レポート提出について：

4W ^{数理物理学} ( ^概論 )IV ^標準 H002-1

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: A327 E-mail:[email protected]

レポート問題２

作成日: October 26, 2018 Updated : October 29, 2018 Version : 1.0 実施日: October 29, 2018

レポート提出について：

•

提出期限は

2019

年

1

月

21

日

(

月

)17

時

(

厳守

)

とします

. (

変更の可能性有

)

•

提出期限の時間まで，提出場所として多元棟

1

階の教育研究支援室にレポート ボックスを設置します

. (

私に直接提出してくださっても構いません

.

最後にま とめずにちまちま提出してくださっても結構です.)

•

原則として手書きのレポートを提出してください. (パソコンで描図や数値計 算を行い，それを参考資料として追加するのはかまいません

.)

•

表紙はあってもなくてもかまいませんが

,

学生番号・氏名を明記してください

.

•

参考にした文献や議論した友人がいれば，最後に引用するのが良いと思います

.

問題

1. (Maxwell

の方程式

)

既出

. ϵ123 = +1, ϵ0123 = +1

とする

.

問題

2. (Maxwell

の方程式と電磁気学の法則

)

「真空中」での状況を考える

.

(1) Maxwell

の方程式から

,

点電荷

ρ(⃗x) =Qδ⁽³⁾(⃗x)

が生み出す電場の強さ

E

を原点から の距離

r

の関数として求め

,

クーロンの法則を導け

. (δ⁽³⁾(⃗x)

は

delta

関数

.)

(2) Maxwell

の方程式から

(

電流が生み出す磁場に関する

)

ビオ・サバール

(Biot-Savart)

の法則を導け

. (

微分形でも積分形でもかまわない

)

次いで

,

ビオ・サバールの法則

から

(無限に長い直線導線を流れる定常電流の生み出す磁場に関する)

アンペール

(Amp`ere)

の法則を導け

. (B⃗

と

H⃗ := (1/µ₀)B,⃗

どちらを用いてもよい

.) (3) Dirac

の磁気単極子

(

モノポール

=monopole)

は

A⃗ = g

4π 1

r(r+x³)(−x², x¹,0)

で与え られる

.

この回転

(rot)

を計算し

(r(r+x³)̸= 0

の領域で

)B(⃗⃗ x) = g

4π

⃗ x

r³

を示せ

.

問題

3. (

双曲線関数

)

次式で定義される双曲線関数について次の関係式を証明せよ

.

coshx:= e^x+e^−x

2 , sinhx:= e^x−e^−x

2 , tanhx:= sinhx

coshx = e^x−e^−x e^x+e^−x. (1) cosh²x−sinh²x= 1 (2) 1−tanh²x= 1

cosh²x (3) sinh(−x) =−sinhx (4) (sinhx)^′ = coshx (5) cosh(−x) = coshx (6) (coshx)^′ = sinhx (7) tanh(−x) =−tanhx (8) (tanhx)^′ = 1/cosh²x (9) sinh(x+y) = sinhxcoshy+ coshxsinhy (10) sinh 2x= 2 sinhxcoshx (11) cosh(x+y) = coshxcoshy+ sinhxsinhy (12) cosh 2x= cosh²x+ sinh²x (13) tanh(x+y) = tanhx+ tanhy

1 + tanhxtanhy (14) tanh 2x= 2 tanhx 1 + tanh²x (15) sinh² x

2 = coshx−1

2 (16) cosh² x

2 = coshx+ 1 2

(17) sinh 3x= 3 sinhx+ 4 sinh³x (18) cosh 3x=−3 coshx+ 4 cosh³x (19) sinhx=−isinix (20) coshx= cosix

標準

H0-4W18-02

難易度

: C

名古屋大学・理学部・数理学科

4W ^{数理物理学} ( ^概論 )IV ^標準 H002-2

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: A327 E-mail:[email protected]

問題

4. (Michelson-Morley

の実験

)

実験の原理を

1

〜

2

枚程度の用紙にまとめよ

.

問題

5. (Galilei

変換・

Lorentz

変換

)

(1) 1

次元波動方程式に

Galilei

変換

: t^′ =t, x^′ =x−vt

を施すと次の方程式が得られる ことを示せ

. (

ただしこの変換の下

f

は不変

: f(t^′, x^′) = f(t, x)

とする

.)

1 c²

∂²f

∂t² − ∂²f

∂x² = 0^Galilei−→^変換 1 c²

∂²f^′

∂t^′2 − (

1−v² c²

)∂²f^′

∂x^′2 − 2v c²

∂²f^′

∂t^′∂x^′ = 0.

また次の関数は, 変換後の方程式を満たすことを示せ. (f

_R, f_L

は任意関数.)

f^′(t^′, x^′) =f_R(x^′−(c−v)t^′) +f_L(x^′ + (c+v)t^′)

(2)

特殊相対性理論を空間

1

次元，時間

1

次元の設定で考え，光速不変の原理から座標 変換の満たすべき関係式

(Lorentz

変換) を導こう．

いま互いに一定の速さ

v

で相対運動している

2

つの慣性系

(

座標系

)K,K^′

を考える．

それらの系における空間座標と時間座標の組をそれぞれ

(x, t), (x^′, t^′)

とする．

慣性系

K

と

K^′

の空間座標の原点が一致した瞬間をそれぞれの系の時間座標の原点 に選ぶ．

(

すなわちこのとき

t=t^′ = 0.) t=t^′ = 0

に原点から放出された光が真空中 を伝わるとき，光速不変の原理より，

x² =c²t², x^′2 =c²t^′2

が成り立つ．すなわち，

x^′2−c²t^′2 =x²−c²t²

が成り立つ．求める座標変換の式を

x^′ =A(x−vt), t^′ =Bt+Cx

とおき，係数

A, B, C

を与えられた量で表せ．ただし，

v/c →0

の極限で

Galilei

変換

x^′ =x−vt, t^′ =t

に 一致することを用いてよい

.

問題

6. (

特殊相対論のパラドックス：銀河鉄道

999

編

)

静止しているときには同じ長さの 銀河鉄道

(Galaxy Express) K

号と

K^′

号が，宇宙空間で反対方向に相対速度

v = (√

3/2)c

で走っているとする

. (

図は黒板で説明

.) K

号にはメーテル

(Maetel)

が乗っていて

,K^′

号 のちょうど先頭に乗っている鉄郎

(Tetsuro)

に列車すれ違いの際，ドリアンを渡そうと考 えている

.

受け渡しは一瞬で問題なく行われるものとする

. (

ツッコミはなしでお願いいた します

.)

さて，

K

号から見ると

K^′

号はローレンツ短縮を起こして半分の長さになっているので，

メーテルは

K

号の先端が

K^′

号の最後尾に一致した瞬間に

K

号のちょうどど真ん中の位 置で，手渡せばよいと考えた

.

その旨鉄郎に伝えて

,

いよいよアンドロメダ

(Andromeda)

星雲にてすれ違いのときが やってきた. メーテルは

K

号のど真ん中で上記

(太字)

の時刻にドリアンを瞬間差し出し するつもりでいる

.

鉄郎はいつでも受け取れるよう受け手をずっと窓から差し出している

.

ところがハッと鉄郎は思った

. K^′

号から見れば

K

号が

Lorentz

短縮を起こして半分の長 さになっているので，これだと受け取れない！

果たしてドリアンは無事手渡せたであろうか？

Minkowski diagram

を用いて説明せよ

.

メーテル・鉄郎の軌跡

(

世界線

)

および問題文の太字の事象をダイヤグラム内に明記せよ

.

(余裕があれば2

人それぞれの座標系を基準として

diagram

を書き, どちらから見ても結

果に矛盾がないことを確かめよ

.)

標準

H0-4W18-02

難易度

: C

名古屋大学・理学部・数理学科