積分の定義と公式 説明と練習・基本問題
はじめに：この解答は において入力すること。
基本問題：授業時間内に解答をレポートとして提出すること。
はじめに 解答は で
定積分の定義と公式
定積分の定義（区分求積法）
ここで、
である。
関数 の定積分は、微分して になる関数 、
を用いて、
とかける。このことから、次の二つの公式を得る。
部分積分
置換積分
ただし、関数 は区間 において単調関数であるとする。
練習問題
練 次の積分の定義（区分求積法）より計算せよ。
（
略解
の場合を考える。 の時は、変数をずらすことにより、積分の下限を正にする ことができるので、このように制限しても一般性を失わない。区分求積法より、
と書ける。十分大きい に対して、 であるので、
より、
となる。また、
であるから、上の不等式と合わせて、
という不等式が成立する。各辺の を から まで和をとると、両端の和は簡単に 計算でき、
となる。ここで、 であることを使った。ここで、 即ち の 極限を計算すると、
となる。
区分求積法より、問題の定積分は
と書ける。 で求めた不等式 から、同様にして得られる、
不等式の各辺を から まで和とると、左辺、右辺の和は簡単に計算でき、
さらに、極限 をとると、
となる。
練 次の定積分を求めよ。
は正の整数 略解
であり、指数関数の微分の公式より、
なので、
となる。
なので、
となる。
と置くと、
となるので、置換積分の公式より、
を得る。
とおくと、
であり、したがって、求めるべき定積分は、
となる。ここで、三角関数の公式、
を使った。
上の部分積分の公式において、
とおくと、
となることがわかる。
基本問題
基 次の積分の定義（区分求積法）より計算せよ。
基 次の積分を計算をせよ。
基 が正の整数であるとき、次の式を証明せよ。
関数 をガンマ関数と呼ぶ。
関数 をベータ関数と呼ぶ。
基 積分
を次の順序で求めよ。
の時、
と展開できることを使い
と書ける事を示せ。
積分変数を変換し、
となることを示せ。ここで、 は の 関数と呼ばれ、
である。
