演習問題５－１
軽水 (H 2 O) 中に、熱中性子が密度 n=10 7 (1/cm 3 ) で存在している。軽水と熱中性子との反応率を 求めなさい。ただし、軽水の密度
ρ =1.0(g/cm 3 ) とし、アボガドロ数
N A =6.022 × 10 23 (1/cm 3 ) 、反応のミクロ断面積
を 103(barn) 、熱中性子の速度 v=2.2 × 10 5 (cm/s)
とする。
演習問題５－１ 回答の方針
軽水の原子量は、 18 であるから、原子核数は、
N=N A ρ /18=(6.022 × 10 23 )( 1.0)/18=
(1/cm 3 ) 、
よって、 1(barn)= 1.0 × 10 -24 (cm 2 ) であること より、マクロ断面積Σは、
Σ =N σ = (1/cm)
従って、反応率 R は、
R= Σ vn= (1/cm 3 /s)
演習問題５－１回答
軽水の原子量は、 18 であるから、原子核数は、
N=N A ρ /18=(6.022 × 10 23 )( 1.0)/18=0.344 × 10 23 (1/cm 3 ) 、
よって、 1(barn)= 1.0 × 10 -24 (cm 2 ) であることより、マ クロ断面積Σは、
Σ =N σ =(0.344 × 10 23 )( 103 × 10 -24 )=34.4(1/cm)
従って、反応率 R は、
R= Σ vn=(34.4)( 2.2 × 10 5 )( 10 7 )=7.57 × 10 13
(1/cm 3 /s)
演習問題 5-2
無限に広い媒質中に、毎秒 S 個の中性子 を等方的に放出している点源がある。中性 子束分布φを求めなさい。
S[
個/s]
r S[
個/s]
r
演習問題５－２ 解答 (1/4)
拡散方程式は、L：拡散距離とすると次式で与えられる。
ここで、球座標系のラプラス演算子は
となる。この計算では等方性を仮定しているのでj, qに無関係となり
式③を式①に代入すると
L 0 1
2
2 − =
∇ φ φ
2 2 2
2 2
2 2
2
sin r
1 sin r
sin r
1 r r
r r
1
ϕ θ θ
θ
θ ∂
+ ∂
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂ + ∂
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂
= ∂
∇
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂
= ∂
∇ r r
r r
1
22 2
L 0 1 dr
) r ( r d
dr ) r ( r d
r 2 1
2 2
2 2
2 ⎟⎟ ⎠ − =
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ φ + φ φ
①
②
③
④
S[
個/s]
r S[
個/s]
r
演習問題５－２ 解答 (2/4)
ここで と置く。すると、
よって、式④は、
となる。この式の一般解は
で与えられる。改めて書き直すと
dr ) r ( r d ) r dr (
dw = φ + φ
2 2 2
2 2
2
dr ) r ( r d
dr ) r ( 2 d dr
) r ( r d
dr ) r ( d dr
) r ( d dr
w
d = φ + φ + φ = φ + φ
0 L w
1 dr
w d
2 2
2
− =
L / r L
/
r
Be
Ae
w =
−+
L / r L
/
r
e
r e B
r ) A r
( =
−+
φ ⑥
⑤
)
r
(
r
w = ⋅ φ
演習問題５－２ 解答 (3/4)
条件より、無限遠点においては中性子束は無限大とならないので B=0とならなければならない。よって式⑥は
フィックの法則より、中性子の流れの密度Jは、
また、境界条件は中性子の流れの密度をJとすると、r=0において四方八方 にS[個/s]の中性子を放出すると考え、
L / r L
/ r
2
e
Lr e AD
r AD
dr ) r ( D d J
−
−
+
=
−
= φ
L /
e
rr ) A r
( =
−φ
S ) J r
4 (
lim
20
r
⋅ =
→
π
⑧
⑦
⑨
演習問題５－２ 解答 (4/4)
この式に式⑧を代入すると
よって、
最終的に、中性子束分布 φ(r) は
S AD
4 Lr e
e AD r
r AD 4
lim
2 2 r/ L r / L0
r
⎟ = =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
⋅
− −→
π π
D 4 A S
= π
L /
e
rr 1 D 4 ) S r
( = ⋅
−φ π
⑩
演習問題５－３
厚さ a の無限に広い平板の中央に無限平 面源があり、毎秒 S 個の中性子を放出して いる。中性子束分布φを求めなさい。
中性子源
a
S[個/s]
Ｘ X=0 X=a/2
X=-a/2 中性子源
a
S[個/s]
Ｘ X=0 X=a/2
X=-a/2
演習問題５－３ 解答の方針
拡散方程式は、L：拡散距離とすると次式で与えられる。
今回はx方向のみの拡散を考えるので、式①は、
上式を解くと、一般解は
分布は軸対称であるので、 x>0 の領域のみ
を考えると、境界条件は、 であるから、
④式を③式に代入して、整理すると となる。これを式③に代入すると、
フィックの法則より、中性子の流れの密度Jは、
L 0 1
2
2
− =
∇ φ φ
L 0 1 dx
2 22
φ − φ =
ｄ
2 0 a ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ φ ⎛
①
②
③
④
⑤
⑥
=
−
= dx
) x ( D d
J φ ⑦
また、中性子の流れの密度を Jとするとx=0において四方八 方にS[個/s]の中性子を放出 すると考え
この式に式⑦を代入すると
よって中性子束分布は、
2 J S lim
0
x
=
→
=
A ⑨
⑧
=
)
x
φ (
演習問題５－３解答 (1/3)
拡散方程式は、 L ：拡散距離とすると次式で与えられる。
今回は x 方向のみの拡散を考えるので、式①は、
上式を解くと、一般解は
分布は軸対称であるので、 x>0 の領域のみをまず考える。
境界条件は、
である。④式を③式に代入して、Bについて整理すると
となる。これを式③に代入すると、
L 0 1
2
2
− =
∇ φ φ
L 0 1 dx
2 22
φ − φ =
ｄ
2 0 a ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ φ ⎛
L / x L
/
x
Be
Ae )
x
( =
−+
φ
L /
Ae a
B = − −
[ e x / L e ( a x ) / L ]
A ) x
( = − − − − φ
①
②
③
④
⑤
⑥
演習問題５－３ 解答 (2/3)
フィックの法則より、中性子の流れの密度 J は、
また、中性子の流れの密度をJとするとx=0において四方八方に S[個/s]の中性子を放出すると考え
この式に式⑦を代入すると
[
x/L (a x)/L]
L / ) x a ( L
/ x
e L e
AD
L e e 1
L AD 1 dx
) x ( D d J
−
−
−
−
−
−
+
=
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡ +
=
−
= φ
2 J S
lim x 0 =
→
[ ] [ ]
2 e S
L 1 e AD
L e
lim AD x / L ( a x ) / L a / L
0
x − + − − = + − =
→
⑦
⑧
⑨
演習問題５－３ 解答 (3/3)
よって、
ゆえに、式⑥は、
これは x>0 の領域での分布だが、 x<0 の領域でも対称な分布を持つ。
よって書き改めて
[ 1 e a / L ] 2 LS D 1 e 1 a / L
L D
2 /
A S −
− = ⋅ +
+
=
L / a
L / ) x a ( L
/ x
e 1
e e
D 2 ) LS x
( −
−
−
−
+
⋅ − φ =
L / a
L / ) x a ( L
/ x
e 1
e e
D 2 ) LS x
( −
−
−
−
+
⋅ −
φ = ⑫
⑪
⑩
演習問題５－４
拡散距離の２乗が、中性子が放出された
点から吸収される点までの直線距離の２
乗の平均の 1/6 に等しいことを示しなさい。
演習問題５－４ 解答の方針
よって、拡散距離の 2 乗が、中性子が放出された点から吸収される 点までの直線距離の 2 乗の平均の 1/6 に等しい。
=
= ∫ ∞ −
0
L / r 2
2 r e dr
L
r 3
演習問題５－４ 解答 (1/3)
5-２より、無限媒質中に点源があり、そこより距離r離れた点における 中性子束は
となる。ここで距離rと距離r+drの間の体積球殻で毎秒吸収される中性 子の数dNを考える。中性子吸収マクロ断面積をとすると、
この式は、拡散距離を用いて書き改めることができ、
となる。この源によって、毎秒総計S個の中性子が放出され、dN個の中 性子がrとr+drの間で毎秒吸収されるとすると、放出された1個の中性子 がdr中で吸収される確率はdN/Sと等しい。よって、
L /
e
rr 1 D 4 ) S r
( = ⋅
−φ π
dr D re
dV S ) r (
dN = Σ
a⋅ φ = Σ
a −r/Ldr L re
dN = S
2 −r/Ldr L re
dr 1 ) r ( S p
dN
r/ L2
=
−=
演習問題５－４ 解答 (2/3)
よって、確率分布関数は
となる。ここで、nが整数の場合、次式が成立する。
確率分布関数のn次のモーメントは次式で表される。
ここで確率分布関数の2次のモーメントを考える。すなわち
L / r 2
re L ) 1 r (
p =
−1 n 0
ax n
a
! dx n
e
x
+∞ −
∫ =
∫
∞=
0 n
2
r p ( r ) dr
r
( ) ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ − +
=
=
=
∫
∫
∫
∞
∞ −
−
∞
−
∞
0
L / r 2 0
L / r 3 2
0
L / r 3 2 0
2 2
dr e
r L 3 e
r L L
1
dr e
L r dr 1
)
r
(
p
r
r
演習問題５－４ 解答 (3/3)
よって、拡散距離の 2 乗が、中性子が放出された点から吸収される 点までの直線距離の 2 乗の平均の 1/6 に等しい。
( )
( )
2
0
L / r 0
L / r 0
L / r
0
L / r 0
L / r 2 0
L / r 2 2
L 6
dr e
L re
L 6
dr re
6
dr re
L 6 e
r L L
3
dr e
L r r 3
=
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ − +
=
=
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ − +
=
=
∫
∫
∫
∫
∞ −
− ∞
∞ −
∞
∞ −
−
∞ −
演習問題５－５
以下の積分を実行せよ。
ϕ θ θ
θ φ θ
π φ
π θ π
ϕ r drd d
e z
J r
r s
z
t
cos cos sin
4 0 0 0
2 0 2
0 ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂ Σ ⋅
= ∞ − Σ
=
=
=
− ∫ ∫ ∫
演習問題５－５ 解答 (1/2)
3 cos 1
3 sin 1
cos
2 1 4
2 cos 2
2 sin sin
cos
1 cos
cos cos cos
2
2
0 2 3
0
2
2
0 2
0 2
0
2 0 0
0 2
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
2 0
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡−
=
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
= ⎡−
=
⎟ Σ
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
= Σ
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− Σ
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− Σ
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⋅
=
= =
= =
=
∞
= Σ
∞ −
= Σ
−
∞
= Σ
∞ −
= Σ
∞ −
= Σ
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
θ π
θ
π
θ π
θ π
θ π ϕ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
φ θ φ
φ θ φ
φ θ φ
φ θ φ
π ϕ
d
d d
z
e z
e
rdr z e
dr e
dr z r
e d
t t
t r r
t r r
r
r r
r r
r
t t
t t
t
