15 区間推定と仮説検定の問題演習

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統計学 第

15

回

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15 区間推定と仮説検定の問題演習

15.1

基礎となる事実

事実

15.1.1 (

標本平均

)

平均

m

・分散

v

の母集団からとった大きさ

n

の標本平均 を

X¯

とするとき：

X¯ = X1+· · ·+Xn

n

その平均と分散は以下の通りになります：

E[ ¯X] =m, V ar[ ¯X] = v n.

事実

15.1.2 (

標本分散

)

母集団の分散を

v

としたとき、大きさ

n

の標本分散

V¯

と 不偏分散

V˜

：

V¯ = (X1−X¯)²+· · ·+ (Xn−X)¯ ²

n , V˜ = n

n−1V¯

の平均値はそれぞれ

E[ ¯V] = n−1

n v, E[ ˜V] =v

となります。サンプル数が

30

以上であればサンプル分散あるいはサンプル不偏分 散をもって母分散の代用とする事が出来ます。

事実

15.1.3 (

正規分布の標準化

)

正規分布

N(m, v)

に従う確率変数

X

に対して

X√−vm

は標準正規分布

N(0,1)

に従います。

事実

15.1.4 (

正規母集団からの標本平均

)

正規分布

N(m, v)

に従う母集団からとっ た大きさ

n

の標本平均は正規分布

N°

m,^v_n¢

に従います。

事実

15.1.5 (the central limit theorem)

平均値

m

、分散

v6= 0

の母集団からとっ た十分大きなサイズ

n

（

n≥50

）の標本平均は正規分布

N°

m,^v_n¢

で近似されます。

事実

15.1.6 (

正規母集団からの標本分散

)

平均

m

、分散

v

の正規母集団から取っ

た大きさ

n

の標本分散

V¯

は標本平均

X¯

とは独立であって、

^nV¯

v

は自由度

n−1

の

χ²

分布に従います。

事実

15.1.7

平均

m

の正規母集団からとった大きさ

n

の標本平均

X¯

と標本分散

V¯

に対して、確率変数

X¯−m q V¯

n−1

は自由度

n−1

の

t-

分布に従います。

事実

15.1.8 (

２項分布の正規分布による近似

)

２項分布

B(n, p)

は、

n

が十分大き ければ、平均

np

、分散

npq

の正規分布で近似されます（

q= 1−p

） ：

P[B(n, p) =j]∼P

∑ j−1

2 ≤N(np, npq)≤j+1 2

∏ .

一般的には

np≥5, nq =n(1−p)≥5

を満たしていれば実用上問題ないレヴェル で

n

は『十分大きい』と考えて良く、

np≥10

であればかなり良く近似されます。

15.2

点推定の演習問題

基本演習

15.1

ある材料１０個の直径を測定したところ次の値が得られました。こ のとき母平均の推定値を点推定によって求めて下さい。

3.055,3.012,3.045,3.033,3.070, 3.038,3.052,3.044,3.072,3.005

15.3

区間推定の演習問題

基本演習

15.2 (

問題集 

5.5)

ある高専の３年生の中から無作為に２５名を抽出し

て身長を測定したところ次の結果が得られました。身長の分布が標準偏差

5.5

 の 正規分布に従うものとして、その高専の３年生の身長の平均値を信頼度９５％で推 定して下さい。

168 168 167 178 164 170 167 169 172 175 178 170 160 176 167 172 158 171 180 174 173 180 172 170 165

基本演習

15.3 (

教科書 問題

16.8

 母分散既知に改題

)

ある高専３年男子学生の

１００メートル走の記録の度数分布は分散が

(1.88

秒

)²

で、正規分布に従うものと します。学生の中から４０人を無作為に選び、１００メートル走の記録をとったと ころ平均値が

15.3

秒でした。全学生の平均値を信頼度９５％で推定して下さい。

基本演習

15.4

全国一斉にある教科のテストが行われました。受験生から１００名

を抽出し、その得点の平均と標準偏差を求めたところそれぞれ

58.3

点、

12.4

点で

した。全受験生の平均得点の９５％信頼区間を求めて下さい。

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統計学 第

15

回

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基本演習

15.5

ある動物用の新しい飼料を試作し、任意抽出された１００匹にこの

飼料を毎日与えて１週間後に体重の変化を調べました。増加量の平均は

2.57kg

、標

準偏差は

0.35kg

でした。この増加量について母平均を信頼度９８％で区間推定し

て下さい。

基本演習

15.6

ある母集団から２万個のサンプルを取って調査したところ、サンプ ルの平均は

157.9

、サンプルの不偏分散は

5.35²

でした。母平均の

95

％信頼区間を 求めて下さい。

基本演習

15.7

ある工場で生産しているケース入洗剤の内容量は、従来の測定に よって母分散が

(3.5g)²

の正規分布に従う事が知られています。

ある単位生産時間の製品の中から２５個を無作為に抽出して測定したところ、平

均値が

202.8g

でした。内容量の母平均

m

に対して信頼度９５％の信頼区間を求め

て下さい。

基本演習

15.8

ある正規母集団から大きさ

5

のサンプルを抽出したところ分散の実

現値が

2.531

でした。母分散の信頼度９５％の信頼区間を求めて下さい。

15.4

仮説検定の演習問題

基本演習

15.9 (

教科書 例題

16.4)

ある工場では生産しているスチールボールの

規格を直径

12mm±0.5mm

としています。いま一つの製品ロットから次の個数を 無作為に取り出して直径を測定したところ、どの場合も直径の平均値が

12.04mm

、 分散が

0.12²mm

でした。それぞれの条件のもとでこのロットのスチールボールの 直径の平均値は規格の中央値の

12mm

であると言えるでしょうか。有意水準５％で 検定して下さい。

（１）２０個、全てのスチールボールの直径の分布は正規分布に従い、母標準偏

差が

0.1mm

であることが分かっている。

（２）８０個、母標準偏差が

0.1mm

であることが分かっている。

（３）８０個、母標準偏差は不明。

（４） （１）と同じ条件のもとで、このロットの直径の平均値は

12mm

より大き いと言えるかどうか。

基本演習

15.10 (

教科書 問題

16.11)

ある工場で製品の寿命時間は正規分布に従

い、その標準偏差は

120

時間であることが分かっています。この会社では『当工場 の製品の寿命の平均値は

1800

時間である』と公表しています。この工場の製品

10

個を無作為に抽出して寿命を測定したところ平均値が

1760

時間でした。この会社 の公表は正しいと認められるでしょうか、有意水準５％で検定して下さい。

基本演習

15.11 (

教科書 練習問題

16-1)

ある工場で生産しているスチールパイプ

から１００個取り出して直径を測定したところ、平均値が

20.1mm

、分散が

0.23²mm

でした。

（１）直径の母平均

m

の信頼度９９％の信頼区間を求めて下さい。

（２）直径の平均値

m

は

20.0mm

であると工場は言っています。その主張は正 しいと言えるでしょうか、有意水準１％で検定して下さい。

基本演習

15.12 (

教科書 練習問題

16-4)

ある工場で生産している製品は通常重

さの平均値が

80g

、標準偏差が

4g

の正規分布をしています。ある日の製品の中か ら５０個の標本を抽出して測定したところ、重さの平均値が

80.8g

でした。その日 の製品は平常と比べて重いと言えるでしょうか。標準偏差は変わらないものとして 有意水準５％で検定して下さい。

基本演習

15.13

ある工場の資料によると、機械Ａで作られた製品の平均重量は

5.68g

です。新しい機械Ｂが導入されて同じ製品が作られていますが、製品の平均

重量に変化が生じたように思われたので、Ｂによる製品から１００個無作為に抽出

したところ平均重量が

5.71g

、標準偏差が

0.23g

でした。Ｂを用いて作られた製品

の重量は正規分布に従うものとし、また標準偏差はサンプル値の

0.23g

であると仮

定し、平均重量は変化したと言って良いかどうか、有意水準５％で仮説検定して下

さい。

2014

年

9

月

18

日（木）

9:00-10:30

平成

26

年度前学期 統計学 定期試験 問題

4C・4I

担当：笠井 剛

3

問題

15.4.1 (

１５点

)

平均値が

m

、分散が

t > 0

である確率変数

A

があ り、

B =−2A+ 3

とします。

（１）

E[B]

を求めて下さい。

（２）

V ar[B]

を求めて下さい。

（３）相関係数

Cor[A, B]

を求めて下さい。

ただし、相関係数とは共分散を標準偏差の積で割った値とします：

Cor[A, B] = Cov[A, B]

pV ar[A]p V ar[B]

問題

15.4.2 (

１０点

)

２次元の確率変数

(X, Y)

の密度関数が２変数関数

h(x, y)

であるとはどう云う事か『累次積分』もしくは『体積』を使って述

べて下さい。ただし『なぜそうなるのか』は説明する必要はありません。

問題

15.4.3 (

１０点

)

確率変数

X

の密度関数が関数

w(x) = ¹₂e^−|x|

であ るとき、確率

P[1≤X]

を求めて下さい。

問題

15.4.4 (

１５点

) X

が平均５、分散４の正規分布に従うとき、裏面

の標準正規分布表を使って確率

P[3≤X ≤10]

を求めて下さい。

問題

15.4.5 (

１０点

)

次の各文章が正しいか間違っているかを○／×の

みで答えて下さい。

（１）平均値が

m

、分散が

v > 0

である母集団からとった大きさ

3

の 標本分散の平均値は

²

3v

である。

（２）平均値が

m

、分散が

v >0

である母集団からとった大きさ

n

の 標本平均の平均値は

^m

n

である。

問題

15.4.6 (

２５点

)

あるメーカーが製造販売しているヨーグルトは

1

個の内容量が

80

グラムと表示されていますが、実際にあるスーパーマー ケットで販売されている

5

個を無作為に選んで内容量を調べたところ、

79

、

80

、

81

、

81

、

81(

単位

:

グラム

)

でした。生産された全てのヨーグルト の内容量の全体（これを母集団とします）は正規分布に従っているもの と仮定して以下の問いに答えて下さい。

（１）この５個のサンプルの内容量の平均値と分散を求めて下さい。

（２）問題の母集団からとった大きさ５の標本平均を

X¯

、標本分散を

V¯

とし、さらに母平均を

m

とするとき、確率変数

T = ^X¯q−_V¯^m

4

はいわゆる

t-

分布に従う事が知られていますが、その自由度は幾つでしょうか。

（３）裏面の

t-

分布表を使って

P[|T| ≤d] = 0.99

となるような正数

d

を求めて下さい。

（４）以上の結果から母平均の信頼度

0.99

の信頼区間を求めて下さい。

問題

15.4.7 (

１５点

)

ある工場で生産しているスチールパイプの直径の

平均値が

20.0mm

であると言えるかどうか、大きさ１００のサンプル調

査によって有意水準５％で検定する事にしました。そこで実際に１００ 個取り出して直径を測定したところ、平均値が

20.2mm

、分散が

0.45²mm

でした。

（１）帰無仮説

H0

： 『母平均は

20.0mm

である』が正しいと仮定して棄 却域を求めて下さい。

（２）帰無仮説が棄却されるかどうか調べて下さい。

標準正規分布表

P[ 0≤N(0,1)≤z] = Z z

0

√1

2πe^−x22dx

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

χ²-分布表 p=P[d≤X] =

Z₁

d

°₁

2

¢ⁿ₂ Γ°_n

2

¢xⁿ²⁻¹e^−x2dx

n\p 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 .0⁴3927 .0³1571 .0³9821 .0²3932 .01579 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

2 .01003 .02010 .05064 .1026 .2107 4.605 5.991 7.378 9.210 10.60

3 .07172 .1148 .2158 .3518 .5844 6.251 7.815 9.348 11.34 12.84

4 .2070 .2971 .4844 .7107 1.064 7.779 9.488 11.14 13.28 14.86

5 .4117 .5543 .8312 1.145 1.610 9.236 11.07 12.83 15.09 16.75

6 .6757 .8721 1.237 1.635 2.204 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55

7 .9893 1.239 1.690 2.167 2.833 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28

8 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 19 6.844 7.633 8.907 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 20 7.434 8.260 9.591 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 22 8.643 9.542 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 24 9.886 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 26 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77 50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49

t-分布表 p=P[|Tn| ≥d] = 2 Z ₁

d

Γ°_n+1

2

¢

√nπΓ°_n

2

¢ µ

1 +x² n

∂−ⁿ⁺¹₂

dx

n\p 0.10 0.05 0.01 0.001 n\p 0.10 0.05 0.01 0.001 1 6.3138 12.706 63.657 636.62 18 1.7341 2.1009 2.8784 3.922 2 2.9200 4.3027 9.9248 31.598 19 1.7291 2.0930 2.8609 3.883 3 2.3534 3.1825 5.8409 12.941 20 1.7247 2.0860 2.8453 3.850 4 2.1318 2.7764 4.6041 8.610 21 1.7207 2.0796 2.8314 3.819 5 2.0150 2.5706 4.0321 6.859 22 1.7171 2.0739 2.8188 3.792 6 1.9432 2.4469 3.7074 5.959 23 1.7139 2.0687 2.8073 3.767 7 1.8946 2.3646 3.4995 5.405 24 1.7109 2.0639 2.7969 3.745 8 1.8595 2.3060 3.3554 5.041 25 1.7081 2.0595 2.7874 3.725 9 1.8331 2.2622 3.2498 4.781 26 1.7056 2.0555 2.7787 3.707 10 1.8125 2.2281 3.1693 4.587 27 1.7033 2.0518 2.7707 3.690 11 1.7959 2.2010 3.1058 4.437 28 1.7011 2.0484 2.7633 3.674 12 1.7823 2.1788 3.0545 4.318 29 1.6991 2.0452 2.7564 3.659 13 1.7709 2.1604 3.0123 4.221 30 1.6973 2.0423 2.7500 3.646 14 1.7613 2.1448 2.9768 4.140 40 1.6839 2.0211 2.7045 3.551 15 1.7530 2.1315 2.9467 4.073 60 1.6707 2.0003 2.6603 3.460 16 1.7459 2.1199 2.9208 4.015 120 1.6577 1.9799 2.6174 3.373 17 1.7396 2.1098 2.8982 3.965 ∞ 1.6449 1.9600 2.5758 3.291