ロジスティック曲線のあてはめに・ついで

−・9β・−・  

441  

研究ノート   

ロジスティック曲線のあてはめに・ついで  

轟  鍋  俊  彦  

は じ め に  

時系列データk傾向線をあてこはめる場合，データー数の制限，ばらつきなどの実際統言†  

データの状況によっては本来の傾向線が得られない場合がおこりうる。このことを考える   ために，データの範囲あるいほ，ばらつきの大小など種々の条件を考慮して，統計データ   に．あたるものを作って，次のような実験的検討を試みた。統言げ−・タが時間め順序に・従っ   て配置されている場合，それを時系列というが，いま系列のデータの傾向線としてニロ汐ス   ティック曲線な選ぶ。このロ汐スティック曲線にばらつきをもたせるために，一足の分散   の正嫡乱数を掛けあわせ，実際の統計データにあたるものを作った。このデータに最小二   乗法をもちいて・，直線，指数曲線，ニ次曲線を，また，ロ汐女ディック曲線を三等分法と  

ホテリングの方法により，あてはめるこ．とを試みる。そこで最も良いあてはまりをみせる  

ものを選び出し，これが取り出す曲線の部分紅よって，どのよう紅変化するかを考察して   参る。   

1．デー・タの発生  

ロジスティック曲線の式  

．打   y，≠  

1＋∽e￣α●f  

に劇、て，∬＝2000，班＝100，α＝0．1として−才を0から99まで変化させてア fをつく  

り，グラフ紅表わすと図1−1となる。図1−1をみれば明らかなよう紅，この曲線は最初の  

うちは才の増加ととも紅増加の速度を増すが，後紅は才の勧口につれて逆紅その速度を  

減じ，最後紅は一定の極限値gに腰近する。こ．こで調査データにあたるものとしてy ′に  

対して溝L数を用いて，次式に．よりデータy≠を作ることにした。   

第43巻 策4′弓   442  

■●−■■−■■−●■−−−−■一■−−−−−一一−−−−−−−−−●−−…−■■−■■−■■■■一−−●一−−−−−−一■一■一仙−−一−…■−■・■■■−■−■−−−一■−−−−−■＝■■−●−−一←−・−−■■■●■■■川−−−▼■  

リ  ー0  2U  ）0  冊  5ロ  ム0  7〇  糾  90 1写？  

図1−1  

幻＝y，才・（1＋C・斤f）  

ここで，  

y ′：ロジスティックの式に．より発暮させた数値．  

C：定数．  

忍〜：正規乱数．（1）  

ロジステイク曲線においては，最初立上り速度が増し，後に減少していくことは前把．も述   べたとうりである。今宮ほ増加速度を増しは．じめる時点を考慮して，≠を0から変化さ   せ，Cを0．05としてmの値が仔／10，孝／5，茸／3．3となるところまでデータを作っ   た。これを図示すれば図ト2，図1−3，図ト4となる。以後このデータに各種傾向線をあ   てはめてみること紅．する。−  

（1）正規乱数は，TOSBAC−3400 TOPS−11アプリケ・−Vヨン プログラム（ライ    ブラリアンサブルーチッ）を使用   

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

ー 95 −・  

ロジスティック曲線のあてはめについて 

443  

＝●D∧Tl−＝  ルー  

；！亡竺三…：叫三三三：！竺叫・・・両山…・・・・・1・・−t叫・・・￣◆−…◆1■−−｛■・ ■■◆■■￣叫■− ■｛岬車￣一 小＋1       1   1  

21こ9‡   ●．＋  

▼▲ 

＊つユ140087︼73005  

TO123456789   ； ■l■l●11−▲−▲●1＝−■︐−■一■＋■−−■1■▲  

T■▲▼●−−●1−−▼Il−▼■−T−▲▼1  

16A▲A：只 550  

4 

22629323 

◆    ■  

●   ◆  

●  

◆  

図1−2 ＊＊＊……川Yt  

十→ト＋い．．…Yt  

12I  

‥lロ…l＝      t＋さY；三上亡：ミミ∴．：こ1：：仁一一小・一・・−一佃・−・・−・・・−−−中一−ト…十−・・…・・｛‥叫●￣… ■巾●￣◆●…−●￣一巾￣ −      l  

＊0384481492989156・3830  

＊2121212729323638444853576169798294109109122 ＊＝  

TO1234567890123456789      1 1▲ 1 1 11 1 1111 1   9 1  

1 2   9ト・  

9！■  

9−07272  

778593103113125  

図1−3 ＊紳川……Yt  

十十＋′1・、…い 

Y，t   

第43巻 第4号  

96   444  

＊＊＊ 11−1v入代【小CE托 さ叫．9へら1   ‥．DIT∧●‥   ）18  

TO12345678901234567890123456789       1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 9︼ 2 2 2 2 2 2   1 7 4 2 5 0 5 5 4 1 7 0 2 6 1 3 2 7 6 7 4 3 1 5 3 8 8 7 7 3  01400 8 3 3 82 3 0 94 6 6 4 60 2 6 8 5 8 2 5 0 58 900  

2 2 ウ︼ 2 2 3 3 3 4 5 5 5 6 7 7 8 9︿U l 1 44 6 っー9 2 ︻〇 5 6 1⊥  

8 0J 1 6 4 4 ︵賞 5 50 9 33 nO9 8 4 8 1 3 6  

●  

■  

◆  ●  

●◆  

1 8 7  

8 9 1  1 1 2  

237．3   259．0   282．4   3076  

図ト4  ＊＊＊  Yt  

＋→＋  Y，t   2．傾向線のあてはめ   

（1）データが符／10までの場合   

デー・タが符／10までの場合，各傾向線のあてはまりの状況は，図2−1−1から図2−1−5の   よう紅なる。  

＊1621別26313039344448   ＊  ＊ l 1 4 0000 7 7 38 ⊂J  

TO123456789  

十＋小人RlÅ嶋℃モtら．n122 

ユ7．bミ：・；−…・・・−−−−・一叫叫・咄一叫・叫：ユニー∴小一−・叫叫…−−・叫・・−・・…「  

3：  

0 3 ごリ 0 3 6 ＜u 3 6  

図2−1−1 ＊＊＊……データ  

・・・州‥・傾向線   

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

445   ロジスティック曲線のあてはめに・ついて   一命7 

016118．．5ミ： 

T ＊＊＊ ヰ＋川RIANCE・も・8−ら9        …5日ISuぺYOKUSE、…       叫9      −−・・・−−・・・・叫・叫〝・叫・・・岬 叫・−・◆叫仙◆−…◆−・−−◆●一曽一◆−■叫…●−■…■■■■−◆W◆−■￣叫 ◆・Ⅰ  

●●  ‥ 

・・ 

．． 

．．  

図2−ト2 ＊＊＊……lLデータ  

十す1ト・…‥…  傾向線  

T＊＊＊十凧…NCE‥・押    …叫一触鋸・・     叫8I    o161175‡：て・叫・・−・叫・・叫−・・・・・−−・・…叫・・仙・・・叫一両………−− −◆−￣●●◆川￣1￣トー￣一◆l  

・● 

．．  

3268 266：   ・・  

4318 29−．8ミ   ・・  

5307 33り1；   ・  

6397 36．5‡  

7 343 400王  

◆ ●  

s448 43・5！  

9485 47，2ミ   ^◆ ●l  

図2−1−3 ＊＊＊・・……データ  

・十→ト‖・・・′…傾向線  

＊＊＊ ÷十卜W加CE− 倉・l，2γ   ・‥＝OUbuN‥・   u8  

16117．8…： −−−・：叫・・・−・叫……・・・・・−−−・◆−−・・仙トーー・◆−−−−◆・H−■■■◆￣・￣ ■◆ ■叫◆…￣◆■￣ ■……◆−￣中−￣￣￣◆I l  

◆● 

●◆ 

・・ 

・ 

． 

． 

図2−1−4 ＊＊＊十・…‥‥  デーータ  

十＋・・……ul 

・‥仰仇し川G・‥  

■書  

T ＊＊＊ 十十」−VAR佃CEt −○・nIるさ       ：−−…−r−…一・…叫−・一・・一巾−・†叫仙・・…−◆仙◆−●●一一恒■恒●巾■●■◆●￣●￣◆−￣−￣◆●￣ ●●●●−●◆●■t￣◆Ⅰ J  

0161134！   

＼  ◆ 

・・ 

・・  ・ 

・・ 

囲2−ト5 ＊＊＊‥し…・データ  

十 

J  

446   

第43巻 第4号  

・−9β−  

図の上でほいずれも大差はな小ように思われるが，これなあてはめによって得られたパ   ラメ−・タを用いで，封辞された理論値とデー一夕間の分散の小さい順位でみると二次曲線滴   線，指数曲線，三等分法，ホチリング法となる。が，いずれも分散紅大きな差はない。し   かし，データを作る上で使用した正規乱数ゐ影轡も考えられるので，乱数を変え・ながら  

1 100回線り返し各傾向線のあてほめを行な。た。その場合の分散の平均値と，各回で分散  

が最小となった回数の比率を定数Cをかえ．て求めたものを表2−1紅示した。表2−1におい   て分散の小さい順位をみれば二次曲線，指数曲線，三等分法，直線，ホテリング法とな   る。また，分散が最小であらた比率はC＝0．05に．おいて二次曲線が82％と最も高い。ま   た，定数Cを変化させても二次曲線が最もよいあてほまりを示す比率は高い。このことか  

ら，本来口汐タイツク曲線にしたがうものであっても，時間的に．充分あとまでとられてい   ないこの程度のデー・タでは，ニ次曲線とまちがわれる事が多いことがわかる。   

なお，ホタリング法の場合は，図ト2のあてはめに．用いたデータが数的に少ないため   と，ロジスティック曲線の変曲点に達していないため，封算中極限値牒の値が負になる場   合があったが，ここでは除外して考えた。  

表2Tl  

（2）データが凡／5までの場合  

デー・タが考／5までの場合，各傾向線のあてはまり状況は，図2−・2−1から図2−2−5のよう   になる◇   

この場合は，前回と同様に分散の小さい順位でくらぺると三等分法，ホタリング法，繹   数曲線，二次曲線，直線となる。図2−2−1の虐線の場合はデータが増加の速度を増し姶や   ているため，分散53．0652とあてこはまりほ悪くなっているが，その他指数曲線，ニ次曲線，  

三等分法，ホタリング法は図の上でも，分散からみても，はとんど差がなく良いあてはま   

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

ロジステ イック曲線のあてはめ紅？いて   −99二   

＊＊＊ 】上十三〉AR川NCE・ 51●D652   ● Cト10KUSFN．   122  

447  

TO1234567890123456789      1  1 ﹁・▲ ﹁・▲ l l l l l l  

1 3 6 9 1 4 6 9 2 4 7 0 2 5 8 nU つ∪ 6 ︵O 1  

1 1 2 2 3 3 4 5 L〇 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0  

1 1  

0 3 受U 4 4 8 1 4 9 2 9 8 9 1 5 6 つ︶ 8 3 0  

1 1 1 7 9 2 6 8 4 8 3 7 1 9 9 2 4 9 9 2  

9︼ 2 2 2 2 3 3 3 4．4 5 5 6 6 7 8 9 0 0 2  

●   ●  

◆  

t t 

図2−2−1 ＊＊＊・…・‥…デー一夕  

＋十巨・傾向線  

＊212121272932363844舶53訂6169用8294090922  

r⊥O 1 2 345 6 7 8 9︑U1 2 3 亀 5 6′′89   1 1 1 1 つ⊥ l−1 1 1 1  

＊＊＊  ←＋十叫RIANC∈・ ち・−叩1  

・SHISU KYOKUSEヽ…      1〜〜 1．0199；：：川◆■…■◆▼−−￣・・、・恒叫−−−t・・…叫◆・・…・ここ一小一−・−・・−−・一・・−・リ…・一小・…小・・・−・・・−・・−w・・・・・．！  

21 9  24 2 

6 3 3 6 2 2 6 4 ︵ホ  

6 9 2 5 9 3 71 Z 7  

2 2 3 3 3 4 4 5 5  

6 1 2 0 7 2 ▼㌧′ 2  

●−  

◆   

図2−2一一2  ＊＊＊  デ・一夕  

＋・＋い州…傾向線  

448   貨43巻 籍4弓  

JO∂  

12i  

214！ニ  ＋十‡V▲Rl▲N亡E†，ll−2       …2・・J▲代YOkUSEN…       ・一−−・・−・一・・−・−・……叫・・・・・・・・・・・叫…叫・・トー…・叫・・◆−・・￣◆−−■・，■▼−…●t◆一一一一◆−−●ナー−−◆−−￣￣◆Ⅰ      】  

＊03844814929891563830 ＊‖  

222223334・45566789002 111  

rO1234567890123456789      1 1 1 1 ﹁⊥ l l l l ユ  

40 0 437697   2 4 6 00 1 4 nO 2 7 2 9︶ 2 2 3 3 34 4  

図2−2−3 ＊＊＊‥1…l・…データ  

十「ト→‥‥‥・…傾向線  

÷十州＝∧脚 且．竹挿      ‥・州U8し川・・  

190；：ニ  Ⅰ  

＊03844814929891563830   ＊212121272932363844亜53576169798294109皿122 ＊   

O1234567891011詑13141516171819    r   

9042400540182293   加32353943亜53586471788594103112123  

図2−2−4 ＊＊＊岬…データ   十十・……傾向線  

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

9   ＼ 4 

ロジスティック曲線のあてはめ紅ついて  

−−JOJ−  

ヰ＋仇RIANC〔・さ■○嗅        い・椚EしLING・‥      l…  

19‖3ミ 

23い7：‥  

26．2‡ ．・ 29．0：   ■   321‡  

＊0384481492989156383   ＊21212127293236軍魂亜53甲6169798294109109 ＊‖   

TO123456789012345678      1 1 1 ﹁⊥ 1 1 11 1  

43．4も一： 48．．0；  

53‖0  

948：  

104 Z  1142  

図2−2−5 ＊＊＊……Lデータ  

＋十・……傾向練   

りをみせている。しかし，こ．れも乱数が変われば，どのような変化をするかわからないた   め，乱数を変えながら100回線り返して各傾向線のあてはめを行なった0そこで分散の平   均値と，各回で分散が最小となった回数の比率を，定数Cをかえて求めたものが，表   2−2である。表2−2に・おいて分散の小さい順位をみれば指数曲線，ニ次曲線，三等分法，  

ホテリング法，直線となっている。C＝0．05の場合，分散が最小となる比率でみると，  

指数曲線44％，ニ次曲線41％，三等分法15％という順位となり，定数Cを0・01と小  

さくすれば，三．等分法の比率が高く，0・1と大きぐすれば二次曲線の比率が高くなる◇  

即5までのデータの場合，定数Cが小さければ本来のロ汐スティック曲線と判断される   こ．とが多いが，定数Cが大きくなるに従って他の傾向線のあてはまりの方が良くなり，  

衷2−2   

第43巻 舞4号  

・−ヱ∂2−  

450  

誤った結論を出すこととなろう。   

なおホテリソグ法の場合，やほりデータが変曲点に達していないため，他の傾向線より   も悪くなっているのであろう。   

（3）データが∬／3。3までの場合   

データがK／3．3までの場合，各傾向線のあてはまわの状況ほ，図2−31から図2Ⅳ3−5の   ように．なる。  

＊＊＊ トトtVAR▲入りCEl7川l之b）ち   ＝■C＝OKUS叩＝●  

TO1234567891011121314151617181920212223飢2526272829  

1−23 3Ⅰ  

O 1 4 8 8 0 3 8 2 2 0 9 4 6 6一A▲．60 2 6 8 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5 5 5 6 7 7 8 ∩ブ O l 1 4  1 1 1 1   4 4 4 3 2 2 1 0 9 8 8 7 6 5 5 4 3 2 1 1  1 i  12345567890123456  

1 1 ﹁⊥ l l l 1   7 4 2 5 05 5 4 1 7 ハU 2 61 3 2 7 6 7 4  

0 9 8 8 7 6 5 5 4  

7 7 8 9 0 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2  

3 1 5 3 8 8 7 7 3  

5 902 5 0 5 8 9 8  4 6 7 9 2 5 5 6 1  

1 1 1 1 2 2 2 2 3  

図2−3−1 ＊＊＊れ・……ゲ一夕  

十＝‥ ・・…・傾向線  

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

ロジスティック曲線のあてはめについて   −J∂7−  

455  

表2−3  

この場合ほ，図2−3−1の場合にみられるように，デー・夕がロ汐スティック曲線の変曲点近   くまで達していて，弓状となっているため，直線のあてはまりはさらに革くなっている0   ニ次曲線把ついては，図2−3−3において見られるよう紅屈初の部分で上方紅ずれるが，後   の方はかなり良いあてはまりを示している。その他，図2−3−5のホテリング法紅よるもの   が少しずれている以外，はば良くあてほ．まっており，分散の小さい順位からみると三等分  

法，指数曲線，二次曲線，ホテリング法，境線となる。これも乱数を変えるととうなるか   を検討する。前と同様に100回乱数を変えながら各傾向線のあてはめを・行なった。そこで   分散の平均値と，各回で分散が最小となった回数の比率をCの3つの値について−求めた  

ものが表2−3である。この表から分散の小さい順位をみると指数曲線，三等分法，ニ次曲   線，ホテリング法，境線となっている。また，C＝0…05に．おいて分散が最小となった回数  

の比率は，指数曲線40％，三等分法36％，ホテリング法15％，ニ次曲線9％となって   いる。ここでは三等分法とホタリング法が本来のあてほまりを多少なりとも表わしてい   る。次に，あてはまりの最も良い回数の比率をみると，Cが0．01と小さい場合には三等   分法によるものが98％をしめるが，Cを0．1と大きぐすれば指数曲線が54％をしめ偉   大となる。このように，時間的にみてデータが変曲点の近く紅達して，曲線が急速に増   加する傾向に．あるとき，Cが大きい場合，すなわち散らばりが大きいときには，本来のロ   ジスティック曲線よりはむしろ指数曲線として判定されることが多いと考えられ皐。   

3。データの範囲を大きくした場合の傾向   

これまではデータを符／10，g／5，耳／3．3までの値，すなわち，ロジスティック曲線の変   曲点紅達しない範囲の値紅ついて，各傾向線のあてはめを試魂たが，次紅変曲点のあた  

り，あるいほ変曲点を含んで，むしろ極限値に近づいた時点までのデ「タ紅ついて検討す  

る。そのために・，データとして，∬／2と0．99好までの値をとり各傾向線のあてはめを行な   

携43巻 勢4弓  

い，前回までのあてはめと較べて，どのようなちがいがあるかを考えてノみる。   

（1）データが旦／2までの場合   

データがK／2までの場合，乱数を100回変えながら各傾向線のあて：はめを行なった。そ   こで分散の平均値と，各回で分散が最小となった回数の比率をCの3つの値について求   められたものが表3−1である。この表から，Cが0．05の場合，分散が小さい順位は三等分   法，ホタリング法，ニ次曲線，指数曲線，直線となる。また，分散が最小となった回数の   比率で見ても三等分法，ホテリング法，二次曲線となっており，ニ次曲線が最もよいあて  はまりを示すこ辛が1回あった。Cが0・01の場合を見ると，0・05よりも小さな値となっ   でいるため，当然データの散らばりが小さい。このため紅直線，指数曲線が分散最小とな   ることは見られなかった。三等分法が94％，ホチリング法が6％となり，ほとんど本来  

のロジスティシク曲線と判定されると考えてよい。つぎに．Cを0．1と散らばり惑大きくし  

た場合は，指数曲線が29％となっている。データが変曲点あたりまで存在する場合にも散   らばりが大きくなれば，やはり本来のロジスティック曲線とはならず指数曲線と判定され   ることもあることがわかる。  

C＝＝0，05  

姦警謁l比率  

岳 ＼、、定数      田 傾向線、＼＼＼、、＼＼   比 率  比 率   

患   線  15145．769    0 ％  0 ％  0 ％   

指数 曲 線  7238．982   

ニ次 曲 線    818．580   

⁰    29   

三等分埠    647．716  71    94    55   

ホタリング法    698．634  28   

1tS   表3−1  

（2）デー・タが0．99好までの場合   

データが0．99∬までの場合は，先に．も述べたようにロクスディック曲線の極限侶＝引こほ   とんど近づいた所までの値であるので，ロジスティック曲線の性質を十分紅表わしてい   る。このデータをもととして，乱数を変えながら100固練り返しあてはめを行なう。そこ   で分数の平均値と， 一各回で分散が最小となった回数の比率をCの3つの値紅ついて求め   たものが表3−2である。この表から三等分法とホテリング法が分散の平均値は他の傾向線   よりもほるか紅ノJ＼さく，最もよいあてはまりを示した。回数の比率を見ても藩嘩，指数曲  

線，ニ次曲線ほ0％である。データを0．99定まで取るとロジスティック曲線の性質が十分   

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ

ロジスティック曲線のあてほめについて   −JO9−  

457  

あらわれているので，散らばりを変化させてもはとんどの場合本来のロ汐スティック曲線   と判別されるようである。  

表3−2   4． まとめ   

傾向線のあてほめについては，我々は，あて−ほめられた曲線のまわりの分散が小さいも   のを一応傾向線として選んでいる。このような方法を用いることがこの程度有効であるか   を検討するのが本来の目的である。ここでとった方法ほ単にあてはめられた曲線のまおり   の分散の数値の大小，つまり誤差分散を比較するので，当然の事ながらその有位差を問題  

にとりあげて考えなければならないのであるが，今回は，一応大まかに．検討するため誤差  

分散の大小だけで一応の目安として考え虎。ここでロ汐スティック曲線に・誤差を入れてデ   ータを作り，最小二乗法と用いて，恐線，指数曲線，ニ次曲線を，また，ロジスティック   曲線を三等分法とホテリングの方法によりあてはめた。この場合機械的に分散が最／トに．な   るものを傾向線として受け入れるならばどのようになるかを検討してみた。そこで各回の   あてはまりが最小となった回数の比率をとり出したものが下表である。  

舶線  、＼＼、＼＼、、完1臨5臨   完1臨5臨1    C宗1臨5臨1    ●  ● ● ● ●  ●  ● ● ●   ＼＼＼ 

％ ％  ％  ％ ％   ％  ％  ％  ％  ％  ％  ％ ％  ％l％  霊姦曲琵蒼…‡1；  0  0  0   0  0  0  0  0  0  0 0 00  0岳0   34  31  44  36  54  40  0  0  0  

。…蓄1孟   48 16  56 13  41 15  1 63  25 20  9 36  0 98  29 55  1 71  9…⊇1￡   

ホタリング琴jo o  2  10  0  0  1  15  2  16  写7  6− 0  3【0  

表3−3   

この表からわかるように，データがj町10までの場合，ヂ一夕の散らばりの大小に関係   

458  

第43巻 第4号   

一丁Jの−  

なく二次曲線とうけとられる。デー・タが即5までの場合，デー・タの散らばりが大きいとき   は二次曲線，小さくなるに従。て指数曲線，ロジスティック曲線（ただし，三等分怯によ   る）となっている。データがg／3．3までの場合，データの散らばりが大きいと指数曲線と   なり，小さくなるに．従ってロ汐スティック曲線（ただし，三等分法による）とうけとら   れることが多いことがわかった。このように変曲点を含まないデー一夕紅ついてはむしろ他   の曲線が傾向線と考えられるととが多い。データが符／2まで，または，0・・99好までのよう  

にデータが変曲点を含み，ロジスティック曲線の性質を十分に・あらわすようになってはじ   めて，ロ汐スティック曲線として判別されるようである。また，ホテリング法のあて：はめ   において，パラメータmの値はいくつかの点について欄辞して二平均するという方法をとっ  

てあてはめたが，今回は電子計算機のプログラム上で，機械的紅・肌を動かし，誤差分散が   最小となる値をとって：いる。しかしながら，二≡等分法が良い結果を与える場合が多かっ   た。  

参考文献  

（1）円山由次郎，需要予測と時系列分析（1969），日本生産性太部・  

（2）舘稔，人口分析の方法（19667），古今書院・  

（3）小林竜一・，需要予測の数学（1967），至文堂・  

（4）P．G．ホーユル，初等統計学（1968），培風館・  

（5）岸根卓郎，統計学（1970），養賢堂・   

OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ