異方性材料界面 における弾性波の反射 と透過*

秋田大学鉱山学部研究報告,第13号,1992年10月

論 文

異方性材料界面 における弾性波の反射 と透過*

大好 直^**･三浦公久 **

Reaection and Transm ission ofElasticW aves atan interface ofAnisotropicM aterials*

TadashiOHYOSHI**andKimihisaM IURA**

Abstra(:t

Coe氏Cientsofreflectionandtransmissionofelasticwavestoanon‑symmetricboundary surfaceofanisotropyareobtained.Theanalysisshowsmainlyonacharacteristicslowness surface.Anormalvectorontheslownesssurfaceindicatespower貝owdirectionofcharacteris‑ ticwaves.Thisistheimportantcluetoconstructtheformalsolutionsbytheselectionofproper characteristicwaves.Theselectionismadebypower且owdirectionofthewaves.Theformal solutionsshouldcompensatethecontinuityconditionsattheinterfacedisturbedbyincident waves.ForageneralanisotroplCCOmpOSitematerial,theanalysisisapttocomplex.Therefore, theapplicationofslownesssurfacetotheselectionisveryinfluentialtoavoidconfusioninthe analysis.Numericalexamplesarepresentedforthesurfacecoupledwithwater.Thoseresults show ustheeffectofdeviationangleoftheprlnClpalaxisfrom theboundarynormalonthe coe氏Cientsofre貝ectionandtransmissionpower.

1. 緒 言

複合材料 には異方性 を示す ものが 多い. その よう な部材の動的応答解析 の基礎 として,異方性主軸 に 傾斜 す る面 にお ける弾性波 の反射透過 現 象 を考 え る.弾性層や円柱 などの導波体 では,伝播 モー ドや 周波数 成分 に よ り,エ ネル ギが逆行 す る例 外 もあ る(1)が,等方性体 中であれば波動エネル ギの移動方 向 と位相面の伝播方向 とは,ほ とん どの場合 に一致 している. しか し,異方性体 中では両者の方向は一 般 に一致せ ず,互 いにある角度 を成す. このため, 界面 を透過 した波の位相面が,界面か ら遠 ざか る形 であって も,波動エネルギは逆 に界面 に向か って到

1992年6月25日受理

*日本非破壊検査協会第2分科会にて一部講演(1992年

1月24日,子葉市)

**秋 氏 大 学 鉱 山 学 部 機 械 工 学 科,Department of MechanicalEngineering,Mining College,Akita Universlty.

53

来す る場合 が起 こ り得 る(2).外 界の擾乱 に対応 して 界面 に生成す る二次波源 は,界面 における応力 と変 位 の連続性 を補償す るもので あ り,波動エ ネル ギは その波源 か ら遠 ざか るものでなければな らない.従 って異方性体 の境界値 問題 を,エネルギ方 向 と一致 しない位相面 の移動 を手がか りに して,形式的 に解 く事 は出来 ない. この こ とが異方性体 の動 的境 界値 問題解析 を難 しくしている.波動エネルギの流れ方 向や応答 の有限性 を考慮 して解 を選択 し,整然 と定 式化す る方法が必要 であるので,本論文 はその手が か りを考 えた もので ある.本研 究 に関連す る報告 と してRokhlin等 による異方性結晶相の超音波解析(3) が参考 になる.

解の選択の例 として,応答の有限性 を考慮 して解 析 した異方性体 における表面 波の報告(4)が あげ られ る. これに対 し,本報ではエネルギの流れ方向に基 づ いて解 の選択 を行 い,水 中におかれた異方性材料 の異方性非対称面 に よる反射 と透過の問題 を解析す る.異方性体 の動的問題 は複雑 にな りが ちであるが,

54 _{大好 直 ･三 浦公久}

見通 し良 く整理 して解析す るために, ス ローネス特 性曲面 を用 いる(5).す なわ ち,ス ローネス曲面の法線 方向がエネル ギの流れ方向 となることを手がか りに し, 界面か らエネル ギが遠 ざか る波動のスローネス 特性根 を選 んで境界値問題 の解 を構成す る. なお, 水中の等方性材料面 に よる反射 と透過の結果 は文献 6に見 られ る.

2.ス ロ ー ネ ス 面 均質 な異方性材料の構成関係 は

oTIJ‑Cljk.Ek. または DlJklO'U‑ekュ

(1) (2) ただ し, Cl,k.とD.jklは弾性 ステ ィフネス とコンプ ライアンスである. ひずみ と変位 は

ek.‑(uk,I+u.,k)/2

そ して,運動方程 式は体積 力 を考慮 しない場合

6 1,,1=Pu,.tt

よって変位場 を支配す る方程式 は次式 となる(7). Cりkl的"‑.‑Pu,.tt

次 に,波動の基本である平面調和波の形 を

(3)

(4)

(5)

ui‑Ad,exp[i(kpm‰‑GJt)] (6)

‑Ad.exp [iGJ(qmん ‑i)] (7) で与 える. ただ しdlとZ)1は要素 の運動方 向 と伝播 方向 を示す単位ベ ク トル,qlは大 きさが位相 速度V

の逆数 に等 しいス ローネスベ ク トル (‑P./V)^{で あ}

る｡式(7)を(5)に代入すれば

(C1,k.qJql‑POlk)dk‑0 (8) dkは単位ベ ク トルであるか ら,式(8)が成立す るため には

det(C,,klq,qr POlk)‑0 (9) でなければな らない.従 って,異方性体 を伝播す る 平面波 は式(9)を満 たすベ ク トル値qlの ときに存在 す る. さらにク リス トソフェル ･スティフネスr .k(8)

を用 いれば

det(Il.k‑qV26,k)‑0 (10) rlk‑C.JklP,P. (ll) rlkの要素 は実数 で対称 で あるので, その固有値 と

して定 まる V2は3つの実数 である.また歪エネルギ 関数 が正値形式 を とるこ とか ら,r.kを対角化 して 得 られ る u2は正 の値 を有す る(9). したがって,6つ の がの うち3つの正実数値 を選 ぶ こ とがで き,これ らに対す るql(‑P./V)は,位相 の伝播方向ベ ク トル

♪lをパ ラ メー タ として3重構 造 の ス ロー ネ ス 曲面 をつ くっている.

3.波動エネルギの流 れ方向

後述 の便宜のために, スローネス曲面の法線が波 動 エネル ギの流 れ る方 向(10)に一致 す るこ とを示 し てお く.パ ワー フロー密度の時間平均 を次式で定義 す る.

･p,,‑一去/^Re(^{;.)Re(61,)dt '12'}

積分 は1周期 T にわた る時間積分 で あ り,上 添字 の ･は時間微分 を示す.特 に調和波動場 であれば式 (12)は次式に書換 えられ る.

･p,,ニーi Re[;1･6.,] (13) 上添字の *は複素共役 を示す.次 に,求 (21(4)を満足 す る2つの接近 した任意の波動状 態 ;

(ul,0･l"ql)と(ul',0･.,',q.')

につ いて考 える.それ らを微小増分 ♂によ り関係づ けて

〝1'‑α.+♂〝 り

6i/‑0'lJ+SoTii

ql'‑qI+Cql (14) と置 く.平面調和波が式(7)で与 え られ る とき,時間 微分 と空間微分 は, それ ぞれ‑i6JとiaIqzを乗ず る

こ とと等価 なので,式(4)よ り2つの波動状態は q,o'iJ+pu.‑0 (15) q,'qu'+pui'‑0 (16) それ ぞれの差 を とり,高次の微小 量 を省略すれば

(Sq,o'U+q,6qli)+peu.‑0 (17) さらに,共役量ul事を乗 じて

ul'(6q,01J+qlOo'lJ)+pu.'eu.‑0 (1g) 一方,式(2)の両辺 を時間微分すれば,2つの状態 に対

し

Di,k.61,+qluk‑0 (19) DIJk10'lJ'+ql'uk'‑0 CZO) 差 を とってか ら oTk.'を左作用 させ る と

qiJ事DUk.Oo1,+oTkl'(6qluk+qlOuk)‑0 el) 式(畑とel)の和 を とり,指標の付 け替 えをして整理 す れば

(ul*q,十giJ書Dりk.)65,J +(oTIJ*q,+pu.+)Cu.

+Oq,(u.*o'1】十01J*uI)‑0 CZ2) 式￠2)の左辺第1項 と第2項 は式(19)(15)の左辺 の共役量

となってお り0となる. したが って 2^Oq,Re[左.*61,]‑0

式留別ま式(13)よ り 4Oq,〈P,〉‑0

異方性材料 界面 におけ る弾性波 の反射 と透過

Power flow

O

0

Fig.i Powerflowsnormaltotheslownesssurface･ Fig.1の よ うに任意の増分ベ ク トルSq,がス ロー ネ ス面 に含 まれているか ら,式伽)はベ ク トル〈P,)がス ローネス面 に垂直 となっているこ とを示 している.

したが って,任意の異方性体 に対 して, 波動エネル ギの伝播方向 をスローネス曲面か ら知 ることが出来 る.

4.主軸 に傾斜 す る界面の考慮

直交異方性体 の主軸 に一致 す る直角座標 系 XIC7) スロ‑ネスベ ク トル を q‑.とすれば,回転後の座標系 xlのスローネスベ ク トルq.は

q,‑βりq^, ￠5)

ただ しβ日は座標 回転 に ともな う変換 マ トリックス である.式(細の変換 を用いれば,主軸座標系X.上の スローネス解析結果 を基に して, 異方性 非対称 な界 面 に合 わせ て とった座標系 xi上 で,連続条件 を満足 させ るこ とが出来 る.

具体例で考 える.主軸座標系の平面 (kl,x 2)に 入射波の伝播方向ベ ク トル Plと界面 法ベ ク トルn.

が含 まれ る時,スローネスベ ク トルの第3成分 4,は 0となるので,二次元の取扱 いが出来 る.そこで この 様 な場合 を考 えれば,X3軸 回 りに角 ≠ だけ回転 し て得 られ る新 しい直角座標系 x,の 苑 軸 が,界面 の 法線方向 となる時 (Fig.2),求(25)のPuは

cos≠ sin≠

‑sin≠ cos￠

で与 えられ る.次 に便宜上主軸座標上の弾性定数 を Cllll‑Gil, C1122‑^{G 12,}

Cl112‑C;212‑0,

55

Fig.2 Coordinatesonthesurfaceofanimmersed anisotropicsolid.

C;222‑G22, C1212‑G66

と添字 を減 らして

G i l

G

^{1 20}

0

0 0 G

この場合 の特性 式(9)を書 き下せ ば n(qAl,C2)‑HllH 22‑H12H12‑0 ただ しHll‑Gllq^12+G⁶q^22‑p

H12‑(G12+^{G 66)}q^142

H 22‑G66q^12+G2q‑221P

遅配

L?tq (29) 伽) Ot) 式鯛 は空間 (q^1,q‑2)のス ローネス曲面 を与 える. さ

らに, この式 を式任6)の回転操作 によ り界面 に合 わせ た座標系で表示すれば

n(sl,S2)‑0

ここ^に

n(S.,S2)‑bo4S24+b13Sl亀3+b22S12S22

+れ2S22十も1S1³S2+^bllSISl

+b.｡sl⁴十島｡sl2+1 ただ し

bo4‑alm4+a212m2+偽l4

b13‑‑2lm[2alm2+ai(l2‑m2)‑2aJ2]

b22‑6(al+a3)l2m2+ab(l41412m2十m4) も2‑‑(alm2+aJ2+1)

b,1‑‑2lm[2all2‑a2(l21m2)‑2とちm2] bl1‑‑2lm(ab‑al)

b.0‑all4+a212m2+a,m4

82)

剖 叫 われ 叫 d W 切り仇 q d W り山 8W 山 H Wh H W Q h ur

￠ 佃 W也

56

b2.‑‑(all2+a3m2+i) 7‑cosd

m‑sini そ して無次元変数

sJ2‑(^{6 66/}p)qJ2

a,‑Gil/G 66

a2‑(elle 22‑ 6 122‑26 12e 66)/e 662

a3‑G 22/G 66

を用いた.式(32)は二次元 に縮退 した空間(sl,

大 好 直 ･三浦 公 久

㈱㈹㈹㈹の･jJ‑

二重構造のスロー ネス曲面 を表 している.

一方, 回転後の座標系 xl上 の弾性定数Cljを主軸 系の弾性定数 G に よ り表現すれば

Cll‑Glll4+2(G12+2G 66)l2m2+G 2m4 (48)

cl2‑(elユ+6 22‑4e 66)l2m2+elユ(l4十m4) (49) C16‑‑[(611‑e12‑2e 66)l2

+(G 12‑ G 22+2G66)m2]lm (50) G2‑Gllm4+2(e12+2(完⁶⁾l2m2+62214 (51)

G 6‑‑[(611‑e12‑2e66)m2

+(G 12IG 22+2^{G 66})l2]lm (52) C66‑(G上l+^{G 22}‑2^G1²12^{G 66})l²m²

+G66(l4m4) (53) したが って, 界面 に生 ず る応力oT2,は式(7)の波動場 に対 して

0,21‑ A iGD〈C16dlql+^G6d2q2+^{G 6(為 q}l+dlq2)〉

exp[iGJ(qmxh,‑i)] (54)

0,22‑ A iGJ〈C12dlql+G 2dzq2+^{G 6(d}Zql+dlq2)チ

exp[iw(qmxm‑i)] (55) で与 えられ る.

さて,入射波に よって擾乱 を受 けて も常 に界面の 連続条件が満 たされてい るため には,界面で生成す るすべ て波の指数関数 因子exp[iu(qlrl‑i)]が恒 等 的に等 し くなければな らない (Snellの法則). ただ しrlは界面 を与 えるベ ク トルである.したが ってベ ク トル qlの界面‑ の正射影q.‑(qJn,)ntは波 の種 類 によらず全 て一致 し共通で ある.nlは界面の法ベ ク トルである.生成波は界面 を波源 とす る渡で あるか ら, その正射影が共通 となる ものの うち,界面 か ら エネルギの流出す る波のみ を選 んで解 を構成 しなけ ればな らない. そこで,第3節で述べ たスローネス 面の法線方向がエネルギ流れ方向であるこ とを手が か りに して解 を選択す る.

Fig.3(a)(b)のそれ ぞれは入射側 の流体 に対 す るス ローネス円 と透過側の異方性体 に対す るスロー ネス 曲線である.入射波のスローネスベ ク トルS,(0)(Fig.

3のOwI)の界面‑の正射影 をOwHとすれば,共通 な正射影 を持つ反射波 と透過波のスロー ネスベ ク ト

water 5●2 Ri

蔓 H

olid g

>.ミ̲.‑l､､●■､● 2 E‡ A/

巨l

Fig,3 Solwnesscurve forwater (upper)and an allisotropicsolid(lower).

ルは,点Hを通 る S2軸 に乎行 な直線 とス ロー ネ ス 曲線 との交点で求 め られ る. その交点 にお けるスロ ーネス曲線の法線方向がエネル ギの流れ る方 向なの で,透過側の4つ の交点の うち,界面か らエネル ギ の流 出す る波 を与 える点 は,点Aと点Bの み に な る.従 って透過側 にはOAとOBのス ローネスベ ク トル を持 つ透過 波 のみが適合 す る渡 として生 成 す る.Fig.3(b)は主軸偏角30つの ス ロー ネス曲線 で あ るが,位相面 の伝 播 方 向がOA方 向 とな る透 過 波 は,エ ネルギ方向 とは逆 に向か う波 となっている.

なお,OwH の大 きさによっては透過側の曲線 と交点 が得 られ ない場合 が あるが,複素 スロ‑ネス曲線 (太 い破線が実部 を, 細い破 線が虚部 を示す) との交点 か ら,界面 に沿 うモー ドの波が得 られ る(ll).入射側 のOwRは反射波のス ローネスベ ク トルであ る.

5.反射波 と透過波

便宜のため入射波,反射波, そ して選 ばれた2つ

異方性材料 界面 にお け る弾性波 の反射 と透過

の透過波のそれ ぞれの量 に上添字(o),(1),(3)I(4)をつ けて 表記 して,振幅A (1), A(3), A (4)を求め る.界面 にお ける応力 と変位 の連続条件 :

ul(O)+ul(1)‑ ul(3)+ ul(4) 622(0)+0,22(1)‑622(3)+0,22(4)

0‑721(3)+721(4)

を考慮すれば,次の様 に連立式が得 られ る.

ただ し,次の無次元量 を用いて整理 した.

D '0'‑pwCw/√戻崇

6.計 算 結 果 の 例

57

計算例のための入力デー タ として,水 に対す る質 (56) 量密度比p/pbを2.00,そ して水 中音速vwに対す る (57) 異方性材の主軸方向横 波速度 の比嗣 /^uwを1. (58) 73とす る.また主軸座標 におけ る異方性弾性定数 の

比がell/^{e66‑ 20}.7,C2/島6‑5.91,C^{12/G 6‑ 2.07}と なる場合 を考 える(12).その時の算出結果 をFig.4か (59) らFig.6に まとめた.いずれの結果 も式仔5)が成 り立

つ ことを数値 的 に確認 している.

Fig.4はパ ワー反射率ER (太実線)と2つの波の (60) パ ワー透過率EQP, Ebs(細実線)の入射角 e依存性 下添字 W は水 に関す る量 を示す.そ して次の置換 を を示 した もので,パ ラメー タ として主軸偏角 さ を‑

している.

β(1)‑ 刀 (0)

D (3)‑ C12dl(3)sl(3)+C22d2(3)S2(3) + C26(d2(3)sl(3)+dl(3)S2(3)) D (4)‑ Cユ2dl(4)sl(4)+C22d2(4)S2(4)

+ C26(d2(4)sl(4)+^dl(4)S2(4))

6(3)‑ C16dl(3)sl(3)+C26d2(3)S2(3)

+C⁶⁶(d2(3)sl(3)+dl(3)S2(3)) 6(4)‑ cl6dl(4)sl(4)+^{C26d2(4)S2(4)}

+ C66(d2(4)sl(4)+dl(4)S2(4)) cU‑CU/C⁶⁶

式1'59)よ りA (')を求めれば

A (1)‑ (‑ dZ(0)6(3)D (4)+ d2(0)6(4)D (3)

‑d2(3)6(4)D (0⁾+^{d2(4)6(3)D (0))/}A

A (3⁾‑(^{d Z(OL d2}(1)6(4)D (0))/A

△^{‑ (d}2(1)6(3)D (4L 鏡 (1)6(4)D (3) + d2(3)6(4)D (OL d2(4)6(3)D(0))

30〇か ら900まで15O刻 みに選 んだ結果 である.本計 (61) 算例で は臨界角 が400未満 なので, Cの表示範囲 を Ooか ら450に選 んだ. いずれ も異方性体 内の2つ の (62) 波 に対す るそれぞれの臨界入射角で,曲線が急変 し て いる.透過波の曲線 に付 けた下添字 のQPとQS

(63) は,それぞれFig.3の異方性体 に対す る2つのスロ ーネス曲線の, 内側の もの と外側の ものの特性波 に (64) 対応す るこ とを示す.これ らの下添字 による区別 は,

異方性 が弱い ときに等方性体 の縦波 (P波) と横波 (65) (S波)に準ず るこ とに由来す るが, 異方性 の強い複 (66) 合材の様 な場合 には,波の伝播方向 と粒子の運動方 向 との関係が等方性 の場合 とか な りかけ離れた状 態 になる. そのため に, いわゆ る縦波 と横波 としての (67) 区別 は本質 的で な くな る. また ￠‑459の グ ラフの (68) O‑200近辺 ではEkls曲線が2つ現れている.これは (69) 外側 のス ロー ネス曲線が非 凸状 で あ る とき,Fig.3

の様 に ス ロー ネ スベ ス トルOAとOBに対 応 す る (70) 波が生成 され るためである. この こ とか ら, 異方性 したがって,式(7)(54)(55)を考慮 して式(13)よ り界面 をよ 体 の境界 によって生成す る波は,無限異方性体 で論 ぎるパ ワ‑成分･

･p2(0,,‑i 】A(0悔 2D(0,Re^[d2(O,]

〈^P2(1)) ‑ IA(1)F2dZ(1)〈P2(0)〉/銭(o)

×くP2(0))/(D (0)dZ(0))

〈P2(4)〉‑ iA (4)i2(6(4)dl(4)+ D (4)d2(4))

×くP2(0)〉/(D (0)dZ(0))

(71)

ず る特性波 と異 な り,単 に速 い波(P波)と遅 い波 (S 波) によ り区別整理す るこ とは出来 ないこ とが分 が

る. したが って本論文 では,波 に対応す る実 スロー (72) ネス曲線が内側の曲線か外側の曲線かによって区別 し, それぞれ に対 して従来 用 い られ て きた記号QP

(73) とQSを援用 して表記 した.

主軸偏 角が正 と負の時の & 曲線の比較 か ら (た (74) とえばFig.4のき‑‑300と￠‑300にお けるER曲 が得 られ る,計算結果 は界面 をよぎるエネルギの保 線)卓の絶対値が等 しいな らばパ ワー反射率 は同値

存別 よ り となるが,異方性体 内に透過す る波が2つ生成 され

‑〈P2(0)〉+ 〈P2(1))+ (P2(3))+〈P2(4)〉‑0 (75) る ときは, その波 によって運 ばれ るパ ワー配分 の人 が成 り立つ ことか ら確 かめ られ る. 射角依 存在 は異 なってい る.

Fig.5はパ ワー反射率ER (太実線)と2つの波 の パ ワー透過率E^QP,E^hs(細実線)の主軸偏角 ￠依 存

大 好 直 ･三 浦公 久

4‑115⁰

SbZ■dt)3‑tfZ

L ER

ER.′.:i′^{:. E Qi'}

̲,E冬

･＼EA

EA

ER '●.I一/+̀f‑一TヽE＼R

EQP:.I‑‑ EQS

.̲,I...ER

iL. ER ′ EQP. EQS

8 4ざ 0 8 4ざ 0 8 4ざ

Fig.4(a) Coe侃cientsofpowerreflection,ER,andPowertransmissions,EhpandE∃S,totheincidentanglee

fortheoff‑angle≠‑130〇,‑150,0〇･

sD3■dDPEtip

ER

r. j'.

ER

QP

㌔ ′ ㌔EQS

8 45,0

〜∫ ER

∫

ER ....早 ^E711 EA ㌍ ER

ER

ER :..571... F,.C:ー ■ER

∠㌔pi EQSへ

Fig.4(b) Coefhcientsofpowerreflection,ER,andPowertransmissions,EhpandE^bs,totheincidentanglee

fortheoff‑angled‑150,300,450.

sc'3■db3二I3

4.. ER

ER

I‑ :vt.=忌 S

C 45'0

ERi ^ER ..'ER ^∫

I^{.:.EQ ̀}＼

ER ● ER

ER ∫∫

EQS ㌔

C 45' 0 8 45B

Fig.4(C) CoefficientsofPowerre8ection,良,andPowertransmissions,E^QPand島S,totheincidentanglee

fortheoff‑angle4‑600,750,90O.

異方性材料界面 における弾性波の反射 と透過

β‑Oo SQPfdDP.∝3sD31dO3'止3

ER I

EQP

EQS

).̲

ヽ EF,

EQP^＼ EQS EQP

3) ∽ 幻

∂

sO3.dOI.∝333.dO3.㌔叫

ER

EQS EOPP

ER ER

EQS EQS

3] 防 9]

￠

Fig.5(a) Coefficientsofpowerre鮎ction^,ER,andPowertransmissions^,EQPandEQS,tOtheoff‑angle≠forthe incidentangle0‑^Oo,58,l^oo,and15O^･

sop.dOZ.∝3sO3'dOZL∝3

ER ＼一.L.EQJ

EQS EQS EQS EQS

ER

EQS ER

ER _EQS

EQS

SD3'dOZ.∝3SOP.dO3■∝3

EQS へ＼＼㌔ ER

E去 EQS

qS ER EQ

∫

し

3) 4 00 9 Fig.5(b) Coe氏cientsofpowerreaection^,E^R,andPowertransmissions,EhpandE^;S,totheoff‑angle￠forthe

incidentangle♂‑200,250,300,and350.