第１回レポート問題：

４月２０日：今日は高校での微積分とその延長．

x ≥ 0

(non-negative)」，x ≤ 0

(non-positive)」ということがある．

A := B

B

f (x) := x ²

第１回レポート問題：

問

1

a)

∫

x arcsin x dx b)

∫

(cos x) ² dx

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

4

24

3-312）の前の箱（のようなもの）に

入れてください．整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

僕の都合，またお休みの入り方などにより，レポートの提出方法や提出期限は回によってコロコロと変わる可 能性があります．申しわけないけど，毎回ちゃんとチェックして下され．

４月２７日：今日はこの前の続きで，「関数を多項式で近似すること」です．前回も強調しましたが，今やって いる方法は少し回りくどいもので，今学期の最後の方でもっと良いやり方を示します．しかし，このような回 りくどい方法はどんな時にも（というと言い過ぎだが、大抵の場合に）使えるので，知っておいても損はあり ません．また，より高度な方法をやる場合の足がかりにもなってくれることを期待しています．このトピック が少し浮いているのですが，高校までのまとめのつもりでやって下さい．

連休が明ければ，本格的に大学の数学（極限の厳密理論）をやる予定です．

第２回レポート問題：

お題は「指数関数

e ^x

3

問

2

arctan y

tan x

log x

e ^x

(1)

1 + x = e ^log(1+x) = exp

(

log(1 + x) )

(1)

^...

exp( · · · )

x)

log(1 + x) = x − x ² 2 + x ³

3 − x ⁴ 4 + x ⁵

5 − · · · (2)

である．そこで

e ^y = a 0 + a 1 y + a 2 y ² + a 3 y ³ + · · · (3)

(1)

a 0 , a 1 , a 2 , . . .

· · ·

x ³

x ⁴

(2)

x ⁰ , x ¹ , x ² , . . .

₀ , a ₁ , a ₂ , . . .

a 0

a 3

a 4 , a 5

e ^x

問

3 ^∗

指数関数はそもそも，「微分しても自分自身」ということで定義した．つまり，

d

dt e ^t = e ^t . (4)

この両辺を積分してみると

e ^x − 1 =

∫ x 0

(e ^t )

dt =

∫ x 0

e ^t dt

e ^x = 1 +

∫ x 0

e ^t dt (5)

が得られる．右辺にも指数関数が出ているので，右辺をそのまま積分したら右辺も

e ^x

e ^x

そこで以下のように強引に議論してみよう．（以下の議論は穴だらけで 厳密ではない．だから，以下の議論のええ 加減さを，間違っても「大学の数学」とは思わないこと！！ただし，１年の終わり頃には以下の議論がある意味で厳 密化できることがわかるだろう．）

(1)

= 0

e ⁰ = 1

e ⁰ = 1

x

ロに近い場合，(5)右辺の積分中の

e ^t

e ⁰ = 1

e ^t

1

(5)

f 1 (x)

f ₁ (x) := 1 +

∫ x 0

1 dt (6)

馬鹿にするなといわれそうだが，上の積分を行って

f ₁ (x)

(2)

f 1 (x)

x

e ^x

(5)

e ^t

f 1 (t)

f ₂ (x)

f 2 (x) := 1 +

∫ x 0

f 1 (t)dt (7)

f 1 (x)

e ^t

1

f 2 (x)

₁ (t)

₂ (x)

f ₁ (x)

(3)

f 3 (x), f 4 (x), . . .

_n (x)

_n+1 (x)

f _n+1 (x) := 1 +

∫ x 0

f _n (t)dt (8)

と定義するのだ．一般の

f _n (x)

= 2, 3, 4, 5

(4) n

e ^x

→ ∞

f _n (x)

e ^x

e ^x

(5)

n → ∞

f n (x)

e ^x

→ ∞

f _n (x)

e ^x

（注）ここでやった方法は「微分方程式」を解く際の「逐次近似法」の特殊な場合にあたる．この種の方法は原 始的ではあるが，（高級な理論が使えないような場合も含めて）ほとんどすべての場合に使え，最後の切り札として 重宝する．これから高級な理論ばかりを習うことが多いと思われるので，敢えて泥臭い方法を紹介した．

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

7

17:00

24

3-312

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

—————————————————先週のレポートの略解 —————————————

問

1

２つめの積分は：

∫

(cos x) ² dx = 1 2

∫

(1 + cos 2x)dx = x

2 + sin 2x 4 + C

C

また１つめは部分積分を用いて

∫

x arcsin x dx = x ²

2 arcsin x −

∫ x ² 2

√ 1

1 − x ² dx

であるが，第２項はまたもや部分積分で

∫ x ²

√ 1 − x ² dx = −

∫ x × d

dx

√

1 − x ² dx = − x √

1 − x ² + ∫ √

1 − x ² dx

x = sin θ

∫ √ 1 − x ² dx =

∫

(cos θ) ² dθ = arcsin x + x √ 1 − x ² 2

と計算できるので，最終的に

∫

x arcsin x dx = x ²

2 arcsin x + x √ 1 − x ²

4 − arcsin x 4 + C

（注意１）三角関数の積分や倍角公式が怪しい人が何人かいました．ついうっかり，だとは思うけど，しっかりして 下され．

（注意２）y

= arcsin x

x = sin y

cos y

x

cos y = ± √

1 − (sin y) ² = ± √

1 − x ²

arcsin x

| y | ≤ π/2

y

cos y ≥ 0

つまり，ここでは

cos y = + √

1 − x ²

（注意３）非常に多くの人が以下のような解答をしていました．これは誤りではありませんが，不充分です（以下に 解説）．ともかくその解答とは：

y = arcsin x

= sin y

dx = cos y dy．よって

∫

x arcsin x dx =

∫

(sin y) y (cos y) dy = 1 2

∫

y sin(2y)dy

= − 1 2 y × 1

2 cos(2y) + 1 4

∫

cos(2y)dy = − y

4 cos(2y) + 1

8 sin(2y) + C

= − 1

4 arcsin x cos(2 arcsin x) + 1

8 sin(2 arcsin x) + C

というものです．ここまでは全く問題ありませんが，ここで終わってしまったのが良くない（cos(2 arcsin

x)

sin(2 arcsin x)

x

arcsin x

arcsin x

cos

sin

x

実際，

sin(2 arcsin x) = sin(2y) = 2 sin y × cos y = 2x × √

1 − x ² = 2x √ 1 − x ²

cos y = √

1 − x ²

cos(2 arcsin x) = cos(2y) = 1 − 2(sin y) ² = 1 − 2x ²

∫

x arcsin x dx = − 1

4 arcsin x (1 − 2x ² ) + 1

8 × 2x √

1 − x ² + C

５月１１日：今日はいよいよ，²-Nです．山場だから，心して学習するように．教科書も該当部分はきちんと 読み，練習問題もする事．

新居さんからの伝言：「数学入門の中間テスト略解にミスプリがありました．問４

(a)

(b)

第３回レポート問題：

²-N

問

4

² > 0

(a)〜(d)

²

(a) (すべての ² > 0

| a − b | < ²) = ⇒ a = b (b) (

² > 0

| a − b | < ²) = ⇒ a = b (c) (すべての ² > 0

x > 2 − ²) = ⇒ x ≥ 2 (d) (すべての ² > 0

x > 2 − ²) = ⇒ x > 2

問

5

n

n

n

n

1) ¯¯ ¯ n

n + 2 − 1 ¯¯ ¯ < 10

²

n

2) ² > 0

¯¯ ¯ n

n + 3 − 1 ¯¯ ¯ < ²

n

²

3) ² > 0

¯¯ ¯

√ n 1 + √

n − 1 ¯¯ ¯ < ²

n

²

問

6

a n :=

√ n 1 + √

n

= 1, 2, 3, . . .）の n → ∞

(²)

5

問

7：

a _n

a n :=

 



1

k

n = 2 ^k

0

この

{ a _n }

番外問題：（前回と同じ．感想や改善の要望など，あれば書いて下さい．）

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

16

18:30

24

3-312

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

—————————————————先週のレポートの略解 —————————————

問

2

(1)

(1)

(1)

(1)

log(1 + x) = x − x ² /2 + x ³ /3 − · · ·

x ³

1 + x = a ₀ + a ₁ (

log(1 + x) )

+ a ₂ (

log(1 + x) ) 2

+ a ₃ (

log(1 + x) ) 3

+ a ₄ (

log(1 + x) ) 4

+ a ₅ (

log(1 + x) ) 5

+ · · ·

= a ₀ + a ₁ (

x − x ² 2 + x ³

3 − x ⁴ 4 + x ⁵

5 − · · · )

+ a ₂ (

) ² + a ₃ (

) ³ + a ₄ (

) ⁴ + a ₅ (

) ⁵ + · · ·

= a ₀ + a ₁ x + ( − a ₁

2 + a ₂ )

x ² + ( a ₁

3 − a ₂ + a ₃ )

x ³ + ( − a ₁

4 + 11 12 a ₂ − 3

2 a ₃ + a4 )

x ⁴ +

( 1 5 a ₁ − 5

6 a ₂ + 7

4 a ₃ − 2a ₄ + a ₅ )

x ⁵ + · · · (1)

(2)

a 0 = 1, a 1 = 1, − a 1

2 + a 2 = 0, a 1

3 − a 2 + a 3 = 0, − a 1

4 + 11 12 a 2 − 3

2 a 3 + a4 = 0, 1

5 a 1 − 5 6 a 2 + 7

4 a 3 − 2a 4 + a 5 = 0 (2)

が得られるので，これから

a ₀ = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1

2 , a ₃ = 1 6 = 1

3! , a ₄ = 1 24 = 1

4! , a ₅ = 1 120 = 1

5! (3)

が順次得られる．（十人近く，a

₅

_n = 1/n!

(??) e ^x ≈ ∑

n=0

x ⁿ

n! (??) (4)

が予想される．この最後のところは

n = 4, 5

なお，上では

a ₅ = 1/5!

n

^x

問

3：

(1)〜(3)

f 1 (x) = 1 + x, f 2 (x) = 1 + x + x ²

2 , f 3 (x) = 1 + x + x ² 2 + x ³

6 (1)

などと計算できる．ここまでくれば，

f n (x) = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + · · · + x ⁿ

n! (2)

と仮定してみると

f _n+1 (x) = 1 +

∫ x 0

(

1 + t + t ² 2! + t ³

3! + · · · + t ⁿ n!

)

dt = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + · · · + x ⁿ

n! + x ⁿ⁺¹

(n + 1)! (3)

f n (x) = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + · · · + x ⁿ n! =

∑ n j=0

x ^j

j! (4)

が証明された．

(4)

n → ∞

(??) e ^x ≈ ∑

j=0

x ^j

j!

(??) (5)

が 予想 できる．

(5)

「積分型剰余項」のもの）の理論を使うと，高校のレベルでも理解できるのではあるが．．．．

５月１８日：²-δです．引き続いて心して学習するように．教科書も該当部分はきちんと読み，練習問題もす る事．

問

8：

1) 0 < ² < 1

| x ² − 1 | < ²

x

2) | x ³ + 2x − 3 | < 10

³

x

3)

0

| x − 1 | < δ

| x ³ + 2x − 3 | < ²

δ > 0

²

δ

—

δ

—

4) lim

x

1 (x ³ + 2x)

問

9： lim

x

1 (x ⁴ + x ³ + 2x ² + x)

²-δ

δ(²)

², δ

²

番外問題：（前回と同じ．感想や改善の要望など，あれば書いて下さい．）

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

23

24

3-312）の前の箱に

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

—————————————————先週のレポートの略解 —————————————

問

4：

(a)

(c)，正しくないのは (b)

(d)．予想外にできが良くありませんでしたね．

(a)

(a 6 = b) = ⇒ ( ∃ ² > 0 | a − b | ≥ ²)

ですね（ここのところ，怪しい人は十分に反省して新居さんの講義を復習すること！）．さて，a

6 = b

² = | a − b | /2 > 0

| a − b | > ²

ここのところは，わざわざ対偶と言わずに以下のように議論しても良いだろう．単に上の対偶の議論を言い換え たに過ぎないけど．

もし

a 6 = b

= | a − b | /2

| a − b | < ²

6 = b

² > 0

| a − b | < ²」が成り立たない．ということは命題の条件を満た

a, b

a 6 = b

= b

a, b

= b

(b) a 6 = b

² = 2 | a − b |

| a − b | < ²

a = b

(c) (a)

もし

x < 2

² = (2 − x)/2

x > 2 − ²

2

≥ 2

「

² = (2 − x)/2

x > 2 − ²

α = 2 − x > 0

= (2 − x)/2 = α/2

x > 2 − ²

2 − α > 2 − α/2 ⇐⇒ 0 > α/2 ⇐⇒ α < 0

となって，これは

α > 0

= (2 − x)/2

x > 2 − ² ⇐⇒ x > 2 − (2 − x)/2 = 1 + x/2 ⇐⇒ 2x > 2 + x ⇐⇒ x > 2

x < 2

(d) x = 2

x > 2 − ² ⇐⇒ 2 > 2 − ² ⇐⇒ 0 > − ² ⇐⇒ 0 < ²

であって，これは

² > 0

x = 2

2

注意

•

• (a), (c)

• (a)

a, b

6 = b

a, b

| a − b | ≥ ²

² > 0

a, b

•

x > 2

x > 1

つまり，

x > 2 = ⇒ x > 1

は正しい命題です．一方，x >

1

x > 2

x > 2

x

1

x

x

問

5

1) _n+2 ⁿ − 1 = − _n+2 ²

n

²

n+2 < 10

²

+ 2 >

2 × 10 ² = 200

n > 198

2)

²

3

² − 3

0

3) 1 1 + √

n < ²

n >

( 1

² − 1 ) 2

が条件となる．（うるさいことをいうと，これは

² ≤ 1

1

n

O.K.）

注意：どうも絶対値の扱い方がうまくないですなあ．

n > 0

1)

| _n+2 ⁿ − 1 | = | − _n+2 ² | =

²

n+2

なんだから，絶対値は簡単にはずれる．(2)や

(3)

±

問

6

N (²)

（無味乾燥な答え）任意の

² > 0

N (²) = ( 1

² − 1 ) 2

（これが負の時は，

N(²) = 1

と決めよう．すると，n > N(²)では

¯¯ ¯ a _n − 1 ¯¯ ¯ = 1 1 + √

n < 1 1 + √

N(²) = 1

1 + 1/² − 1 = ²

lim

n

a _n = 1

²-N

lim

n

a _n = 1

（

N(²)

[5]

3)

| a n − 1 | < ²

n

[5]

3)

( 1

² − 1 ) 2

であった．これから直ちに，

N(²) = ( 1

² − 1 ) 2

ととれは充分である事がわかる．

（注）N

(²)

N(²) = 1/² ²

N (²) = 4/² ²

N (²)

は困難で，ある程度余裕を見て決めるしかないことも多い（今週のレポート，問

[12]）．

問

7

α

² > 0

N(²) > 0

n > N(²) = ⇒ | a n − α | < ²

となるはずである（収束の定義そのもの）．これは

N(²)

a _n

α ± ²

| a _n − α | < ²

| a _m − α | < ²

| a n − a m | < 2²

でなければならない，と結論できる（ここの不等式は各自，導出すること）．

しかし，考えている数列で

n = 2 ^k , m = n + 1

| a n − a m | = 1

は

² < 1/2

（注）この証明は後でやる「コーシー列」の概念を使っている．

（同じことだが少し別の言い方をすると）行き先の極限が

α

α」の定義から任意の

² > 0

N (²) > 0

n > N(²) = ⇒ | a n − α | < ²

となるはずである．特に

² = 1/4

{ a _n }

n = 2 ^k

n

n

a n = 1

| 1 − α | < 1/4

= 2 ^k + 1

| 0 − α | < 1/4

が必要となる．ところが，この２つを同時に満たす実数

α

α

５月２５日：今日は

²-δ

第５回レポート問題：

²-δ

問

10

²-δ

²-δ

a) lim

x

0

√ | x | b)

lim

x

0

√ x + 3 − √ 3 x b)

√

x + 3 + √

3

問

11

²-δ

{ a n } , { b n }

n

a n ≤ b n

α = lim

n

a _n

= lim

n

b _n

≤ β

番外問題：（前回と同じ．感想や改善の要望など，あれば書いて下さい．）

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

30

24

3-312）の前の箱に

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

—————————————————

—————————————

問

8

1)

1 − ² < x ² < 1 + ²

√

1 − ² < | x | < √

1 + ²

2) f (x) = x ³ + 2x − 3

(x) = (x − 1)(x ² + x + 3)

² + x + 3 = (x + ¹ ₂ ) ² + ¹¹ ₄ ≥ ¹¹ ₄

| f (x) | < 10

³

x ≈ 1

y = f (x)

f (x)

(x) = ± 10

³

x

x

< x < x +

x = 0.999, 0.9999, 1.0001, 1.0002

f (x)

≈ 0.9997999760, x ₊ ≈ 1.000199976

≈

x

0.99979998 <

x < 1.00019997

なお，電卓を用いずともこのような近似値を求めることはできる．つまり，

x = 1 + δ

f (1 + δ) = 10

³

時間があるかな．．．）

3)

δ

² > 0

0 < ² < 1

²

δ

₁ < ² ₂

₁ )

δ(² 2 ) = δ(² 1 )

²

δ(²)

²

δ(²

)

そこで以下では，

² ≤ 1

² > 1

² = 1

δ(1)

| x − 1 | < 1

0 < x < 2

| f (x) | = | x − 1 | × (x ² + x + 3) ≤ 9 | x − 1 |

^² ₉

| x − 1 | < δ(²) = ²

9 = ⇒ | f (x) | = | x − 1 | × (x ² + x + 3) ≤ 9 | x − 1 | < ²

が成り立つので，題意をみたす．よって，

² > 1

δ(²)

δ(²) =

 



²/9

≤ 1

1/9

1

とすれば良い．

4)

3)

² > 0

δ(²)

| x − 1 | < δ(²)

| x ³ + 2x − 3 | < ²

lim

x

1 (x ³ + 2x) = 3

²-δ

| x − 1 | < δ(²)

x = 1

x

| x ³ + 2x − 3 | < ²

• δ(²)

x

δ(²)

x

• x

δ ≤ 10

³

0.999 < x < 1.001

x

問

9： f (x) = x ⁴ + x ³ + 2x ² + x

5

lim

x

1 f (x) = 5

δ(²)

（無味乾燥な答え）任意の

² > 0

δ(²) := min

{ 1, ²

30 }

と定める．すると，

| x − 1 | < δ(²)

≤ 1

< x < 2

| f (x) − 5 | = | x − 1 | × | x ³ + 2x ² + 4x + 5 | ≤ | x − 1 | × 29 < 29 × δ(²) ≤ ²

lim

x

1 f (x) = 5

²-δ

5

（δの決め方）先ずは因数分解して

f (x) − 5 = (x − 1)(x ³ + 2x ² + 4x + 5)

に注意しておく．この左辺が

x → 1

(x − 1)

− 1)

(x ³ + 2x ² + 4x + 5)

ここが大きくならないためには，考える

x

x

x → 1

1

x

るには，

| x − 1 | < δ

δ

δ ≤ 1

この時，

| x − 1 | < δ ≤ 1

0 < x < 2

x ³ + 2x ² + 4x + 5 ≤ 29

| f (x) − 5 | ≤ 29 × | x − 1 |

なのだ．従って，上のを

²

= ²

30

６月１日：今日は

²-δ

来週（6/8），中間試験をやります！範囲は僕のプリントの第１章と第２章，具体的には大体，

•

•

です．もちろん，山場は後者の極限です（３章の内容は期末に持ち越し）．

始めに宣言した通り，テスト問題のかなりの部分はレポート問題や教科書の問題などの類題です．（ただし，「以 下の関数は連続か」など，連続性についてのレポート問題は出さなかったけど，試験では出すかもよ．）教科書 の該当部分の問題をやったり，自分で演習書をやったりすることをお奨めします．

—————————————————

—————————————

問

10

(a)

（陰の計算）

√

| x | < ²

x

| x | < ² ²

= ² ²

（無味乾燥な答え）任意の

² > 0

δ(²) = ² ²

| x | < δ(²)

| √

| x | − 0 | = √

| x | < √

δ(²) = √

² ² = ²

lim

x

0

√ | x | = 0

²-δ

(b)

√

x + 3

− 3

（陰の計算）問題の分数に対して分子の有理化を行うと，

√ 3 + x − √ 3

x = 1

√ 3 + x + √ 3

→ 0

1/(2 √

3)

1/(2 √

3)

√ 1

3 + x + √ 3 − 1

2 √ 3 =

√ 3 − √ 3 + x 2 √

3( √

3 + x + √

3) = − x

2 √ 3( √

3 + x + √ 3) ²

√

3 + x ≥ 0

2 √ 3 × ( √

3) ² = 6 √

3

− 3

¯¯ ¯¯ √

3 + x − √ 3

x − 1

2 √ 3

¯¯ ¯¯ = | x | 2 √

3( √

3 + x + √

3) ² ≤ | x | 6 √ 3

= 6 √

3²

²

δ = ²

（無味乾燥な答え）任意の

² > 0

= ²

− 3

¯¯ ¯¯ √

3 + x − √ 3

x − 1

2 √ 3

¯¯ ¯¯ = | x | 2 √

3( √

3 + x + √

3) ² ≤ | x | 6 √

3 < | x |

δ = ²

lim

x

0

√ 3 + x − √ 3

x = 1

2 √

3