神小研夏季合同研修会資料 「数学的センス」を育てる授業の構築 神戸市立長坂小学校 指導者 川﨑 善弘 1．はじめに 平成２３年度よりスタートした新学習指導要領では，算数科の目標が以下のように示されている。 算数的活動を通して，数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を身に付け，日常の事象に付い て見通しをもち筋道を立てて考え，表現する能力を育てるとともに，算数的活動の楽しさや数理的な処理のよ さに気付き，進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる。 今回の改訂では，「算数的活動」の一層の充実を目指すとともに，基礎的・基本的な知識・技能の確実な習 得と，様々な課題を解決するために必要な思考力，判断力，表現力等の育成を重視することを強調している。 小学校の算数において，子どもたちに計算等の技能や知識を身に付けさせることは大切なことである。しか し，その技能や知識がその学習においてのみ活用されるのではなく，さらに既習事項となって発展的に子ども たちが活用していくためには，それらを支える「数学的な考え方」も身に付けることも重要である。子どもた ちに，知識や技能を支える数学的なものの見方や考え方が身に付くと，その原理や良さがわかるので，それを どんな場面で，どう活用したらよいかがわかる。さらに，自ら新たな課題を追究したり，計算の仕方などを忘 れたときにそれを思い出すことができたりする子どもが育つと考える。 子どもたちに，演繹法や背理法，帰納法などの純粋な数学的な考え方を獲得させるのは，容易なことではな い。 そこで，動作化やイメージ化，情景図などの技能を含んだ数学的な考え方（ストラテジー）を獲得させること によって，文章題などの場面の様子を考えたり，問題を解いていくカギを見つけたりして，問題を解く方法を 知り，考えを進めていけるようにする。それによって，「ああ，こう考えればいいんだ。」「ここに目を付けれ ば解けるんだ。」というような感覚を，直感的につかめることのできる子どもを育てたいと考えた。 仮説 「子どもたちにストラテジーを獲得させれば，数学的センスをもった子どもが育つのではないだろうか。」 「数学的センス」とは，論理的根拠はなくても，何か問題を解くヒントになるものを見つけられる直感，ひ らめきが生まれることで，数学的な感性と言える。 ストラテジー（技能を含んだ数学的な考え方：資料①）には，動作化やブロック操作，各種図や十進位取り 記数法などの考え方などいろいろなものがある。 低学年・・・動作化や絵図などで問題場面を表し，基本的な技能の部分を重点的に身に付ける。
今回の研究では，３年生の指導においてストラテジーの指導に重点をおき，このような力を子どもたちに獲 得させると，文章を読み解くだけでは分からない子でも，図を描くことによってより意欲的に問題解決に臨む ことができるのではないか。そして，図が描けている子どもには，図の質の向上を目指して先の学習において 役立つストラテジーを身につけさせたいと考える。 文章題を通して（３年生 「かくれた数はいくつ（１）」） 図は， 図の質の向上の視点 ○簡単 ○自分がわかる ○わかりやすい ○簡潔にかく ○はやい ○人が見てわかる。 ものがよい。 ○人がみて一目でわかる ○説明がしやすい 図の指導の際には，３回読む ①映像化する。 ②一枚の絵にする。 ③順にかいていく。 （逆思考の問題の場合は，特に大切となる） 動作化・イメージ化 情景図 映像→１枚の絵 線分図 関係図 自分で図を選択して，問題を解く。 図がかけて問題が解ける子どもに は，図の質の向上を促す。 「何倍でしょう」 「べつべつに、いっしょに」 「かくれた数はいくつ（２）」 「かくれた数はいくつ（１）」
2．授業計画 １．単元 「かくれた数はいくつ（１）」 ２．単元目標 ○乗法や除法の逆思考の問題を解くことができる。 ○場面をイメージ化したり，情景図や線分図を活用して考えることができる。 ○多様な考え方で，問題を解こうとする。 ３．指導のポイント ○動作化をするなどして問題場面をイメージ化し，情景図や線分図を活用して考える。 ・問題文を読む際，動作化するなどして質の良い情景をイメージできるようにする。 ・図は，文の始めから順にかいていく。 ・「，」や「。」で区切って順に情景図や線分図をかいていく。 ・図をかいたら，問題文を見ないで考える。（図をかいた意味がなくなる） ・答えが出たら，問題文に当てはめて確かめをする。 ○多様な考え方で問題を解く。 ・多様な考え方，多方面から答えを出していくことが重要である。（感性を養う） ・図を見ながら考えることによって，多様な考え方を導く。 ○情景図の指導に重点を置く。 ○関係図については，紹介程度にする。 ４．指導計画（３時間） ○情景図をかいて，問題を解く。 ・絵を見て，式と答えを書くことができるか。 ・情景図の質を高める。 ○線分図と関係図を知る。 ・分かりやすく，簡単ではやくかける図はどんな図かを考える。 ・線分図の有効性を知る。 ・関係図を知る。（紹介程度にとどめる。） ○練習問題を解く。 ・情景図・線分図・関係図から自分で図を選んでかき，問題を解く。 ・ただ図をかくだけでなく，質の高い図を選ぶことができる。
５．学習展開 第１時 本時の目標 ・情景図を描いて，問題を解くことができる。 ・自分の情景図を修正し，より質の高い図にすることができる。 本時の流れ 教師の発問と活動 子どもの発問と活動 評価・資料・留意点 等 １．問題把握 Ｔ：今日は，文章題を解きます。上手に絵をかいて，そしてその絵 を見て式と答えを出しましょう。 Ｔ：では，先生が今から問題を３回読みます。 １回目は，どんな様子か頭に映画を思い浮かべましょう。 ２回目は，頭に浮かんだ映画を，１枚の絵にしましょう。 ３回目は，順にホワイトボードに絵をかいていきましょう。 Ｔ：「同じ厚さの図鑑・・・」 Ｔ：２回目です。どんな絵をかいたらいいか考えながら聞きましょ う。「同じ厚さの図鑑・・・」 Ｔ：では，３回目です。順に絵をかいていきましょう。 「同じ厚さの図鑑を本立てに並べます。」かきましょう。 「９冊で」かきましょう。 「はば５４㎝の本立てが，ちょうどいっぱいになりました。」 かきましょう。 「この図鑑１冊の厚さは何㎝ですか。」かきましょう。 準：ホワイトボード（→ＷＢ） ＷＢマーカー ・問題文は板書しない。 ・映画が分かりにくい場合は，簡単な場 合で説明する。 ・動作化しながら，場面の様子をイメー ジしやすいようにいろいろなことを 加味しながら話をする。 ・情景図がかきやすい動作をしながら， 「，」「。」で区切って読む。 ・机間指導し，動作化するなどして自分 なりの絵がかけるようにする。 ２．自力解決 Ｔ：ＷＢに自分の絵が完成した人は，黒板にはりにきましょう。 黒板にはった自分の絵を，ノートに写しましょう。 ３．学び合い Ｔ：では，みんなの絵を見て行きましょう。 （全員の絵を，みんなでチェックする。） ・図鑑は９冊かけているか。 ・全部で５４㎝がかけているか。 ・１冊分を求める部分と単位がかけているか。 ・本立てはかかない。 Ｔ：大事なことは，①簡単で ②人が見てわかりやすくて ③はや くかける 絵や図がいいのですね。 ・３０人分しか貼れないので，残りは， 長机に置く。 ・ノートにうつしたものをＷＢにかく と時間がかかるので，ＷＢにかくこと を優先する。 ・必要なことがかけているか。 ・必要ないものはかかない。 ４．まとめ Ｔ：もう一度，ＷＢの絵をかき直して，黒板にはりましょう。 （ここで，式と答えをかかせる。） Ｔ：黒板にはれた人は，自分のノートにかき直した絵をかいて，感 想も書きましょう。
第１時 授業の様子 初めてかいた図① 初めてかいた図② 最初の図は，本棚を書いたり，答えの部分を別に書き出したりするなど余計なものが多い。 かきなおした後の図① かきなおした後の図② 全員で検証し，かき直した後の図。図は大変シンプルになり，余計なものが省かれた。しかし，１冊の厚さを 求めるにも関わらず，それがはっきりと示されていないものがあるので，必要な要素はしっかりとかかれてい るかを確認し，数値や単位などは，落とさずかくように指導する必要がある。
第２時 本時の目標 ・情景図を描いて，問題を解くことができる。 ・線分図，関係図を知る。 本時の流れ 教師の発問と活動 子どもの発問と活動 評価・資料・留意点 等 １．問題把握 Ｔ：今日も，前と同じように絵をかいて問題をときます。 Ｔ：では，先生が今から問題を３回読みます。 １回目は，どんな様子か頭に映画を思い浮かべましょう。 ２回目は，頭に浮かんだ映画を，１枚の絵にしましょう。 ３回目は，順にホワイトボードに絵をかいていきましょう。 Ｔ：「バケツで水をはこんで・・・」 Ｔ：２回目です。どんな絵をかいたらいいか考えながら聞きましょ う。「バケツで水をはこんで・・・」 Ｔ：では，３回目です。順に絵をかいていきましょう。 「バケツで水をはこんで，水そうをいっぱいにします。」 「６回はこんで」かきましょう。 「４８Ｌはいる水そうがいっぱいになりました。」かきましょ う。 「バケツには，何Ｌの水がはいりますか。」かきましょう。 準：ＷＢ 準：フラッシュカード かんたん だれが見てもわかりやすい はやくかける ２．自力解決 Ｔ：ＷＢに自分の絵が完成した人は，式と答えをかいて，黒板には りにきましょう。 Ｔ：黒板にはった自分の絵を，ノートに写しましょう。写せた人は， 自分の図の説明の仕方を考えましょう。 ・簡単，人が見てわかりやすい，はやい ものであるかどうかを確認する。 ・説明する子を事前に４～５名指名して おく。 ３．学び合い ・全員の絵の中から，数名指名し絵の説明をさせる。 （情景図だけでなく，線分図，関係図につながる子どもの図を 選んでおく。） ４．まとめ （線分図につながる子どもの図をもとにして，線分図をかき） Ｔ：このような図を，線分図といいます。簡単で，誰が見てもわか りやすくて，はやくかくことができます。 （関係図につながる子どもの図をもとにして，関係図をかき） Ｔ：このような図を，関係図といいます。少し使いにくいかもしれ ませんが，使える人は使ってもいいですよ。 Ｔ：線分図，関係図をノートにかいて，感想を書きましょう。 ・関係図につながるものがなければ，教 師が図をかいて紹介する。（抽象的で 若干わかりにくいため）
第２時 授業の様子 子どもたちのかいた図① ② 第２時では，「バケツを６回」「４８Ｌの水槽を一杯にする」という言葉から，バケツの持ち手，水槽などまだ まだ余分なことをかこうとする児童が多く見られた。 左の情景図は，「バケツ６回分を，大きい水槽に入れる」というイメージを，図に表したもの。（１４名）関係 図につながりそうではあるが，違うものである。 右は，バケツや水槽など，前時の学習を生かして大変シンプルに書くことができている児童。（１４名）クラ ス約８割の児童が，６回バケツを使って，水槽に入れたというイメージを絵に表している。 上記左の図が，簡単で，分かりやすく，そしてはやくかける図であると考えられる。（他１名）この図から， 線分図の指導へと導いた。右の図も，バケツの口は必要ないが，３年生のこの段階としては無駄を省きシンプ ルになっている。（他１名）
ノート 中には，４８個のマス（１マス１Ｌ）をかいていた児童もいた。授業後のノートを見ると，線分図のよさを理 解することができていたようである。 線分図の板書 関係図の板書 ※児童の図の中に，はっきりと関係図につながるもの がなかった。ので，関係図の提示は，教師から行った。 第２時の授業を終えて 問題文の読み上げをして，その最中に式が思い浮かんだと答えた子が約2/3。図をかいて，式が思い浮かん だと答えた子が約1/4。どちらかというと，後者は能力の低い子になるが，図が有効に活用されていると考え てよいのではないだろうか。図から立式するためには，文章に示されている要素を落とさずに図に示すことが 大切である。後者の子どもたちでも，第２時になり要素を抜かさず図に示すことができた。さらに，雑然とし た図では正しく解答するための障害となるので，①簡単 ②わかりやすい ③はやい ものが良い図だと提 示する。そのためには，必要な要素は示すが，不必要なものを省くことも大切となる。そのために，全員で全 員の図を検証，吟味し，図の質を高めていくことが重要だと感じた。（算数の苦手な子にとっても，有効な手 段となる）
第３時 本時の目標 ・情景図・線分図・関係図を描いて，問題を解くことができる。 ・簡単で，誰が見てもわかりやすくてはやい図を自分で考えてかくことができる。 本時の流れ 教師の発問と活動 子どもの発問と活動 評価・資料・留意点 等 １．問題把握 Ｔ：今日は，問題を聞いて絵や線分図，関係図をかいて問題をとき ます。 Ｔ：では，先生が今から問題を３回読みます。 Ｔ：「花をたくさん買ってきました。・・・」 Ｔ：２回目です。どんな絵をかいたらいいか考えながら聞きましょ う。「花をたくさん買ってきました。・・・」 Ｔ：では，３回目です。順に絵をかいていきましょう。 「花をたくさん買ってきました。」 「これを８つの花びんに分けると，」 「どの花びんも４本ずつになりました。」 「花を何本買ってきましたか。」かきましょう。 準：ＷＢ ○１回ずつ間をとる。「かきましょう」 と言う言葉を省く。 ２．自力解決 Ｔ：ＷＢに自分の絵が完成した人は，式と答えをかいて黒板にはり にきましょう。 Ｔ：黒板にはった自分の絵を，ノートに写しましょう。写せた人は， 自分の図の説明の仕方を考えましょう。 ・情景図，線分図，関係図でかいた子ど もにそれぞれ発表できるよう指名し ておく。 ３．学び合い Ｔ：自分の描いた図の説明をしてもらいます。 Ｔ：見た図で，簡単だったら１点，わかりやすかったら１点，はや くかけると思ったら１点。合計３点満点で指を出しましょう。 ・話し合い，相互評価の中から，より質 の高い図を見つけ出していく。 ４．まとめ Ｔ：問題を解く時には，友だちに説明するために，わかりやすい絵 や図をかくことが大切です。その時には，簡単で，わかりやす くて，はやくかける図。例えば，線分図などを使えるようにな りましょう。 ５．ふりかえり Ｐ４４②の問題を解く。 Ｔが問題文を読む。（ノートにする） ・３点を意識して図をかけているかどう かを評価する。
第３時 授業の様子 情景図：１１名 テープ図：６名 情景図を描いた子の内８名は，ほぼテープ図に近いもの（数図ブロックを並べたような図）になっている。必 要な要素はほぼかかれており，無駄なこともかかれていない。 線分図：９名 関係図：７名 関係図で描いた子の中には，問題文を聞いている時点で式が頭に浮かび，それを図に置き換えて考えた時に関 係図の方がかきやすかったようだ。３年生の児童には，関係図は抽象的で，若干立式に結び付けにくいのでは ないかと考えていた。 第３時の授業を終えて ＷＢの図を見ていて，要素をしっかりとかくことができていると感じた。中には数名，立式のできていない 児童がいたり，かくことのできた児童から黒板にＷＢを掲示したので，それを見て自分の図や式をかき直した りする児童がいた。（後者は，何をかかなければいけないかがわかっている上でかき直している児童が多いの
第3 時 P44 練習問題② 「ロールケーキがあります。4 ㎝ずつ切ると，6 つできました。全部で何㎝でしょう。」 通過率 種類 人数 情景図 1 名(3%) テープ図 7 名(21%) 線分図 3 名(9%) 関係図 6 名(18%) 要素を落とさず適切な図が描けている。 計17 名(51%) 種類 4 ㎝ □㎝ 余分 人数 情景図 2 名 2 名(6%) テープ図 1 名 3 名 1 名 5 名(15%) 線分図 1 名 1 名(3%) 関係図 2 名 2 名(6%) 要素を落としている。 （ミスを含む） 計10 名(30%) 支援ありで図が描ける 1 名(3%) 適切な図ではない 5 名(15%) その他 計6 名(18%) 考察 この練習問題では，その他の6 名をどのように指導していくかが課題となる。6 名の子どもたちは，問題文 を読み上げた時に，頭の中にある程度イメージができていても，それを1 枚の絵に表すことができない。映像 のはじめの部分やあとの部分など，部分的な表現しかできないために，適切でない図となっていると考える。 今後，時間的経過をどのように表していくかということを，個別に指導していかなくてはならない。 27 名（約 81%）は通過したと考えてもよいと思う。
3．指導を終えて 今回の授業は，問題文を読まずに，教師の言葉を聞き場面をイメージして図に表すことを一番の目的にした 授業だった。文章がないことによって，子どもたちはしっかりと集中してうなずきながら聞き取ろうとしたり， 動作化して理解しようとしたりする様子も見られた。子どもたちは，文字を見ると意識が散ってしまうことも あるので読み上げると言うのは良かった。しかし，どこかで文章に戻ることも必要だろう。ポイントとなるこ とがら、例えば数値などをメモ的に示してもよかったと思う。問題文を提示して、要素にアンダーラインを引 くようなことはできるだけ避けたい。文章読解になってしまい、せっかく子どもたちがイメージしていること が、くずれる心配があるからである。 3 年生の子どもたちがかく図には、2 つの種類がある。1 つ目は、自分の考えを友だちに説明するためにか く図である。これは、どちらかというと質の高い図になる。2 つ目は、問題を解くためのヒントを見つけるた めにかく図である。この種類の図をかく子どもたちは、問題文を聞き取るだけでは詳しく理解できなかったり、 立式できなかったりするため、情報を整理して、解決の糸口を探すために図をかくのである。後者の場合、図 が問題を解決するための大きな手段となっていて、図の活用がしっかりとされている。では、前者の場合、問 題文を聞き取った時点で立式、解答できる子も少なくないが、その子にとってあえて友だちに説明するために 図が必要なのだろうか。図をかくということは、自分のイメージ・抽象を具体化し、誰にでも説明できるよう にすることによって、自分自身の理解を確認することはもちろん、どんな図をかけばよりよい説明ができるか 考えることによって自らの思考を深める手段となる。さらに、動作化やイメージ化で立式できる今のレベルか ら、動作化などの難しい高学年の課題になった時に、現時点で様々な図をしっかりと見に付け、その良さを知 り、レベルを高めておくことが大切だと考える。よって、図の指導を系統的に行うことによって、それぞれの 図の良さ、適切なかき方を知り、子どもたちが後に課題を解決するためによりよい図の選択ができる力をつけ ることができるのではないかと考える。 授業の中では，子どもたち同士で１～３点の相互評価をさせたのも良かった。評価は自分達でもできるとい う文化「評価文化」が，授業作りのなかで大切である。相互評価するに当たって、観点を明らかにしていたの で，その観点を頭において聞くことができ，明解だったこと。評価したことに対する理由も発表させていたの で，友達に対する評価にも責任をもたせていたこと。評価することによって，授業に関心をよりもつことがで きていたことなどが良い点として挙げられる。 情景図からテープ図，線分図，関係図へと余分なことは省き，必要な要素を落とさずにシンプルにしていく。 このように，子どもたちの図の質（①かんたん ②自分がわかる ③人が見てわかる ④ひと目でわかる ⑤ せつめいしやすい）を向上させていくことは，２年生から３年生の間にしっかり指導しておく必要があると強 く感じた。情景図⇒テープ図⇒線分図⇒関係図 とだんだん図が抽象的になっていくのは，児童の思考過程に おいて難しいものであり，しっかりと段階を踏んで指導していかなくてはならない。 線分図・関係図の指導の結果を通して たくさんの解き方を知ることは，とても重要であることは間違いない。特に高学年では，難しい問題を解く 際，大きなヒントとなる。しかし，その学年に応じて，しっかりと意味を理解して，活用させなくてはならな い。関係図は立式しやすいが，数の処理になってしまいイメージが作りにくい。低・中学年においては，情景 図・線分図（テープ図）を重視した指導がよいと考えられる。高学年になると，小数・分数のかけ算・わり算
の問題が増え，視覚化では解くことが難しくなり，抽象化しなくてはならない。そんな時に，関係図が有効に なってくる。図は，児童の発達段階に応じた指導が必要である。 児童にどんな力を付けさせたいかという意図を明確にもち，今，この力がストラテジー（方略）としてはっ きりと身に付かなくても，指導を積み重ねていくことによって，将来的に活用する力がついてくるのではない だろうか。一つ一つのストラテジーを丁寧に指導することによって，獲得した何かを課題と結びつけて解決し ようとする力が育つ。図の指導において，3 年生の段階で自分の説明しやすい図を選択する際に，論理的根拠 はあまり関係ないであろうが，図を描くというストラテジーを獲得させるなかで，それが何かの糸口で課題と 結びついた時に「ひらめき」となり，その「ひらめき」を繰り返していくことで数学的センスが磨かれると考 える。 今後の指導について 2 学期 「何倍になるでしょう」（資料②） 3 学期 「べつべつに、いっしょに」（資料③） 「かくれた数はいくつ 2」（資料④）
資料⑤ クラス全員34 人分のホワイトボード（30×45）を掲示した場合。 長所・・・クラス全員の考え（自分の考え）が前に示され，みんないろいろな考え方をしているということ がわかる。分類・整理をすることによって，それぞれの図の良さ，考えの良さがわかり，逆にその考え方の欠 点や修正点がわかる。 短所・・・黒板に貼り切れないこともそうだが，視覚的な力の弱い子には，はっきりとどこをみるか提示し ないとどこを見て良いかわからなくなる。
