一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドについて

(1)

.

...

一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドについて

石地知興

東京工業大学大学院理工学研究科修士2年

2016

^年

12

^月

21

^日

結び目の数学

IX

(2)

お断り

「一般の閉曲面をファイバーとする

2

次元ブレイドについて」というタイ

トルで講演を申し込んだ

.

しかしその後境界を持つコンパクト曲面に関し

ても同様のことが成立することが分かった

.

^{したがって}

,

^{講演は後者の内}

容で行った

.

「一般のコンパクト曲面をファイバーとする

2

次元ブレイド

について」や「

2

次元ブレイドの一般化」などをタイトルとするのがふさ

わしい内容である

.

このスライド以外は全て講演で使用したものである

.

(3)

きっかけ

(4)

きっかけ

(5)

今日の話

1.

^非分岐な

Σ-2

^{次元ブレイドがなす群}

2. 2

次元ブレイドとしては同値ではないが

,S²-2

次元ブレイドとしては同値になる例

3.

^{偶数次数の}

S²-2

^{次元ブレイドの不変量}

←−Lefschetz fibration

^から

多様体は

C^∞

^多様体

,

^{多様体間の写像は}

C^∞

^級

(6)

今日の話

1.

^非分岐な

Σ-2

^{次元ブレイドがなす群}

2. 2

次元ブレイドとしては同値ではないが

,S²-2

次元ブレイドとしては同値になる例

3.

^{偶数次数の}

S²-2

^{次元ブレイドの不変量}

^から

多様体は

C^∞

^多様体

,

^{多様体間の写像は}

C^∞

^級

(7)

今日の話

1.

^非分岐な

Σ-2

^{次元ブレイドがなす群}

2. 2

次元ブレイドとしては同値ではないが

,S²-2

次元ブレイドとしては同値になる例

3.

^{偶数次数の}

S²-2

^{次元ブレイドの不変量}

^から

多様体は

C^∞

^多様体

,

^{多様体間の写像は}

C^∞

^級

(8)

今日の話

1.

^非分岐な

Σ-2

^{次元ブレイドがなす群}

2. 2

次元ブレイドとしては同値ではないが

,S²-2

次元ブレイドとしては同値になる例

3.

^{偶数次数の}

S²-2

^{次元ブレイドの不変量}

^から

多様体は

C^∞

^多様体

,

^{多様体間の写像は}

C^∞

^級

(9)

2 次元ブレイド

D²₁,D²₂:2

^次元円盤

,

pr₂ :D₁²×D₂²−→D²₂:

第

2

成分への射影

, Xm={x1, x2,· · · , xm} ⊂intD₁².

.

定義

(2

次元ブレイド

) ..

...

2

次元ブレイドとは

D₁²×D₂²

にプロパーに埋め込まれたコンパクト有向曲面

S

で

,

次の条件を満たすもの

:

(1)pr2|S:S −→D₂²

^{は単純分岐被覆}

. (2)∂S=X_m×∂D₂².

(10)

Σ-2 次元ブレイド

Σ = Σ^pg(g≥0, p≥0)

または

Σ =Ng^p(g≥1, p≥0).

D²:2

次元円盤

Xm={x1, x2,· · · , xm} ⊂intΣ.

.

定義

(Σ-2

次元ブレイド

) ..

...

Σ-2

次元ブレイドとは

Σ×D²

にプロパーに埋め込まれたコンパクト有向曲面

S

で

,

次の条件を満たすもの

:

(1)pr2|S:S −→D²

^{は単純分岐被覆}

. (2)∂S=X_m×∂D².

.

注意

..

...

Σ = Σ¹₀=D²

^{の場合が普通の}

2

^{次元ブレイド}

.

例

Xm×D²

^は

Σ-2

^{次元ブレイド}

(11)

Σ-2 次元ブレイドの同値関係

S,S^′:Σ-2

次元ブレイド

.

定義

(

同値

)

..

...

S

^と

S^′

^が同値

⇔def

次の条件

(1),(2),(3)

を満たすアンビエントアイソト

ピー

{h_u : Σ×D² −→Σ×D²}u∈[0,1]

が存在する

: (1)h₀=id_Σ_×_D2, h₁(S) =S^′.

(2){hu}u∈[0,1]

はファイバーを保つ

i.e.

∃

アンビエントアイソトピー

{h_u :D² −→D²}_u∈[0,1] s.t.

h_u◦pr₂ =pr₂◦h_u(∀u∈[0,1]).

(3)∀u∈[0,1],hu|Σ×∂D² =id_Σ_×_∂D².

[S]:S

の同値類とする

.

定義

(

自明な

Σ-2

次元ブレイド

) ..

...

X_m×D²

と同値な

Σ-2

次元ブレイドを自明な

Σ-2

次元ブレイドという

(12)

Σ-2 次元ブレイドの積

S1,S2:Σ-2

^{次元ブレイド}

D²

をプロパーな弧によって二つの

2-disk

^に分ける

;D² =E1∪E2. D²

と

E₁

を微分同相写像

f₁ :D²−→E₁

によって同一視

D²

と

E₂

を微分同相写像

f₂ :D²−→E₂

によって同一視

.

;S1⊂Σ×E1,S2 ⊂Σ×E2.

;

^曲面

S₁∪S₂

は

Σ-2

次元ブレイド

.

定義

..

...

曲面

S1∪S2

を

S1·S2

と書き

,S1

と

S2

の積と呼ぶ

. [S1]·[S2] = [S1·S2]

と定義すると

well-defined.

(13)

非分岐 Σ-2 次元ブレイドのなす群

C_m(intΣ):intΣ

の順序のない配置空間

.

定理

(I.)

..

...

次数

m

^の非分岐

Σ-2

次元ブレイド全体は積に関して群となる

.

^その群は

π2(Cm(intΣ), Xm)

^{と同型になる}

.

上の群を

Bm(Σ)

^で表す

.

(14)

非分岐 Σ-2 次元ブレイドのなす群

.

系

(I.) ..

...

Bm(Σ0)∼=Bm(S²)∼=

{Z (m= 1,2) {0} (m≥3), Bm(Σg)∼={0}(∀m, g≥1),

Bm(N1)∼=Bm(RP²)∼=

{Z (m= 1) {0} (m≥2), Bm(N_g)∼={0}(∀g≥2,∀m≥1),

Bm(Σ^p_g)∼={0}(∀m≥1,∀g≥0,∀p≥1), Bm(Ng^p)∼={0}(∀m≥1,∀g≥1,∀p≥1).

(15)

B

¹

(S

²

)( ∼ = Z ) の生成元

(16)

B

²

(S

²

)( ∼ = Z ) の生成元

(17)

証明の概略

.

定理

(I.

再掲

)

..

...

次数

m

^の非分岐

Σ-2

次元ブレイド全体は積に関して群となる

.

^その群は

π₂(C_m(intΣ), X_m)

と同型になる

.

証明の概略

次数

m

の非分岐

Σ-2

次元ブレイド

S ;

φ_S : (D², ∂D²)−→(C_m(intΣ), X_m)∈π₂(C_m(intΣ), X_m) (φs(x) =pr1(S∩pr⁻₂¹(x)))

[φ]∈π₂(C_m(intΣ), X_m)) ;

^次数

m

の非分岐

Σ-2

次元ブレイド

S_φ :=∪

x∈D²(φ(x)× {x})

(18)

S

²

-2 次元ブレイドのブレイドモノドロミー

S:

次数

m

の

S²-2

次元ブレイド

,

∆(S)⊂intD²:

分岐点集合

, q0∈∂D²:

^基点

,

γ : (I,{0,1})−→(D²−∆(S), q₀) :q₀

を基点とするループ

,

とする

.

すると

,

^次の

Cm(S²)

^のループ

lγ

を考えることができる

.

l_γ : (I,{0,1})−→(C_m(S²), X_m) (l_γ(x) =pr₁(S∩pr⁻₂¹(x))).

;

ρ_S :π1(D²−∆(S), q0)−→π1(Cm(S²), Xm)(∼=Bm(S²)) (ρ_S([l]) = [lγ])

を考えることができる

. ρS

は

well-defined

^で

,

^{準同型写像となる}

.

(19)

S

²

-2 次元ブレイドのブレイドモノドロミー

.

定義

..

...

準同型

ρS :π1(D²−∆(S), q0)−→Bm(S²)

^を

S

のブレイドモノドロミー

という

.

(20)

S

²

-2 次元ブレイドチャート

.

定義

(S²-2

次元ブレイドチャート)

..

...

次数

m≥3

の

S²-2

次元ブレイドチャートとは有限グラフ

Γ⊂intD²

で次の条件を満たすもの

:

(1)

全ての辺は向きづけられ

,

整数

{1,2,· · · , m−1}

^{でラベルづけされて} いる

.

(2)1

^価

,4

^価

,6

^価

,2(m−1)

^{価の頂点がある}

. 1

^{価頂点を黒頂点という}

. 6

^価頂点と

2(m−1)

価頂点を白頂点という

.

(3)

各

6

価頂点は図のようである

.(|i−j|= 1) (4)

^各

4

価頂点は図のようである

.(|i−j|>1) (5)

^各

2(m−1)

価頂点は図のようである

(1)6

^価頂点

(2)4

^価頂点

(3)2(m−1)

^価頂点

(21)

S

²

-2 次元ブレイドチャートのブレイドモノドロミー

次数

m≥3

^の

S²-2

^{次元ブレイドチャート}

Γ;

^{ブレイドモノドロミー}

ρ_Γ.

.

定義

..

...

曲線

α : [0,1]−→D²

が

Γ

に関して一般の位置にある

⇔def

(1) α([0,1])∩V(Γ) =ϕ.

^ただし

V(Γ)

^は

Γ

^{の頂点集合}

.

(2) α⁻¹(Γ) ={t₁,· · · , t_s} ⊂int[0,1].

ただし

α⁻¹(Γ) =ϕ

も認める

. (3) ∀j∈ {1,· · · , s},∃t_j

の開近傍

U(t_j) s.t. α|U(tj)

ははめ込みかつ

,Γ

の辺と

α(tj)

^{にて横断的に交わる}

.

α: [0,1]−→D²

が

Γ

に関して一般の位置にあるとき

,

交叉語

w_Γ(α)

を次

のように定義できる

.

(22)

S

²

-2 次元ブレイドチャートのブレイドモノドロミー

これを

Γ

に関する

α

の交叉語という

. w_Γ(α)

で表す

. ∆(Γ):

黒頂点集合

. l: [0,1]−→(D²−∆(Γ), q0):Γ

に関して一般の位置にあるループ

.

定義

..

...

準同型写像

ρ_Γ:π₁(D²−∆(Γ), q₀)−→B_m(S²) (ρ_Γ([l]) =w_Γ(l))

を

S²-2

次元ブレイドチャート

Γ

のブレイドモノドロミーという

.

(23)

S

²

-2 次元ブレイドとチャート

.

定理

(I.)

..

...

任意の次数

3

以上の

S²-2

次元ブレイド

S

に対して

,S²-2

次元ブレイド

チャート

Γ

^{が存在して}

ρΓ=ρS

となる

.

^{逆に任意の}

S²-2

^{次元ブレイド}

チャート

Γ

に対して

,S²-2

次元ブレイド

S

が存在して

,ρ_S =ρ_Γ

となる

. S²-2

^{次元ブレイドチャート}

Γ

^{により定まる}

S²-2

^{次元ブレイドを}

S(Γ)

^で

表す

.

(24)

2 次元ブレイドと S

²

-2 次元ブレイド

.

定義

(2

次元ブレイドチャート

) ..

...

次数

m

^の

2

次元ブレイドチャートとは有限グラフ

Γ⊂intD²

^{で次の条件} を満たすもの

:

(1)

全ての辺は向きづけられ

,

整数

{1,2,· · · , m−1}

^{でラベルづけされて} いる

.

(2)1

価

,4

価

,6

価の頂点がある

. 1

価頂点を黒頂点という

. 6

価頂点を白頂点という

.

(3)

^各

6

価頂点は図のようである

.(|i−j|= 1) (4)

各

4

価頂点は図のようである

.(|i−j|>1)

(1)6

^価頂点

(2)4

^価頂点

(25)

2 次元ブレイドと S

²

-2 次元ブレイド

.

注意

..

...

2

次元ブレイドチャートに関してもそのブレイドモノドロミーが

S²-2

^次

元ブレイドチャートの場合とまったく同様に定義される

.

定理も同様に成

立する

.

(26)

2 次元ブレイドと S

²

-2 次元ブレイド

チャート

Γ1,Γ2

を考える

.(m≥3).

1 12 m-1 m-1 2 1

(1)Γ₁

1

(2)Γ₂

.

定理

(I.)

..

...

S(Γ1)

^と

S(Γ2)

^は

2

次元ブレイドとしては同値ではないが

,S²-2

^次元ブレ

イドとしては同値になる

.

(27)

証明の概略

(S(Γ₁)

と

S(Γ₂)

が

S²-2

次元ブレイドとして同値であること

)

次のチャートムーブとアンビエントアイソトピーによる

.

1 1 2 m-1 m-1 2 1

CⅠ-move

ambient isotopy

1 1 2 m-1 m-1

12 CⅠ-move

1

(28)

Lefschetz fibration との結びつき

Σg:

^種数

g

^{の有向閉曲面}

. .

定義

(Lefschetz fibration) ..

...

M:

^{コンパクト有向}

4

^{次元多様体}

B:

コンパクト有向

2

次元多様体とする

.

全射

f :M −→B

が

Lefschetz fibration⇔def

(1)f⁻¹(∂B) =∂M,

(2)f

の任意の臨界点

p∈intM

に対して

,p

の座標近傍

(U, φ)

と

f(p)

の座標近傍

(V, ψ)

が存在して

(ψ◦f◦φ⁻¹)(z₁, z₂) =z₁²+z₂²

となる

.

(3)

^{どのファイバーも}

(±1)

^{球面を含まない}

. M

を全空間

,B

を底空間

,f

を射影という

.

注意

..

...

ここでは

achiral Lefschetz fibration

^を単に

Lefschetz fibration

^と呼んで

いる

.

(29)

Lefschetz fibration との結びつき

Mg:Σ_g

の写像類群

∆:f

の臨界値集合

;f|f⁻¹(B−∆):f⁻¹(B−∆)−→B−∆

はファイバー束

;

^基点

b0 ∈B−∆

と向きを保つ微分同相写像

Φ0 : Σg −→f⁻¹(b0)

^をとるとモノドロミー表現

ρ_f :π₁(B−∆, b₀)−→ Mg

を考えることができる

. .

定義

(Lefschetz fibration

のモノドロミー表現)

..

...

ρ_f :π₁(B−∆, b₀)−→ Mg

を

Φ₀

に関する

f

のモノドロミー表現という

. .

定義

(Lefschetz fibration

の同型

)

..

...

f :M −→B,f^′ :M^′ −→B^′

^を

Lefschetz fibration

^とする

.f

^と

f^′

^が同型

(isomorphic)

であるとは

,

向きを保つ微分同相写像

H :M −→M^′,h:B−→B^′

^{が存在して}

,f^′◦H =h◦f

^{となるときにいう}

.

(30)

Lefschetz fibration との結びつき

.

補題

..

...

次数が偶数の

S²-2

次元ブレイド

S

に対して

S

上分岐する

2

重分岐被覆

α:M −→S²×D²

^{が存在する}

.

^{ただしここで}

M

^は

4

^{次元多様体である}

.

さらに

,M

は微分同相の差を除いて一意である

.

命題

..

...

pr2◦α:M −→D²

^は種数

m−1

^の

^である

.

(31)

Lefschetz fibration との結びつき

.

補題

(I.)

..

...

S₁

^と

S₂

^を次数

2m≥6

^の

S²-2

^{次元ブレイドとする}

. f₁ :M₁ −→D², f₂ :M₂ −→D²

をそれぞれ

S₁,S₂

から定理のようにして定まる

Lefschetz fibration

^とする

.

^もしも

S1

と

S2

が同値であるならば

,f1

と

f2

は同型になる

.

ι∈ Mm−1:hyperelliptic involution

.

補題

(I.)

..

...

S

^を次数

2m≥3

^の

S²-2

^{次元ブレイドとする}

. Γ

^を

S

^{のチャート表示とす}

る

. f :M −→D²

を

S

に対して定まる

とする

. ρ_f

を

f

のモノドロミー表現とする

.

このとき

,Γ

が持つ

2(2m−1)

価頂点の個数

が偶数ならば

ρf(∂D²) = [id]

^となり

,

^{奇数ならば}

ρf(∂D²) =ι

^となる

.

(32)

Lefschetz fibration との結びつき

.

定理

(I.)

..

...

S₁,S₂

を次数

2m≥6

の

S²-2

次元ブレイドとする

.Γ₁,Γ₂

を

S₁,S₂

のチャート表示とする

.

^もしも

S1

と

S2

が同値であるならば

,Γ1

と

Γ2

がもつ

2(2m−1)

価頂点の個数の偶奇は等しい

.

.Proof.

..

...

S₁

^と

S₂

^{が同値であるとする}

.

^このとき

S₁,S₂

^{から定まる}

Lefschetz

fibrationf₁,f₂

は同型である

.

もし

,Γ₁

と

Γ₂

がもつ

2(2m−1)

価頂点の偶

奇が異なるとすると

,(Γ1 :

^偶数

,Γ2:

^{奇数とする}

.)

ρ_f₁(∂D²) = [id],ρ_f₂(∂D²) =ι

^である

.

^これは

f1

と

f2

が同型であることに矛盾している

.

これはすなわち

2(2m−1)

価頂点の個数の偶奇が

S²-2

次元ブレイドの不

変量になっていることを意味している

.

(33)

例

次数

6

の

S²-2

次元ブレイドチャート

Γ₁

と

Γ₂

に対して

S(Γ )

^と

S(Γ ).

(34)

一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドにつ いて

一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドにつ いて

石地知興

年

月

日

結び目の数学

お断り

「一般の閉曲面をファイバーとする

次元ブレイドについて」というタイ

トルで講演を申し込んだ

しかしその後境界を持つコンパクト曲面に関し

ても同様のことが成立することが分かった

したがって

講演は後者の内

容で行った

「一般のコンパクト曲面をファイバーとする

次元ブレイド

について」や「

次元ブレイドの一般化」などをタイトルとするのがふさ

わしい内容である

このスライド以外は全て講演で使用したものである

きっかけ

きっかけ

今日の話

非分岐な

次元ブレイドがなす群

次元ブレイドとしては同値ではないが

次元ブレイドとしては同 値になる例

偶数次数の

次元ブレイドの不変量

から

多様体は

多様体

多様体間の写像は

級

今日の話

非分岐な

次元ブレイドがなす群

次元ブレイドとしては同値ではないが

次元ブレイドとしては同 値になる例

偶数次数の

次元ブレイドの不変量

から

多様体は

多様体

多様体間の写像は

級

今日の話

非分岐な

次元ブレイドがなす群

次元ブレイドとしては同値ではないが

次元ブレイドとしては同 値になる例

偶数次数の

次元ブレイドの不変量

から

多様体は

多様体

多様体間の写像は

級

今日の話

非分岐な

次元ブレイドがなす群

次元ブレイドとしては同値ではないが

次元ブレイドとしては同 値になる例

偶数次数の

次元ブレイドの不変量

から

多様体は

多様体

多様体間の写像は

級

2 次元ブレイド

次元円盤

第

成分への射影

定義

次元ブレイド

次元ブレイドとは

にプロパーに埋め込まれたコンパクト有向 曲面

一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドについて

一般の閉曲面をファイバーとする 2 次元ブレイドについて

^年

^月

^日

^{したがって}

^{講演は後者の内}

^非分岐な

^{次元ブレイドがなす群}

次元ブレイドとしては同値になる例

^{偶数次数の}

^{次元ブレイドの不変量}

^から

^多様体

^{多様体間の写像は}

^級

^非分岐な

^{次元ブレイドがなす群}

次元ブレイドとしては同値になる例

^{偶数次数の}

^{次元ブレイドの不変量}

^から

^多様体

^{多様体間の写像は}

^級

^非分岐な

^{次元ブレイドがなす群}

次元ブレイドとしては同値になる例

^{偶数次数の}

^{次元ブレイドの不変量}

^から

^多様体

^{多様体間の写像は}

^級

^非分岐な

^{次元ブレイドがなす群}

次元ブレイドとしては同値になる例

^{偶数次数の}

^{次元ブレイドの不変量}

^から

^多様体

^{多様体間の写像は}

^級

^次元円盤

にプロパーに埋め込まれたコンパクト有向曲面

^{は単純分岐被覆}

にプロパーに埋め込まれたコンパクト有向曲面

^{は単純分岐被覆}

^{の場合が普通の}

^{次元ブレイド}

^は

^{次元ブレイド}

^と

^が同値

^{次元ブレイド}

^に分ける

^曲面

^の非分岐

^その群は

^{と同型になる}

^で表す