解答例＋引用題 理系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

[ \ 平面において半円 [ \ _{\≧の内側が鏡になっているとする。図} のように定点 より[軸となす角Tで光線が発射され 回半円に反射したの ち[軸上の点3を通過したとする。

このような状況が起こるためのTの範囲を求め よ。

3の座標をTを用いて表せ。

Tがの範囲を動くときの 3 の動く範囲を求 めよ。

3

2

[ \

2000 東京工業大学 前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

極座標表示された複素数] U FRVT LVLQ T が ] ＜ を満たすための必要

十分条件をUとTを用いて表せ。

Qを自然数とするとき ] ]Q _{をU T Qを用いて表せ。} 複素数]が ] ＜ を満たすならば すべての自然数Qに対し

] ]Q _＜

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2000 東京工業大学 前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

Q は 以上の自然数とする。関数\ H[_{……ア \ H}Q[ _{……イについて以}

下の問いに答えよ。

アとイのグラフは第象限においてただ一つの交点をもつことを示せ。 で得られた交点の座標を DQ EQとしたとき OLP_Qo∞DQと_QOLP_o∞QDQを求めよ。 第象限内でアとイのグラフおよび\軸で囲まれた部分の面積を6Qとおく。

このとき OLP

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１ 問題のページへ

$ % とおく。

まず $から光線が発射され半円で回反射し て% に到達するときT S

となる。また 回反

射して%に到達するときT S

となる。

よって条件を満たすTは S T S

＜ ＜である。

‘$2& ‘&2' S Tより

‘'23 S ST T S ‘'32 S T T S S T

△'32に正弦定理を適用して 23

VLQT VLQST

23

VLQ

VLQSTT VLQVLQTT

点3は[軸上の負の部分にあるので 3 VLQ

VLQTT となる。

L _{として FRV VLQ FRV VLQ FRV VLQ}

T_L T T_L T

¦

N N N N

N

&

VLQ_{T &} FRV VLQ_{T T &} FRV VLQ_{T T &} VLQ_T

_{FRV VLQT TFRV VLQT TVLQT}

より [

VLQ

VLQ FRV FRV VLQ VLQ

T

T T T T T

_{FRVT FRV T FRV T FRV T}

FRV T FRV T _{FRV T}

より S T S

＜ ＜ なので＜FRVT＜

≦ FRV T ＜ か

ら＜ ≦[ となる。すなわち点3は[軸上の＜ ≦[ の部分を動く。

［解 説］

やや直観的すぎるかもしれませんが は最初に考えたように書きました。また は微分するとたいへんな計算になりましたので方針転換した後の解です。

2000 東京工業大学 前期日程 解答解説

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２ 問題のページへ

] ＜ より ] ＜ なので ] UFRVT LUVLQT から

U＞よりUFRVT＜

L ] のとき  _{] ]}Q _{Q Q}

LL ] zのとき 

] ] ] ] ] ]

Q Q Q

^

`

]Q UQ _FRVQ_T L_VLQQ_T

UQ _FRVQ _T LUQ _VLQQ _T

^

` ^

`

U Q UQ _FRVQ _T ] U U_FRVT

したがって ] ]Q

U U Q

U U Q Q FRV FRV T T

より ] ]Q _＜⇔ U U Q

U U Q Q FRV FRV T T ＜

⇔ U Q UQ_FRVQ_T＜UU_FRVT

⇔ U Q UQ_FRVQ_TU U_FRVT＜

⇔ U U Q U U

^

`

ここでより ＜ ＜U FRVT≦なのでUQ _{＜ となりU U} Q _＜ またUQ _FRVQ_{T FRVT＞}UQ _FRVQ_T U U U_≧ Q_＞

^

`

U UQ _FRVQ_{TFRVT ＜}

以上よりU U Q U U

^

`

すなわち ] ＜のとき ] ]Q _{＜が成立する。}

［解 説］

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３ 問題のページへ

断面の直角三角形の つの頂点 & を三角柱の底面上にお き $' D %( Eとして右図のように設定する。

$& D _{%& E}

$% D E

≦E≦D≦とすると $&が最大辺となり ‘ q% とな

る。

三平方の定理を適用してD E D E

_{E DE D E}

E

すると≦E≦E E

≦より _{E E ≦ となり}

_{≦ ≦E}

このとき△$%&の面積を6とすると

6 E D E E

E

E _E

ここで I E E

E

とおくと Ic E E E

E E

さて I E

E

と変形

すると

≦I E ≦ となるので ≦ ≦6 より

≦ ≦6

［解 説］

E r

のとき I E の値をそのまま計算するとたいへんそうなので工夫をし

ました。しかしいま考えるとI E E

E

と設定したほうがよかったかもしれま

せん。

$ & % D _E ' (

E … …

c

I E _{− ＋}

I E

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４ 問題のページへ

\ H[_{……ア \ H}Q[ _……イ

アイより H[ HQ[ _HQ[ _H[

I [ HQ[ H[ とおくと

^

`

c

I [ QHQ[ H[ H QH[ Q [

[≧ において Q ≧ よりQHQ[_{≧ ＞ なので}Q _{Ic [ ＞}

となり I [ は単調増加となる。

また I ＜ さらに I

Q H HQ ≧H H

こ こ で H H H H

H_＞H_{から I}

Q ＞ である。

以上より I [ は ＜[＜

Qにおいてただ一つの解をもつ。すなわち ア

とイのグラフは第象限においてただ一つの交点をもつ。 より ＜ ＜DQ _Qなので OLP_Qo∞DQ

アイよりEQ HDQEQ HQDQ

HDQ HQDQ QD H

Q ORJ DQ

OLP OLP ORJ ORJ

Q Q Q

D

QD H Q

o∞ o∞

6

^

`

>

@

QH [

Q [ Q[

DQ _{[ Q[} DQ

³

Q

Q Q

Q6Q Q HD HQD QDQ H _D QD H QD

D

Q Q

QD

Q

Q Q Q ˜ Q

よりQ→∞のとき DQ oよりH _D D

Q

Q o

さらにQDQ o ORJ なので

OLP ORJ ORJ ORJ ORJ

Qo∞Q6Q ˜ H

［解 説］

最初 I

Q ＞ の代わりに OLP [o∞I [ ∞からの結論を導きましたがそれで はの OLP

Qo∞DQが求まりません。このQOLPo∞DQの値がであることはグラフから明らか なのでいっそう手間取りました。