微分の応用 説明と練習・基本問題
はじめに：この解答は において入力すること。
基本問題：授業時間内に解答をレポートとして提出すること。
はじめに 解答は で
今回の問題で使われる公式
関数 が極値をとる点
ならば増加関数 ならば停留点 ならば減少関数 変曲点
ならば下に凸 ならば変曲点 ならば上に凸 の定理
を満たす が少なくとも一つ存在する。ここで、最後の項は剰余項と呼ばれる。
付近の 級数
グラフの概略図
級数についての説明
関数 の性質がよく分からない時、よく知っている関数で表すできれば、例えば近 似計算をする時など、非常に便利である。ここでは、厳密な証明は微積分Ⅰの講義に任せ、
級数のように書けることを思わせる説明にとどめる。そこで、べき関数
で展開できるとする 勿論、厳密な証明では、何故展開できる証明が必要だ か、それは微積分Ⅰの講義譲り、ここでは省略する）；
無限和なので、この和が収束するかどうか調べる必要があるが、まず、係数 を決定す ることに専念しよう。微分を利用する。
であるから、 階微分は、
となる事を使って、上の展開式を微分し、 での値を計算すると、
となり、この式から、
となる。これを展開式 を 級数と呼ぶ。
練習問題
練
関数 のグラフの概略図を書け。
解答
上の関数 の一階、二階の導関数を求めると、
となり、各導関数が零となる の値や、 での関数の極限値に注意し、
となり、この表から、求める概略図は、下の あ ～ お の内、 である。
あ い う
え お
図 練 の概略図の選択肢 練
次の関数の の周りの 級数を求めよ。
指数関数の微分の公式から、 であり、 級数は、
となる。
三角関数の微分の公式より、 の高次の導関数を計算でき、それらの の 値は、偶数 、奇数 に分けて、
となる。これを 級数に代入し、
を得る。さらに、三角関数の公式を使い、 と の 級数は、
となる。
これらの関数の 級数の結果を使い、実数 で定義された指数関数 の を複 素数に拡張することを考えた時、複素数は実数と同じ四則演算を満たすので、実関数で 求められた 級数の変数 複素数に置き換えたものとして定義できる。これに従え ば、 であることを使い
となる。
基本問題
基 関数 の 付近の 級数を以下の方法で求めよ。
の 階微分の の値を とするとき、
が成立することを示せ。
図 関数の 展開による近似
の値を求めよ。
を求め、 付近の 級数を求めよ。
基 のグラフを求め、それを利用し、不等式、
を証明せよ。
基 である時、不等式
を、以下の順序で証明せよ。
関数 を
定義したとき、
であることを示せ。
の場合、三角関数の性質、各関数の での値に注意し、
であることを示せ。
数学的帰納法を使い、
を証明し、その結果から、証明すべき不等式を示せ。
