3 多変数関数の微分 レポート提出について： 第６回レポート問題（主に偏微分）：

微分積分学A理学部数学科（原；http://www.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html） 33

６月２９日：今日は（主に）偏微分に入ります．

第６回レポート問題（主に偏微分） ：

問14： （偏微分の計算問題）次の関数f, g, r, Xの偏導関数を計算せよ．独立変数は括弧の中に示してある．多 変数関数だから，それぞれの独立変数について微分した結果を全部書くこと．たとえばfが３変数(x, y, z)の関数 なら^∂f_∂x,^∂f_∂y,^∂f_∂z の３つがでてくるはずだ．

f =x³+ 2xy+y², g= 2xy

x²+ 1 （独立変数はx, y）

r=p

x²+y²+z², （独立変数はx, y, z） X =rsinθ cosφ, （独立変数はr, θ, φ）

問15： （１変数関数の連続性に関するチャレンジ問題）x >0で，関数f(x)を

f(x) =





0 (xが無理数のとき)

1/p (xが有理数で，x=q/pと書けるとき．ただし，pとqは互いに素な正の整数) と定義する．このとき，f(x)の連続性を論ぜよ．（つまり，いろいろなxでf(x)が連続かどうか，論ぜよ．）

レポート提出について：

7月4日（月）午後５時までに，原の部屋（六本松３号館3-312）の前の箱に

入れてください．整理の都合上，用紙はできるだけA4を使ってください．また，２枚以上にわたる場合は何らか の方法で綴じてくだされ．「番外問題」と「重要な注意」（友達に感謝する）はいつも通り．

—————————————————以下，レジュメの続き—————————————

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多変数関数の微分

１変数関数の微（積）分はひとまずおいて，これから（後期の最初の頃まで）偏微分（多変数関数の微分）を扱 う．この題材を今ここで扱うのが良いかどうかには自信がないが，教科書の順序からあまり離れないのが良いだろ うし，²-δだけでは息が詰まるという人もいるだろうから，やってみることにした．ただし，前期は今日を入れて３ 回しかないので，そんなには進めない．いくら行ったとしても教科書の2.2節の中程どまりだろう．

なお，教科書に倣って，たいていの場合は２変数の関数を扱う．ただし，ほとんどの場合，３変数以上への拡張 は容易かつ自明である．

3.1 偏微分

まず，多変数の関数とは何か，をええかげんに定義しよう．関数f(x, y)が２変数x, yの関数とは，（その関数の 定義域中の）(x, y)のそれぞれに対してf(x, y)という値が定まるもののことをいう．これは「(x, y)という２次元 平面内の点」から「f(x, y)という実数値」への写像，だととらえられる．１変数の関数f(x)とは，各実数xに対 してf(x)という実数値が決まるものであったことを思い出すと，２変数の関数は１次元から２次元への拡張と見え るだろう．より一般には，n変数の関数とは，n次元空間の点に実数値を対応させる写像，つまり，n次元空間から 1次元空間への写像である．

このような見方に応じて，点同士の距離などを以下のように書くことにする．

• まず，平面内の点（n変数の関数を考えているときはn次元空間の点）を，xのように太字で書くことがあ る．（例）３次元の場合なら，x= (x₁, x₂, x₃)というわけ．

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• この書き方に応じて，n変数関数のx= (x1, x2, . . . , xn)での値はf(x)と書くことがある．

• 点x= (x1, x2, . . . , xn)とy= (y1, y2, . . . , yn)の間の 距離 を

ρ(x,y) =kx−yk= nXⁿ

j=1

(xj−yj)² o1/2

(3.1.1)

により定義する．nが3の時には，これは普通の３次元空間での距離である．

ただし，いつでも上のようにx1, x2, x3 としているとかえって書きにくいこともあるので，その際にはx= (x, y)，

z= (u, v)などと書くことも多い．（だいたい，「空間内の点」のような幾何学的視点を強調するときにはf(x)と書 く．それに比べて，xの個々の成分の関数であることを強調したいときにはf(x, y)などと書く．）

定義3.1.1 (多変数関数の極限) n変数関数f(x)にて lim

x→af(x) =αとは，以下が成り立つことをいう．

任意の（小さい）² >0に対し，（十分小さな）実数δ(²)>0がとれて，

0<kx−ak< δ ならば ¯¯f(x)−α¯¯< ² とできる (3.1.2)

１変数の時の|x−a|< δ(²)の条件が，kx−ak< δ(²)に変わっただけである．ただし，kx−akというのは２点 aとxの距離であるから，これが小さいというだけではxはaにどのようにでも近づけるということだ．１変数の ときには，x→aとはxがaの大きい方から近づくか，小さい方から近づくかの２通りしかなかったけども，それ が一度に大きな自由度を持ってしまったことには注意しておこう．（つまり，aへのどのような近づき方をしても同 じαという値に近づくときのみ，極限が存在するという訳だ．）

この極限の定義を使うと，n変数関数の連続性は以下のように定義される．

定義3.1.2 (多変数関数の連続性の定義) n変数関数f(x)がx=aで連続 とは，lim

x→af(x) = f(a)となるこ とである．²-δで書けば，

任意の（小さい）² >0に対し，（十分小さな）実数δ(²)>0がとれて，

kx−ak< δ ならば ¯¯f(x)−f(a)¯¯< ² とできる (3.1.3)

（x,aのような書き方をされるとかえってわかりにくい，という人も多いと思う．しかし，このような題材を扱うに は，このように幾何的な見方を強調した方がわかりやすいので，敢えて書いてみた．）

さて，いよいよ偏微分を考えよう．

xが点aにおける極限は以下のように定義する．これからはn変数のそれぞれをあらわに書いた方が楽なので，

f(x, y)のような書き方に戻る．また，一般のn変数のときには式がいたずらに複雑になるので，主に２変数の場合

を考える．

定義3.1.3 (偏微分係数) ２変数関数f(x, y)の点(a, b)における 第１変数に関する偏微分係数 とは極限 lim

h→0

f(a+h, b)−f(a, b)

h = lim

x→a

f(x, b)−f(a, b)

h (3.1.4)

のことである（もちろん，この極限が存在する場合）．これは記号で ∂f

∂x(a, b)，fx(a, b)，D1f(a, b)などと書 く．同様に，第２変数に関する偏微分係数とは

lim

h→0

f(a, b+h)−f(a, b)

h = lim

y→b

f(a, y)−f(a, b)

h (3.1.5)

のことであって，∂f

∂y(a, b)，fy(a, b)，D2f(a, b)などと書く．

また，上のように各点で偏微分係数を計算すると，(x, y)の関数として^∂f_∂x(x, y)，^∂f_∂y(x, y)が定まる．これをf の

（x，yに関する）偏導関数と呼ぶ．