或る種の間歇振動について(研究速報) 利用統計を見る

（研究速報）

前沢成一郎

大石雅子

Synopsis

  Intermittent spasmodic vibrations sometimes observed on the recording paper of the ．analog computer are reported． The cause of their occuring is studied by obtaining the particular ’solution of the original piecewise−linear differential equation and is attributed to the small offset or hysteresis of the switching−over conditions．

  1．緒   言

 小型電動機の接点式ガバナの動作をアナログ型電子 計算機でsimulateして研究している際、時々予期し ない間歌的な振動が起ることに気付いた。アナログ計 算機に掛けた微分方程式は接点の変位の正負によって 切替の起る断片的に線形な二階常微分方程式であった が、当初はこの間歌振動として記録紙上に現われたも のが、実際に微分方程式の解として含まれているもの であるか、又はアナログ計算機の何等かの誤動作に起 因するものであるか全く不明であり、只これが切替前 後のバネ定数比の特に大きい場合に発生し易いことが 観察されたのみであった。所が最近一寸した事からこ れはその原因が切替動作の微小なオフセヅトまたはヒ ステレシスにあることが判明し、断片線形微分方程式 の切替条件をこれに対応して僅かに変更するとき、そ の特解として計算機記録と始んど完全に一致する間歌 振動解が数値計算の結果として得られたのでここに速 報する次第である。

  2．断片線形微分方程式とその切替条件

 問題の断片線形微分方程式は次のようなものであ る。すなわち全位相平面は漸滅加振力を持つ第1領域 と漸増加振力を持つ第ll領域に分かれ、その各々にお いて系の固有振動数はω1およびω2，減衰係数は2ζ1 および2ζ2であり、方程式はそれぞれ

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となる。ここにβ1およびβ2は共に正の定数であると する。領域1と領域Hの間の切替条件はオフセットも ヒステレシスもない理想的な場合には   領域正 t領域II， z＝0， z≦0  ・・……・（2） であるが、オフセットeoが存在するときには、   領域1 Ptew．域H， z＝eo， z≦0  −・…〈3） また士eoのヒステレシスが在在するときには、

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となる。 （第1図）

 3．周期的な自励振動

 このような系は周期的な自励振動を行うことが報告 されており1）、これに関しては既に他の所で著者の方

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昭和38年12月

_{山梨大学工学部研究報告}

_第14号

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Self−excited Vibration of Piecewise−linear System under Conditions of Switching−over with Small Offset ω1＝1．0，to2＝＝5．0，ζ1＝ζ2 ＝O．1，β1＝0．5，β2＝5．0， eo＜0， leo l＜＜1 法によってその周期、振幅等を簡単に算定出来ること を示した2）。ここではこの種の自励振動の記録例のみ を掲げるに止める（第2図）。すなわち周期は領域1 と領域Hのそれの中間の或る値であり、振幅は大体二 領域の平均の減衰係数に反比例する。

  4．オフセットのある場合の間駄振動

 以上のような周期的な自励振動が通常期待せられる わけであるが、場合によって特にバネ定数比ω22／c・， 1 2’ が大きい時、第5図のような独特の波形の間歌的な振 動が観察される。 e。

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5  Fig．4 1ntermittent Spasmodic Vibration of Piecewise−linear System under Conditions of      Switching−over with Small Offset（by Numerical Computation）      ω1＝1．0，ω2＝10．0，ζ1＝0．1，ζ2＝0．5，β1＝0．5，β2 ・一 O．2，e①＝0．07  このような解を接合法によって求めることを試み る。振動の模様は第3図のように次々に両領域に属す る区間が交替して現われるので、領域1に属する区間 の番号を奇数番、領域Hに属する区間の番号を偶数番 とする。最初第H領域から始まるものとして初期条件 を   t＝＝O，   z二＝・0，   z＝0，   φ＝O     ・・・・・・… （5） とすると、ゼロ番目という意味の添字をzに附して、 変位は ・・一O（・−e一ζ2t竿）−2ζ・書｛・一・一ζ2t       （…q・t＋昔・i…t）｝…・・…・（6） ここに   q2＝／ω22一ζ22     −・・…（7） 切替点z＝eoに達する時間をT①とすると    t＝To、  Zo＝eo，  φo＝β2 To   ・・一・… ＜8） これ以後は前述のように領域が次々に交替して区間の 番号が進んで行く。各区間の変位に番号の添字を附し 対称性を保つために偶数番日の変位は逆向きを正と取 る、すなわち    Z2n＝−Z（領域n）， Z2。・・＝＋Z（領域1） 奇数番区間（領域1）では

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5．数値計算例

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  6．アナコム計算結果

 同一の諸定数と初期条件に対するアナコム計算結果 を第5図に示す。記録は上から順次に①変位z，②速 度（符号逆）z，③加振力φ，④加振力の変化率ψs ⑤加速度zを示している。  すべての値はボルトで示されている。又演算要素接 続のブロック線図をFig．6に示す。図中Ai， Ji， Pi （i＝1，2，3，…）はそれぞれ加算器、積分器および係数 器であり、Comp．は比較器、 S l， S2， S3はリv−一要 素で2！〉る。特にAie・Anの100倍の倍率は切替点の 正確を期するために挿入したものである。最後にGi はペン書き記録器のチャンネル番号を示す。

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_{山梨大学工学部研究報告}

_第14号

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● 昭和38年12月

_{山梨大学工学部研究報告}

_第14号

て来るので、14voltには達しないが、第4図、第5図 で見る通り大略11voitとなっている。変位は最大値 に達した後再び減少して来てZ＝ZOに戻り或る負の速 度を以って再び領域Hに突入する（区間1終り）。今度 はこの速度のために大きいばね定数によって反擾に似 た現象が起り始んど同大の逆の速度で領域Uから領域 1に投げ返される（区間2終り）。区間3はまだ相当加 振力φが正で大きいのでこれによる振動とばねの反擾 との重ね合せになり、又戻って来てZoに達し領域llに 再び突入する。以上のようにピンポン球のような両領 域間の往復が数回続くと全体として偶数区間は奇数区 間より遥かに時間が短いので加振項は除々に減少し、 又減衰項による減衰は進んで振幅が小さくなって来る ので、遂には偶数番目の或る区間で一回の振動では切 替点に戻れずに、領域llの中に「捕獲」されて支舞うよ うになる。このように一度び「捕獲」されると事情は出 発点に立った場合と似た事になり、領域1【からの「脱 出」は反援運動によらず、加振項の正となるのを待っ て専らこれに頼らざるを得なくなり切替点に戻るのに 前の35sec以上の時間を要し、この間一見振動現象は 停止したように見える。再び切替点に達して領域1に 入る際の速度は長時間の第二領域滞留のため自由振動 項は殆んど完全に減衰し加振項による強制のみとなり 減衰係数も大きいため殆んどβ2／ω22に等しく、ここ に第1区間の初期条件が殆んど完全に再現せられる。 従ってこれ以後は以上の間歌振動のパターンが繰返さ れて行くことになるのである。

8．後

記  以上接点式ガバナの動作をアナログ型電子計算機で 研究する際にしばしば観察された一見奇異な間歌振動 現象を報告し、その原因について考察した。結論とし て現在の段階では両領域のばね定数比が大きくて且つ 切替に微小なオフセットの存在するときにこの種の間 歌振動が発生することが確められた。またヒステレシ スを伴う切替の場合についても考察し数値計算結果と してはオフセットの場合と全く同様な間歌振動パター ンを得ているのであるが、アナログ計算機の故障のた め実験を行うことが出来なかったので次の機会に報告 することとしたい。尚この種の間歌振動と周期的な自 励振動との発生条件に対するばね定数比ω22／ω12，加 振力増減率比β2／β1，減衰係数の影響等についても将 来を期したい。  最後にこの種の間歌振動が実際の接点式ガバナの動、 作にどのような影響があるや否やという問題は又別個 の課題であることをお断りして置く。 文 献 1）西本、小滝；精密機械28，6（1962）324∼330． 2） 前沢；第6回自動制御連合構演会前刷（昭和38年   10月）

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