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付録４ 電磁場中の荷電粒子の Hamiltonian
スカラーポテンシャルφ、ベクトルポテンシャルAの電磁ポテンシャル中を運動する電荷 q、質量mの荷電粒子を考える。この系のHamiltonian Hは
(A4.1)
であたえられる。以下ではこの導出を行う。
まず、この系のLagrangian Lは
(A4.2)
ある.。このLagrangianが正しいことは、このLから導かれるLagrange運動方程式がLorentz力
を含む以下の運動方程式となることを示せばよい。
(A4.3)
まず、(A4.3)を直交座標系x = (x, y, z)の各座標で表す。右辺の各項は、φ、Aをもちいて以下
のように表せる。
(A4.4)
(A4.5)
式(A4.3)の各成分は、
(A4.6) (A4.7)
(A4.8) となる。
H = 1
2m(p qA)2+q
L= 1
2mx˙2 q (x) +qx˙ ·A(x)
m¨x=q(E+ ˙x⇥B)
E= r @A
@t = 0 B@
@
@x
@Ax
@ @t
@y
@Ay
@ @t
@z
@Az
@t
1 CA
x˙ ⇥B= ˙x⇥rotA= 0
@ x˙
˙ y
˙ z
1 A⇥
0 B@
@Az
@y
@Ay
@Ax @z
@z
@Az
@Ay @x
@x
@Ax
@y
1 CA
= 0 BB B@
˙ y⇣@A
y
@x
@Ax
@y
⌘ z˙ @A@zx @A@xz
˙ z⇣
@Az
@y
@Ay
@z
⌘
˙ x⇣@A
y
@x
@Ax
@y
⌘
˙
x @A@zx @A@xz y˙⇣
@Az
@y
@Ay
@z
⌘ 1 CC CA
mx¨=q
@
@x
@Ax
@t + ˙y
✓@Ay
@x
@Ax
@y
◆ + ˙z
✓@Az
@x
@Ax
@z
◆
m¨y=q
@
@y
@Ay
@t + ˙z
✓@Az
@y
@Ay
@z
◆ + ˙x
✓@Ax
@y
@Ay
@x
◆
mz¨=q
@
@z
@Az
@t + ˙x
✓@Ax
@z
@Az
@x
◆ + ˙y
✓@Ay
@z
@Az
@y
◆
2
座標xについてのLagrange方程式を確認する。座標y, zについては対称性から同様に導かれ る。xについてのLagrange方程式は、
(A4.9)
である。第1項は、
(A4.10)
より、
(A4.11)
となる。また第２項は、
(A4.12) である。よってLagrange方程式は、
(A4.13)
となる。整理して、
(A4.14)
が得られる。この式は、上の式と等しい。
次にLagrangianからLegendre変換でHamiltonian Hをもとめる。まず運動量pをもとめる。
(A4.15) Hamiltonian Hは、
(A4.16)
よって、(A4.1)が導かれた。
d dt
✓@L
@x˙
◆ @L
@x = 0
@L
@x˙ =mx˙ +qAx
d dt
✓@L
@x˙
◆
=m¨x+q
✓
˙ x@Ax
@x + ˙y@Ax
@y + ˙z@Ax
@z +@Ax
@t
◆
@L
@x = q@
@x +q
✓
˙ x@Ax
@x + ˙y@Ay
@x + ˙z@Az
@x
◆
mx¨+q
✓
˙ x@Ax
@x + ˙y@Ax
@y + ˙z@Ax
@z +@Ax
@t
◆
+q@
@x q
✓
˙ x@Ax
@x + ˙y@Ay
@x + ˙z@Az
@x
◆
= 0
mx¨+q@
@x +q
@Ax
@t + ˙y
✓@Ax
@y
@Ay
@x
◆ + ˙z
✓@Ax
@z
@Az
@x
◆
= 0
p⌘ 0
@
@L
@x˙
@L
@y˙
@L
@z˙
1
A=mx˙ +qA
H = X
j
pj ·x˙j L=p·x˙ L
= (mx˙ +qA)·x˙ 1
2mx˙2+q qx˙ ·A
= 1
2mx˙2+q
= 1
2m(p qA)2+q
3 参考文献
ゴールドスタイン、「古典力学」、吉岡書店
http://solidstatephysics.blog.fc2.com/blog-entry-20.html
