レポート提出について： 第３回レポート問題（いよいよ
- δ だ！）：

５月１１日：今日からのメインテーマは極限を厳密に扱うこと，です．ただし，中間テスト（６月１日）まで に扱うのはその前半で，実数の詳しい性質を必要としない部分です．

前回のレポートについて：少し難しかった，詳しい解答を勉強したい，などの要望もありました．ただ，今回 はこの講義ノートで手一杯で，解答まで打ち込むことができません．来週，必ず解答を作って，レポート（TA の人が採点）と一緒に返しますから，お待ちください．

同様に，「祝入学レポート」も（個々のコメントがまだなので）今日は返せません．申し訳なし．

用語について：以下では「任意の○○」という言葉が頻出しますが，これは「すべての○○」とか「どんな○

○をもってきても」の意味です．ちょっと感覚的に違和感があるかもしれないけど，覚えて下さい．

第３回レポート問題（いよいよ ²-δ だ！） ：

今回の問題は全員がやって下さい．九重研修もあって大変だけど，頑張れ！

問

4：

N(²)

a) lim

n→∞

2n + 1

n + 1 b) lim

n→∞

1 log(n + 1) ,

問

5：

a n = 1 + 1

n

1

問

6：

a n

n → ∞

n→∞ a n = α

lim n→∞ a n = β

α = β

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

16

3-312）の前の封筒（箱？）に

入れてください．整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

—————————————————-以下，レジュメの続き —————————————

2 極限の厳密理論

お待たせしました！これからしばらく，極限を厳密に定義することから始めて，極限，微分，関数の連続性など について学んでいきます．この節が終わる頃には今までにごまかしていたことの大半がきちんとわかるようになっ ているはずです．

（お断り）極限を扱う場合には「デデキントの切断」というものを通して，「実数の連続性」を学び（定義し），そ れから極限の定義におもむろに入っていく必要があります．なぜなら，「実数とは何か」がはっきりしない限り，実 数の極限なども議論できないからです．しかし，「実数の連続性」はかなり抽象的で，それがどこで極限と結びつく のかがそれほど明らかではありませんし，かなりとっつきにくい題材でもあります．そこで，この講義では「実数 の連続性」は後回し（多分，６月上旬）にし，皆さんが日頃持っている実数の感覚に基づいて，ともかく「極限と は何か」をわかることを目指します．

2.1

（この節の内容は，教科書の定義

1.5.1

1.5.2

1.4

まずは数列の極限を考える．数列の方が関数より簡単なはずだから，まずここで

²-N

n→∞ lim a n = α

n

n

α

などという「定義」を聞いたのではないか？この定義は特に間違ってはいないし，これで十分な場合はこれでやれ ば良い．しかし，この言い方はやはり困ったものである．

まず，「限りなく近づく」「限りなく大きくなる」の言い方には「限りなく」という感覚的な言葉が入っていて，あ やふやだ．次に，「近づく」「大きくなる」などの「動き」が何となく入っており，考えにくい．もっと困ったこと に，この言い方には「どのくらい速く極限に収束するのか」の 収束の速さ に関する言及が全くない．そのため，少 しややこしい極限

—

⁴ —

2.1.2

これらの欠点を克服すべく，極限への収束の速さまで含めた，定量的な定義が考えられた．これが

²-N

定義

2.1.1

a n

α

a n

n → ∞

α

lim

n→∞ a n = α

以下の（ア）が成り立つことと定義する：

（ア）任意の（どんなに小さい）正の数

²

N(²)

すべての

n ≥ N(²)

¯

¯ a n − α ¯

¯ ≤ ²

(2.1.1)

（ア）は数式では

∀² > 0 ∃N(²) n ≥ N(²) = ⇒ ¯

¯ a n − α ¯

¯ ≤ ² (2.1.2)

となる．

この定義の最大の眼目は，極限という無限（ゼロ）の世界を扱っているのに，ゼロでも無限でもない，有限の

²

N

その

N

²

4俺はそんなもん考えたくないわ，と思った人は考えを改めよう．皆さんが高校でやってきたはずの「定積分」の存在を証明するだけでも，

このような極限の問題が生じる．詳しくは秋学期に

上の定義は，ある程度は自分でいろいろとやってみない限り，良くはわからないだろう．でも，以下のように考 えれば少しは納得できるかもしれない．

１．「いくらでも大きくなる」（無限大になる）の表現． まず，「無限大」（一番大きい数）などは存在しない，こと を再確認しよう．なぜなら，一番大きい数があったとしても，それに

1

「nが無限大」とは「nがどんどん大きくなる状態」などととらえるしかない．これを有限の量のみを用いて表した 結果が，「どんなに大きな

N

n

N

この表現には有限の

N

N

= 10 ⁴

N = 10 ¹⁰

N = 10 ¹⁰⁰

N

２．「いくらでも近づく」の表現． 数列

a n = 1/n

→ ∞

n

ものの表現にも注意が必要だ．ここも「nが無限大」と同様に，有限の量で表したい．その結果が，「どんなに小さ

な

² > 0

ここにも有限，かつ正の

²

²

= 10 ⁻⁶

² = 10 ⁻¹⁴

² = 10 ⁻²⁰⁰

²

n − α

３．N と

²

⁵

a n

α

|a n − α|

n

「²

= 0.0001

100

100

|a n − α| < 0.0001）

「²

= 10 ⁻⁶

20000

20000

|a n − α| < 10 ⁻⁶

「²

= 10 ⁻¹²

10 ²⁰

「そしたら

² = 10 ⁻¹⁰⁰

10 ³⁰⁰

      ．．．

などといくらでも細かくしていけるかどうかを問うている訳だ．これがいくらでも小さい（つまり「任意の」）² >

0

lim

n→∞ a n = α

４．Nと

²

²-N

²

n

α

n − α

a n − α

² ≈ |a n − α|

が出る」構図である．ところが，²-N論法では順序が逆だ：「どんなに小さな

²

N(²)

となっていて，²が先，Nが後．

この順序の逆転の理由は，以下のような例を考えるとわかるかもしれない．今，以下の３つの数列を考える（n

= 1, 2, 3, . . .）

a n = 1

n , b n = 1

log(2 + log(2 + log n)) , c n = 1

log(2 + log(2 + log n)) + 10 ⁻⁸ (2.1.3)

n

5学習院大学の田崎晴明氏の用語

n 1 10 100 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵ 10 ⁶ 10 ⁸ 10 ¹⁶

a n 1 10 ⁻¹ 10 ⁻² 10 ⁻³ 10 ⁻⁴ 10 ⁻⁵ 10 ⁻⁶ 10 ⁻⁸ 10 ⁻¹⁶

b n 1.00938 0.80577 0.73645 0.69834 0.67321 0.65494 0.64084 0.62006 0.57692 c n 1.00938 0.80577 0.73645 0.69834 0.67321 0.65494 0.64084 0.62006 0.57692

a n

n

c n

n

n

はゼロに行かないはずだが，それもここまでの

n

この例からわかるのは「同じ

n

n

1/n

n

log

n

c n

10 ⁻⁸

となれば，N よりも

²

a n − α

n

²

²-N

2.1.2

ます，この定式化の威力を理解してもらうため，教科書（p.27）にも載っているわかりやすい例を述べておく．

命題

2.1.2

a n

b n = 1 n

X n

k=1

a k

lim

n→∞ a n = α

lim

n→∞ b n = α

この命題の証明を，各自で高校までの定式化で試みると良い．b

n

n

問： ともかく，いろいろな例で納得することが大切だ．以下の数列が

n → ∞

(²)

n = 1, 2, 3, . . .

a n = 3, b n = 1

n , c n = 1

√ n , d n = 1

n ² + 1 (2.1.4)

e n =

 



1

10, 10 ² , 10 ³ , 10 ⁴ , 10 ⁵ , 10 ⁶ , . . .

0

(2.1.5)

(2.1.3)

→ ∞）

f n = n + 3

n , g n = sin n

n , h n = √

n + 1 − √

n (2.1.6)

祝入学レポートについて

これまでの定義に従うと，0.9999

. . . = 1

0.9999 . . . = lim

n→∞ 0. 999 . . . , 999

| {z }

9

n

(2.1.7)

という極限と解釈したら，の話である（上の解釈で，実際に

0.9999 . . . = 1

0.3333 . . . = 1

3

(2.1.8)

0.3333 . . . = lim

n→∞ 0. 333 . . . , 333

| {z }

3

n

(2.1.9)

のことだろうと思われるが，これを３倍するということは

n→∞ lim a n = α = ⇒ lim

n→∞ 3a n = 3α (2.1.10)

をやっていることになる．これはアタリマエに見えるかもしれないが，証明を要することだ（元気のある人は

(2.1.10)

2.2 ²-δ

（この節の内容は教科書の

1.4

前節では数列の極限，つまり，nが無限大になったときに

a n

x

x 0

(x)

定義

2.2.1

f (x)

a, b

(x)

x → a

b

lim

x→a f (x) = b」というの

（イ）任意の（どんなに小さい）正の数

²

δ(²)

0 < |x − a| ≤ δ(²)

x

¯

¯ f (x) − b ¯

¯ ≤ ²

(2.2.1)

（イ）は数式では

∀² > 0 ∃δ(²) > 0 0 < |x − a| ≤ δ(²) = ⇒ ¯

¯ f (x) − b ¯

¯ ≤ ² (2.2.2)

となる．

（注）上の定義には

|x − a| > 0

= a

f (x)

a

(x) = f (a)

この定義にも

²-N

•

², δ

• ², δ

a

(x)

α

• ²

²-N

α

δ(²)

ここも，いろいろな例をやることで感覚を身につけよう．

問：以下の極限を，定義に従って求めよ．

1) lim

x→0 x, 2) lim

x→0

³

x ² − 2x + 3

´

, 3) lim

x→1

³

x ² − 2x + 3

´

. (2.2.3)

もうちょっとひねった例：

4) lim

x→0

1

1 + x , 5) lim

x→1

x ² − 1

x − 1 , 6) lim

x→0 sin 1

x , (2.2.4)

2.2.1

x→a lim f (x) = b

くるものについては，

•

lim

x→∞ f (x) = b

0

L(²)

x

|f (x) − b| < ²

• lim

x→−∞ f(x) = b

0

L(²)

−L(²)

x

|f (x) − b| < ²

• lim

x→a f (x) = +∞

M > 0

δ(M )

|x−a| < δ(M )

x

f (x) > M

• lim

x→a f (x) = −∞

M > 0

δ(M )

|x−a| < δ(M )

x

f (x) < −M

•

lim

x→∞ f (x) = ∞

lim

x→−∞ f (x) = ∞

ここで更にもう一つ，片側からの極限も定義しておく．いうまでもなく，単に

lim

x→a

a

• lim

x→a+0 f (x) = b

x > a

a

0

δ(²) > 0

< x − a < δ(²)

x

|f (x) − b| < ²

•

lim

x→a−0 f (x) = b

a

x < a

a

具体的に書くと，「どんな（小さな）² >

0

δ(²) > 0

< x − a < 0

x

|f (x) − b| < ²

なお，欧米では

lim

x→a+0

lim

x→a

lim

x→a−0

lim

x→a

lim

n→∞ a n = α

lim

x→a f (x) = b

問：以下の式を，極限の定義に戻って証明せよ（教科書

p.18

1.4.7）．

x→∞ lim e ^x = ∞, lim

x→−∞ e ^x = 0, lim

x→∞ log x = ∞, (2.2.5)

x→+0 lim log x = −∞, lim

x→0

e ^x − 1

x = 1, lim

x→0

sin x

x = 1, (2.2.6)

x→∞ lim x ^α = ∞, lim

x→+0 x ^α = 0,

0） (2.2.7)

x→∞ lim x ^α = 0, lim

x→+0 x ^α = ∞,

0） (2.2.8)

x ^α = e ^{αlog x}

e ^x

log x

x