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Homogeneizaci´ on Peri´ odica de una Clase de Funcionales No-Coercivos

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(1)

Homogeneizaci´ on Peri´ odica de una Clase de Funcionales No-Coercivos

Periodic Homogenization of a Non-coercive Class of Functionals Gaetano Tepedino Aranguren

(tepedino@ciens.ula.ve)

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes

M´erida, Venezuela Resumen

En la pasada d´ecada varios autores demostraron resultados concer- nientes a la Γ-convergencia de familias de funcionales no coercivos de la formaJ=

R

f(x,x, u(x),∇u(x))dxpara0, bajo ciertas condi- ciones enf (ver por ejemplo [4], [3], [1], [5], [6]). Este trabajo usa esos resultados existenciales del Γ-l´ımite para contruir una f´ormula que nos proporciona, mediante un esquema variacional, el c´omputo del mismo cuandof(x, ., u, z) esY-peri´odica. Se estudia primero el casof(x,∇u) para el cual la demostraci´on del caso no coercivo es esencialmente la misma que la del caso coercivo; este ´ultimo est´a presentado en [4]. Del estudio de ese caso se desprenden f´ormulas para el caso general aqu´ı considerado. El trabajo concluye probando que, bajo ciertas condicio- nes especiales parafse tiene que para todo ΩRN abierto y acotado y para todau∈W1,p(Ω) se tiene que

J(u) =

Z

fˆ(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(Lp(Ω)) lim

→0

Z

f(x,x

, u(x),∇u(x))dx, donde

fˆ(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper1,p(Y)

.

La interpretaci´on f´ısica consiste en que conocida la estructura micros- c´opica de un medio f´ısico descripta porJ(u), entoncesJ(u) describir´a las propiedades macrosc´opicas de dicho medio.

Recibido 1998/09/25. Revisado 1999/04/12. Aceptado 1999/04/21.

MSC (1991): Primary 35B27; Secondary 73B27.

(2)

Palabras y frases clave: homogeneizaci´on, peri´odica, convexa, Γ- convergencia.

Abstract

During the last decade several authors proved results concerning the Γ-convergence of a class of non-coercive functionals of the form J =

R

f(x,x, u(x),∇u(x))dxas 0, under certain conditions on f (see for example [4], [3], [1], [5], [6]). This work uses those Γ-limit existence results to construct a formula which gives that limit when f(x, ., u, z) is Y-periodic. First the casef(x,∇u) is studied, for which the proof in the non-coercive case is essentially the same as for the coercive case; this last case is presented in [4]. From the study of this case there follow formulae for the general case here considered. The paper ends proving that, under certain special conditions forf, for all ΩRN open and bounded and for allu∈W1,p(Ω), it holds that

J(u) =

Z

fˆ(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(Lp(Ω)) lim

→0

Z

f(x,x

, u(x),∇u(x))dx,

where

fˆ(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper1,p(Y)

.

The physical interpretation is that, known the microscopic structure of a physical medium described byJ(u), thenJ(u) describes the macro- scopic properties of such medium.

Key words and phrases: Homogenization, periodic, convex, Γ-con- vergence.

1 Definiciones y Notaciones

(1.1) (a) Dadox0RN,x0= (x01, . . . , x0N), conx0i>0,i∈ {1, . . . , N}, se denotar´a porY =Y(x0) al rect´angulo abierto:

Y =

x∈RN : 0< xi < x0i, i∈ {1, . . . N} (1.1)

(3)

(b) El volumen o medida de Lebesgue de este paralelep´ıpedo se denotar´a por

|Y|= YN i=1

x0i=α (1.2)

Por lo tanto,∀δ∈N,δY es un paralelep´ıpedo abierto de volumen

|δY|=δN|Y|=δNα (1.3) (c) Una funci´onu:RN Rse diceY-peri´odica si y s´olo si:

(∀xRN,∀(δ1, δ2, . . . , δN)ZN) : u(x+ (δ1x01, δ2x02, . . . , δNx0N)) =u(x).

(d) La integral Z

A

∼f(x)dxes el promedio 1

|A|

Z

A

f(x)dx, donde|A|es el volumen deA.

(1.2) Dados N N, 1 p ≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica; {gr}r>0 L1loc(RN), diremos que f ∈ H(N, a, p) si y s´olo si f : RN ×RN R satisface las condiciones:

(a1) ∀z∈RN :f(·, z) es medible,Y-peri´odica.

(a2) ∀y∈RN :f(y,·) es convexa.

(a3) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀y, z∈RN:

0≤f(y, z)≤a(y) +|z|p (1.4) (ii) Sip=∞, entonces ∀x, z∈RN,∀r >0,|z| ≤r:

0≤f(y, z)≤gr(y) (1.5) (1.3) DadosN N, 1 ≤p≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica; ω : R+ R+ continua, creciente yω(0) = 0;b:RRcontinua;{gr}r>0⊂L1loc(RN), diremos que f H(N, a, p, ω, b) si y s´e olo si f : RN ×RN ×RN R satisface las condiciones:

(b1) ∀y, z∈RN :f(·, y, z) es medible.

(b2) ∀x, z∈RN :f(x,·, z) esY-peri´odica, medible,

(4)

(b3) ∀x, y∈RN :f(x, y,·) es convexa.

(b4) ∀x1, x2, y, z∈RN:

|f(x1, y, z)−f(x2, y, z)| ≤ω(|x1−x2|) (a(y) +f(x1, y, z)) (1.6) (b5) ∀x, y, z∈RN se tiene

i) Si 1≤p <∞, entonces:

0≤f(x, y, z)≤b(x) (a(y) +|z|p) (1.7) ii) Sip=∞, entonces si |z| ≤r:

0≤f(x, y, z)≤gr(y)b(x) (1.8) (1.4) DadosN N, 1 ≤p≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica; ω : R+ R+ continua, creciente yω(0) = 0;b:RRcontinua;{gr}r>0⊂L1loc(RN), diremos quef ∈ H(N, a, p, ω, b) si y s´olo sif :RN×RN×R×RN R satisface las condiciones:

(c1) ∀y, z∈RN;∀u∈R:f(·, y, u, z) es medible.

(c2) ∀x, z∈RN;∀u∈R:f(x,·, u, z) esY-peri´odica, medible, (c3) ∀y, z∈RN :f(·, y,·, z) es continua

(c4) ∀x, y∈RN;∀u∈R:f(x, y, u,·) es convexa.

(c5) ∀x1, x2, y, z∈RN;∀u1, u2R:

|f(x1, y, u1, z)−f(x2, y, u2, z)|

≤ω(|x1−x2| − |u1−u2|) (a(y) +f(x1, y, u1, z)) (1.9) (c6) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀x, y, z∈RN;∀u∈R:

0≤f(x, y, u, z)≤b(x) (a(y) +|u|p+|z|p) (1.10) (ii) Sip=∞, entonces ∀x, y, z∈RN;∀u∈R, ∀r >0,|z| ≤r:

0≤f(x, y, u, z)≤gr(y)b(x) (1.11) Notar las inmersiones

H(N, a, p),→H(N, a, p, b, ω)e ,→ H(N, a, p, b, ω).

(5)

(1.5) DadoN Nse denotar´a porAN a la clase de todos los abiertos acotados deRN.

(1.6) Si Ω∈ AN se denotar´a porA(Ω) a la clase de todos los sub-conjuntos abiertosS⊂Ω para los cuales ¯S⊂Ω.

(1.7) Dado el paralelep´ıpedo Y definido en (1.1), Cper1 ( ¯Y) denotar´a el con- junto de las funciones u C1( ¯Y;R) que se extienden a todo RN via Y-periodicidad. Es importante observar que

∀u∈Cper1 ( ¯Y) : Z

Y

∇u(x)dx= (0,0, . . . ,0). (1.12)

Esto es una consecuencia del Teorema de la Divergencia de Gauss, del hecho obvio de que la frontera de Y es la uni´on de 2N hiperplanos de dimensi´onN−1 y de la periodicidad de u.

(1.8) Los espaciosW1,p(Ω), W01,p(Ω), Wper1,p(Y), son respectivamente la com- pletacion de los espaciosC1(Ω), C01(Ω), Cper1 (Y), bajo la norma usual:

kuk1,p,Ω=kukp,Ω+k∇ukp,Ω. (1.9) Trabajaremos con las siguientes m´etricas enC1(Ω):

d(u, v) = ku−vkp,Ω+k∇u− ∇vkp,Ω=ku−vk1,p,Ω σ(u, v) = ku−vkp,Ω

τ(u, v) =

ku−vk∞,Ω si sop (u−v)⊂Ω.

+∞ si sop (u−v)6⊂Ω.

Es decir, d es la m´etrica inducida por la norma k · k1,p,Ω y σ es la m´etrica inducida por la norma usual de Lp(Ω).

(1.10) Sea (E, τ) es un espacio topol´ogico el cual satisface el primer axioma de numerabilidad. El concepto de Γ-convergencia es usado en este trabajo en el sentido siguiente: seanA⊂E;S⊂R,a∈SyFs:A→R,∀s∈S, una familia de funciones. Dadox∈A¯se dice que

λ= Γ(τ) lim

s→aFs(x) (1.13)

si y s´olo si

(6)

(1) ∀{sn} ⊂S consn →ay∀{xn} ⊂A conxn →xse tiene:

λ≤lim inf

n→∞ Fsn(xn) (1.14)

(2) ∀{sn} ⊂S consn →a,∃{xn} ⊂Aconxn→xpara el cual:

λ≥lim sup

n→∞ Fsn(xn) (1.15)

DadosN Ny Ω∈ AN, el espacio topol´ogico que escogeremos esE=Lp(Ω) y A=W1,p(Ω); donde, si 1≤p <∞entonces escogeremos paraEla topolog´ıa inducida por la m´etricaσ; y parap=, escojeremos paraE la topolog´ıa inducida por la m´etricaτ(definidas en (1.9)).

2 Homogeneizaci´ on en el caso Z

f ( x

, ∇u ) dx

Queremos investigar la Γ-convergencia expl´ıcita de la familia de funcionales:

J(u) = Z

f x

,∇u(x) dx ,

cuando0, siendo f ∈ H(N, a, p).

Definici´on 2.1. Dados N N, 1 p ≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica;

{gr}r>0 L1loc(RN) y f ∈ H(N, a, p), definimos el funcional fe: RN R como

f(z) = infe Z

Y

∼f(y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

. (2.1)

Para cada > 0, se definen los funcionales A : RN R y B :RN →R como:

A(z) = inf Z

Y

∼f y

,∇u(y) +z

dy : u∈W01,p(Y)

. (2.2)

B(z) = inf Z

Y

∼f y

,∇u(y) +z

dy : u∈Wper1,p(Y)

. (2.3)

(7)

Se observa que,∀z∈RN:

fe(z) =B1(z). (2.4)

Adem´as como toda funci´on de W01,p(Y) puede ser extendida a todo RN viaY-periodicidad, entonces

W01,p(Y),→Wper1,p(Y) y por lo tanto∀z∈RN,∀ >0:

B(z)≤A(z). (2.5)

Teorema 2.1. Si f ∈ H(N, a, p) y {n} ⊂ (0,+∞) con n 0, entonces existen {hn} ⊂ N mon´otona creciente y fb: RN R tales que ∀Ω ∈ AN,

∀u∈W1,p(Ω):

Z

fb(∇u)dx = Γ(σ) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx

= Γ(τ) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx

= Γ(d) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx. (2.6)

Demostraci´on: En [1] se demuestra la existencia de una funci´on fb:RN×RN R

y de una sucesi´on {hn} ⊂ N mon´otona creciente, tales que ∈ A,∀u Wper1,p(Ω) se satisfacen los Γ-l´ımites:

Z

fb(x,∇u)dx = Γ(σ) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx

= Γ(τ) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx

= Γ(d) lim

n→∞

Z

f x

hn,∇u

dx. (2.7)

(8)

Veamos que∀z∈RN :fb(·, z) es constante en casi todas partes. SeaR >0 y B =B(θ, R). Usemos la Γ-convergencia mencionada escogiendo Ω =B. Sea {n} ⊂(0,+) conn0 y sea{nk}la subsucesi´on obtenida. Seay∈RN fijo y escojamos{yk} ⊂RN yzk = yk

nk de tal forma que

k→∞lim yk=y , f(x+zk,·) =f(x,·). (2.8) Seanrk=R(1−1

k) yBk=B(θ;rk), entonces

∀k≥2 : Bk ⊂Bk+1 ⊂B. (2.9)

Paraξ∈Rn sea

u(x) =hξ, xi. (2.10)

Claramente

u∈W1,p(B) y ∇u(x) =ξ. (2.11) Entonces por definici´on de Γ-convergencia existe{uk} ∈W1,p(B) tal que

limk→∞kuk−ukp,B= 0

y (2.12)

Z

B

f˜(x,∇u)dx= lim

k→∞

Z

B

f x

nk,∇uk

dx.

Sea >0, de (2.8) existe υ∈Ntal que

∀k≥υ: Bk+yk⊂B+y. (2.13) De (2.10) y (2.12) obtenemos

Z

B

fˆ(x, ξ)dx = Z

B

fˆ(x,∇u(x))dx

= lim

k→∞

Z

B

fˆ x

nk,∇uk

dx. (2.14)

Usando (2.7) en (2.14), haciendo uso de (2.9) y un cambio de variable resulta

(9)

Z

B

fˆ(x, ξ)dx = lim

k→∞

Z

B

f x

nk +zk,∇uk

dx

= lim

k→∞

Z

B

f

x+yk nk ,∇uk

dx

= lim

k→∞

Z

B+yk

f x

nk,∇uk(x−yk)

dx (2.15)

= lim

k→∞

Z

Bk+yk

f x

nk,∇uk(x−yk)

dx

lim inf

k→∞

Z

Bk+y

f x

nk,∇uk(x−yk)

dx. (2.16) Sea uek(x) =uk(x−yk), entonces de (2.11) y (2.12) se tiene que si eu= hξ, x−yki, entonces

{euk} ⊂W1,p(B+yk), ∇eu(x) =ξ, lim

k→∞keukeukp,B+yk= 0. (2.17) Debido a la Γ-convergencia se obtiene :

Z

B

fˆ(x, ξ)dx≥ Z

B+y

fb(x,∇eu)dx= Z

B+y

fb(x, ξ)dx. (2.18)

Usando el teorema de la Convergencia Mon´otona al tomar k → ∞ en (2.18) se obtiene finalmente

Z

B

fˆ(x, ξ)dx≥ Z

B+y

fb(x, ξ)dx= Z

B

fˆ(x+y, ξ)dx. (2.19)

ComoB es sim´etrico, entonces de (2.19) se obtiene

∀B(θ, R) : Z

B

fˆ(x, ξ)dx= Z

B

fˆ(x+y, ξ)dx. (2.20)

Es decir, existeM(ξ)RN con|M(ξ)|= 0 tal que

∀x∈RN\M(ξ) : fb(x, ξ) =fb(x+y, ξ). (2.21)

(10)

En particular, se ha obtenido quefb(·, ξ) es constante en casi todas partes.

Teorema 2.2. ∀z∈RN existe el l´ımite A(z) = lim

→0A(z) (2.22)

Demostraci´on: Parat >0 definamos bt=

t, sit∈N [t+ 1], sit6∈N

donde [x] denota la parte entera de x. Sean 0 < t < t+ 1 s, entonces 0< t≤bt < t+ 1≤s, por lo tanto

0< t≤bt < v≤t+ 1≤s , (2.23) dondev=

s bt

bt. ClaramentetY btY ⊂vY (t+ 1)Y ⊂sY, por lo tanto

W01,p(Y)⊂W01,p(btY)⊂W01,p(vY), W01,p(Y)⊂Wper1,p(btY) =Wper1,p(vY), puesto quebt yvson enteros positivos y toda funci´on deC01(Y) se extiende a todo Rn viaY-periodicidad.

Fijemosz∈RN. De (2.2) se obtiene despu´es de un cambio de variable

A1

t(z) = inf Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx : u∈W01,p(tY)

. (2.24)

Luego, dado >0 existeu∈W01,p(tY) para el cual Z

tY

∼f (x,∇u(x) +z)dx <

3+A1

t(z). (2.25)

Sea ue(x) =

u(x), x∈tY

0, x∈btY \tY (2.26)

Observamos queeu∈W01,p(btY). Comobt∈N, se puede extendereua todo RN viaY-periodicidad; a partir de esta extensi´on definimos

(11)

ee u(x) =

ue(x), x∈vY

0, x∈sY \vY (2.27)

Claramente uee(x) W01,p(sY) es Y-peri´odica; en consecuencia de (2.2) inferimos

A1 s(z)

Z

sY

∼f

x,∇eeu(x) +z

dx. (2.28)

Seaα=|Y |, entonces∀β >0: |βY |=βNα. De (2.27) y (2.28) notamos que:

A1

s(z) 1

sNα Z

vY

f (x,∇eu(x) +z)dx+ Z

sY\vY

f (x, z)dx

= 1

sNα(I1+I2). (2.29)

ParaI1 hacemos el cambio de variabley=btx:

I1= v

bt NZ

btY

f v

bt,∇eu v

bty

+z

dy.

Usando laY-periodicidad de f(·, z) y deue:

I1= v

bt NZ

btY

f (x,∇eu(x) +z)dx. (2.30)

Donde usando (2.26) obtenemos Z

btY

f (x,∇eu(x) +z)dx= Z

tY

f (x,∇u(x) +z)dx+ Z

tY\btY

f (x, z)dx.

(2.31)

(12)

Sustituyendo (2.31) en (2.30) y ´esto a su vez en (2.29) obtenemos:

A1 s(z) =

tv bts

N Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx+ 1 αsN

Z

sY\vY

f(x, z)dx

+1 α

v bts

N Z

tY\btY

f (x, z)dx,

y como tv

bts

1, 1 s <1

t , v bts 1

bt 1

t, entonces A1

s(z) = Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx+ Z

sY\vY

+ Z

tY\btY

f(x, z)dx. (2.32)

Usando (2.4) y (2.10) en (2.32) obtenemos A1

s(z) 3+A1

t(z) +q(z)γ(t), (2.33) donde

0≤γ(t)≤

"

2

11 bt

N

1−s bt

N# .

Claramente γ(t)→0 sit→ ∞. Seam= lim inf

t→∞ A1

t(z); entonces, dado >0 escojamost >0 tal que

A1

t(z)≤m+

3 y γ(t)q(z)≤

3. (2.34)

De (2.33) y (2.34) se obtiene ∀s t+ 1 : A1

s(z) +m. Concluimos finalmente con la desigualdad

lim sup

t→∞ A1

t(z)lim inf

t→∞ A1 t(z), es decir, existe A(z) = lim

→0A(z).

Teorema 2.3. ∀z∈RN,∀n∈N: B1

n(z) =B1(z) (2.35)

(13)

Demostraci´on: Fijemosz∈RN,n∈Nygn(z) =B1

n(z). De (2.3) se tiene gn(z) =B1

n(z) = inf Z

Y

∼f (ny,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

.

Luego, dado >0 existe u∈Wper1,p(Y) para el cual Z

Y

∼f (ny,∇u(y) +z)dy ≤gn(z) +. (2.36)

Sea β∈Z+N, tal que 0≤βi≤n−1,∀i∈ {1, . . . , N}. Definamoseu como e

u(x) = 1 nN

X

α∈Z+N

|α|≤|β|

u

x1+α1

nx0,1, . . . , xN +αN n x0,n

.

ComouesY-peri´odica, entonceseues n1Y-peri´odica. A su vezfn(x, z) = f(nx, z) es n1Y-peri´odica, por lo tanto de (2.36) se concluye :

Z

Y

∼f (nx,∇eu(x) +z)dx ≤gn(z) +. (2.37)

Sea eeu(x) =n˜u(x/n), entonces eeu Wper1,p(Y). Por lo tanto un cambi´o de variable en (2.37) nos proporciona:

Z

Y

f

x,∇eeu(x) +z

dx ≤gn(z) +. (2.38) Por otro lado de (2.3) tenemos que

B1(z) Z

Y

∼f

x,∇eeu(x) +z

dx. (2.39)

De (2.38) y (2.39) obtenemosB1(z)≤B1

n(z) +. Comoes arbitrario, se concluye entonces:

∀z∈RN : B1(z)≤B1

n(z). (2.40)

(14)

Por otro lado, dado >0 usando (2.3) existeu∈Wper1,p(Y) para el cual Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx ≤B1(z) +. (2.41)

Seaue(x) = n1u(nx),∀x∈ n1Y. Entonceseu∈Wper1,p n1Y

, por lo tanto B1

n(z) Z

Y

∼f (nx,∇eu(x) +z)dx= Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx. (2.42)

De (2.41) y (2.42) se infiereB1

n(z)≤B1(z) +. Pero >0 es arbitrario, entonces:

∀z∈RN : B1

n(z)≤B1(z). (2.43)

De (2.40) y (2.42) se infiere finalmente (2.35).

Teorema 2.4.

∀z∈RN :fb(z)≤fe(z) =B1(z) (2.44) Demostraci´on: De (2.1) y (2.3) se tiene quefe(z) =B1(z). Por lo tanto s´olo debemos demostrarfb(z)≤B1(z). De (2.3), dado >0 existeu∈W1,p(Y), Y-peri´odica, para la cual

Z

Y

∼f (x,∇u(x) +z)dx ≤B1(x) +. (2.45)

Claramente podemos extender u a todoRN viaY-periodicidad. Dado z RN, definimoszb:RN Rcomozb(x) =hz, xi. Seabu(x) =zb(x) +u(x/), entonces claramente

b

u∈W1,p(Y) y lim

→0kbu−zkb p,Y = 0. (2.46) De (2.3), (2.4) y 2.1 se tiene que, al ser∇bz=z:

|Y|fb(z) = Γ(σ) lim

n→∞

Z

Y

f x

hn, z

dx.

(15)

Luego por definici´on de Γ-convergencia se tiene

|Y|f(z)b lim inf

n→∞

Z

Y

f x

hn, z+∇buhn(x)

dx. (2.47)

De la definici´on deuby (2.47) se infiere:

fb(z)lim inf

n→∞

1

|Y| Z

Y

f x

hn, z+∇buhn x

hn

dx. (2.48) Al cambiar variables y usar la Y-periodicidad def obtenemos:

fb(z)lim inf

n→∞ (hn)N 1

hn + 1 NZ

Y

∼f(x, z+∇u(x))dx. (2.49)

Reemplazando (2.45) en (2.49) resulta fb(z)≤B1(z) +.

Como >0 es arbitrario, se infiere finalmente (2.44).

Teorema 2.5. ∀z∈RN:

fe(z) =B1(z) =A(z) = lim

→0B(z) (2.50)

Demostraci´on: Fijemos z RN. De (2.1) y la definici´on de Γ-conver- gencia, dado que la funci´on nula pertenece a W1,p(Y), resulta que existe {un} ⊂W1,p(Y) con |un|p,Y 0 para la cual:

lim sup

n→∞

Z

f y

hn,∇un(y) +z

dy≤fb(z)|Y|.

Si bz(x) = hz, xi luego ∇bz =z, ∇un+z =(un+bz) y σ(un+z,b bz)→ 0, por lo tanto

lim sup

n→∞

Z

Y

∼f y

hn,∇un(y) +z

dy≤fb(z). (2.51)

Sea v ∈W01,p(Y), v > 0 en Y, y sea vn = max{−v,min{un, v}} para cada n∈N. Claramente

{vn} ⊂W01,p(Y) y kvnkp,Y 0. (2.52)

(16)

Sea En={x∈Y :un(x)6=vn(x)}. Comokun−vnkp,Y 0, entonces

n→∞lim |En|= 0. (2.53)

Por otro lado Z

Y

f(y,∇vn(y) +z)dy= Z

Y\En

f(y,∇vn(y) +z)dy+ Z

En

f(y,∇vn(y) +z)dy

= Z

Y\En

f(y,∇un(y) +z)dy+ Z

{x:vn(x)=v(x)}

f(y,∇v(y) +z)dy

+ Z

{x:vn(x)=−v(x)}

f(y,−∇v(y) +z)dy.

Usando (2.4) y la desigualdad cl´asica (|a|+|b|)p2p−1 (|a|p+|b|p) para p≥1, se obtiene

Z

Y

f (y,∇vn(y) +z)dy≤ Z

Y

f (y,∇un(y) +z)dy

+ Z

En

(a(y) + 2p(|∇v|p+|z|p))dy.

(2.54)

De (2.51), (2.53) y (2.54) obtenemos lim sup

n→∞

Z

Y

∼f (y,∇vn(y) +z)dy≤fb(z). (2.55)

Usando (2.5) se obtiene

lim sup

n→∞ Bhn((z)lim sup

n→∞ Ahn(z). (2.56)

De (2.51, (2.53) y (2.54) inferimos:

lim sup

n→∞ Ahn(z)≤fb(z). (2.57)

(17)

Juntando (2.51), (2.44) del 2.4 y (2.57) se deduce finalmente:

lim sup

n→∞ Bhn(z)lim sup

n→∞ Ahn(z)≤fb(z)≤B1(z). (2.58) Por otro lado usando (2.35) del Teorema 2.3 se obtienen:

fb(z) =B1(z) lim

n→∞B1

n(z)lim sup

n→∞ B1

n(z) lim

→∞B(z). (2.59) De (2.58) y (2.59) se concluye (2.50).

Observaci´on: En los teoremas anteriores no s´olo se evidencia quefb=f,e si no a su vez que la Γ-convergencia es independiente de la sucesi´on {n} escogida, por lo tanto se concluye con el siguiente resultado.

Teorema 2.6. . Dados N N, 1 p ≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica;

{gr}r>0 L1loc(RN) ; f : RN ×RN R la cual satisface las condiciones (a1)-(a3).

Entonces∀Ω∈ AN,∀u∈W1,p(Ω):

Z

Y

f˜(∇u)dx = Γ (σ) lim

→0

Z

Y

f˜ x

,∇u(x)

dx

= Γ (τ) lim

→0

Z

Y

f x

,∇u(x)

dx, (2.60)

donde fe:RN Res la funci´on convexa definida por (2.1).

Demostraci´on: Consecuencia del Teorema 2.1, junto con los Teoremas 2.2 a 2.5, los cuales manifiestan la independencia del Γ-l´ımite de la sucesi´onn.

3 Homogeneizaci´ on en el caso Z

f ( x, x

, ∇u ) dx

En esta secci´on se dar´a una f´ormula expl´ıcita para la Γ-convergencia de la familia de funcionales:

J(u) = Z

Y

f

x,x

,∇u(x)

dx

(18)

cuando0, dondef ∈H(N, a, p, b, ω).e

Dados N N, 1 p ≤ ∞; a L1loc(RN) Y-peri´odica; ω : R+ R+ continua, creciente, con ω(0) = 0;b:RRcontinua;{gr}r>0⊂L1loc(RN).

Sea f ∈H(N, a, p, b, ω).e

Bajo tales condiciones definimos fe:RN ×RN Rcomo:

fe(x, z) = inf Z

Y

∼f(x, y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

. (3.1) Sean N N y Ω ∈ AN. Para cada k N, consideramos las siguientes coberturas abiertas de Ω, definidas como

Lk=

YN

j=1

αj2−k,j+ 1) 2−k

: (α1, . . . , αN)Z+N

. (3.2) Como ¯Ω es compacto, para cadak∈Nexistebk∈Ntal que

Ω¯

bk

[

i=1

Ak,i, ∀k∈N. (3.3)

Escojemos puntos

xk,i ∈Ak,i, ∀k∈N, ∀i∈ {1, . . . ,bk}. (3.4) Definimos las funci´onesSk :RN ×RN ×RN Rcomo:

Sk(x, y, z) =

bk

X

i=1

χ(Ak,i) (x)f(xk,i, y, z), (3.5)

dondeχ(Ak,i) (x) =

1, si x∈Ak,i 0, si x /∈Ak,i. .

Teorema 3.1. Sif ∈ H(N, a, p, b, ω)y {n} ⊂(0,)con n 0, entonces existen{hn} ⊂Nmon´otona creciente yfb:RN×RN Rtales que∀∈ AN,

∀u∈W1,p(Ω):

Z

Y

fb(x,∇u(x))dx= Γ (σ) lim

n→∞

Z

Y

f

x, x

hn,∇u(x)

dx

= Γ (τ) lim

n→∞

Z

f

x, x

hn,∇u(x)

dx (3.6)

(19)

Demostraci´on: Est´a demostrado en el art´ıculo [1] sobre la Γ-convergencia, al tomarf(x, z) =f x,x, z

. Teorema 3.2.

∀y, z∈RN :Sk(·, y, z)converge uniformemente sobreaf(·, y, z) (3.7) Demostraci´on: S´olo se mostrara el caso 1≤p <∞, pues el casop=es similar.

De (3.3), (3.4) y (3.5) tenemos que:

supx∈Ω|Sk(x, y, z)−f(x, y, z)|= sup

1≤i≤bk x∈Asupk,i

|Sk(xk,i, y, z)−f(x, y, z)|. (3.8) Usando (1.7) y (3.5) en (3.8) se obtiene

(3.8) sup

1≤i≤bk x∈Asupk,i

ω(|x−xk,i|) (a|y|+|z|p)

kbk∞,¯+ 1

. (3.9) Pero de (3.2) y de los hechos; ω : R+ R+ continua, creciente, con ω(0) = 0 se concluye finalmente:

(3.9) sup

1≤i≤bk x∈Asupk,i

sup

t∈[0,n2−k]ω(t) (a|y|+|z|p)

kbk∞,¯+ 1

. (3.10) En conclusi´on se infiere

x∈Ωsup|Sk(x, y, z)−f(x, y, z)| ≤0, lo cual implica (3.7).

Teorema 3.3. ∀k∈N,∀u∈W1.p(Ω):

Z

Y

bk

X

i=1

χ(Ak,i) (x)fe(xk,i,∇u(x))dx

= Γ (σ) lim→0R

Y Sk x,x,∇u(x) dx

= Γ (τ) lim→0R

Sk x,x,∇u(x)

dx (3.11)

Dondefees dada por (3.1).

(20)

Demostraci´on: Para cada k N, la funci´on Sk satisface las hip´otesis del teorema 3.1. Por lo tanto existe una funci´on boreliana ˆf :RN ×RN Rtal que∀A∈ A(Ω) y∀u∈W1,p(A):

Z

A

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ (σA) lim

n→0

Z

A

Sk

x, x

hn,∇u(x)

dx

= Γ (τA) lim

n→0

Z

A

Sk

x, x

hn,∇u(x)

dx. (3.12)

Esto nos dice que (3.11) quedar´a bien demostrado si se cumple que ∀k N,

∀i∈ {1, . . . , k},∀u∈W1,p(Ak,i):

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Z

Ak,i

f˜(xk,i,∇u(x))dx. (3.13)

Para demostrar (3.13) fijemosk∈N,i∈ {1, . . . ,k}ˆ yu∈W1,p(Ak,i).

Usando (3.12) podemos escribir:

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ σAk,i

n→0lim Z

Ak,i

Sk

x, x

hn,∇u(x)

dx

= Γ (τAk,i) lim

n→0

Z

Ak,i

Sk

x, x

hn,∇u(x)

dx. (3.14)

Reemplazando (3.5) en (3.14) obtenemos:

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Γ σAk,i

n→0lim Z

Ak,i

f

xk,i, x

hn,∇u(x)

dx

= Γ (τAk,i) lim

n→0

Z

Ak,i

f

xk,i, x

hn,∇u(x)

dx. (3.15)

Perof(xk,i,·,·)∈ H(N, a, p) satisface las hip´otesis del Teorema 2.6. As´ı, parafk,i(y, z) =fk,i(xk,i, y, z) concluimos de (2.60), (3.6) y (3.15) que

(21)

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx = Γ σAk,i

→0lim Z

Ak,i

fk,i y

,∇u(y)

dy

= Γ (τAk,i) lim

→0

Z

Ak,i

fk,i y

,∇u(y)

dy

= Z

Ak,i

f˜k,i(∇u(y))dy. (3.16)

De donde, seg´un (2.1),∀z∈RN: f˜k,i(z) = inf

Z

Y

∼fk,i(y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

= inf Z

Y

∼f(xk,i, y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

. (3.17)

Comparando (3.17) con (3.1) resulta que:

f˜k,i(z) = ˜f(xk,i, z). (3.18) De (3.16) y (3.13) se concluye que

Z

Ak,i

fˆ(x,∇u(x))dx= Z

Ak,i

f˜(xk,i,∇u(x))dx. (3.19)

As´ı (3.19) demuestra (3.13), ∀k N, ∀i ∈ {1, . . . ,ˆk} y ∀ ∈ W1,p(Ak,i);

en consecuencia esto hace que los l´ımites (3.12) sean independientes de la suceci´on{n}, lo cual demuestra finalmente (3.11).

Teorema 3.4. Dadas las funcionesf ∈H(N, a, p, b, ω)˜ yf˜:RN×RN RN definida por (3.1), entonces f˜satisface:

(1) ∀x1, x2, z∈RN:

f˜(x1, z)−f˜(x2, z)≤ω(|x1−x2)|) Z

Y

∼a(y)dy+ ˆf(x1, z)

(3.20)

(22)

(2) (i) Si1≤p <∞, entonces ∀x, z∈RN: 0≤f˜(x, z)≤b(x)

Z

Y

∼a(y)dy+|z|p

(3.21)

(ii) Sip=∞, entonces ∀r >0,∃γrRtal que:

∀x, z∈RN , |z| ≤r: 0≤f˜(x, z)≤b(x)γr (3.22) Demostraci´on: Como la funci´on nula pertenece aWper1,p(Y), entonces de (3.1) se obtiene

0≤f˜(x, z) Z

Y

∼f(x, y, z)dy. (3.23)

Si 1≤p <∞, usamos (1.7) en (3.23) para obtener:

0≤f˜(x, z)≤b(x) Z

Y

∼a(y)dy+|z|p .

Esto demuestra (3.21) para el caso 1≤ ∞.

Sip=∞, usamos (1.8) en (3.23) para obtener:

0≤f(x, z)˜ Z

Y

∼gr(y)b(x)dy=b(x)γr.

Esto demuestra (3.22) para el casop=∞.

Sean x1,x2, z RN. Dado > 0, por la definici´on (3.1) existir´a u Wper1,p(Y) tal que

Z

Y

∼f(x1, y,∇u(y) +z)dy≤f˜(x1, z) +. (3.24)

Del mismo (3.1), dado esteu:

f˜(x2, z) Z

Y

∼f(x2, y,∇u(y) +z)dy

= Z

Y

[f(x2, y,∇u(y) +z)−f(x1, y,∇u(y) +z)]dy+

+ Z

Y

∼f(x1, y,∇u(y) +z)dy. (3.25)

(23)

Usando (2.6) del teorema 2.1 y (3.24) en (3.25) se observa:

f˜(x2, z) ω(|x2−x1|) Z

Y

[a(y) +f(x1, y,∇u(y) +z)]dy+ ˆf(x1, z) +

fˆ(x1, z) +ω(|x2−x1|) ˆf(x1, z) +ω(|x2−x1|) +ω(|x2−x1|)

Z

Y

∼a(y)dy+.

Comoes arbitrario, se intercambian los roles dex1,x2 y queda demostrado (3.20).

Teorema 3.5. Dados N N; 1 p ≤ ∞; a L1loc RN

es Y-peri´odica;

{gr}r>0⊂L1loc RN

y f ∈H˜(N, a, p, b, ω).

Si f˜:RN ×RN Rse define como en (3.1), entonces

∀Ω∈ AN,∀u∈W1,p(Ω):

Z

f˜(x,∇u(x))dx = Γ (σ) lim

→0

Z

f

x,x

,∇u(x)

dx

= Γ (τ) lim

→0

Z

f

x,x

,∇u(x)

dx (3.26)

Demostraci´on: Consideremos la familia de funcionales definidos para cada >0 como:

F(Ω, u) = Z

f (x,∇u(x))dx ,

donde f(x, z) = f x,x, z

. El teorema 3.1 y (3.6) nos proporcionan la existencia de una sucesi´on estrictamente creciente{hn} ⊂Ny de un funcional F(Ω, u) tales que∈ AN,∀u∈W1,p(Ω):

F(Ω, u) = Γ (σ) lim

n→∞

Z

fhn (x,∇u(x))dx

= Γ (τ) lim

n→∞

Z

fhn (x,∇u(x))dx. (3.27)

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