２ヒンジ円弧アーチの面内座屈特性に関する研究

(1)

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Title

２ヒンジ円弧アーチの面内座屈特性に関する研究

Author(s)

崎山, 毅

Citation

土木学会論文報告集, 217, pp.1-10; 1973

Issue Date

1973-09

URL

http://hdl.handle.net/10069/16670

Right

NAOSITE: Nagasaki University's Academic Output SITE

(2)

土木学会論文報告集第 217号11973年9月

2 ヒン

ジ円弧アーチの面内座屈特性

に関する研究

ON THE 1

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1

.序言 2ヒンジ円弧ア-チの面内弾性座屈に関して軌古くから多くの研究がなされてきている

cTl

1 -

1

0 S

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n

kol)は円形等分布荷重に対する座屈性状を解析し

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l

Wa

ll

a

および

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l

b

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n

er2)･3)は対称荷重に対する座屈性状を理論的および実験的に研究した

｡Or

a

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)

は

2

ヒンジ円弧アーチおよびその他の円弧アーチに関して,円形等分布荷重に対する座屈性状をェネルギー理論により明らかにした

｡Da

De

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および

Sc

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tS)はア-チクラウンに作用する鉛直集中荷重による座屈を解明した｡以上の研究においては,いずれも,ア-チ部材図心軸の非圧繍性の仮定のもとに,座屈直前までア-チ部材は円弧状に保たれるものとして解析が行なわれているD さらに2ヒンジ円弧アーチの図心軸の圧縮性を考慮 l/,座屈前の曲げ変形を考慮して

,Hu

d

dl

e

s

torL6)は鉛笹集中荷霞による飛移り座屈を解析し,また

,Dy

m7

)

は円形等分布荷重に対する逆対称座屈荷重を明らかにしたが,これらの理論の適用範囲から偏平アーチは除外されている｡偏平アーチと通常の洪矢比をもつ円弧アーチとでは, 座屈特性に著しい相違のあることが知られている1)｡従来,両者は互いに区別された座屈理論によって解析さ

れ

ており,偏平アーチおよび高アーチを包含する一般的な円弧ア-チの座屈瑚1論は著者の知る限りないoまた,磨屈特性におよぼすせん断変形の影響もいまだ定量的に解明されていないようである0 本論文はアーチ部材図心軸のひずみおよびせん断変形を考慮して導かれた円弧アーチの変形方程式を用いて, 2ヒンジアーチの面内弾性座屈の特性を明らかkしたものである｡理論は通常の挟矢比をもつアーチのみならず偏平アーチにも適用でき,その結果,両者の座屈特性の相違を量的に把握することが可能となる｡荷重に関しては,円形等分布荷重,部分的に分布する対称荷重および非対称荷重を取扱い,座屈前にアーチ面内において軸線に直角に作用していた荷重は座屈時もなお変形した軸線に直角に作用するものとして解析を行なった｡

2

変形方程式 (1)アーチの変形状態での力のつり合い変形状態にある円弧アーチの任意の微小部分に関して,図- 18)を参照して, 力のつり合い条件を求める｡曲げモーメント,軸力およびせん断力をそれぞれM,N およびQで,また,変形時のアーチ部胡軸の法線方向および接線力向の荷藍強度を ♪*および q革で表わせば,高次の微′ト項を無祝して,つり合い条件は次の3式となる｡裳十芸･p*-o･･(1･a) 憲一某 +q

*

-0-･･(1･b)

L

l.

I

l

.;∵ -Q-0 (1C) 円弧アーチの任意点の変形前の曲率 1/R と変形時の r

l

b率 1/R串との関係が図-

1

から求められる｡図心軸･J正会員長崎大学助教授工学部構造工学科図-1 ア-チ微小部分の変形前と変形後

(3)

のひずみを 6.として 1 dP革 1 dP* 面ー dSq;ー 1+Eo dS l ･=''､づ一 (1十eo)R dp O

-p

*

-

p であるゆえ (2) 去 -了

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(

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･(3)

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-

･･･(4) を得るo さらに dS*-R*dP禅〒Rギrlp,- (5) なる近似を行ない,式 (4)を用いれば,つり合い条件式 (1)は次式となる｡

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･N

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p*

R-0.

. (6,a) 貰 -Q･(1一票 )q*R-0

-

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･

(6･C)

(2

) 緒塁間の関係式円弧アーチの任意点における法線方向および接線方向の変位をそれぞれ u,W とし,曲げモ-メントM によるたわみ角を 1',とすれば,これら詰変位と全たわみ角 C,せん断力によるたわみ角 Po,曲げモ-メントM,軸力 Ⅳ およびせん断力 Q との間には, アーチの微小変形理論におけるのと同一の次の関係が成立する.部材の弾性係数,せん断弾性係数,断面2次モーメント,断面積をそれぞれE,G,I,Aとし,図心におけるせん断応力と平均せん断応力との比を〟で表わせば O-

や

+

P

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+ ･･･ -(7･b, M

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.

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-

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. -(7･d)

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O

-

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(

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-)

-

Ql

(7･e) (3) 円弧アーチの変形方程式円弧アーチの変形方穆式は式 (7)の各式をっリ合い条件式 (6)に代入することにより求められ ,3個の無次元変位量 iZ,ii･,少に関する次の連立微分方程式となるC 暗

山こ

a

e

(

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a

)

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2 a

2 (

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2 a

2 (

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･ a

- )

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dP/a,L,a 円nJAア-チの部材長および中心角

f

i

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L

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〟

I

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2 /

I

また,新変数甲および無次元変位 ii,玩,少を用いれは式 (7)の (C),((i),(e)は

M--

E

i

票･･ -(9･a)

N-EA(

票

-

a

z

7 )

-(9･b, Q-

讐

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T

u-+) ･

-(

9･

C

)

3

.部分的等分布荷重による円弧アーチの変形導かれた変形方程式 (8)により,各種形式の荷重に対する円弧アーチの座屈性状が朗析されるoここでは, 任意位置に作用する部分的円形等分布荷重に対する変形を算定するoアーチ部材の全長に働く円形等分布荷重あるいは法線方向集中荷重による円弧アーチの変形は特別の場合として水問題中に含まれる｡変形時も外力は都制軸の法線方向に作用するものとすれば図一2に示すような部分的円形等分布荷重 Pによる円周-2部別婚分布弧アーチの変形は次の方程式荷重からえられる｡

a

2

(憲一a詑)･p2α2(笛 +a票一

業)

･k2(a一芸 -α

票 )[

L

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L

2

a2(許可 - ｡二 (liO.I.:; ただし k2-霊を

,

u(州 -

(

冒('芸憲 ,'

(4)

2ヒンジ円弧ア-チの面内座屈特性に関する研光子`(り-0-(?諾……三連立微分方程式 (lola),(10･b),(101C)は式中に単 LTT階段関数 Z占(甲-f)および zE

(

ギー()を含む特殊な表現

形

式をもつ｡ 2ヒンジ円弧アーチの左支点の境界条件 iZ(0)=ii)(0)-府 (o)-0 を考慮して,連立微分方鍵式 (lola)-(10lC)の解を求めることにより法線および接線方向変位

i

(り)および fEL'(q) と曲げモーメント廟(甲)が次のとおりえられるo u-くり)=lll

(

q)･サ(0)十

U

N

(

q

)

.

好(

o

)

+UQ

(

7)･Q-(0)-Uo(〟) (11･a) iiJ(77)-班.(q)･サ(0)+WN (

7

7)･NI(o) +1VQ(7)･QI(o)-

W

.(q) -(11･b) jTf(7)-M N(7)･N(o)+MQ(q)･百(0)-1

V

o(

ヮ

)

-(11･C) ただ如 32三…; Ulくり-

E

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U

2 (

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f) -UJ(可-(

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甲

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甲

-

(

) ]713(77)-M3

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甲

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)

0 叫くり一f) 一M S(77

一(

)

Ul(可)Ua(q) U,(可) U.(甲) u｡(符)-U,(77)

一

V.(甲) Ⅵ72(77) Ⅳ ,(符)W4(〟)a.(甲)-W s

(

甲

) M l(甲) Jl'Iz(甲) M ｡(甲)M ｡(可) 帆 (q)-1V,(甲) -[ u5(甲) EEC(甲) wS(77)wG(り) ut,(甲)m6(77)≡7

.

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q12 712(()-nl. 723(()-7ll皇

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1

2告･,〝6くり)-司か 1号 cos昔一書 sln% cos

告

) ･- ニー′lBa2(% sl1,2号 +幸 sin溜り 2 q2(甲)- 一存 sln等 cos筈 qa(7)-ト 2sln

2 号

q山)-flSln筈 cos晋 +f2S

l

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l

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甲

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4 (

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l

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2 号 -S

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告

) qT(甲)-f5Sln晋 cos晋･f6Sl11筈

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112(可)- 一anL2(甲)+1 Jl.(可)ニーα〃L.く

り

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(

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-

3

,4,･･･,7) 2k2[/･2a2(C'･2+k2)-β2(/L2a2-が)] /e2a2(FZ2aL-k

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)(a2-82) 2akl(p2+JL2a2) fB-

宴

f

6-妾

u

l

(

甲

)

-

÷ sl岬 uZ(符)-b21叫 slna甲+b22COSGf守一b22 1ね(q)-b31Sln叫 +b32叫 cosa7 u.(ギ)-b.1d77Sln叫 +b42COS叫 +b43COS伽

+

b

4

. u5(q)-b,1COS卯+b52COS伽-b,, u6(甲)-b6151m叫 +bG2叫cos叫 +b6,Sln伽 EE,(符)-b,.叫sln(右か+b72COS`かトトb73COS伽 +b74 tul(甲)-三 (1- cosdか) W2(q)-C2▲SlnG叩+C22CEワCOS卯 +C23で wa(符)

-

C31叫 sill叫 +C｡2COSaヤーC32 帆 (q)-L4.Sln({符+C｡え叫cos`Zか+C4,Sln伽 +C..卯 W与(甲)- C51Sln{印+cS2Slnβ相+C与｡叫 W6(〟)-C61卯 Sln(叶卜C｡2COS叫 +cG,COS伽十C8｡ tu7(甲)-C71S111卯 +C,2cc77COS叫 +C7,

S

l

n伽 +c7JG叩 b2

1 =

- P2a2-I-a2(1+p2),b22- - 才 1 ニーt∴ L:.;:

b

3 .

-a2

一β

乞(終卜a2),

b

3

2 -

a2十p之(a2+ a2) 2 (‡3 2(右

3

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2)･a.1

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12(a2+a2) 2d4㌦a2(a2

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:

-d2+a2 α

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a4-IL2(a2+a2)(β2-2d2) a4〃2(72(d2-P2)2 b43- p

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2

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2

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2(a2+a2) b5L- - d2p2a2(a2-02) a13 b52-

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22('aa22三Pa22,'･a･3･

b

53- 蒜宗 Ia王3 b61 -2a3jt2a2(Gt2-β2)2 b

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2 - 2

a;

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￡∑

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p

22('da22;Ga22

,

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7 .

-

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2

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b

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2

-

一

b7, -LJI-.

(

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2 一

β

2 )

2 ･

[

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-仰

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2 孟

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2 -

2 a

2 )

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L

I

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L

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･

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+

誓㌍十

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㌍]

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2-3㌦a2

b71-- α462 ･a15, CZL

-

2軸 2a2

a2

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2 (

α

2

1 -

a

2

)

1

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2a

3 F

L

2 a

2 ,

C

2

3 =

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)

pBET2 .･L

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･

4

1 -一差 [

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㌫

･

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〝慧 =

3 a

2 '

･旦

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誓]

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2 -

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五]

･宮

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憲 +

封

C

4

3 -

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[

婁 +i

T

]

C

4

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i

,

l

a

1 .

-

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-毒 [

憲 .i

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]

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-

品

[

憲 .

封

C

5

3 -

-1茅いl!J= C61-すみ [憲 +i

T

] cb2-てみ

[

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一竺㌍ ]

c

o

8 --

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[

憲

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窟

C

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⊥-毒聖

秤

[

-

(

1 +p

2 p

'

2 '

a

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2 )

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2 +p

2 '

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2 -3

a

2 )

+

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.

2 ー

5 竺

] C72-

品

[

憲 +

旦

詳 +

掌 ] C13-て務 [旦詳言詳

+

掌 ]

I

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.

:

7 C

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1 二一?/

6 ;

F●

a

l

S

akZp2

a

2 aが(β2+〟2a2) all= p2a2-Tk之･

a

1

2 =

p

皇

a

2

-

が

k2〝2a2 〟2a2k2(α2+i82a2) a13= IL2aL

が

,all= F12a2-/e2 a15- 諦二訂,

β

2

-

等㌢

GEh告 (ll)の各式中の定数

や

(

0 )

,N

-

(

0 )

,百(

o

)

は2ヒンジアーチの右支点における境界条件 2 7(1)-玩(1)-Aj7 (1)-0 から導かれる次の連立方程式で決定される

｡

ul(1

)UN

(

1 )UQ

(

1 )

wl(1) W N(1)VVQ

(

1 )

O M N(1)M Q(1) 嘩

嘩

j2) 方桂式 (12)より

仰)

-

告,

N

lo

)

-

告 ,Ql o)

-

普

ただDL- i

Kl

-1E.(1) UN(1) UEP(1) wl(1)Ⅳ N(1)TVQ(1) O M N(1)Mo(1) Uo(1) UN(1) UQ(1) 1yo(1)W N(1)W Q(1) M.(1)M N(1)M Q(1.) したがって, 2ヒンジ円弧ア-チの部分的等分布荷重にょる変形 17(q),2-U(〟)および曲げモ-メント厨 (甲)揺面(符)-去 iKl叫 (q)･K2･UN

(

符

)

+

K3･UQ(符)-D

･

UD(q)) -

(

13･a)

(6)

2ヒyジ円弧アーチの面内座屈特性に関する研究

的)

-

去(

K,･wl(q)･K2･WN

(

q

)

+

K,･Ⅵ′Q(甲)-D･W.(q

)

-

(

13･b)

M

-(可)

-

去

(

K

2･MN(か

Ka

I

M

Q(符)

-D

IJl'Io(q)). -(13･C)

4.

座屈条件式および座屈モード部分的名字分布荷重の作用を受ける2ヒンジ円弧アーチの座屈条件は式 (13･a)∼(13･C)から D=0 により与えられ,次式となる｡･･･(14) ii(q),YLu(可)および

M(

り)のモードはCoを任意定数として il(可)-C｡

(

K .･ul(符)十K2･UN(甲) +K8･UQ(q))

･

-

(15･a) 2-u(符)-C｡(Kl･Wl(77)+K 2･Ⅵ′N(甲) +K3･We(77))･･

-(

1 5･

b)

Mp(甲)-C.(K2･Jl/IN(甲)+K｡･MQ(71))

･

(15･C)

5

.円形等分布荷重による

2

ヒンジアーチの座屈 2ヒンジ円弧アーチの全長に作用する円形 ^j;tL分布荷重 (図-3)に対する座屈条件式および座屈モードを明らかにする｡左支点における境界条

管

u.1(q)-Sln晋 cos等･E.2(q)-a〝.Sin2号十a,.

2 S

l

n2告 u13(甲

,

ニ

ー(aglS

l

n% cos号･a

q

2S

I

l

告 cos告

)

u14(可)

ニー

(alSln2号･a2Sln2告 ) 叫 1(符)-Sin2

号

W12(甲)-b",sin号 cos昔･ b,一2Sul告 co

s

告十尊符 w

l

8(符)-bFlS⊥n雫 +bq2S

l

n2孝叫｡(q)-bl

S

l

n晋 c

o

s

号･b2Sln筈 cos告 + 与で IL2a2-那+

a

2 /ja乞(aZ-k2)

a

l

=一

一 a 2-

β

2

a皇(a2-β2)

-

L

･

∴

∴言

下

㍉岩 ;'';昔 aq

1 -品

.諜

若

β

〟2(a皇+a2) aq2= 一

首二面

- β(d2-Pz) a1- - 竃し,a2-一昔

b

,"-雪ぎ十

等

三欝 +諸宗件を満足する変形 ii(甲),tle,(甲) は,-版式 (111`､)∼(11･C)において,卜0,ぐ･-+1 とすることにより得られ,次の各式となる｡ ii(71)-Cl･ll..(巧)十C,･u12(甲)+CコIu.3(甲) - ul.(ギ)･p -(161a) 蕗(甲)-Cl･W.1(符)+C2･W12(77)+C｡･Wla(符) -tvl.(

q

) -

(

16･b) h7 (7)-掌 s

l

n% (cZ･a2sln

告

･

caW cos筈 .sln% 上目

(

16･C) ただし

c

l

-

言 4<0,, C2

-

品

NI

(

0 ,

-C3-孟 Ql o) b,一2-

-

(

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1+p2)a

a

2

a〟2

a

l (a

2 -β

2 ) p

8(

a

2 -6

2 )

b

〝

,

-

富 ,bq

1

--a♂l, 〟2a2 bq

2 -

等

祭

+

品 ,bq3-

-

-秤 b.-隻 ,

わ

2 -普 ,

b3-bq, (16･a),(16･b),(16lC)の各式中の定数 cl,C2,C3は2 ヒンジアーチの右支点の境界条件 17(1)-玩(1)-府(1) -O よりえられる次の連立方程式で決定されるO 帆.(1) u12(1) 2Lla(1) wll(1)W12(i) wl,(1)

o

a2sln昔 pcos昔

g

L

l

▲

(

1) W.4(1

)

β

slnす･-(17) 2ヒンジ円弧ア-チの円形等分布荷重による座屈の1 つの条件式として,式 (17)の左辺の係数行列式 -0よ

(7)

り次式をえる｡

2

中 2+ a2- 82

-k

2

`

a

2

1

/

望

2

ra

2

a

2 )

･S▲n言 cosi -2a3(β2+a2･i )cos言sln喜一トαβa2(a2--82)

e

o

s言cosを-0 - ‥･(18) ただし･

才

-三

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2 -

品 ,a2

-

芋･ β2(72

･

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A

.

I

-..

A

;

､

/

L

l

岩

,

式 (18)において,p2-G/〃E-- とすれば,せん断変形を無祝した場合の座屈条件式がえられ次式となる0 283(2a2十a2-62)sll一言cos言 -2a3

(

8

2+a2)cos昔sini ･dPa2(a2-

8

2

)

c

o

s

号

c

o

s

昔

-

0

. ･･･(19) 式 (19)においては,62-a2+/C2である｡座屈条件式 (18)に対応する座屈モードは Coを任意定数として ii

(

甲

)-

C

o(

K

‖･zt1.(〟)+K.2･Ll.2(甲)

+K

.2･u12(7)) ･-

(

20･a) ifJ(符)-Co(Kll.YUl.(甲)+

K

j｡･W.ユ(符)

+K

l｡

･

W

13(

q

))･r

(

20･b) M(甲)

-

Co

･

掌 s

l

告

･

(

K

121禦

･

K:3･.Psin男_-₍_20･_C) LL14(1) u.2(1) ul｡(1) wl4(1) wl2(1) Tu13(1) -s

l

n昔a2slnipcos昔 u,1(1) Jlll(1) u▲｡(1) tut.(1)W.▲(1) W.3(1)

O -s

l

芸

pc

o

s

す /9 礼 .(1) u12(1) lE14(1) 叫 .(1)叫 2(1) W14(1) o a2S-言 -

s

l

す

β さらに,式

(

16･C)より明らかなごとく

s

l

n

i-o

(21) のとき,1g (1)-0 となるゆえ , il(i)-0および両(1) -0 を満足する次式詑(〟)-Cl･K2laが in掌 co

s

告

+K22･u12(甲) 崎山 . -

K

2ユ･EF.,(〟)-1(.

.

(

甲

)･

.

(

22la) 2-u(ヮ)ニーCl･K,lbq2S

I

1

2

告

+K22･叫 2(符) +K 23

l

Wl｡(甲)-WH(q)- -(22･b) K

2

1 -

可

,,ISlnai cs::2喜.%

等

号

-alSln2号 -aqlSIIlす COSす (方 α b.sln言 cos昔 + 与 bql

S

l

n

2

号

K

23

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k i

b,I.Sl

:

iscl.ns2蒙.bi" .slIilcS.1:i _普 a′Hs

l

n2

-

9

- -aql

S

l

l-

すC

O

S

盲

目

,i 2 b",

s

l

n号cos号十砦 bqlSII12竺2 は円形等分布荷重に対する2ヒンジ円弧アーチの境界条件を満足するもう1つのつり合い状態を教わすDすなわち,粂件式 (21)は座屈条件式であることを知る｡式

(

22･a),

(

22･b)において,Clは任意の値をとりうる不定係数である｡したがって座屈条件式 (21)に対応する座屈モード 17(q),面(7)

,j

ql

(

甲)は

C

oを任意定数として

詑

(

守

)

-

Co･aq2S

l

n告 co

s

掌

-･- ･

(

23la) i

D

(

甲

)

ニ

ー

Co･bq2Sln2掌 ‥- -(23･b) M (ヮ)ニーC

o

.

掌 sin掌 cos

掌

t- (23･C) 座屈条件式 (18)は2ヒンジ円弧アーチの円形等分布荷重に対する対称型座屈を表わし,座屈条件式 (21)紘逆対称型座屈を表わす｡座屈条件式 (21)より, 逆対称座屈の固有値 k2= ♪I,3/αEIは h2

-萌

芽 (7l

-

1

･

2･-' . -(24, となる｡また,せんJgr変形を無祝した場合には k2- (27川 )21a2(7l

-

1

,

2,･)- .(25) となり,式 (25)はTllnOShel-koが導いた式と-･致する｡

6 ･2

ヒンジ円弧アーチの座屈特性 (

1

) 円形等分布荷重に対する特性アーチ都制全長にわたって作用する円形等分布荷重に

(8)

2ヒンジ円弧アーチの面内座屈特性に関する研究

2

0

0 k

₁

₅

₀

l

o

50 0 ･一一一一一一･_トーー-一一･---__1___ AS-I

-L

.

;

L､ PILl GOつ 900 1200 1500 18)○ 図-4円形等分布荷重に対する座屈固有値と座屈モード対する,細長比JjF I-100 の2ヒンジ円弧ア-チの座屈固有値 k-J♪La/aEIとアーチ中心角 αとの関係を図

一4

に示すoI.E.＼線はせん断変形を無視した場合, また,対称座屈のk-a曲線の急変部 ⑨ ,㊨ ,㊥においては,せん断変形の影響はほとんど無視できる｡図-4中に言己入されたモ- ドは各次の座屈における接線方向変位 zEのモードである｡u モ- ドの特性は次のとおりである｡ [1] 逆対称モード① ,㊥においてはアーチクラウンに節ができるO [2] 対称 1次モード@ ,④ においてはア-チ中央部は下に凸であるOなお,千- ド④においては節はなく,モード④の節の数は2である｡ [3] 対称 2次モード⑤ ,㊨ ,⑦においてはア-チクラウンは上にrLhである.節の数はそれぞれ2,0,4である｡ [4] 対称3次モード㊥-@-においては,対称1次モードと同様,アーチ中央部は下に凸である｡節の数はそれぞれL1,0である｡ [5

] A

-

d

曲線の急変部 ⑨ ,㊨ ,◎ におけるuモードには節がない｡実線はノ耶 -05 としてせん断変形を考慮した場合 [6] 対称 1次の④の部分と対称 2次の◎の部分とはである｡国中の各数字は次の意味を表わす｡ ① .逆対称 1次座屈

(

AS-Ⅰ)

㊥〝 2･

〝

(

AS-

Ⅱ)

◎-㊨

.対称 1次座屈 (S一Ⅰ) ⑤-㊨-⑦ .

〝 2 "

(

S-

Ⅱ)

㊥-㊥一

二〝 3 〝 (S一皿) 図

-4

より次のことが明らかとなるo H] 逆対称座屈 0 ,◎ の固有値kは中心角 aが大になるにつれてゆるやかに値が低下する｡その変化は高次座屈において少ないo偏平アーチにくらべて南ア-チのほうがよりノトさな荷重で逆対称座屈を起こす｡

t2

] 対称座屈 @-㊨ ,㊨-㊨-① ,㊨-㊥一において,㊨ ,㊨ ,① ,㊥の部分では,逆対称座屈と同様 ,中心角 ceの増加に対して固有値kのゆるやかな低下がみられるが,㊨ ,㊨ ,㊥を乙おいては申し角のわずかな変化に対して固有値が急変し,逆対称座屈の k-a 曲Il% と交差する｡そのl#果 ,中心角の/トなる部分において,対称 1次固有値が逆対称 1次固有値よりも′トとなる｡通常のスパンライズ比を有する2ヒンジ円弧アーチにおいては円形等分布荷重に対して最初に逆対称座屈が生じるが, 偏平アーチにおいては最初に対称座屈が起こる｡

仁3

] せん断変形を無祝した場合,座屈固有値 kは真の値よりも大きく算定されるoせん断変形の影響は逆対称1次座屈においてはきわめて微小であり,高次座屈においても高々数パ-セントである｡座屈固有値 kがほぼ同じ大きさであり,uモードの節の数もともに2であるが,アーチ中央部の変形のカ向が互いに正反対である｡ [7] 対称2次の⑦の部分と対称3次の㊥の部分とは凶有値がほぼ同じ大きさであり,zlモ- ドの節の数もともに4であるが,アーチ中央部の変形の方向が互いにiE反対である｡図

一

5 座屈固有値に対する細長比の影智図-5は細長比へ/W 7-50,100,150,200の4種の 2ヒンジ円弧ア-チのh-a 曲線である｡いずれもせん断変形を無視しているole-a曲線の急変部すなわち節のないuモードの発生する部分において細長比の彫饗が坊著であるO その他のh-a 曲線のゆるやかな変化部に

(9)

崎山こおいては細艮比の影響はほとんどみられないo細艮比の影響の著しい k一α曲線急変部の勾配は細長比が大のとき急である｡細長比のノトなる太短い 2ヒンジアーチにおいては,節のない 14モードの生じる範囲が広くなるo周より逆対称 1次座屈のk-a曲線と対称1次座屈のk-α 曲線との交点の a侶 a.を読めばノ郡 - 50のとき ao〒22,00 100 " GE｡去11.00 150 〝 Gl｡幸7.30 200 〝 ao三5.50 となる0 2ヒンジ円弧アーチの中心角が上記の doより /トなるとき対称座屈が最初に生じ,大なるときには逆対称座屈が最初に起こる｡図-8対称荷真に対する座屈固有値したがって doは 2 逆対称 1次郎のk-a-dh 200 1=ンジ円弧ア-チに線と対称 1次座屈の良一d -対称座屈が生じるか曲線とは aT〒027にお

k

0 50

1 C

O 1

5

3

Z

Da

逆紳座別姓じるいて交わるOすなわち, 150 図-6 円形等分布荷重によるかの境となる境界中この 2ヒンジアーチの

対軌逆対称軸心角を表わすo Lrsta-mode は荷重分

を警冨写崇芸と警護.蒜 RJ冨 …器差諾kE,冨警 2b;警笠禁忌芸

L

i 100 係が成立するo 称型であり,境界分布長この ;EdLOkaeS 91品図示したものが図-6であるoすな冨fの齢逆対称型であ 50 わち偏平なアーチの flrSt"-1nOdeは対称型であり･通細長比ノA7 7TI-100, 常のア-チのflrSt〃→110deは逆対称型であるO ノG/pE-0.5の 2ヒン節 -le

o

JSfFE=05 C(=6

〇

一 (2)部分的等分布荷重に対する座屈特性ジアーチの無次元境界分 O G2 0

4n

60 B

al

O

a) 対称分布荷重婦長 o-｡と中心角 aとの図-9 座屈固有値と対称荷重長･図一7に示すような対称型部分的等分布荷重に対する 10 細艮比 JjiF I-100の2ヒンジ円弧アーチのle-α 曲 a. 線を図一8に示す｡せん断変形はノ百7万万-0.5として考慮しているodM-1は円形等分布荷重を表わし,dp-0 なる極限はア-チクラウンに作用する法線力向集中荷貢を意味するO図

-

8によれば,

S

YrvlM

E

T

R

i

CB

U

C

I

く

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G

3 げの

o S

O9 1Z)o

1

8

0

9

荷嘉分布長 d-Lの減少にと図-7対称荷重国-10対称相による対軌逆対称座屈

もない,座屈固有値 k-ノpL3/aEIは全体的に大とな関係を図-10に示すO荷重分布長((-E)Lが約026L るOまた d--02のときには第 1次対称座屈の固萌値が以下の場合あるいは中心角 aが約 110以下の場合 ,filSt 第1次逆対称座屈の固有値よりも小さくなるOすなわち u-lnOlleとして逆対称型は存在しない｡

荷重分布長房Lいかんによって丘1Stll-mOdeが対称型 b) 非対称分布荷重

になる場合と逆対称型になる場合とがあることを知るO 図-11に示すような非対称分布荷重の作用をうける, 細長比

Jj

i

E

i77-100,中心角a-600,ノW E-05 細長比ノATfTI-100

,

ノG7TE-0･5の 2ヒンジアーチなる

2

ヒンジ円弧ア-チのかdL 曲線を図一

9

に示すQ の

Z

e

-

a 曲線を図--12に示す｡

(10)

2ヒンジ円弧7-チの所内座屈特性に関するTJF究図-14 (a),(b)にそれぞれ中心角 600と 100の 2種の 2ヒンジア-チの,種々の分布長をもつ非対称荷重 (図-13)に対する座府固有倍を示すo荷重長は0･1L, 02L,･･･,Lの 10種であるO横軸には荷重中心位置戸をとってお 9,荷重中心位置が0.5Lの分布荷重は対称荷重を意昧する｡図-14(a)より以下のことが明らかと図J t 非対称荷重(8-0) 図1 3非対称荷重 05 日

0 5 日

図-12 非対称荷重に対する座屈固図-14(a)座屈固有値と非対図-14(ら)座屈固有値と非対有値なる｡ [1] 荷重分布長が04L 以1､の場合,大略 L/4点に荷重中心位置をもつ非対称荷重に対する座屈固有値が最ノトであり,荷重中心位置 IJ/2の対称荷重に対する固有値は極大であるo [2] 荷東分布幅がL/2以上の場合,非対称荷重に対する座屈固有値よりも対称荷重に対する座屈固有値のほうが小である｡ [3] 全体として,円形等分布荷重による逆対称座屈の固有値が最小であるO 図-14 (b)によれは [1] 偏平な 2ヒンジアーチの L/4点から 3L/4点の間に荷重中心をもつ分布荷重に対する座屈固有値は,各荷重分布長に応じて,ほぼ一定であるO [2] 全体として,円形等分布荷重による対称座屈の固萌値が最小である0

7

結善玉アーチ部材図心軸のひずみおよびせん断変形を考慮した円弧アーチの変形方程式を導き,2ヒンジ円弧アーチの円形4,寧分布荷重,対称荷重,非対称荷重などに対する座屈特性を明らかにしたC せん断変形を無祝した場合,座屈荷重は其の他よりも称荷重位置称荷責位置大きく算定される｡その差は高次座屈において大であるが,最小固有値ではほとんど差があらわれない｡このことから, 2ヒンジ円弧アーチの危険荷重の算定時には, せん断変形を如祝しうることを知った0 2ヒンジ円弧ア-チの座屈性状はアーチ部朋の細長比に支配される0円形等分布荷重あるいは部分的分布対称荷重によって起こる対称型座屈に細長比が大きな彫饗を与える｡円形等分布荷重による通常の2ヒンジアーチの座屈において,LustzいmOdeは逆対称型であるが, 中心角の小なる偏平アーチにおいては対称型であるOその境界となる中心角の大きさはアーチ部湖の細長比によって異なる｡一般に細長比の小さな偏平ア-チにおいて対称型座屈の生じる範囲が大である0 円形等分布荷重による対称座屈モードはアーチ甲心角の大きさにより形状および節の数が異なるO 部分的に分布する対称荷重による座屈において,分布幅が大なるときfusta-modeは逆対称型であるが,分布幅が小なるときは対称型であるoその境界となる分布 IF副ま中心角および細長比により決まる｡通常の2ヒンジアーチにおいては,荷重幅の′トなる部分的分布荷重に対して,荷重中心位置がアーチ部材の4 分の 1点付近にあるときの座屈荷重が最小となり,偏平な2ヒンジアーチにおいては,アーチ部朗の中半分に荷

(11)

川二重中心位置があるとき,対称荷重と非対称荷重による座屈荷重はほぼ等しい｡数値計算は九州大学大型計算機センター FACOM 230-60によった｡本研究を行なうにあた 9, LL日時徳也博士 (川崎製鉄 (樵))にいろいろ助言いただいた｡記して言射意を表しますO 参考文献

1) TllnOShenko,SP.ELndGelt.J.M. T1-eolyOfE】astlC Stal⊃111ty.McGlaW Hlll,1961

2) Chwalla,冗 andKollbrunl-er.CF UL,erdasAus -1(1ュICkensyLnmetrlSChcr]〕ogentLELgerurLterSylnlTLetr1 -schveltellten Behstul一gen.STAHLBAU,Heft16,

1937,SS 121-123

3) Chwalla,E alldJ{oublumlCr,C.F.UbeldL･SAus

-klllCkenSymlnetrlSCheLBogentrtlgellmtelSymmetl卜

schvertelltellBelastur)gen,STAHL乃AU,IIcft17,

崎山 . 1937,SS138-142

4) Orall,C. Complelnelltaly EnergyMethodfoュBuc -1く11ngOfAIChes,ASCE,γol94,EM 2,1968 5) DaDeppo,D A an【lSchmdt,R Sldcs､､,ayBuckllng

ofDeepClrCularAIChcSulldelaConcelltlatedLoEL(1, JoulFlalofApplledMechanlCS,JurLe,1969,1]P325 -327

6) FIuddlcstoll.J.V Fllllte Deneet10118.1dSl-ap-Thr o-ugl10fH】gh ClrCulal Arches,JoumalofApplle(1 MechalュlCS,Dec,196B.pp 763′-769

7) Dylll,C.L ･BltCkllngalldPostbucklHlg BehaVIOrOf stccpColnpleSSlbleAIChes,IntJ SolldsStructures, 1973,Vo19,pp.129-140

8) W emp

n

el,G.A andK

c

sti,N E Onthe Bucl⊂1.ng ofCllCulal Archesand RIIlgS,PIOC.Of4-thU S NatiO11alCongress OfApplled MechamcS,γol 2, June,1962,pp.813-849

9) 倉杓正嗣他弾性安定要覧,コF'ナ社.昭42

【付録

】

連立微分方程式 (10･a)∼(10･C) の解は Laplace変換を用いて求められる｡このとき,式 (lola)の第 3項中に含まれる (ii〝+awl)[u(ギーf)-

1 t

(

ヤ

ー

()]の L乙IPlace変換は次のように算定される｡

J

e

'

+

,

e

-3

-[

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I

,

蔓

]

{

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f

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- 扮鰍こより]

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- 式 (10･C) よ｡]

-

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'

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〟

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,)等 d可

･

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誓]

;

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C

'

少ノ誓 d H 部分積分によ｡] これよりご全く同様にして I

:

(Fu′一α詑)

e

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3 ウ

l

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(両〝+a- 叩 d 甲 - -･･･(A2' I;(U/+a- spa

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(

面′- i,e一物一芸 IE'e--`l甲･

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;(77"･a- -SW 甲式 (Al),(A2),(A3)より 9"詑〝+畑 ,'ltL'7-f)-2かイ)]

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I: (U,･a- sy云品

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小笠宗欝

[

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(ミ997,231…2223..冨受諾)

２ヒンジ円弧アーチの面内座屈特性に関する研究

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