論 文
平面応力問題の三次元修正理論の一般化について
根岸嘉和 平島健一
（平成元年8月31日受理）
On Generalization of Some Formulas of
3-Dimensional Refined Theory for
Plane Stress Problems
YoshikazuNEGISHI Ken-ichiHIRASHIMA Abstract In this paper， we propose a general higher−order 3−dimensional refined theory of plane stress problems with consideration of transverse components， which are neglected in classical 2−dimensional elasticity solutions． The1）roposed theory is a kind of mixed type one based upon the assumption of stress and displacement components． In this study， we consider not only in−plane（symmetric）behavior but also out・of−plane （antisymmetric）behavior of plates under arbitrarily distributed loads on the edge． 1．緒 言 面内の広がりの寸法に比べ，厚さが極めて小さいよ うな平板が，側端面に分布する面内荷重のみを受けた 場合の取り扱いは，通常，簡単化のため，面外応力成 分が面内応力成分に比べ充分に小さいとして，これら を零と置くとともに，面内応力ならびに面内変位成分 の厚さ方向に沿う変化も小さく厚さ方向に一定と仮定 することにより，問題を二次元化した解析，すなわち 平面応力問題としての解析が行われる。しかしながら， 平板の厚さがある程度厚くなった場合は勿論のこと， 薄板であっても，側端面に作用する分布荷重の変動周 ＊福島工業高等専門学校，Fukushima National College of Technology， Department of Civil Engineering． ＊＊y木環境工学科，Department of Civil and Environmental Engineering． 期幅が板厚と同等程度のオーダである場合等には，こ れらの厚さ方向成分やその変化は無視できない値とな ることが予想される。これらの性質を念頭に置きなが ら，同種の問題を三次元弾性論に基づいて解析するこ との困難さを考慮して，平面応力状態を第1次近似と し，低次の幾つかの厚さ方向成分を取り込むことに よってこれを修正した第2次，第3次近似の理論解の 提案がなされている1ト5）。しかし，それらは，あくまで 低次の修正のみに限定されており，また変位について は，重み付き積分平均変位の解を示すに留まっていた。 そこで，本論文においては，これらの理論を修正次 数に制限を設けない一般化高次理論に拡張するととも に，基本的には応力と変位の両者を仮定する，いわゆ る混合仮定型の定式化手法を用いることにより，変位 についても具体的な解を与える。なお，ここでの取り 扱いは側端面に上下対称な面内力が作用した場合の挙 動のみならず，逆対称な面内力や面外せん断力が作用
平成元年12月 山梨大学工学部研究報告 第40号 した場合の挙動も併せて解析するため，各成分とも対 称，逆対称の両モードを採用した定式化がなされる。 2．弾性論の基礎式 Fig．1に示すような均質等方性平板に対して定式化 を行うのに必要な弾性論の基礎式を，後の使用に便利 なように多少変形して示す。なお，各式中のコンマ（，） の後の添え字は，その座標に関する偏微分を表し，ま たレ：ボアソン比，E：ヤング率， G：せん断弾性係数 とする。 面内応力成分の幾何一構成関係式：
li翻1二司一一一一it−一一一一（1）
以下に示す各式は，面外座標zで偏微分された項を他 の項で表した形に表現したものである。 面外応力の幾何一構成関係式： 仇・一 }｛r・・一・（Txx＋ryy）｝，u，z−一耐去』
1 v・・＝−w・y＋百砿 C C C C S：traction free sμφcθ γ ：ん・伽geηe・顧‘S・加城C （nz＝−1） η2αZeγゴα1 一0
ちη ’ 一 ◎蕎、 一τπz （nz＝十1） z（ζ一z／c） Fig．1Coordinate systems and geometry of edge loaded plate with traction free surfaces． つりあい方程式： r・・e，z−一 A三・｛（u，x＋v，・），x＋1三〃（u，y−v，x），・｝ レ ー1一レ臨ズ・ r。・，z−一 A三・｛（・r，x＋v，・），y−1三〃（u，y−v，・），x｝ ……（3） ソ ー1−V「…y・ r。。，。＝一（rxe，x＋ry。，y）． 上式（3）、，2は，通常の応力のつり合方程式における面内 応力成分を，式（1）、．2を用いて変位で表した式である。 3．応力，変位の仮定と弾性論基礎式の重み付き積分 式 前節に示した基礎式を用い，逆対称挙動も含む混合 仮定型の理論として，平面応力問題の三次元修正理論 を定式化するため，応力，変位の各成分を次のような 基準化した板厚座標ζ＝2／c＝2z／h（h＝20：板厚）に 関する無限級数で展開した形に仮定する。 まず，応力成分について次式の仮定を設ける。 co m＝0 ・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・… （4） 上式において，P忌ζ）はLegendre多項式であり次式 で与えられる。鷲献（㌶：∵li：ζ｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （5） また，Rm（ζ）はPm（ζ）を1回， Sm（ζ）はPm（ζ）を2 回，それぞれ積分して得られる多項式で，おのおの次 式でその一般式と具体形が与えられるものである。 Rm（ζ）−2・．m！緩に（9・一・）m；R・（ζ）一ζ R・（ζ）一†（ζ・一・ぷζ）一†（93一ζい…・… Sm（ζ）−2・…勿！￡tZ．−2，（；2−1）m；S・（ζ）一†（92−・）・ S，（ζ）一÷（ζ・−3ζ）， S・（ζ）一÷（ζ2−・）2e…… ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… @（6）これらの多項式の板厚に沿う分布形を参照し，上下 表面での自由境界（荷重なし）条件を満足させ，面外 方向のつりあい条件を考慮すると次の条件式が得られ る。
ご：蕊蕊ご：＝仏｝………・・…………・（7）
以上より，本理論の応力成分は，次式のようになる。 co m＝2 …・・………・……・・……（8） 一方，変位成分に関しても同種の展開仮定を設ける。 co㍑鳶篇1∴一一・・（9）
m＝0 次に，以上の応力係数，変位係数に関する断面積分 型の支配式を得るために，第2節に示した弾性論基礎 式に，各成分の展開形を代入したのち，各式にLegen− dre多項式P扁ζ）の重みを乗じ，板厚にわたる積分を 行えぽ，以下のような支配方程式が得られる。 幾何一構成関係式： rza（η）＝ 一（Txz（n），x十 ry9（η），y）． （n≧1） ・・… ◆・… ．一一一一．・・・… ．．（14） これらの式およびこれ以降の式における魂），出），魂） ならびに％ωは面外応力および面外変位の重み付き積 分値であり，各々次のような式でその具体形が与えら れるものである。 磁・一（2n十1@2）∂慈砺、m、e
魂L（2 冾P）凛熾、m，e
………（15）rh・・一（2怩P）∂急熾傷。
w・n一6・・C・zZ・・＋（2〃f1）嬉働、m，． なお以上の式においては，Legendre多項式の直交性 を利用している。また式（14）は，式（3）3を面外座標で1 回微分した式に代入した後に重み付き積分を行って得 られたものである。さらに，これらの式中の㌃は次 式： 盟一IlRm（ζ）Rn（ζ）dζ 一2（1−3δmn） w・n・一一V（T・…）＋Tyy・n・）一±認（n≧o）……・……（ID u・・）一ω望L壱場 v・・）一鵬Lさ既（n≧1） つりあい方程式： E ｝…一…………・…・…（12） r・・｛・）＝−秩Qレ・｛（u（・）tX＋v（n）・・）・x （1一レ2）（u…，・・一・v…，・），x｝＋吉馴η≧・） 一一一・・… ，・．．・… ◆．．．．（13） ………・・…・（16） で定義される積分値であり，δmnはKroneckerのデル タである。 4．断面力関数の導入と重調和型の支配方程式の誘導 前節に示した応力係数が，つりあい方程式を満足す るように，それらを以下に示す断面力関数で表し，さ らに応力係数と変位係数の各成分を断面力関数で表す ことにより，支配式を断面力関数のみに関する調和あ るいは重調和型の支配式として誘導する。 そこでまず応力係数を以下のように断面力関数 K〈o），S2〈．） q（．）（m≧1）で表す。・ごi：1：：ぽ㌫ご㍍ザー絢功｝……（17）
蕊：＝；㌧≧1）．｝………・…・………・（18） rz・〈m）＝酩η），xx＋酩沈），yy＝▽2酩m）．（m≧1）…一……⑲ 上式において，m＝0が平面応力状態に対応し，それ以平成元年12月 山梨大学工学部研究報告 第40号 外のm≧1が板厚方向成分を考慮した平面応力状態を 三次元的に修正する項を表している。また，〃2が偶数 のときは伸縮挙動に，また〃zが奇数のときは面外せん 断を含む曲げ挙動に，それぞれ対応するものであり， 式（19）からも明かなように，各次数の応力係数とも， 面外方向のつりあい式（14）を満たすように設定されて いる。 ［a］ 平面応力状態の定式化：n＝0 この場合の支配方程式は適合条件式： ｛u（。｝，x｝，yッ＋｛v（o），y｝，xx＝｛u（。），y＋v（o）x｝，XN，………（20） に基づくものであり，以下のようにして導かれる。 まず式（10）をひずみ成分について解き，これに式（15）， （16）を用いて，次式：
三綻劃…・・・・・・・…（21）
を得た後，上式（21）の右辺の各項を式（17），（18）を用い て断面力関数で表す。 これらを，式（20）に代入することにより次式のような 支配方程式を得る。 v・｛K（・・一・f…輸一・．……・………一・・……・（23） 上式において，酩2）の項を無視したいわゆる0次理論 は， ▽‘K（o）＝0● 一一一一・・・・・・・・・… 一一・一・・一一一一一・一一一一… 一・一．・・●．．．・●．．一・（24） となり，このときのK（。）が平面応力問題のAiryの応力 関数に相当する。 なお，面内変位係数u（o），v（。）については，式（22）をその まま支配方程式として用いて求めなけれぽならないの は，一般の平面応力問題の場合と同じである。 ［b］ 高次理論式の定式化：n≧1 断面力関数の式（18）と面内方向のつりあい方程式 （13）から，断面力関数の定義式： ∫2ヒn）＝ G（z4（n）⊃y− v（n），x）． ・・・… ．・・・… ●・・・・・・… 一・一一一・・・… ．・（25） ならびに， 酩の「三・（u・n・，x＋v…，y）一、≒伝伽い・………・（26） を得る。 他方，面内直応力の幾何一構成関係式（10）、，2の両辺 の和をとることにより次式を得る。 rxx・n・＋ryy・・）一 Aξ。（u…，x＋v…，y）一、竺。認 ……・・…………・………（27） 上式（26）と式（27）より面内変位係数を消去し，式（19） を用いるとn≧1の場合の面内直応力の和は rxx（。）＋ryッ（n）＝（1＋v）酩。）一レ▽24「（n）…………・・…・…（28） のように表せる。また，n＝0の場合の面内直応力の 和は，式（17）を用いて Txx（o）十ryy（o）＝▽2K∼o）， ・・… ．・◆．．．．・… ．… ．・・・・… ．… ．・．・… （29） のように表せることを考慮し，これらを統合した一般 式として Txx（。）＋ryy（。〉＝δ。o▽2Kl〔o）＋（1一δ。O）× ｛（1＋レ）q。「レ▽2｛U「〈n）｝．・………（30） を得る。 なお，以上（および以降）の式における●ωは式（15） に定義した重み付き積分平均値の場合と同様に次式： 9P’・n）一（2ｾ1）♂忍脳励・・…・・…・………・（31） で与えられる量であり，式（19）ならびに，式（15）3より 次の関係が成立する。 ▽2ぴη）＝瑠）． …・・………・……・・…………・……（32） ここで，式（30）と式（32）を，面外直ひずみの幾何一 構成関係式（11）に代入することにより，次のような面 外変位係数の算定式： ωω一一 ?v・・一（・−6n・）v（号〃）9Pl・n・ 一〔1−（1一δnO E）”2〕▽・9P’・n・．・……・・（33） が得られる。 次に，面外せん断ひずみの幾何一構成関係式（12）に 式（33）ならびに式（18）を代入すると，面内変位係数の 算定式が次式のように得られる。：ゴil㌶1｝一一一蜘
ここに， X（n）＝2Gw（ηL 2●（n）
一ふ品碗＋（2写1）c2×
融｛δm・1f。▽2K（・「（1一δ・・）（2−・v）・Y・1・・） ＋〔1−（1一δmO 1十レ）v2〕w・m・｝， 9・n・一（2ﾊ1）♂か㊨
・．・◆・．・・・… 一一．・．．・… ．．．・・．．・（35） 式（34）を断面力関数の定義式（26）に代入して整理する ことによりzz）・およびψ1。）に関する支配方程式が次式 のように得られる。ePl…1＋㌦1告醜＋（2芸1）億培×
［δm・1竺。・▽4κ・・−2〔1−（δm・＋δ川）〕▽酩川 ＋〔1−（1一δmO 1一ソ2）v2〕w・m・］一・．（n≧・） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ．・（36） すなわち，この式のn＝0の場合が面外変位係数w・の 支配方程式： 2c2E
、C2▽2tZ」。＝一ψ∼1）一 ▽2ψ13） 1一レ 35＋審醜「3‘5醜
・・………・………（37） を与えることになり，n≧2の場合が断面力関数《筏。） の支配方程式： q・・）＋（2ﾊ1）∂訓㌦1当ノぽ・
−2〔1−（δm。＋δ刎）〕▽2脇） ＋（2芸1）〔1−（｛≡鮮〕嬉躍晦・］一・． ………・…・……・…（38） となる。なお，酩1）の支配方程式は式（19）および式 （17）4より得られる次式： ▽2ψ∼1）＝0◆ ……・………・………・………（39） で与えられることは言うまでもない。 一方，面内変位係数の算定式（34）を，もう一つの断 面力関数砲。）の定義式（25）に代入することにより，S2（n） の支配方程式： s2・n・一（2ﾊ1）♂融醐川一q…・…1…………・（40） が得られる。 最後に，面内応力係数の算定式は以下のようにして 誘導される。 まず，直応力は，幾何一構成関係式（10）、，，と断面力関数を 導入した式（18）から，：：：二lll；；；二批一…一珊
の関係式を求めた後，上式（41）および，面内せん断応 力の幾何一構成関係式（10）3に面内変位の算定式（34） を代入することにより，次のような面内直応力の算定 式：霧：三鱗懲批｝一・一・・e−一一…（42）
が得られる。 5．本論文で提案した理論の特徴 ここでは，前節までに定式化した理論（以下，本論 分の理論と名付ける）の特徴について整理し，次節に 述べる各種修正理論との間の関係を明瞭にするための 準備とする。 本論文の伸縮の1次理論は，次節に述べる他の諸理 論と同じように，平面応力状態に対応することから， 応力の展開係数の0次成分は，面外応力を零とし，3 つの面内応力成分を1つの断面力関数で表し，その支 配方程式を適合条件式から誘導しており，変位成分に 関しては，それらの応力成分を用いて幾何一構成関係 式を支配方程式として解いて求めるという，応力法の 手法に基づいている。 これに対する修正項である1次以上の成分に関して は，これとは異なった混合型の手法に従い，面外応力 成分のみを2種類の断面力関数で表し，混合型の弾性 論基礎式の重み付き積分式を用いて，断面力関数の支 配方程式を誘導するのと並行して，変位係数ならびに 面内応力係数を，理論の従属変数である断面力関数で 表した算定式も求めている。 ただし，曲げの1次理論においては，厚さ方向に一 定と仮定した面外変位に当たるたわみ関数砺を，1次 のせん断ひずみ成分に関する幾何一構成関係式より得 られる支配式（2次理論以上では，この式を断面力関 数の支配式とする）を用いて求め，きらに，断面力関 数q1｝を面外直応力成分が零とした関係式より得られ る調和方程式：平成元年12月 山梨大学工学部研究報告 第40号 ▽2酩、）＝0． ……・………・…・…・………・・………（43） を支配式として求めるものである。従ってこれも，断 面力関数のみを従属変数とする2次以上の理論とは趣 を異にするものとなっている。 また，本理論の特徴の1つとして，各成分の展開仮 定形が挙げられる。 それらは，著者らの平板曲げの混合仮定型理論6）にお いて用いたものと同様で，応力ならびに変位成分を Legendre多項式Pm（ζ）と，その積分形の多項式Rm （ζ），S．（ζ）を用いて展開し，それらの直交性および， それに準ずる非連成性質を利用して，支配方程式をは じめとする各理論式を簡潔な形に表現したものであ る。 ところで，このようなねらいをもって，Legendre多 項式系の多項式を，応力成分の板厚方向分布を与える 展開関数に採用した，応力仮定型あるいは混合仮定型 の理論には，平板およびはり曲げの理論まで含め，次 のものが列挙できる。す巷わち，まず，Poniatoviskii （1961）7）は面内応力丁。fl（α，β＝x，y）を軸力瑠，68）と 面内せん断力瑠および曲げモーメントτ親，魂）， ねじりモーメント瑠と，さらに高次の応力係数 τ。β（n）を展開係数とするLegendre多項式で展開仮定 し，面外応力砺（∫＝x，y，z）は応力のつりあい条件式 と上下表面の境界条件を満足させて求めることによ り，Legendre多項式の積分形の多項式で展開した形 の解を仮定し，それらに低次の項打ち切りを実施した 後，上述の断面力のつりあい式を採り込んだ最小コン プリメンタリエネルギーの原理を用いて支配式を誘導 したものである。なお本論文の理論で用いた，積分形 多項式Rm（ζ）およびSm（ζ）は， Legendre多項式Pm（ζ） を用いてそれぞれ次式： Sm（ζ）一 i2論il；＋、）一 Rm（ζ）一（f−＋1）｛jPm・・（ζ）−Pm−i（ζ）｝・ 2Pm（ζ） （2m−｛−3）（2m−1
＋2誌殻一、）・（m≧2）
・………・………・………㈲ のように表せるが，Poniatoviskiiは，上式（44）の右辺 の表現を直接用いた展開仮定に基づいて定式化を行っ ている点に，特徴が見られる。 また，Soler（1967）8）は，はりの高次理論の構築にお いて，応力および変位g（x，2）をLegendre多項式で展 開仮定すると同時に，（？m（ζ）なる多項式を用いて次 式： m＝0 ・一一一・・・・・・・… @ ．．・・．・… ●．一一・一一（45） のように展開し，Reissnerの変分原理を用いて混合型 理論の支配方程式を誘導するに際し，変分の項には Legendre多項式型展開を，係数式中の項にはく？m（ζ） による展開形を代入し，上下表面での境界条件を簡単 に満足させられるようにすると共に， Qm（ζ）＝Pm（ζ）−Pm＿2（ζ）． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （46） なる関係からLegendre多項式の直交性を用いて，簡 潔な表現の支配式を得ている。なお式（44）よりQm（ζ） は本論文の理論で用いたRm（ζ）との間に Qm（ζ）＝（2m−1）Rm＿1（ζ）． ・… …・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （47） なる関係があることが分かる。 次に，これとよく似たねらいをもって混合仮定型の 平板理論を構築したものとしてKrenk（1981）9）の研究 が挙げられる。これは応力と変位の双方をLegendre 多項式Pm（ζ）で展開すると同時に，面外応力と変位： g（α，z）＝g（x，y，z）に対し，0次，1次の成分で上下表 面の境界条件を満足させた上で，高次成分としてはそ れらの境界条件を乱さないように，（1一ζ2）・を乗じた Jacobi多項式P鼎・1）（ζ）で展開した形を採用して次 式： co 設；≡†蜘±諏）〕・…・・………・…・（48） のように設定し，やはりReissnerの原理を用いた支配 式の誘導に際して，両種の展開形を併用し，両多項式 ならびにその微係数間の直交性とそれらに類似した性 質を巧みに利用して定式化を行ったものである。 なお次節に述べるReissnerの理論をはじめとする， 断面積分型の平面応力問題修正理論等での，各成分の 板厚方向分布関数も結果的には本論文の理論で用いだ Rm（ζ）， Sパζ）と同等もしくはそれに類似した多項式 の，低次の幾つかを採用した形になってはいるが，こ れらでは，面内応力に関しては，高次修正項が低次の 項で定められる断面力の値を変えないという条件より 決まり，面外応力の高次項は面内応力とのつりあいと 上下表面の応力境界条件より決定している。また変位については，これらの応力との間の幾何一構成関係式 を考慮して分布形を設定したものであり，本格的な展 開仮定の低次項からの項採用とはなっていない点が本 論文の理論との間の本質的差異と考えられる。 以上述べた応力仮定ならびに混合仮定理論とは別の 変位仮定型の理論としては，変位成分をLegendre多 項式で展開し，その直交性を利用して，支配運動方程 式（運動方程式の重み付き積分式）の慣性力項におけ る，異なった変位係数間の連成を回避した高次理論と してMindlin・Medickio｝，Medick−Pao11），Moon12）など の，2重級数展開を用いた棒の解析理論等が列挙でき るが，ここでは紙面の都合上，それらについての記述 は割愛する。 6．代表的な平面応力問題の修正理論と平板の伸縮お よび曲げの同次解 ここでは，本理論と同様の主旨で構築された他の平 面応力問題の三次元修正理論について概説するととも に，境界層理論を含む摂動展開型の高次平板理論およ び級数解法型の高次平板理論を用いて，上下表面に荷 重がなく側端面にのみ荷重を受けた平板の問題を解析 した，いわゆる同次解の幾つかを紹介し，各種理論の 相互関係ならびに本理論との関連について示す。なお 各理論間の関係をより明瞭にするために，諸式はでき るだけ本論文の理論で用いた記号法に準じた形で示す こととする。 まず，平面応力問題の修正理論の草分けとして挙げ られるのがReissner（1942）1）の研究である。これは応 力係数ττゴ（。），τ∠」②（i，ノ＝κ，Y，2）に，本論文の理論で用 いたRm（ζ）（m ＝O，2）の，ある定数倍となっている多項 式を，厚さ方向分布関数として乗じた仮定に基づく， 応力法型の1次修正理論である。この内鍬。）は言うま でもなく平面応力問題に対応するもので，τゴ」（2）がその 修正項となっており，これらを次式：
竃議：：闘i曜｝…一・・・…（49）
のように断面力関数を導入して，つりあい方程式を事 前に満足する形に置き，最小コンプリメンタリエネル ギーの原理を用いて支配式を誘導したものである。 次に，Clark・Reissner（1984）2）は，やはり応力係数を 前理論と同様にTiゴ（。），τiゴ（2｝まで採用すると同時に，対 応する応力の展開関数を重みとする変位の重み付き積 分平均U（°），U（2）， V（°）， V・（2）， W（2）を用いた混合型の 修正理論を提案した。この理論は厚さ方向に一定の平 面応力状態を修正するために，高次の面外応力係数を rXZ（2）＝一 9（・）」一酩2），X， r。。（2）−9（2），。一酩2｝W， r。，（2）＝▽2酩2）．｝一一一・・…（50）
のように置き，これらと面内応力係数および重み付き 積分平均変位との間に成り立つ関係式を用いて，支配 式を定式化したものである。これに対し，本論文の理 論を上下対称（伸縮）挙動のみの2次理論として特殊 化したものが上記の理論に帰着するものとなってい る。従って本論文の理論は上下逆対称（曲げ）挙動も 含め，打ち切り次数に制限を設けない一般化理論と なっており，変位も具体的に展開することにより応力 と並行して求め得るように改良がなされている。 さらにClark（1985）3）は，この理論式を用い，正弦分 布面内荷重が端面に作用した半無限板についての数値 例を提示し，修正理論解の特性ならびに，平面応力状 態近似と平面ひずみ状態近似の限界について論じた。 他方，Hartranft4）は，先に述べたReissnerの理論の 応力の厚さ方向分布関数に一般化した表現を用いて次 式（ダッシュ（’）はζに関する微分を表す）：…i耀論）｝一一一蜘
（α，β＝x，g）のように置くとともに，変位を：：：瓢1ζ⇒……一………（52）
と置き（具体的には，Reissnerの結果を参照し，f（ζ）＝ 一響（1一鞭用いている），Ea型の変分原理を用い て支配方程式を誘導している。これは，同論文に示さ れている，平板曲げのReissner理論の一般化と同様， 前述のReissnerの理論の応力成分の一般化を行うと 同時に，本論文の理論における手法と同じく，変位の 展開仮定を併せて実施することにより，変位解の具体 式を求めたものとなっている。しかしながらそこでは， ポテンシャル関数を導入し調和型の支配式に変換する 操作は実施されていない。 次に，著者らの本論文での理論定式化の基盤となっ た，同じ著者らの前研究5）は，応力係数をτ撫）：n＝0， 1，2…5まで採用して，Clarkらの手法に曲げ挙動を含 め，さらに1ランク高次化した理論を定式化すると同 時に，二，三の数値解析を実施し，Clarkの結果等との 比較を通じて，高次化理論の解の性質について論じた平成元年12月 山梨大学工学部研究報告 第40号 ものである。これは本論文の理論の3次理論（n−2）に 相当するものであり，前述のように本理論はこれらを 一般化したものとなっている。ただし，前研究では， 変位の明確な展開は設けておらず，1次の応力係数は， 平面応力状態に対応する0次の係数の型に準じ，面内， 面外とも応力のつりあいを満足する形として
三｛i麗二；1：：㌫三㍑トー・・（53）
のように置き，Ωωの支配式に一つの近似仮定を導入 している点が本論文の理論の手法と異なっている。 次に，同類の修正理論に当たる理論式を，上述した 各理論のような，断面積分型理論（断面積分量あるい は断面平均量に関する関係式の形で定式化した理論） とは異なり，別の手法に基づいて構築した理論につい て以下で述べることにする。 まず，弾性論基礎式の級数解法に基づく理論につい て述べる。これらの理論は変位成分（あるいは変位と 面外応力成分）の解を板厚座標2のべキ級数の形に仮 定し，対応する弾性論基礎式に代入し整理して，支配 式をZのべキごとに区分化することにより，各成分の 展開関数の2次元化連立偏微分方程式を得た後，各式 の階差性質を利用して予備的に解くことによって，そ れらを低次の未知係数に関する高階微分方程式の形に 整理したものである。この系列の代表的な理論として Lur’e（1955）13）の変位法の弾性解が挙げられる。これ は，上述のような変位の仮定に基づいて，変位のつり あい式（Navierの式）の級数解を求めたものである。 Lur’eは表面荷重がなく，側端面に分布荷重を受けた 場合に当たる同次型の支配方程式を満足する伸縮挙動 の解として，面外応力がrx。＝O， r。。＝O， Tne＝0，なる平 面応力状態の厚さ方向平均面内応力iabを， T。。＝K，。，，砺＝K。。，石＝−K，。y．………・…・……・（M） のように，重調和応力関数K（x，y）を用いて仮定し，こ れより面内応力成分を rxx一κ”＋♀吉（1−3；2）v・K，yy・ Tyy一品芸1辛。（1−3・92）V・Kxx， r。。一一κヅ」ｷ吉（・−3・；2）v・K，・y．｝一一
の形として，変位の解から求めている。なお，この解 は後述のReissの理論15）の内部領域解の第2次まで採 用したものと同等である。 一方，曲げ挙動に対してLur’eは， ▽・q−o◆…………・……・・一…………・…・・…………⑯ を満足する応力関数Ψ（x，y）を用い，たわみ関数w。を w・一｛2（1−・）（1一号▽2）一・2▽2｝U”………・…（57） のように求めた後，これを用いて各応力成分を rxx−− r−．・［・ζ（w・，xx＋w ＋芸｛（2−・）ζ3−6ζ｝｛V2w・，xx＋・▽2輌｝］・ Tyy−− P三。・［・ζ（耐・w・，xx） ＋芸｛（2−・）ζ・−6ζ｝｛V2・w・，yy＋・▽2w・，xx｝］， T。。一一 r−．・［・（・一・）ζw・，・y 一芸｛（2−・）93−6ζ｝v・w・，・・］， T・・−Q（E
P一レ2）∂（92−・）V2w・…T・z−・・ …（58） のように，1次と3次の項の和で与えられる変位に基 づいて表示している。なおこれらは，後述するDonnell の理論19）の曲げ状態の同次解と類似の形を示してお り，面外応力に関しては，完全に一致している。 他方，Lekhnitskii（1962）14）は，このLur’eの解法を横 等方性を示す異方性平板の解析にそのまま適用し，同 形の解を得ている。 次に，平板の半厚Cあるいは半厚Cと板幅Lとの比 （＝c／L）等を摂動パラメータとして，各種成分を摂動 展開し，それらを弾性論の基礎式に代入しパラメータ の同じベキ次数ごとの式に区分化したものを支配式と する理論について述べる。 ここではこれらを摂動展開理論と呼ぶことにする。 Reiss・Locke（1961）15）は，上下表面に荷重がなく，側 端面に上下対称な面内分布荷重のみを受けた平板の問 題に対し，半厚cを摂動パラメータとする応力成分の 漸近展開に基づいて，つりあい式と応力の適合条件式 ならびに側端面での境界（荷重）条件を区分化して解 く応力法型の境界層理論の理論式を提案した。この理 論での応力の解は，各次数とも面外応力が零となる内 部領域での解： 己（x，y，ζ）−rxx，n、（x，y）一芸臨鋼 一∬∬ぽ（x，y，B）dBd9’・・t・・ 畝y，ζ）−r…n・（x，y）＋丁ζ2ρ・一・〉・・ye ／1 （磁＋砂． rk＝魂＝0， S2（n）（x，y）＝ 1十レ （n＝0，1，2，・・・・・・・・・・・・… ） 一●．・．．．・．．・●・・．◆．・・・… ●．・・一一・（59） を支配方程式：
篭コ1＝㍗㌫1∵，｝
・………・………・………㈹ より求めたものと，各次数ごとに面外応力も生ずる端 面近傍領域（境界層）でのみ有効な解との重ね合わせ で与えられる。内部領域での0次の解が平面応力状態 の解（Airyの応力関数で与えられる解）に相当し，境 界層での0次の解がその最初の修正値を与える関係と なっており内部領域ならびに境界層での1次の解によ りさらなる修正が与えられ，以下順次三次元弾性論に よる解に近付けていく手法となっている。すなわち， この理論では面内荷重が載荷される側端面近傍を除 き，面外応力は生じないことになり，理論式の段階で 端面近傍の特異現象（境界層問題）を表現している点 が特徴となっている。これに対し，本論文の理論をは じめとする前述の各理論では，勿論，内部領域と側端 面近傍との区別はできないため，理論式の段階では全 領域にわたり面外応力の存在を考慮した形となってお り，問題を解く段階でこれらの成分が内部領域に向 かって減衰する解を与えることで，端面近傍の特異現 象を表現しうる解としなけれぽならない点に大きな差 異が見られる。 また，Kolos（1965）17）は同種の理論を， Gol’den・ veizer18）の提案になる，応力と変位に対し半厚cを摂 動パラメータとして漸近展開した混合型の境界層理論 を用いて，内部領域での解と境界層での2種類の解の すべてを重ね合わせた解を仮定し，それらを連成形で 解く解析法を提案している。 次に，Donnell（1954）19）の理論は（彼自身のはりの修 正理論構築手法を平板の問題に適用したもので），上述 のReissの用いた応力法型の漸近展開法を， Gor denveizerが扱った上下表面に任意の鉛直荷重を受け る平板曲げの問題に適用したものと結果的には完全に 一致する理論であって，古典平板曲げ理論を第1次近 似理論とし，つりあい条件式と応力の適合条件式を順 次高次の板厚方向分布の成分まで満足させる，逐次近 似型の理論として構築したものである。そこでは，荷重 ＝0の解すなわち同次解として，次式の重調和方程式： ▽4K＝0， ▽49P’＝0． 一一一一一一一一．一一一一・一・・●・．・●・・・・・・・… ．・・・… （61） を満足する，2つの断面力関数K（x，y），ψ（x， y）を用 い，伸縮挙動に関してはKを用いて， TXX−一噤､2K，yy・ryy−一＃▽2K，XX・T・y一丁▽2K，・y・ ・一・・一一・・．．．・．・・．・．・．．（62） のような平面応力状態の解を与え，曲げ挙動に関して は，●を用いて， 伝一吉ζ（9if，xx＋v・Ulr・・yy） ＋吉（5・；3−3ζ）（聴＋・v・・gv，・・）＋警ζ四一 etc． r。y−−3（1一レQc2）ζq，・， ＋㌃｛5（2−・）；3−3（2＋3・）ζ｝▽輪3
（ζ2−1）▽2gpr，α， Tzz＝0， Taz＝4c
3（2EP一レ2）c・w・＋妾皇；∂w
……… i63） のような解を与えている。これらを，前述のLur’eの変 位法の弾性解13）における同次解と比較すると，伸縮，曲 げとも，それらの第1項目の成分までが一致するもの となっている。しかしながら，本論文の理論及びLur’e の解とは次数が異なり，伸縮に比べ曲げの次数が高く なっている。またここでは，より高次の成分は，鉛直 荷重に起因する成分としてしか与えられていない点 に，大きな差異が見られる。 他方，Reissner（1963）2°）は，やはり平板の上下表面に 荷重がなく側端面に分布する荷重のみを受けた場合の 解析を，半厚／板幅の比εニc／Lの2乗：ε2を摂動パ ラメータとした，応力，変位成分の偶数次の漸近展開 に基づいて行い，この場合は各次数の面外直応力が生 じず，支配式がすべて同形の重調和方程式： ▽4ω（。）−0；Tzz（。）−0．・一・……一…・……・・…………⑭ となることを示した。続いて，側端面の境界条件につ いては，各次数の支配式との整合性をもったKirch− hoff型の2個ずつの条件式で与え，混合型の変分原理 を用いてこれらの境界条件式を定式化し，考察を行っ ている。この解は前述の平板の伸縮の同次解に関する Reissら15）の内部領域の2次理論の解と対比すべき位 置にあり，また，この2次理論の解は，前述のLur’e13） の平板の曲げ状態の同次解と一致するものである。 7．結 言 本論文においては，上下表面に荷重が作用せず，側 端面に面内および面外分布荷重が作用した平板の解析平成元年12月 山梨大学工学部研究報告 第40号 理論として，伸縮挙動に関しては，平面応力状態の解 を，曲げ挙動に関しては，平板曲げのせん断変形理論 の同次解をそれぞれの出発点とし，これらに任意次数 の厚さ方向成分を考慮することにより，打ち切り次数 に制限を設けない一般化高次理論を構築した。なおこ れらの定式化は，応力及び変位成分をLegendre多項 式ならびにその1回，2回積分形の多項式（これらは， Legendre多項式の組合せで表される）を用いて展開 し，これらの応力係数や変位係数の関係式を，展開関 数の多項式を重み関数とする弾性論基礎式の重み付き 積分式より，Legendre多項式の直交性を利用して，比 較的簡潔な形で表現した。次に，面外応力係数（0次 成分に関しては，面内応力係数）を断面力関数を導入 して，つりあい式を満足する形に表し，上述の基礎関 係式を用いて，他の応力ならびに変位成分をこれらの 断面力関数（さらに1次成分に関しては，たわみ関数） で表すと同時に断面力関数の調和型の支配方程式を導 いた。 本理論は従来の理論を曲げ挙動まで含めて一般化し たものとなっており，高次成分に関して混合型の定式 化を行った結果，変位成分に関しても，具体的な算定 式を与えた理論となっている。 ここでは，さらに，この種の問題に関する他の理論 ならびに，別の手法に基づく解析理論の代表的なもの について概説し，それらならびに本論文の理論の特性 との相互関係について整理することによって，平面応 力問題ならびに，端面分布力による平板曲げ問題に関 する研究経緯をたどり，今後の研究を展望する一資料 として提示した。 なお，本理論の理論式に基づく解析については，文 献6）中にその低次の理論式を用いた数値例が示されて いるが，さらに高次の理論式による解析は現在実施中 であり，本文中でも述べた諸理論ならびに，平面弾性 解および三次元弾性解との比較も含め，後続の論文に て報告する方針である。
