静磁場に垂直に伝播する横波による荷電粒子のv_pxB_0加速 利用統計を見る

静磁場に垂直に伝播する横波による

荷電粒子のvp×B0加速

（昭和60年8月31日受理） 竹内智 坂井一雄 松本道男 杉原亮

vp×B0 Acceleration of a Charged Particle by a Purely Transverse

Electromagnetic Wave Propagating Perpendicularly to

a Static Magnetic Field

SatoshiTAKEUCHI KazuoSAKAI MichioMATSUMOTO RyoSUGIHARA       Abstract   It is found that a charged particle can be trapped by a magnetic neutral sheet which is produced by a static magnetic field Bo and a magnetic field of an electromagnetic wave with a purely transverse electric field propagating Perpendicularly to Bo． Once the particle is trapPed， its detrapping can never occur so long as the magnetic neutral sheet continues to save its original form． The trapped particle moves with the neutral sheet with the phase velocity and feels a constant force along the sheet， and thus gains energy continuously from the wave． A brief discussion will be given on how to realize such a slow transverse wave which can interact with the particle．

1．序

論  静磁場に対して垂直あるいは斜めに伝播する静電波 による荷電粒子の非統計的加速（Vp×B。加速）が研究 されている。静磁場B。に垂直に伝播する静電波による 荷電粒子の加速は，杉原と水野1），Dawsonその他2）に よって研究された。静電波に捕捉された粒子は，波面 と平行な方向に最大速度cE、／B。まで加速されること が示された。ここでE、は静電波の振幅でありcは光速 度である。相対論的な粒子の場合は，Katsouleasと Dawson3）によって研究された。静電波に捕捉された 電子は波から際限なくエネルギーを得ることが示され た。静磁場に斜めに伝播する静電波による荷電粒子の 加速は，杉原その他4）によって研究された。波に捕捉さ れた粒子は適当なある角度（波数ベクトルkと静磁場 ＊ 工学基礎教室，Department of Basic Engineering ＊＊ _{ｼ古屋大学プラズマ研究所，Institute of Plasma Physics，}  Nagoya University B。のなす角度）において，静磁場に垂直に伝播する場 合に比べ4倍のエネルギーを得ることが示された。相 対論的な粒子については，坂井その他5）が研究を行な った。さらに，Lembegeその他6）7）は電磁的粒子コード を用いた計算機シミュレーションによってこの加速機 構を研究した。また，ショック波の急峻な波面におい て，粒子がこの機構によって加速されることが，大 沢8）9）の粒子シミュレーションによって示され，西田そ の他1°）11）はこの加速機構を実験的に検証した。  この論文では，電磁的な横波による新しい粒子捕捉 と加速の機構を示す。静磁場に垂直に伝播する横波に よる粒子捕捉の機構は，静電波による粒子捕捉のそれ とは全く異なる。波と相互作用するような粒子は，波 の位相速度に近い速度で運動している。ここで扱う波 は，本質的には横波であるから，位相速度は光速度に 近いと考えられる。しかし，横波が誘電体で作られた 導波路の中を伝播するとき，その位相速度は光速度よ り遅くなり粒子との相互作用が可能となる。この論文

では，波の位相速度が非相対論的に扱うことができる 程に遅い場合を考える。また，位相速度を遅くする誘 電体の導波路と，その中で励起される波の性質につい て考察する。 2．粒子の捕捉と加速 2．1 運動方程式  平行誘電体導波路において，波の電場E，とその位相 速度Vpがそれぞれx方向，とy方向を向いていると考 える。励起される横波の磁場のy方向とz方向の成分 をそれぞれBy（y， t）とB。（y， t）とあらわすとき，粒子 の加速機構で重要な役割を担うのはB。（y，t）である。 さらにfiBッ（y， t）1はIB。（y， t）1よりも十分小さいので， By（y， t）は無視する。しかし，この成分が粒子の運動 に与える影響については後で考察する。磁場β。に対し 垂直に伝播し，x方向へ直線的に偏極された次式のよ うな電場を考える。  E（y，t）＝E、cOS（ley一ωτ）元     （1） ここで，夕は単位ベクトルである。静磁場属と波の 磁場β1（y，t）≡B。（y，t）は共にz方向を向いている。 波の磁場はマクスウエル方程式によって電場E、と次 式のように関係づけられる。  B，（y，t）＝一（cle／ω）E， cos（紗一ω『）     （2） 電荷q，質量mの荷電粒子の運動方程式は  Vx＝（q／〃2）E、（y， t）＋（q／〃ZC）［B。＋B，（y， t）］の        （3a）  Z） y＝一（〈7／mc）［Bo十B1（y， t）］Vx         （3b） と与えられる。これ以降，時間についての微分は・で 示す。（3）式は位相速度Vpで移動する波の座標系におい て・．  Vx＝9Vp＋（q／mc）［B。一（C／Vρ）E， COS（kY）］吟        （4a）  Vy ＝ 一（q／mc）［Bo−（c／VP）E， cos（le Y）］Vx （4b） となる。ただし，Y＝y−・VpちVy＝Vy−・Vρ，レ㌦＝Vx である。また，Ω＝qB。／mcはサイクロトロン周波数 である。（4a）式の右辺第一項，9Vp，は座標変換から導 出されたローレンツカであり静電波によるvρ×B。加 速と同じ形をしている。そして，粒子のエネルギー増 加は9vρ Vxで与えられる。これは， Vxについての時 間平均がゼロにならない限り，粒子のエネルギーが増 加し続けることを示している。

2．2捕捉機構

 次に示す不等式  Bo＜ （c／vρ）E，       （5） が常に満足されるなら，磁場B，（Y）＝B。＋B、はゼロ 点を持つのでx−z平面に平行に磁気中性面が形成さ れる。この磁気中性面は横波による粒子の捕捉におい て重要な役割を担っている。図一1に示されているよう な一対の磁気中性面A，Bを用いて，粒子の捕捉機構を 説明する。ここで粒子はイオンとし，その初速度は波 の座標系においてゼロとする。また，粒子は初期に磁 気中性面AあるいはBの近傍に位置していると考え る。横波の位相速度と同じ速度Vpで移動する粒子は， x方向に速度を持たない限り波と相互作用することは ない。この様な条件のもとで，最初に粒子がAの近傍 に存在する場合を考えてみよう。粒子は力のx成分fx ＝qVp×B。／cによって磁気中性面に平行な方向に加 速され，さらに力のy成分fy＝4脇×B，／cによって 磁気中性面と垂直な方向へ加速される。［式（4a），（4b）参 照］。特に磁気中性面Aの近傍の粒子に対して，fッはA 面の両側から内側の方向へ働く。したがって粒子はA 面の近傍に捕捉されることになる。捕捉された粒子は fxによって磁気中性面と平行な方向に加速され，その 速度Vxは時間的に増大する。fyはVxとともに増大す るので，粒子の捕捉の状態はさらに強くなり，粒子は 振動しながらA面に漸近してゆく。この運動については， 2．4で述べる。他方，磁気中性面Bの近傍に存在する粒 子はその近傍では捕捉されない。それは力fッがB面の 両側から外側に働いているからである。粒子に働く力 の関係を図一1に示す。また磁気中性面Aの近傍に捕捉 された粒子の軌道は図一2に示す。  粒子の捕捉は初期条件，特に初速度阪。に強く依存 する。もし粒子がA面の近傍で正の初速度V。。を持つ とすると，前述したように粒子はA面の内側に働く力 fッ。＝qVX。×B。／Cによって捕捉され，そして加速さ れる。負のV。。を初速度として持つ場合には，粒子の捕 捉は期待できない。なぜならfy。は粒子をA面の近傍 からはじき出すように働くからである。次に磁気中性 fy ＝qVx xBt lc ⇒1ぐ：コ ［＝〉㌔ Bt＝ Bo◆ Bl 10孟・・rVr・Bo／・ 図一1磁気中性面の近傍に存在する粒子に働く力    （q＞0の場合） Fig．1 Forces experienced by the particle near    the magnetic neutral sheet（q＞0）． Y

Bt＝Bo＋Bl

［iiiii［［ iiiii＞ 図一2 静磁場に垂直に伝播する横波による粒子捕捉の   概念図 Fig．2 Schematic illustation of the particle    trapped in the neutral sheet． 面Bの近傍における初速度依存について考える。もし 粒子がB面の近傍で正の初速度Vx。を持つと， fッ。はB 面の外側の方向へ働くので粒子は捕択されない。Vx。 が負の場合，粒子は初期には捕捉されそして加速され るが，f。はVx。と反対の方向に働くのでしだいに減速 される。x方向の速度Vxが正になったときfyはB面 の近傍で粒子を捕捉するようには働かない。粒子が電 子の場合，イオンと同様に磁気中性面Aの近傍に捕捉 され，そしてイオンと反対の方向に加速されることが 容易に理解される。このようにしてイオンと電子は同 じ磁気中性面に捕捉されお互いに反対の方向に加速さ れる。  粒子捕捉の機構は電磁的な横波と静電的な縦波では 本質的に異なっている。静電波に捕捉された粒子に働 くP一レンツカfy＝qVx×B，／cは粒子を捕捉から解 放するように働く，しかし，横波の場合，磁気中性面 の近傍に捕捉された粒子に対してfyは時間とともに 増大するので，粒子の磁気中性面への捕捉はさらに強 くなる。

2．3捕捉条件

 粒子の捕捉条件についてさらに詳しく調べてみよ う。（4a）式を時間について積分すると，x方向の速度は  Vx； Vx o一トVpg t−｛一（9／le）［Pレ1（Y）一▽（Yo）］，（6a）  ル（Y）＝kY−（cE，／vρBo）sin（kY），     （6b） と求まる。ここで，Y。は波の系における粒子の初期位 置である。（6）式を（4a）式に代入し整理すると次式とな る。  Y＝ −dU（Y）／dY十F（Y， t），      （7a）  σ（｝ア）＝ （92／21e2）［仰ア2（Y）−2W（Yo）レ1ノ『（Y）］     十（、2／le）Vxo W（Y），       （7b）  F（Y，t）＝一Ω2〃ρτ［1−（cE，／vρB。）cos（le Y）．        （7c）  （7a）式における右辺第一項はポテンシャルから導出 された力であり，第二項は時間に依存する復元力をあ らわしている。粒子は初期において磁気中性面Aの近 傍に存在し，正の初速度万。を持っていると考える。ポ テンシャルσ（Y）は図一3に示すような形をしており， 極大値と極小値はそれぞれY，とYmに位置している。 捕捉条件は初速度に強く依存するので，時間に依存す る力F（Y，t）の影響を無視して捕捉条件について議 論する。もし粒子の全エネルギーG＝〃zVy。2／2 ＋σ（Y。）が極大値σ（Y，）よりも小さければ，粒子は ポテンシャルの谷に捕捉される。したがって，捕捉条 件は次式によって与えられる。  （▽。／Vρ）2〈（9／ω）2［W（Y，）−W（Y。）        ＋（2／ω）（Vx。／Vp）］2−（Vx。／Vp）2．（8） ただし，粒子の初期位置はY，とYr（図一3参照）の間に 存在しなければならない。図一4に示した閉曲線の内側 は，初期速度万。を固定した場合のγb一吟。空間にお いて捕捉条件（8）が成立する領域である。  次に時間に依存する力F（Y，t）を含めて捕捉条件 σ02 O．01

Na

之 ∼こ0・0

5

＿O．01 ＿0．02  ＿2．0

隔 i

η

_i  昨

一1．0 0．O Y 1．0 _2．O （xk−1） Y，とYmはそれぞれ磁気中性点に一致する。初   期値とパラメタは次のように与えた。   Vo／Vp＝0．5， Yo＝Ym， B，／，B6＝1．5，   』2／ω＝8．9×10 2． 図一3 ポテンシャルU（Y）の形    The magnetic neutral sheets are located at    Y，and Ym． Initial values and parameters    are 陥〕／Vp＝0．5， Yo＝Ym， B【／1も＝1．5， and    9／ω＝8．9×IO『z． Fig．3  Profile of the potential U（｝っ．

O．05 O．1

Na

ミ  00．O  ＞ 〉 ＿O．1 一〇．05 OX X X X × × X ： X X X X X X × X X X X X X X X × X X X X X X X X X X X X X X OOx × x x x x x x x x x x × x x × x x x × × × x x x x x x x x × x x x x x x X OOX X X × X X × × X X × X x X x x x x x X x xOOOOX X X N X × × X X 逐 XOOO×XXXXXXXXX××××XXXxODOOOOOOOXXXXXXXX_{××ooo×××xxxxxxx××Xxxoooooooooooooxxxxxx} ×xxooo××xxxxx×x××xOOOOOO   OO  OOOx×xx× x× xoooox xx x xx×x xoooooo   oooooooo  oox冥 xx xx xxOOOO1 ×× ×xxOOOOOOO  OOOOOOOOOOO  Oxx xx ×× ××xOOOOOOOOODoooo   ooooooooooooo  ox xx xx xx xOOOOOODOOOOOO  OOOOOOOOOOOOODO  O東 x× xxxXxXOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOO OXX x x ××x xOOOOOOOOOO  OOOOOOOOOOOOOOOOOO  Ox× x x xx× xxoooooooo  oooooooooooooooooooo  xx 亥 × x x × × x x OOOOOOO  OOOOOOOOOOOOOOOOODOO  O 買 ×× ××X xx xOOOOOO  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO  O： tCx xx  xx x xeく）oo  o   りく）  oo く）く）ooooeo oく） ox ………1……1…°8§§§§§…§§§§§§§§…§§…§§…§§……… li…1………：…：§…§…§§§……§…§§§§§§§…§§…9§… × X x × ズ X X X × X X X × x  OOOOOOOOOOOODOOOOOOOO  OX X X X X X X × X × X × X x x X  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO  OX × X X X X X × X X X X X × X x  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO  OX X X X X x X X X ： X × X X × X X  OOOOOOOOOOOOOOOOOO  OX × × x x x × x 寛 罠 x x x x x × x × x  OOOOOOOOOOOOOOOOO  Ox × x 翼 x x x x × × x x x x x x x × x ×  OOOOOOOOOOOOOOO  OOx × x x X X x K x x x x x x × × x x x x x    ooooooooooooo  o× x 買 x x M x x 冨 × x × x × x x x × × 買 X X x O  OOOOOOOOOOO  OOX X 翼 K X 寓 X × 冗 × X X X X X X X X X X X X X × X    OOOOOOO    OO× X X X X X X X X X X X X X X x x x x × × × x X 冥 X X O      OO    OOD × 買 x x × ￥ × ￥ x × x x u × X x X x × × × × × × × x w x x x ooooooo × x × × x x × × × x × x x x x x x x x x x × × × X X x x x x x 累 x x ： o× 匠 x x x x 買 x x x   ＿2．0  ＿1．0  （）．0  1・0  2・O        Yo   （x k’1）   磁気中性面に捕捉された粒子を○印で示し，捕   捉されなかった粒子を×印で示した。閉曲線の   内側に存在する粒子の初期値は捕捉条件⑧を満   足する。 図一4粒子捕捉の初期値依存性    Trapped and untrapped particles are    indicated by open circles and crosses，    respectively． The circles inside of the    solid line satisfy the condition（8）． Fig．4  1nitial value dependence of the particle    trapping． を考えてみよう。y6−▽。空間を格子に分割し格子点 の値を粒子の初期値とする。（3）式にしたがって数値計 算を行ない粒子の軌道を追跡し，粒子が捕捉されるか どうかを調べる。図一4に示された○印は最終的に捕捉 された粒子を，また，×印は捕捉されなかった粒子をあ らわしている。初期t＝0において捕捉条件（8）を満足 しない粒子でも磁気中性面に捕捉されているのがわか る。これは次のように説明される。もし粒子の全エネ ルギーGがσ（Y，）よりも大きいならば，粒子はY，に 位置するポテンシャルの極大値を乗り越えポテンシャ ルの谷に入ってくる。復元力は時間とともに強くなる ので，いくつかの粒子は復元力によってポテンシャル の谷に捕捉される。しかし，復元力から逃れた粒子は 再びポテンシャルの極大値を乗り越え，ポテンシャル の谷の外へ出てゆく。 2．4 捕捉された粒子の運動  磁気中性面の近傍に捕捉された粒子に対して時間が 十分経過すると，x方向の速度Vxは9Vptと近似でき る。したがって，運動方程式（7）はF（Y，t）によって支 配されると考えることができる。Y＝Ymの近傍で（7） 式を展開し，の≡Y−Ymとすると次式を得る。  ￠）十ep’（t）の ＝0      （9） （x k−1）  2．0 〉 1．0 O．0 ＿1．O 10．O 身 へ ＞x T．O （a） （b） Yr Yt VxO∫Vp    O・0   2・0   4．0   6・0   8．0  10・O       T    （xΩ一1） 図一5（a）磁気中性面に捕捉された粒子のメアンダリ    ング運動    （b）磁気中性面に捕捉された粒子のx方向の速    度変化 Fig．5 （a）Meandering motion of the trapped     particle near the magnetic neutral sheet．     （b）Time evolution of Vi of the trapped     particle． ここでΨ（t）＝［CVB29t sin（le｝Ym）］1／2であり，ωB＝ （kqE、／m）1／2はバウンス周波数である。（9）式の近似解

はWKB法を用いると

 （Z）＝ のoW−i／2（t）exp［i∫LP’（t）dt］      （10） ここでφ。は積分定数である。この式は磁気中性面の近 傍に捕捉された粒子のメアンダリング運動をあらわし ている。運動の周期はt’lt2に比例して減少し，振幅の 大きさIY− Ylはt’i／4で減少する。数値計算によって 求めたYとピをそれぞれ図一5（a）と5（b）に示す。粒子 の速度Vxは時間に対して線形的に増加している。ま た，粒子がメアンダリング運動をしながら磁気中性面 に漸近していく様子が見られる。解析的な結果が数値 計算の結果とよく一致することが示された。

3．考

察  電磁的な横波による粒子の加速を考えてきたが，横 波の位相速度は光速度と同程度あるいはそれ以上とな りうる。粒子と横波の強い相互作用を実現するために は，横波の位相速度を光速度より小さくしなければな らない。そこで図一6に示すような平板導波路を考え る。この導波路の内側には誘電体が張り付けられてい る。この様な導波路の中を横波が伝播してゆくと，位 相速度は光速度より小さくなる。静磁場8。の中にこの

PARTICLE

METAL

B。

oLANE

Bz

@  By

@Ex

TE

MOD

DIELECTRIC

WAVE

図一6誘電体導波路の概念図と粒子を加速するTE   波の励起 Fig．6 Schematic illustration of a slow    waveguide and the excitation of TE mode    which accelerates the particles、

導波路を置きTE波を励起すると二つの波の磁場

Bッ（y， t），Bz（y， t）≡B，（y， t）と電場Ex（y， t）がそれ ぞれy，Z方向とx方向につくられる。運動方程式（1）に おいて波の磁場8ッ（y，t）の影響は無視したが，この磁 場は粒子のX方向とZ方向の運動，特にZ方向の運動 に対して影響を与える。この磁場についての運動方程 式は次式のように与られる。  z＞z＝（q／mc）B， Vx．      （ll） 磁場Bッはcos h（β、z）あるいはsin h（βiZ）に比例す る。つまりBy＝B。 COS h（β， Z）あるいはBy＝B、 sir h（β，z）とあらわされる。ただしβ、は正の定数である。 これらの磁場は粒子の運動を不安定にする。しかし， 静磁場（0，0，属）を［0，−B． sin h（β，z），＆］とすること によりByの影響を相殺することができ，粒子の軌道は 安定化される。ただし，Bm＞Bsである。  平板誘電体導波路を伝播する電磁波の位相速度は， 誘電体の厚さ，平板間の距離，誘電率さらに入射電磁 波の波長等に依存する。例えば，誘電体に強誘電体（チ タン酸化物など）を用いると，この導波路中空部を伝 播する電磁波の位相速度が光速度の数分の一程度の値 になり得るので，γp＝（1−Vp2／c2）−lt2≒1となる。こ れは初期における粒子の捕捉と加速が，非相対論的な 取り扱いで議論できることを示している。横波による 粒子捕捉の基本的な概念は，相対論的な取り扱いにお いても本質的には変わりがない。むしろ，非相対論的 な取り扱いによって粒子の加速機構における重要な問 題点が明瞭となり理解が容易となった。  KatsouleasとDawson3）は静電波による粒子の加速 の理論を相対論的な領域まで拡張し，もし電場Eが γpBよりも大きければ，静電波に捕捉された粒子は際 限なく加速されることを示した。これにもとついて， 彼らはSurfatronというレーザー・プラズマ加速器を 提案している。この論文で示した横波による粒子の加 速ではプラズマ波のような縦波は必要としない。もし， 光速度より遅い位相速度を持つ横波が実現されるなら ば，横波による粒子加速の機構はさらに進んだ加速器 の実現において重要な役割を担うと考えられる。

4．結

論  この論文で示された電磁的な横波による粒子の捕捉 と加速の機構は，次のようにまとめられる。 （1）静磁場と垂直な方向に伝播する磁気中性面によっ   て粒子が捕捉され加速される。 （2）磁気中性面は横波の磁場が静磁場よりも大きいと   きに形成される。 （3）磁気中性面に捕捉されたイオンと電子は磁気中性   面に沿ってお互いに反対の方向へ加速される。 （4）磁気中性面に捕捉された粒子は波が壊れない限り   捕捉から逃れることはできない。したがって，粒   子のエネルギーはm（vρ9t）2／2にしたがって際限   なく増大する。

5．謝

辞  導波路の特性について議論していただいた東北大学 の沢谷氏に感謝する。また，科学研究費補助金（エネ ルギー特定研究）によって組織された理論・シミュレ ーショングループにおいて貴重な助言をいただいたこ とに感謝する。この研究は名古屋大学プラズマ研究所 の共同研究計画のもとに行なわれたことを付記する。

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