弾性 波の遷移層 によ る反射 と透過 * 大 好

秋田大学鉱山学部研究報告,第

号

年

月

論 文

弾性 波の遷移層 によ る反射 と透過 *

大 好 直 **･隔 広 軍 ***

Reflection and Transm ission ofElasticwavesby a Transition Layer TadashiOHYTSHI**andGuangJunSUI***

Abstract

BasicanalysisOnre8ectionandtransmissionphenomenaofelasticharmonicwaveshas beenmade,asapilotstudyforultrasonicnon‑destructivecharacterizationofcomplexmaterial suchafunctionallygradientmaterial.A transitionlayerinthisbasicanalysisismodeledby ahomogeneousisotropicelasticlayer,andthephenomenaisexplainedbythereflectionand transmissioncoe氏cients.Representativenumerical examplesofthecoefncientstothesoft layerandthehardlayershow ussomecluestoevaluatethetransition layermaterials. Numericalresultsaremadesurebytheenergyconservationlaw ofwavemotion. Perfect penetrationofwaveenergy(Non‑reflectionphenomena)appearsdependingonthewavelength.

Thepenetrationaccompaniedbytheresonanceofthelayeriscausedeventhoughtheincident angleislargerthanthecriticalangleofincidence.Thebasicanalysュsandformulationdescribed heremaybehelpfultomakefurtherstudyofultrasonicnon‑destructiveevaluationofcomplex materials.

1. 緒 言

弾性波の反射 と透過 の問題 は様 々な分 野で古 くか ら扱 われて きているが,機械材料 の健全性や性状 を 定量的非破壊 的 に 自動評価 す る技術 開発 に関連 し て, 現在 も重要 な基礎研究 となっている.昨今の種 々 の新開発材料 の出現 に ともない,対応で きる反射透 過の解析 を行 うため には,材料 の性質 を正 しく表現 す るため,構成関係式の適否 を再検討 しなければな らない.た とえば一方向繊維強化複合材であれば異 方性体 の構成関係式 を, また多孔質焼結材であれば その特徴 の表現で きる構成関係式 を利用す るのが妥

年

月

日受理

*日本機械 学会東北支部講演会 にて一部講演

年

月

H,八戸)

'* 秋 田 大 学 鉱 山 学 部 機 械 工 学 科.

.

H* 東北大学流体科学研 究所.

,

( 秋 田大学 大学 院鉱 山学研 究科 機械工学専 攻平成

年度修士 課程修 了)

41

当であろ う. しか し,一般 に詳 細 な構成関係 を用 い て材料評価 のための解析 をす るな らば, 多 くの場合 その取扱 いは複雑 になる. そこで, その よ うな解析

‑ のステ ップ として, まず基本 である均質等方弾性 体 の扱 いにおいて,見通 しの良 い整理 が出来ている

こ とが望 ましい.

本報告 は,以上 の考 えを踏 まえて,均質等方 な弾 性遷移層 による超音波の反射透 過解析 を整理 してみ た.い くつかの代表的 な計算例( 1 ) を基 に して,波動伝 播特性 か らの説明 を行 ってみた.今後, それぞれの 材料 の特質 に忠実 な構成 関係式 に基づ いて解析 を進 め る際の基礎 的知見 としたい.

2.

遷移層 によ り生成 す る波

〟を変位ベ ク トル,J を位 置ベ ク トル として振幅

の平面調和波 を次の よ うに表 す.

u‑Adexp[iE]

( 1 )

5

‑ k ( x

) ( 2)

d と p はそれ ぞれ運 動方 向 と伝 播 方 向 を与 え る

単位ベ ク トル

は波数

Cは位相速度 である.等方

42

大好 直 ･情 広 軍

性材料では

と p の間 に d

となる ときと, 内積 d ･ p ‑ 0となる ときがあ り,それぞれ順 に縦波 ( P波)と横波 ( S波)に対 して成 り立つ. ここで変 位 ひずみ関係 を均質等方 な構成関係式

の法 則の式) に代入 して得 られ る応力成分 は次式 によっ て与 えられ る.

Tlm‑ [A Clmd,p,

+JL(dlZh,+dnp.)]iAAexp [iE] (3)

ここに各項 に複数現れ る添字 jにつ いては総和規 約 を適用す る

人 とF Eは ラメの弾性定数 で

は タ

ロネ ッカのデル タである.

異 なる材料の界面では応力 と変位 が連続でなけれ ばな らない. したが って反射波や透過波 はそれ らの 条件 を満たす よ うに生成 され る.便宜上界面か ら生 ず るい くつかの平面波 を,上添字番号 ( n) を付 けて 区別 して表記すれば

u( n )‑ A ( n ) a( n) exp

(

( 4)

‑ k( n) ( x ･p( n)一 C ( n ) i ) ( 5) となるか ら,界面の任意の場所,任意の時刻 におい て連 続の条件 を満足す るためには,生成す るすべ て の波 に対 して f ( n ) が等 し くなければ な らない. また 領域 に よ らず調和 波動場 の周 波数 G J( ‑ k( n) C( n) ) が 共通 であるか ら,式 ( 5) を次の様 に書 き換 えてお くと 便利 である.

E(n)‑ exp [i

G)( x ･q( n )‑ i ) ] ( 6) ここに q( n ) は

q( n )‑ p( n ) /C( n ) ( 7) で 定 義 され る ス ロー ネ ス ･ベ ク トル

∩

が等 しい こ とか ら q( n) の層 に平行 な成分 ql ( n) は 界面で連続 であ り, この こ とか ら反射波 と透過波の 伝播方向が決定で きる

｡す なわち

波の入射角 を

o

とし

の よ うに伝播方 向

を

♪1(∩)≡ Sin♂(∩)

で定義すれば,次の よ うになる.

A(

o

‑P l (

)

p l(2)‑ sine(0)/xI

pl(3)‑p l(5)

‑ ( CLI I /CLI )

pl(4)‑p l(6'

‑ ( CLI I /CLI )

e( 0) /x

(

‑ (CL

I

L

p l(8'

‑ (cLI l l /CLI )

e( 0 ' /x

あ(

Z ･ . ( n )

92(n)‑ i[(A(n

)

( 1 0 ) ただ し , x は縦波 と横波の速度比 CL/CT で,上添字

Ⅰ

I I

HI はそれ ぞれ入射域,層域,透過域 に対す る量であるこ とを示す.反射率

と透過率

は,そ

れ ぞれ反射波振幅 と透過波振幅 の入射波振幅

0 ) に 対す る比 として定義 され,本間では次式で与 える.

Rp‑A(I)/A

(

( l l )

R

s ‑ A ( 2 ) /A ( 0) ( 1 2 )

Tp

‑ A

)

A ( 0 ) ( 1 3 )

s ‑ A ( 8 ) /A ( 0) ( 1 4 )

ここに下添字 によって反射波 と透過波の種類 を示 す.

3.

波動 エネルギの保 存

次 に波動エネル ギの流れ を考 える.応力ベ ク トル tによる単位 時間の仕事 ( パ ワー密度 . ダ )は,体素 の運動速度 ( 粒子速度)Vす なわちんとの内積 で与 え

られ

3 ‑t･u

q9

ただ レ ヾワ‑密度 は

もんも実ベ ク トルに よって 定義す る.面素の法線方向 を単位ベ ク トル nで与 え れば,

ダ

l

従 って

波 に よるパ ワー密 度 は,振幅

が実数 な らば式

( 1 6

よ り

ダ

×Re [iexp(iE)]

87

ここでパ ワー変動の一周期 を Iとして,時間平均 ( 以下 〈･) を付 けて表わす) を求めれば

…亘

義 メ

: ; : ; Ⅰ

) ' 由 A( 6 仁 C q‑ If i io

Ⅲ

Fig.1 Geometryandgeneratingwaves

弾性 波の遷移 層 に よる反射 と透過

〈ダ

〉 ‑r 1 千

‑ i ( 九

^c

^k

^{c L}

^{( . 8 )}

‑方

S波 に対 しては

･プ T

, ‑ i p c

^{( . 9 )}

これ らの時間平均表示 を用 いれば,波動エネルギ の保 存則 に基づ いて解析結果 を確 かめ ることが出来 る.入射波の照射す る界面 の面積 を f lとし,それ ぞ れの波束 の関与す る断面積 を

とす る

こ の時

波動エネル ギの保存則 よ り次式が成 り立 たな ければな らない.

〈ダ (

くず (

〈ダ (

+ くグ

‑ 〈し

式 ( 1 8 ) ( 1 9 ) をそれ ぞれの波 に適 用 し

の幾何 学 的関係

fl(a)‑ ncose(n) (Ztl

を考慮すれば,式但0 ) は

(R p2cose

(

ただ し I l lと

1

は音響 インピー ダンスの比で r

I12‑ (p 王IICLIII)/(p IICLII)

位3

4.

問題の呈示 と連立式

波動場 が入射領域

と層厚

の弾性 遷 移 層

と透過領域 ⅢⅠ によって構成 され る とき,直角座標の 原点 0を層の中央面 に

座標軸が層平面 に垂 直に なるよ うに とる

座標軸 に対 して任意の 角度

o

で入射す る平面波 を考 えるならば,すべ て の生成波の伝播ベ ク トル

が

座標 面 に含 ま れ るように座標系 を選定す るこ とがで きるので,面

A(1) h(2)

‑

一

‑顔(1) pl(2)

一

‑

‑S(1)r(1) ‑ C (2)r(2)一S(3)r(3)e(3j C (4)r(4)e(4) S(5)r(5)

K (1)Y｡)‑S(2)r(2) ‑K(3)r(3)e(3)‑S(4)r(4)e(4) ‑ K (5)r(5) 0 0 91(3)

‑

0 0

^{p l ( 4 ) 一}

o o

0 0

ただ し,次の よ うな置 き換 えを している.

少.(∩)‑ sin ♂(∩)

4 3

叶 ヒ : 三 三

,

Fig.2 Energy conservation

内変 形 の

次 元 波 動 問題 に な る.遷 移 層 の 上 面 ( Ⅹ2‑一H )と下面 ( 苑‑H )における応力 と変位 の 連続条件 よ り, それ ぞれの波 に よる寄与の総和 を考 えて,

x 2‑ ‑H :

ui(0)+ u,(1)+ui(2)

‑

狗( 4 ) +

121(0)+72,(1)+f2,(2)

‑72,(3)+12,･(4)+T^2,(5)+r2,(6)

C Z S

x 2‑ H :

u,(3)

+ 狗

￠6 )

1

な7

式伽‑ 留別

に対 して成 り立つので合計

の式 となる.式 ( 4) と ( 3) を

d

か らC Z 7 ) までに代 入 し,具 体 的 に行列表示で整理すれば式㈹ となる.

‑顔 (6)

0 0

‑

0 0

C(6)γ(6)

0 0

S(6)r(6)

0 0

h

‑A( 7 )

あ (6)e(6)

‑A( 7 ) ‑

‑ C (6)Y(6)e(6)‑St7)r(7) C (8)r(8)

‑S(6)r(6)e(6) ‑ K (

7

h (n)‑ cose(n) S(n)‑ sin26(n)

A(I)E+(1)

A(2)ち(2)

A(3)E.(3)

A

( 4

A (5)E +(5)

A (6)E r(6)

A (7)E .(7)

A (8)E .(8)

= ‑ A(

0

44

大 好 直 ･階 広 軍

C (∩)

‑ c

L l )

e(

∩

‑ exp

p( 0 ) c T( 0 ) )

‑ exp

P2 ( n ) ]

したが って,入射波の振幅

0

が与 え られれば式

㈹ に よ り

1 )か ら

8

まで の

個 の未知振 幅 が決

S oft layer 8 ( 0 ) = o ･

0

L

.L

1.0

Normalized yaye numbe

r kH

s｡ft laye, メ0)=40･

′‑ .‑ぜ S〈 ∩ ( 〔

'

..'､

､

1

L ､,

,

1 稚 ､

: '

一

･八 ..‑.''..:T'J .,, '...:''!.:㌔....

1.0 2.0

Normaliヱed waye number

kH

s｡ft layer 〆^0)=80･

I.tI守 .RsI... r

. , . 1.. . . .

1.0 2.0

Normalized waye number

kH

定で きるので,式 ql ) ‑( 1 4 ) か ら反射率

,R

と透過率

が得 られ る.

ここで,反射透過特性 と変位 応答特性の関連 を調 べ るために,生ず る波の変位ベ ク トル和 を次の よう に とれば, それぞれの領域 の合変位 を' 求め るこ とが 出来 る.

u

l=

Hard layer メ0):o･

u g

0

L 1 Jy

L .I . a

a o u

2.0 4.0

Normalized waye number

kH

Hard layer 〆0)=40･

0 2･0 4･O

Normalized wave number

kH

Hard layer

メ0 』8 0･

0

L1.y･ニー300

0

Normalized waye number

kH

Fig.3 Re月ectionandtransmi ssioncoe侃cientsvs.normalizedwavenumber

弾性波の遷移層による反射 と透過

a

I I

〟

Ⅰ Ⅰ Ⅰ=

〟( 8 )

5.

数値計算例 と反射透過特性

Tablelに計算 に用 いたパ ラメー タの リス トを示

す.反射 と透過 の現象 は周囲媒体 と遷移層の音響 イ ンピーダンスの違 いに起 因 しているので, その代表 計算例 として周囲媒体 に対す る層の インピー ダンス 値が小 さい とき ( ソフ ト層) と大 きい とき ( ‑‑ ド 層) を選 んで計算 した.具体 的 には,‑‑ ド層の場 合 とソフ ト層の場合 の材料定数 は層の内 と外 との定 数 を入れ換 えた もので ある.

Fig.3

は反射率 と透過率 の波数 に対す るスペ ク ト ルである.

は入射側媒体 における

波の波数 であ る.右側 に‑‑ ド層 を左側 に ソフ ト層の場合 の結果 を示す.入射角

o

は,上段が Oo ,中段 が

0 ,下段 が

である.太線 と細線 をそれ ぞれ生成 した

波 と

波に対応 させ,実線で反射率 を点線で透過率 を 表わす.垂直入射 ( ♂( o ) ‑0) では波数 が

k

I

となる時,理論的 に反射波が な くなるので, ソフ ト 層 で は k H が

増加 す るご とに,‑ ー ド層 で は k H が

増加 す るご とに Rp‑0となる.計算例 は その様相 をよ く表 している.‑ー ド層 に対 しては層 内に

波,もし くは

波の消失す る臨界角が あ り, 本計算ではそれ ぞれ

. 40と55.

0 にな る.波数依 存 性 を見れば ソフ ト層で変動が激 しい.40

入射 に対す る

波の反射率の最大値 は

を超 えている.これは 同一振幅 な ら

波 よ りも

波のパ ワー が小 さい ためであ り,エネルギ保存式

によって も裏付 けら れ る.‑‑ ド層の場合 に kH に対す る変動が緩やか なのは層内の波速 が大 きいために, あたか も薄 い層 と置 き換 わった よ うになるためである.

Fig.4

は無次 元波数 k H ‑2の ときの入射 角依 存 性 を検討 した ものである.入射波が

波であって も ソフ ト層 の時 600 と

0 近辺 で反射 P波が無 くな り, 反射波は

波のみ となる.す なわ ち透過波は小 さい ので入射

波 の反射

波‑ の モー ド変換 と見 るこ とがで きる.‑ー ド層の時,300 を少 し超 えた ところ で急変 している. この近辺の入射角 においては層 内 で伝播 し得 る波は

波のみ となるので

波の重 な りによるモー ドが生成 されて,局所的に透過波が急 増 し反射波が急減 している もの と見 られ る.波の伝 播速度の速 い半無限体へ ある角度 で入射す る時,臨

45

Table1Physicalparametersforthecomputation

＼ ＼ ＼

＼ klr/s km/s g/cnt3 km/S k.,V,s g/cm3

界角 を超 えているな らば,波は全反射す るか または 一部が界面 に沿 うように伝播 し,深 さ方向には指数 関数的 に減衰す る. しか し層状体 に対 しては臨界角 を超 えた入射 であって も裏面 まで多少の影響 が生 じ ているので,透過領域 に伝播 し得 る波が生成 されて いる. したが って,臨界角入射であ って も, それ ぞ れの波 の透 過率 は

に対 して連 続 に変 化 して い る.

Fig.5

は遷移層か らの距艶 に対す る変位振幅 の変 化 を示 した ものである. それぞれの図の中央の網掛 け した領域 ( ‑1<x/ H <1)が遷移 層で, その左側 が入射側 の領域 である. それ ぞれの図のパ ラメー タ は入射角であ り ,e( 0 ) ‑0

を選 んだ.図中の 曲線のパ ラメー タは波数 で,kH ‑1 , 2,3を選 んだ.

縦軸 のスケールが ソフ ト層の時 と‑ー ド層の時で は異 なるこ とに注意すれば,明 らか にソフ ト層の場

Soft layer

A ･ H =

RS

良

＼

.."….^{....IS.".̲.̲.̲ち.......L "̲........}一^.一^..^{.̲ 4.‑I....‑.}

30 60 90

Incident angleメ0)

05 0

1

4g

O U

narQ LayerRS kfl=2.0

: : ち TS;,‑I.'.;.

･.一一●''....:T..fこ,こ‑.‑.i‑.こ...i ち‑r〜k...,̲.'‑ .......JI" (.‑E.一●←.‑i

0･0 30 60 90

zncldentangle〆0)

Fig.4 Reflection and transmission coe抗cientsvs. incidentangle

46

_{大 好 直 ･情 広 軍}

合 には遷移層内の振幅が全体 に大 きくなってい る.

入射角 Ooの ソフ ト層 を例 に とれ ば

が 3の 時他 に比べ て非常 に大 きい, これ は式鋤で

の時 に 当た りほぼ反射無 し ( Rp‑0)で入射波が透過側 に素 通 りす る状態 ( Tp‑1 )となっている.す なわ ち遷移 層が共振状態の時にあたる. しか しエネルギ保存則 か ら透過側 の振幅 が増幅 され る事 はない.‑‑ ド層

Incident angle ♂( 0)=

naPnT

! T

6

6

n a P n

4 2 O

a a

T ! t

V

】

kH= I

+...lt

､■l ■､◆̲→′

4 ‑2 0 ̀^つ 4

N o rma lized distanc

e x/H

Incident angle

♂( 0)=40

lS

I .‑〜

l l､.'.j

4 ‑2

0

NormaIlZed distance x/H

Incident angl

e ♂( 0)=80

∫

‑

RH‑

i

● 一 ■ ■ ､

/ ,

' > /

/

4 ‑I) 0 2

NormallZed dlStanC

e ∬/〟

の時,計算の範囲 内では透過側の合成変位 は小 さ く なる.垂直入射 で

の時,遷移層の中程 で変位 振幅が 0にな り振動位相 が反転 してい る.

Fig.6

は入射角 をパ ラメー タ として表現 した もの で ある.‑‑下層 にたいす る臨界角 よ り大 きな入射 角 β( o ) ‑800 であって も透過側 には波動 として伝播 し

うる事 が分 か る.以上の計算結果 は,エネルギ保 存

C.]o

naP

n T ! tへt u

Incldent a ngle e(

)

∫ I

J L + J I= i

■一 1事

…

. . ' J ‑ : 二 . ∴ ｢

‑4 ‑2

0 r 〉

Normal

ized distan ce x/H

inc ident ang le

C( 0)=40

n a P

! t

.̲､lHa, ‑layerl

/

‑

…■ "L kH= ' l ‑ ' … 2 I

1

,..I:', ;t.:I , ...:〜lit

l★f l

lLI. l,.,

't}J ミ≠LHtii:t 1I.i 】

4 ‑2 0 2 4

NormallZed dlStarl

Ce J Y/H

I

ncldent angle ♂( 0)=80

I '.I.:^‑I.'1..

㌔..〜 ■Li ..い t卜喜t ‑‑‑ 3

4 ‑2 0 つ 4

Normalized distanc

e X/H

弾性波の遷移層による反射と透過

式の成 り立つ事 を数値 的 に確 かめて い る.

6.

結 言

弾性遷移 層 に縦 波が入射す る ときの反射透過現象 を解析 して代表的 な計算例 を示 し, その結果 をま と めれば次の よ うになる.

波動エネル ギは速度 の遅 い媒質 に集 まる傾 向が あ

^ ' H =

ウー

ヽ7

♂(0);

‑ ^0●

I

よ'771 ′1:..: ;''ミ管Jttl‑〜..L‑rー̲lI.̲̲r80't

.'､＼ 針 肝

､′ ㌧

‑4

‑2 0

4

NorT T t alized dlStanC e

Hard 1ayer kH =

[7aPn1I1dtL[V

. ■ ＼

潤 i

‑4 ‑2 0 2 4

Normalized distance

x/H

Fig.6 Distributionoftheamplitudewiththeparam‑

eterofincidentangle

47

り, その よ うな場ノ 飢 こは層 内の モー ド振動 が顕著 に な る. モー ド振動 に応 じて層 が見 か け上,硬 くなっ た り柔 らか くなった りして反射率 や透過率 の変動 を 引 き起 こ して い る.反射波 が極 め て小 さ くな る とき は遷移 層 内の振幅 が大 き くな り ( 共振状 態 とな り), この時波 は素通 りし,入射振幅 とほぼ等 しい振幅 で 透過側 に伝達 され る.

‑‑ ド層 に比べ れば, ソフ ト層 で は層 内の波動振 幅 が大 き くな り,反射率 と透過率 は周波数 もし くは 無次元波数

に敏感 で ある.

入射 角度依 存性 を調べ れば,‑‑ ド層 の時は層 内 へ伝 わ る臨界角が存在 す る. しか し, この よ うな と きで あって も

の値 に応 じて,透過側 にエ ネル ギ の伝達 が行 われ る.

なお将来, よ り複雑 な遷移 層 の力学的 な特徴 を明 らか にす る解析 の吟味 の ため に,等方性 の層 に対す る式鍋 が利用 で きる. さらに, エネル ギ保 存式佃 は 遷移層 の材質や厚 さに よらず成 立す る式で あ り, そ の まま用 いて計算結果 を検 討す る事 が出来 る.

参 考 文 献

( 1 ) 惰広 軍 ( 1 991 ) :弾性波の遷移層 による反射 と透過 の解析,秋田大学大学院鉱山学研究科平成

年度修士 論文

( 2) 大好直 ( 1990) 二弾性波動の力学,日本機械学会編｢ 衝

撃破壊工学｣ ,第

章

,技報堂出版