀x, z∈R^N , |z| ≤r: 0≤f˜(x, z)≤b(x)γ_r (3.22) Demostraci´on: Como la funci´on nula pertenece aW_per^1,p(Y), entonces de (3.1) se obtiene

0≤f˜(x, z)≤ Z

Y

∼f(x, y, z)dy. (3.23)

Si 1≤p <∞, usamos (1.7) en (3.23) para obtener:

0≤f˜(x, z)≤b(x) Z

Y

∼a(y)dy+|z|^p .

Esto demuestra (3.21) para el caso 1≤ ∞.

Sip=∞, usamos (1.8) en (3.23) para obtener:

0≤f(x, z)˜ ≤ Z

Y

∼g_r(y)b(x)dy=b(x)γ_r.

Esto demuestra (3.22) para el casop=∞.

Sean x_1,x₂, z ∈ R^N. Dado > 0, por la definici´on (3.1) existir´a u ∈ W_per^1,p(Y) tal que

Z

Y

∼f(x₁, y,∇u(y) +z)dy≤f˜(x₁, z) +. (3.24)

Del mismo (3.1), dado esteu:

f˜(x₂, z) ≤ Z

Y

∼f(x₂, y,∇u(y) +z)dy

= Z

Y

∼[f(x₂, y,∇u(y) +z)−f(x₁, y,∇u(y) +z)]dy+

+ Z

Y

∼f(x₁, y,∇u(y) +z)dy. (3.25)

Usando (2.6) del teorema 2.1 y (3.24) en (3.25) se observa:

f˜(x₂, z) ≤ ω(|x₂−x₁|) Z

Y

∼[a(y) +f(x₁, y,∇u(y) +z)]dy+ ˆf(x₁, z) +

≤ fˆ(x₁, z) +ω(|x₂−x₁|) ˆf(x₁, z) +ω(|x₂−x₁|) +ω(|x2−x₁|)

Z

Y

∼a(y)dy+.

Comoes arbitrario, se intercambian los roles dex₁,x₂ y queda demostrado (3.20).

Teorema 3.5. Dados N ∈ N; 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L¹_loc R^N

es Y-peri´odica;

{g_r}_r>0⊂L¹_loc R^N

y f ∈H˜(N, a, p, b, ω).

Si f˜:R^N ×R^N →Rse define como en (3.1), entonces

∀Ω∈ A^N,∀u∈W^1,p(Ω):

Z

Ω

f˜(x,∇u(x))dx = Γ (σ_Ω) lim

→0

Z

Ω

f

x,x

,∇u(x)

dx

= Γ (τ_Ω) lim

→0

Z

Ω

f

x,x

,∇u(x)

dx (3.26)

Demostraci´on: Consideremos la familia de funcionales definidos para cada >0 como:

F(Ω, u) = Z

Ω

f (x,∇u(x))dx ,

donde f(x, z) = f x,^x, z

. El teorema 3.1 y (3.6) nos proporcionan la existencia de una sucesi´on estrictamente creciente{h_n} ⊂Ny de un funcional F_∞(Ω, u) tales que∀Ω∈ A^N,∀u∈W^1,p(Ω):

F_∞(Ω, u) = Γ (σ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f_hn (x,∇u(x))dx

= Γ (τ_Ω) lim

n→∞

Z

Ω

f_hn (x,∇u(x))dx. (3.27)