微分の公式 説明と練習・基本問題
はじめに：この解答は において入力すること。
基本問題：授業時間内に解答をレポートとして提出すること。
はじめに 解答は で
今回の問題で使われる公式
二項定理；
ここで、 は、 個 から 個のものを選ぶ組み合わせの数であり、
である。この係数には、
が成立し、これを使って、数学的帰納法を用いて二項定理を証明できる。
三角関数の加法定理；
色々な証明方法があるが、覚えやすく、簡単に計算できるのは、複素数まで関数を 拡張し、複素数が実数と同じ四則演算が成立することから、指数関数の性質、
及び、指数関数と三角関数の関係式
を利用することであろう 上の式については次回の 展開のところで述べる）。
極限；
下の図 より、三角形 、扇形 及び 三角形 の面積の大小関係を少 し変形し、不等式
が成立していることがわかる。この不等式の の極限を考えれば、最初の式を 証明できる。 二番目の式は、正確な証明ではないが、 の定義を使い、
とかけ、これを極限を求める式に代入し、 正の整数 と置けば、
で となるので、二つの極限は一つにまとめることができ、二項定理を使い、
となることから、得られる。
微分の定義；
微分の基本公式；
合成関数の微分 二つの関数 が共に微分可能である時、これらの 関数から作られる合成関数 の に関する微分は、
となる。この式は、二つの関数が微分可能であることから、十分小さい 、
とかけることを使えば容易に得られる。ここで、
を満たす関数の総称である。
逆関数の微分； の逆関数 の に関する微分は、
となる。これは上の合成関数の微分の式を使えば、 から、容易に得 られる。
の公式；
二項定理と同様に、式 を使い、数学的帰納法で証明できる の時、上の微 分の基本公式 そのもの）。
練習問題
図 三角関数の微分を求める際に持ちいる 極限を求める参考図
練 次の関数を微分の定義に従って、一 階導関数を求めよ。
定数 定数 定数
定数 定数 略解
二項定理を使うこともできるが、ここでは、
因数分解
を使えば、
となり、極限は容易に計算でき、
となる。
三角関数の公式より、
となることから、これを微分の定義式に代入し、
となる。ここで、上の極限の式 を使った。
指数関数の性質、
を使い、この関数の微分は、
となる。ここで、極限の式 を使った。
対数関数の性質より、
であるから、これを微分の定義の式の代入し、極限の式 を使い、
となる。
式 において、 と見做すと、微分の定義の式は、
となり、この極限は容易に計算でき、
を導くことができる。
基本問題
基 次の関数の一階導関数を求めよ。
ここで、
と定義され、双曲関数と呼ばれる。
基
双曲関数 及び のそれぞれの逆関数 及び
を対数関数を用いて表せ。
上で求めた逆関数の一階導関数を求めよ。
下の逆関数の微分に対する公式を用いて、一階導関数を求め、上の結果と一致する ことを確かめよ。
基 次式で定義される多項式 、
を の多項式と呼ぶ。
を計算せよ。
次式
を証明せよ。
必要ならば で証明した式を使って次の式を証明せよ。
で証明した つの式を使って、 階の微分方程式
が成立することを証明せよ。
を
と定義するとき、 が 階の微分方程式
を満たすことを示せ（ の多項式は、量子力学で調和振動子の波動関数等に利用さ れる）。
