1
相異なる物質の二つの
部分より成る円柱の熱伝導
1 一
様な円柱の外側に一様な管がある場合
小 平 吉 男＊
Conduction of Heat in a Circular Cylinder Composed of Two Parts With Different Physical Constants
1．Uniform Cylinder in a Uniform Circular Tube．
by Yosh
ie KODAIRA
To aU physical quantities in the inner uniform circular cy】inder we attach a su缶x l and for those in the outer皿iform circular tube a su伍x 2 as shown in Fig 1．
We use here the cylindrical coordinates r，0，．￡， and the time t． We consider
t、vo cases．
A． An infinitely long cylinder whose temperatures〃1 and lt2 do not vary in the direction of the axis of the cylinder．
In this case all the physical constants are independent of 2． VNre also supPose that they are三ndependent ofθ． The equations for the conduction of heat in the two regions are given by（1）and（2），κ12 and rc22 being the thermal diffusivities．
The temperature at the surface of the cylinderプ＝a is supposed to be zero， i． e．
the bouudary condition at r＝αis given by（3）．At the boundaryプ＝al of the inner cylinder and the outer tube， the boundary conditions are supPosed to l）e（4）and （5），
where kl and k2 are the thermal conductivities． The initial conditions are given
ロby（6）and（7）， whereプ1（7 ）and f＞（7うarbitrary functions of 1・．
The elementary solutions of the partial differential equations have the forms（8）
and （9）， where J6（κ2αユ1 ）is a Bessel function of order O with the argument rc2αll・
and Jo（κ1α27う， Yo（rclα21うare a Bessel function and a Neumann function of order O with the argumentκ1α27 ．αユandα2 are determined by the boundary conditions，κ2αユ，
＊理工学部物理学科教授 物理数学
この論文は本学第7期生小野徹君が著老の指導の下に行った卒業論文の不適当な点を正し，体裁 を整えたものである。
2
κ1α2being the eigenvalues． Aα1， Bα2，（］a2 are the integration constants、vhich may includeα10rα2．
By using the l〕oundary conditions（3）〜（5）， we丘nd that the constantsα1 andα2 are equal， and they are determined by eq．（17）． The values ofαare calculated from the intersections of two curves（18）， which are shown in Fig．2． If we denote by α8 the ∫th positive root of （18）， the solutions of the differential equations satisfyng the boundary collditions have the form（21）and（22）， Ms being the constants determined by the initial conditions．
Inserting the initial conditions （6） and （7） in（21） and （22） respectively， we get the equations（26）and（27）， where Xs and Z8 are given by（23）． If we can
【idetermine Ms from（26）and（27）， the solutions of the problem will l）e obtained．
After somewhat tedious calculations， we get finally two experssions for f，（r）
and f （1うin the forms（33）and（34）， where V（α，）is given by（32）．
By the use of the above expansions， the solutions ut and lt2 are given by （35）
and （36）．
B．Finite cylinder， the temperatures being bn functions of r and z．
The differential equations for the conduction of heat are given by（37）and（38），
ul and u2 beirlg dependent of z as well as of r． In this case two more boundary conditions at the cross sections z・＝O and z＝l are necessary， which are given by （42）〜（45），lbeing the length of the cylinder．
、The illitial conditions are（46）and．（47）， where／1（r，2）and f2（r， z）a、・c arbitrary furictions ofプand z． ． ．．
．The elementary solutions of the partial differential equations（37）and（38）are given by（48）and（49）． The constants rc2α1， rctα2 are the eigenvalues which are to be determined by the boundary conditions（44）and（45）， and the constantsκ2β1 andκ2β1 are are the eigenvalues， which are to be deternimed by（39）〜（41）．．The other onstallts are quite similar to those ill case A．
α1alldα2 are given by（50）and（51）The consantsβ1 and β2 are determined l）y（52）and（56）．（51）is a hyperbola， but（56）gives complex curves， which afe shown in Fig・4． The intersections of these two curves giveβ1 andβ2． 、 If we denote the 5 th positi、・e rootsβ1 andβ2 byβ1，．，β2，、 respectively， the soiutions of the differential equations satisfying the boundary conditions are given by （57）
and・（58）， where〃o（1・，5）is a cylindrical function（57）．
By inserting the initial oonditions（46）and （47） in （57） and （58）， we obtain （61）and（62）． These tire the expansions of∫fi（r， z）a亘d fl（1・， z）in double series．Thes6
eXpanslops are somewhat complex and obtained by similqr calculations as in case A．
↑hey aエe given by （73） and （74）， where τ7（β1，8，β2，、） is given by （70）．
By the aid of these expansions， the solutions of the problemび1 andπ2 are given by （76） and （77）．
3
A．温度が軸方向に変化しない場合
中心部にある一様な円柱の温度をttl，半径をal，外側の一様な管の温度をu2管の内径 をal，外径をaとする。円柱座標r，θ， Zを用いて，熱伝導の微分方程式を書けぽ，
警一κ12（旦払よ二L巫．∂7・2 r ∂プ），［・≦・≦a・］・
裂・一κ22（∂kL2⊥⊥∂u2∂r2 r ∂r），［α1≦・≦・コ
となる。中心部の円柱の物理量に対しては1なる脚符，外の管 の物理量に対しては2なる脚符をつけて表わしてある。κ12，
κ22は熱拡散率，tは時間を表わす。温度はzには無関係と しているので，微分方程式にはZが入つていない。
円柱の最外部r＝aにおける温度を0とすれぽ，其処の境
界条件は（u2）7＝a＝0 ・・・・・・… （3）
と書ける。二つの物質の境界面r＝alにおける境界条件と して
（Ul）．．α1＝・（u2），．。1
k・（∂Ut∂r）＿、一ゐ1（彩）r。a、
一… ny−・・（4）
を用いる。k1， k2は熱伝導率を表わす。初期条件を
（Ul）t．o・＝f，（r），
（α2）t．−o＝f，（r）
とする。f，（r），f，（r）はブの任意の関数である。
微分方程式（1），（2）の解は
Ul＝A。、e ・a・2κα22α・2t Jo（κ2α1ア）
u2＝＝e−rat i 2rcα22α・2t｛B。、Jb（rc、α2r）÷C。，Y。（κユα2・ ）｝
なる形に書くことが出来る。α1，
はα1を含むがt，rを含まない積分定数，
定数である。
mann関数を表わす。
………（1）
………（2）
第1図Fig．1
・・・・・・… （5）
………（6）
・・・… 一・（7）
………（8）
・・・・・・… （9）
α2は固有値rc2αユ， rcユα2から決まる定数である。又A。1 B。2，C。2はα2を含むがt， rを含まない積分 Je（κ2α1r）， Jo（rcユαll ）は0次のBessel関数， Yo（rc1α2r）は0次のNeu一
境界条件（4），（5）がZの如何に関らず満足するためには（8），（9）の指数関数が等し けれぽよい。即ち
κ12κ22α12＝κユ2κ22α22 ・・……＜10）
となれぽよい。 これから
α1＝α2＝α ・一…（11）
の如く採れぽ（10）は満足される。
境界条件（3）により，
B。Jio（κエαα）＋C。 Yo（rClαa）＝0
となればよい。新しい定数Dαを用いて
Ba一忌≡。）・Cg〒一轟α） …・…・：（・2）
4
の如く置けぽ，上式は満足される。
（11），（12）によりUl，〃2は
Ul＝Aαe一κi2κ22α2t Jo（κ2αr） ……… （13）
・・−D・e−・12・22・・t（Jb（κ、αr）＿y『・（rClαr）ゐ（rc、αa） Y・（κエαα）） ………（・4）
と書くことができる。
境界条件（4），（5）により，（13），（14）から，
Jb （め＝−」1（め， yo （x）＝−Y1（め の関係を用いて
A。」・（・・αal）−D聯1麗1）一鑑笥）・ 一…（15）
A。k，・・2αJi（・・α・・）−D。k・・1α（鵠笥一鵠謝） ・一・…（・6）
が得られる。
α≒0と仮定すれぽ，（15），（16）からαは J，（rc、αa、）＿Y・（fi・αα・）
klrc・膿 デーk…蓑1：三）蒜㌶ …一・・（・7）
Jb（κ、αα） Y。（rClαa）
から決定される。α＝0の場合には Je（0）＝1
である。又αが小さいときには
Y・（・、α・）÷1・・（・・αr）1・g（・・αr），y・（r・・αa）÷ ・・（・・αの1・g（・・α・）
であるから，
・悟芸き1陽一悟｝畿笥一・
であるから，（13），（14）は π1＝Ao、
u2＝・Do（1−1）＝0
となり，境界条件（4），（5）によれぽ，
Ae ＝0
であり，従ってttl＝0， u2＝0となるのでα＝0の場合を考える必要がない。
従ってαは（17）から決定され，固有値K2α，κ1αも計算できる。（17）の根は み（rc2αal）
， ………（18−1）
η＝klrc2
Jo（rc2αa）
J，（rClαa1） Y，（rClαal）
・−k…雛5蒜S −・……（・8−2）
J，（rClαa） Y1（rClαa）
をα，ηを座標として図を画き，その交点を求めれぽよい。第2図にこれら二曲線の交る
模様が画かれている。（図ではk，＝・1，k，＝2， rcユ＝1， rc2＝1．2． ai・＝1， a＝1．2として
5 Jl（α） Yユ（α）
・一・・嬬｛｝器 ・一・鵠）】鵠α）
Jb（1．2α） Y。（1．2α）
が画かれている。）
（16）から決定される正根を大きさの順序に並べて5番目のものをα，と書き，A。、，
D。，を単にA，， Dsと書くときは，（13），（14）から oo Ul＝ΣAse−ni2x22・・s2t JO（κ2α8r），
5＝工
・・一，茎D・θ一頑・・a・・t（Jo（rcユα，ア） y。（κ、α・プ）ゐ（κ、α。a） Y。（κ1α、の）
とすることができる。境界条件（3）により
A…（・1α…）−D・（誓1鵜；一芸篇留）−M・
…
一一・一・（19）
…・…・＜20）
と置くこととすれぽ，微分方程式（1），（2），境界条件（3）〜（5）を満足する解は ・・一，三Mθ一・乙・・as？t漂隠3・
Jo（rc 1α，r）
・・一
ミμ・・−k・2・・2a…蒜芸三）
Jo（rClα、a）
となる。簡単のために
Jb（rcユα，r）
Xe一 票鵠・z・一、慧S
JO（κ、α，の
…・…・〈21）
Yo（rc2α，r）
芸1麗鵠 ………（22）
Yo（rClα、a）
Yo（rClα、r）
芸1箒笥 ………（23）
Yo（κ1α，α）
A
μ
20
（18−1）
10 のグラフ
（18−2）
｜： のグラフ
3 ： 8 71
1 タ2 4ヤ 、 5 6 α 7 9
αt α2
一10
一20
1
α
第2図 Fig．2
6
と置くときは の
・・一、茗M・・−q2κ22α52zX・・ ：………（24）
ロ tt2＝ΣMs
e ・i2・22as2t Zs ………（25）
5＝11
と書くことができる。
（24），（25）に初期条件（6），（7）を入れれぽ ロ
プ三（r）＝ΣMs Xs， ・……・＜26）
s＝工 の
f，（r）＝ΣバグsZs ………（27）
s＝1
となる。これら二式を満足するようにMsを決定すれぽ問題は解かれる。
A4sを決定するために（26）にkユrc22Xp rをかけて0からa1まで積分し，（27）に k2rCt2Zprをかけ1（alからaまで積分したものを加え合せる：
klrc・・∫1 f・（・）X・娠・…2∫1、f （・）Z・1・d・
一，又M・（klr…∫11 x・綱・＋k・…∫1、z・z・rd・）・・◆◆……（28）
この式の左辺を計算しなくてはならない。X，もZsも円柱関数であるから，その性質 を用いて積分を行う。今
慧1：1一芸1蕊…（rs・）． ………（29）
と書くときは，これも円柱関数であり，
9畿：ト監隠窒一u・（al，・）・
9隠3一霊隠3−lt・（・1・・）
と害くことができる。又Zto（a， s）＝0である。
先ずsiePとして次の計算を行う。
∫1 X・X・・dr ＝＝ m（．，α、誌。（。，c，pal）∫1 ・・（・・α・・うゐ（・・c・pr）…，
∫1！J・（・・α・r）」・（・・α・r）rd・
一［・・α・病（r・・…r）・J−・（・・α・づ一・・a・r」一・（・・α・r）」・（・・α・・）」r
κ22（α、2一αP2）
＿ 一 rc2αpaiJ。（κ2α、σ1）み（κ2α。α1）＋K2Ct，ai Ji（κ2α、a、）」・（rc2αpa・）
； rc 22（α、2一αP2）
∫1、Z・Z〆∂㌃（ 1ab s）Uo（ai， P）∫1、・・（・・）・・（・カ）・〃
∫：，u・（・・）・・（・カ）・4・
一［・、α，…（ち・）・、（ちカ）一・1・・ru−t（ち・）・・（ちク）］1、
rc12（α，2一αP2）
t
y
」−w〃・（…）・・（・・P）＋・隅（・，・）・・1（・，カ）］1，
N12（α・2一αP2）
＿κ、αpa1π・（al，S）Ul（a、，P）−rc、α、a、tt、（al，5）U。（a、，P）
κi2（α・2一αP2）
であるから，
k・・22∫rX・緬・・ぷ・ll1Z・醐
klrc22 ゐ（κ2α，at）」6（rc2αpa1）
Trc，α，・、」。（・，α。・、）uTt（・、α。al）＋・、α、a， 」i（rc、α、・、）J。（r・1・・。ai）．
×
κ22（α、2一αρ2）
k2rCt2
十 UO（al，∫）UO（a1，カ） ． 一
×「c・α…μ・（a…）U・（…ク）一・・α・altt・（・，・）…（al，カ）
rCi2（α、2一αP2）
一
。蕊（一構」艦丁＋⑭・．！tlkz。言名）
÷一鑑。・（・1α・畿窃一一・・α・》；1乏鳶）
一苛。．・1−（・1・・α弓艦IL−…1α・畿一窃一）
＋（k…α・一嘉綴三チー・・rc・α・畿：ll）｝ ………（・・）
となる。境界条件（5）を（29）の書き方を用いて書けぽ，
・…α・隠1告一一k・rc 1α・緩l l｝・
k・r・2a・隠eS−r ＝ k…α・畿：S）
と書けるから，
k・κ22∫rぽ・品・κ・2∫1、Z・Zp・〃一・ ・……・・（・・）
となることが言われる。 ． ．．
次にS＝pの場合を考える。 ． 『 ∫11綱一｛J。（。，la）｝，∫9 ｛ゐ（・・α・め｝・rdr・ ．
一｛J。（，，2ia、）｝、［；｛ゐ （・・α・・）｝・＋｛」・（・・α〆）｝・］9
一｛」。（。、］。。、）｝，Sl［｛・」・・（・…c・・fOas｝・÷｛ゐ（・・α・・1）｝・］，
∫1，Zp・rd・一 −Tt、。（」al，カ）｝，∫：1｛Uo（r，p）｝・・dr
−一｛ft。（iiil，P）戸［；｛（U・ （r・P）｝・÷｛W）｝・｝］：，
一・｛。。（。｝，P）｝・［芸｛〃1（a・P）｝・一与｛（・・（・・，P））・÷（・・（・・，P））・｝］
8 であるから，
k・…∫9 x・・rd・＋k・κ・2∫：、脚・
一、｛kirc22a12Jo（sc2αpai）｝，［｛・Ji（・・α…）｝・＋｛J・（・・α…）｝・］
＋，｛ ゐ2κ12Uo（a1，P）｝・［a・｛・・（・・P）｝・一・・2｛（・1（…P））・＋（u・（a1・P））・｝］
≡V（αP） ………（32）
となる。 （32）の複雑な式を簡単のためにτz（αp）と書くこととする。
以上の計算によりMpは
Mp＝，rk）（k・・22∫11五（2）為・醒・・2∫1、五（・）Z・1・・）
となる。これにより任意の関数f，（r），f，（r）の展開式は次の如くなる：
ロ fi（r）＝Σ Ms
Xs
s；1
−。三γ9、）（・・κ・・∫91f・（・）X・2晒・・2∫：、f （・）Z・・d2）
」0（κ2αの
一。ξゐ篭1）（ klrc22」0（rc2α，al）∫1 fi（・）ゐ（・・α・・）7・d2
＋。鵠1、）∫1、f （2）u・（R・・）2d2）・
の f，（r）＝ΣMsZs s＝1
一三毒。）（k・…∫9 f・（・）X・…＋k・κ・2∫：、f （・）Z・2dR）
Uo（r， s）
一ε、艦）（ klrc22Jo（rc2α、αユ）∫9 f・（・）ゐ（・・α・2）2d2
＋畿1、5∫1、 f2（・）・・（…）2d7．）・ ………（34）
f，（r），f，（r）の展開式が得られたので，求める解は次の如く変えられる：
・・一三ビ・一麗蕊｛ゐ（klrc22．rc2αsa1）∫9 fi（・）ゐ（・・α・2）・d2 v（α，）
＝ k2rc12
Jo（rc1α，a1） yo（rc1α、a1）
Jo（rClα。a） yO（κ1α，α）
・∫1，f2（2）（鵠鵠一辮1；〕）ldl｝ ………（35）
ゐ（κ1α，夕） Yo（κユα，プ）
・・一
三、e−n・2・22・s2・ ・1°（「c αta）V（。k，tw）
9
第3図 Fig．3
・｛ゐ誌、）∫1 fi（・）ゐ（κ2α・2）・d・・
， le2rc12
丁J。（κ、α、al） Y。（κ、α，al）
Jo（κ1α。α） Yo（rClα、a）
・∫1、f （・）（棄蕊1一蘂鵠）2d・・1……（36）
但しτz（α、）は（32）で与えられる複雑な式である。
B 温度が軸方向に変化する場合
今度は温度が軸方向にも変化する場合，即ち温度が，Zの関数でもある場合を考える。
円柱の長さはZであるとする。
熱伝導の微分方程式としては（1），（2）の代りに
薯一κ12（∂2Ul−⊥1∂Ul，∂2Ul∂1・2 プ ∂r T∂z2），［・≦・≦・1］，
薯一…（雲＋÷」誤警），［al≦・≦・コ
を用いる。r＝a， r＝alにおける境界条件はAの場合と同じである：
（u2）．＝a＝0，
（ttl）．＝の＝（tt2）r＝al，
・1（∂ttl∂r）＿一・・（彩），＿・
今度はx＝0，x＝1における境界条件が必要である。其処の条件として
（Ul）z．o＝0， （Ul）z．1＝0，
（π2），．o＝0，（u2）。．ド0 を採る。初期条件は
（tli）t．o＝ ft（r， z），
（π2）t．o＝f，（r，z）
なる形となる。
微分方程式（37），（38）の解は
ttl＝G。、，file−x・2・22（α・2＋β12）t（Aa、 cos・rc2αlz＋B・、 sin rc2αix）」・（κ1β17＞，
・… 一… （37）
・・・・・・… （38）
・・… … （39）
一・・一… （40）
・・・・・・… （41）
・・・・・・… （42）， （43）
… ｝■・… （44）， （45）
一・・・・… （46）
・一・・・… （47）
・…・…（48、
10
u2＝H。、，P、e ・ 2・22（・22÷fi22）t（C。、 cosκ1α2z＋D。、 sinκ、α2z）
×｛Ep，」6（κ1β2ア：）＋Fp、Yo（re1β 2r）｝
となる。定数の用い方はAの場合と同じである。
境界条件（42），（43）から
A…一・， a1 ・illi t， ［m−1 2，………］・
●
c・・一・… 一帯 ［m＝1， 2，・…・一コ とすれぽよいことが分るであろう。
境界条件（40），（41）が彦の如何に拘らず成立するためには αi2÷β12＝α22＋β22
が成立すれぽよい。即ち
（Mi7rc21）2＋β・2−（芸）2＋β22
が成立すれぽよいことになる。
境界条件（39）を満足するためには，
Ep， Jo（rClβ2a）＋Ffi、 Yo（rc1β2a）＝0
となれぽよい。Aの場合を同様に新しい定数Jp2を用いて
n I恒
n Ip， Ip2
Ep、＝Eβ、＝7／三篭一、，Ffi、＝一 J2（κユβ2α）
yo（rc1β2a）
の如くEβ2，1砕2を採れぽよい。
境界条件（40），（41）を満足するために ，
・・一・・一■・（49）
・・・・・・… （52）
・・・・・・… （53）
（50），（51），（52）をは考慮に入れれば G・・…A・・ 」・（・・β…）−H・・i…C・・ 」・2（畿鰐一：罐3）・………（54）
Gα1，β、A．、klrc2β1」，（rc2βlal）
第4図 Fig．4
11
一疏己蜘β・（」三（κ1β2σ1） Y1（rc1β2a1）」6（rc1β2a） YO（κ1β2α））………（・・）
となればよいことが分るであろう。Aの場合と同様にβ1≒0，β，tCOと考えてよいから
（54），（55）から
J，（rClβ2a1） Yユ（tt1β2al）
脇鵠S一罐Slll，｛lliltl：：i（，P，、） …・…・・（56）
J。（rcユβ2α） Yo（κ1β2α）
が得られる。Aの場合にはβ1＝β2であったが，この場合はこれが異なる。
（52）と（56）とからβユ，β2が決定され，それから固有値が求められる。（52）は双曲線で あるが，（56）は複雑な曲線である。第4図に（52）と（56）を図示した例を掲げてある。
（図ではk，＝1，k2 ・＝2， rol ＝＝ 1，κ2＝1．2， ai ＝・1， a＝・1．2， m＝2，1＝3．14としてある。）
（52），（53）が決定されるβ，，β2の正根を大きさの順序に並べてs番目のものを夫々 βユ，，，β，，，と書くことにすれば，微分方程式（37），（38），境界条件（38）〜（45）を満足する 解は
勒一三三K・，… hl2K：2（（ ，）1㌃ k21）2÷1・s2］t s・・㌢綴ll二；・・…・・…（・7）
炉三熱・・⊂職僻y＋P2・s2］t…字荒13 −…・（・8）
なる形に書かれる。但しUo（r， s）はAの場合と同様に
J・（k，β・，・r）一】㌔（k・β・1・「） ＿＿＿（59）
tio（r，5）＝
yo（k1β2，，α）
ゐ（k1β2，、α）
と置いてある。又境界条件（40）を満足するために
G．誓，。，，B．告一轟1、の・H芸D評…一轟）一……・（61）
と書いてある。
初期条件（46），（47）を（57），（58）に入れれぽ
f・（・，・・）一三が・…苧耀1嵩・ …一・（・・）
f （r，・・）一三、註・・S・・÷慌；駕
となる。このような展開式が得られれぽ解が求められる。
（61），（62）の展開の中zに関するものはFourier級数を用いて f・（…X）一膓三・i・！！7TL・ ！1 f・（…）…÷・耽
f （r，・・）号ゑ・・n−Z ｛ E−・ ！1 f2（r・・）…争・・
となるから，これらを（61），（62）に入れて考えれぽ
3f・（r・・2）一芝ぷ・蒜療島
3f・（r・・2）＝・ sZKm，・二1鵠
・・・・・・… （62）
一一・・・・… （63）
・・・・・・… （64）
・・・・・・… （65）
・・・・・・… （66）
十
U、（α1，5）UO（α1，カ） β2，、2一β2，ρ2
一β、，，2竺β、，。，（一・・κ・β…9｛鵠：鵠＋・・κ・β臼・鵠：：alal言）
＋β、，k、，，，（k・κ・β…畿161−k・・1β…裟三1：1｝）
となる。然るに（52）から
β1，，2一βエ，P2＝β2，，2一β2，P2
であり，又境界条件（41）により
k…畷ξ；｛：註・…β…畿ll｝・
k…β…綴：ls−k…β…畿：B
であるから，
k・…∫『X・綱鵠・・2∫i，Z・Z・rdr−・ ………（69）
となることが言われる。
s＝カのときにはAの場合と同様にして k・・22∫11為・rd・＋k…2∫1、Z・・rdr
−、｛蕊15、）｝，［嚥β…a・）｝・＋陥β1・…）｝・コ
＋、｛ 馬κ12Uo（a1，P）｝，［・・｛・・（・・P）｝・一・2｛（・・（・1・P）｝・＋｛・・（…カ）｝・］
≡V（β，，ρ，β2，P） ・・・・・… く70）
となる。（70）の右辺の複雑な式をV（ie1，p，β2，p）と書いてある。
12
なる展開が出来れぽよいことになる。これはAにおける（26），（27）の展開に相当する。今 回は
Jb（κ1β2，sr） γo（κ1β2，sr）
x・一驚鵠・z・−ma；慧：詰 …一（67）
」6（κ1β1，sα） Yo（rc1β2，ea）
と置き，
K…−7M・ ………（・・）
と考えれぽよい。
Aの場合と同じ計算方法により，
k・r… sg X・X・・ ・・＋k2re・2∫：、Z・ZW
klrc22
Jb（rc2β、，，al）Jb（rc2β、，pal）
一κ2β1，pa1Jo（rc2β1，sa1）」三（rc2β、，pal）−rc2β1，saiJi（κ2β1，sal）Jo（rc2β1，pal）
×
β，，，2一βi，P2
k2 κ1，β2，pal UO（al，∫）tt1（al，」ク）一 rClβ2，sal Uユ（alS）Ue（al，P）
13 上の計算によって
M・ ＝ ＝vi（li、，｝，β，，P）（k・…∫1 x・・ξ・e＋・，rc，2∫1、Z・2ξde）
となり，
f，（1 ，7．）＝＝ΣMs Xt s＝1
Jo（κ2β1，，r）
一三篭1鵠（ klrc22ゐ（rc2β1，sal）∫1 f・（ξ・2）J・（・・β1・・ξ）ξ・9
＋。藷ll、）∫1、f2（ξ・・）・・（ξ・・）ξ・ξ）・
ロ f，（γ，2）＝ΣMs Zs s＝1 tto（r，s）
−v（u．o（al，s）β1，3，β2，8）（J。（蕊。、）∫： f・（ξ・・）J・（・・β…ξ）ξdξ
＋ 慧ll、）∫1，f2（e・2）・・（e・s）ξdξ）
なる展開式が得られる。
（65），（66），（68），（71），（72）により次の展開式が得られる：
f、（，，、。）一÷蕊，慧譜：蕊
・（ klrc22」6（κ2β，＃α1）∫1 ∫lf，（ξ・・）・・n−！17Z4・ ・・（・・β…ξ）ξ・ξ・・
＋。援ll、）∫1，∫t f2（ξ・2）…スπ…（ξ・・⇒・
，．．．．…！llL …（rs・）
f （「・・Z）＝丁。＝、三V（β、，，，β，，，）。。〔。、，、）
・（ k1κ22Jo（κ2β1，εal）∫1111鵡・ln− ll｛T ・…（・・β…ξ）ξdξd・・
＋。，lllil、）∫11∫1㈱…弩π…（e・・）ξ・ξd・）・
f （r，x）， f，（r，z）の展開式が（73），（74）の如く得られたので，
ることが分るであろう：
U・一膓。ξ三・一 ・2r221（剖＋fi ・s21t…弩π・ゐ（・・β1…）
v（β、，，，β2，s）」。（rc2β1，，al）
・（ k1κ22Jo（rc2Pl，8al）∫1 ∫1 f，（e・2）・in−！ L ・・ ・・（・・β・・ξ）ξ・ξ・dR
☆2κ12 十
Jo（κ1β2，eal） Yo（rCl P2，tal）
J，）（ntβ2，ea） Yo（rClβ2，虜α）
・・・・・… 壬73）
・・・・・… ＜74）
本問題の解は次の如くな
14
・
Sl，∫1 f・（e，1）…苧（」 （「c P ・ ξ） Yo（rc1β2，εξ）
エ
8
Σ＝15 8
Σ拒27
二
2 e−・12・22｛悟）2・β・sS・｝t
Jo（κ1β2，3α） Yo（rClβ2，ea）
． mπ Sln−−r−Z l
ξ・ξd・），……（75）
（蒜㌶一；ま1；鶏）
ゐ1κ22 1
・（」。（r、、β、，，al） l k2re12
十
」6（κ1β2，，al） y。（rClβ2，，al）
」6（κ1β2，8α） Yo（κ1β2，sa）
・∫：∫1五㈹…字（Jo（κ1β2，，ξ） Yo（κ1β2，，ξJo（κユβ2，8a） Yo（κエβ2，8α）
この式の中のV（β，．，β2，，）は（70）で与えられる複雑な式である。
v（P・…▲・）（召篭留一蒜鵠）
∫1 ∫。五㈹…≡・ゐ（u・β・，・ξ）ξ・ξd2
Y・（κ1β…ξ）ξ・ed・） ．………（76）
（昭和50年9月2日受理）
