15 区間推定と仮説検定の問題演習 解答例
基本演習15.1 3.0426.
基本演習15.2 [168.4,172.7].
基本演習15.3 [14.72,15.88].
基本演習 15.4 全国一斉にある教科のテストが行われました。受験生から１００名 を抽出し、その得点の平均と標準偏差を求めたところそれぞれ58.3点、12.4点で した。全受験生の平均得点の９５％信頼区間を求めて下さい。
母分布： unknown
母平均： unknown
母分散： unknown
サンプルサイズ： 100（large） サンプル平均： 58.3
サンプル分散： 12.42
大きなサンプルを取っているので母分散は標 本分散で代用出来ます。また母平均をmとすれ ば中心極限定理により、この母集団からとった大 きさ100の標本平均X¯は正規分布N≥
m,12.41002¥ で近似されます。
そこでまず
P[|X¯ −m| ≤d] = 0.95 となる様なd >0を求めます。少し変形すれば
0.95 =P
ØØ ØØ ØØ
X¯−m q
12.42 100
ØØ ØØ ØØ≤ d
q
12.42 100
∼P
|N(0,1)| ≤ d q
12.42 100
= 2P
0≤N(0,1)≤ d q
12.42 100
0.475 =P
0≤N(0,1)≤ d q
12.42 100
となりますが、標準正規分布表に依れば、
qd
12.42 100
∼1.96, d=1.96×12.4 10 ∼2.43 であれば良い事が分かります。従って
P[|X¯−m| ≤2.43]∼0.95
が分かりました。従って今回の標本平均の具体値は信頼度95パーセントで不等式
|58.3−m| ≤2.43 すなわち 58.3−2.43≤m≤58.3 + 2.43 を満たしていますので、求める信頼区間は[55.87,60.73]になります。
基本演習15.5 ある動物用の新しい飼料を試作し、任意抽出された１００匹にこの 飼料を毎日与えて１週間後に体重の変化を調べました。増加量の平均は2.57kg、標
準偏差は0.35kgでした。この増加量について母平均を信頼度９８％で区間推定し
て下さい。
母平均をmとします。大きさ100の大きなサンプルを取っているので母分散は標本 分散で代用出来、従って中心極限定理によればこの母集団からとった大きさ100の標本 平均X¯ は正規分布N≥
m,0.351002¥
で近似されます。
そこでまず
P[|X¯−m| ≤d] = 0.98 となる様なd >0を求めます。少し変形すれば
0.98 =P
ØØ ØØ ØØ
X¯ −m q0.352 100
ØØ ØØ ØØ≤ d
q0.352 100
∼P
|N(0,1)| ≤ d q0.352
100
となりますが、標準正規分布表に依れば、
P[|N(0,1)| ≤2.33]∼0.98 ですから、
qd
0.352 100
= 2.33, d=2.33×0.35
10 = 0.08155 であれば良い事が分かります。従って
P[|X¯ −m| ≤0.08155]∼0.98 が分かりました。
従って今回の標本平均の具体値は信頼度98パーセントで不等式
|2.57−m| ≤0.08155 すなわち 2.57−0.08155≤m≤2.57 + 0.08155 を満たしています。
従って元データの平均値mの、信頼度９８％の信頼区間は[2.49,2.65]になります。
基本演習 15.6 ある母集団から２万個のサンプルを取って調査したところ、サンプ ルの平均は157.9、サンプルの不偏分散は5.352でした。母平均の95％信頼区間を 求めて下さい。
まず状況を整理すると以下の通りです：
【母集団】
分布： 不明 平均： 不明 分散： 不明
【サンプル】
サイズ： 20000 平均： 157.9 不偏分散： 5.352
母平均は不明ですが、計算の都合上仮にmとしておきます。また、大きさ20000の 大きなサンプルを取っているので母分散はサンプル不偏分散で代用出来ます。
従って中心極限定理によれば、この母集団から取った大きさ20000の標本平均X¯ は 正規分布N≥
m,200005.352¥
で近似されます。そこでまず P[|X¯ −m| ≤d] = 0.95
となるような正数dを求めますが、正規分布で近似して更に標準化すれば 0.95 =P[|X¯ −m| ≤d]
∼P∑ØØØØN µ
m, 5.352 20000
∂
−m ØØ ØØ≤d
∏
=P
"
|N(0,1)| ≤ d
5.35 100√ 2
#
0.475 =P
"
0≤N(0,1)≤ d
5.35 100√ 2
#
ですから、正規分布表により 5.35d
100√2 ∼1.96すなわちd∼0.0744ですから結局 P[|X¯ −m| ≤0.0744] = 0.95
が得られた事になり、今回のサンプル調査の平均値がX¯ の１つの実現値である事に注 意すれば、信頼度95％で
|157.9−m| ≤0.0744, すなわち 157.83≤m≤157.97 が成り立つと言えます。従って求める信頼区間は[157.8,158.0]です。
基本演習 15.7 ある工場で生産しているケース入洗剤の内容量は、従来の測定に よって母分散が(3.5g)2の正規分布に従う事が知られています。
ある単位生産時間の製品の中から２５個を無作為に抽出して測定したところ、平
均値が202.8gでした。内容量の母平均mに対して信頼度９５％の信頼区間を求め
て下さい。
この母集団からとった大きさ２５の標本平均X¯ は正規分布N≥
m,3.5252¥
に従います。
まず
0.95 =P[|X¯ −m| ≤d]
となる正数dを求めます。
0.95 =P∑ØØØØN µ
m,3.52 25
∂
−m ØØ ØØ≤d
∏
=P
∑
|N(0,1)| ≤ d
3.5 5
∏
= 2P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.7
∏
0.475 =P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.7
∏
ですから、標準正規分布表によれば d
0.7 ∼1.96, 従って d∼1.372 が得られます。従って
P[|X¯ −m| ≤1.372]∼0.95
ですから、今回のサンプル平均値が202.8だった事から、信頼度95％で
|202.8−m| ≤1.372, 従って 201.428≤m≤204.172 が成立しており、これが求める信頼区間になります。
基本演習15.8 ある正規母集団から大きさ5のサンプルを抽出したところ分散の実
現値が2.531でした。母分散の信頼度９５％の信頼区間を求めて下さい。
母集団は正規分布N(m, v)に従うものとします。するとここから取った大きさ５の 標本分散をV¯ とすると 5
vV¯ は自由度４のカイ自乗分布に従います。
このときカイ自乗分布表によれば P[0.4844≤ 5
vV¯]∼0.975, P[11.14≤5
vV¯]∼0.025, P[0.4844≤ 5
vV¯ ≤11.14]∼0.95 が分かりますから、今回の分散のサンプル値2.531については信頼度95％で
0.4844≤ 5
v2.531≤11.14 5·2.531
11.14 ≤v≤5·2.531 0.4844 1.1360≤v≤26.1251 である事が分かり、これが求める信頼区間になります。
基本演習15.9 (高専教科書 例題16.4) ある工場では生産しているスチールボール
の規格を直径12mm±0.5mmとしています。いま一つの製品ロットから次の個数を 無作為に取り出して直径を測定したところ、どの場合も直径の平均値が12.04mm、 分散が0.122mmでした。それぞれの条件のもとでこのロットのスチールボールの 直径の平均値は規格の中央値の12mmであると言えるでしょうか。有意水準５％で 検定して下さい。
（１）２０個、全てのスチールボールの直径の分布は正規分布に従い、母標準偏
差が0.1mmであることが分かっている。
（２）８０個、母標準偏差が0.1mmであることが分かっている。
（３）８０個、母標準偏差は不明。
（４）（１）と同じ条件のもとで、このロットの直径の平均値は12mmより大き いと言えるかどうか。
帰無仮説H0： 『全てのスチールボールの直径の平均値は12mmである』
対立仮説H1： 『全てのスチールボールの直径の平均値は12mmでない』
（１）帰無仮説H0が正しいと仮定し、母集団N(12,0.12)から取った大きさ２０の 標本平均をX¯ とするとX¯ は正規分布N≥
12,0.1202¥
に従います。
問題は直径の平均値が12mmであるかどうかですから、有意水準５％の両側棄却域 を求めます。0.05 =P[|X¯ −12| ≥d]となる様なd >0を求めると、標準化して
0.05 =P
"
|N(0,1)| ≥ d
√0.1 20
#
= 2P
"
N(0,1)≥ d
√0.1 20
#
0.025 = 0.5−P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 20
#
0.475 =P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 20
#
ですから、正規分布表から 0.1d
√20 ∼1.96、つまり、d∼0.0438が分かります。これは 0.05∼P[|X¯ −12| ≥0.0438]
を意味し、求める棄却域は(−1,11.9562]∪[12.0438,1)です。今回の具体値12.04は この棄却域に入っておらず、仮説を棄却するだけの根拠はないことになり、直径の平均 値は12mmであると考えて良いことになります。
（２）帰無仮説H0が正しいと仮定します。この場合はサンプル数が大きいので標本 平均X¯ は正規分布N≥
12,0.1802¥
で近似されます。
問題は直径の平均値が12mmであるかどうかですから、両側棄却域を求めます。
0.05 =P[|X¯ −12| ≥d]
となる様なd >0を求めると、近似し、さらに標準化して
=P∑ØØØØN µ
12,0.12 80
∂
−12 ØØ ØØ≥d
∏
=P
"
|N(0,1)| ≥ d
√0.1 80
#
= 2P
"
N(0,1)≥ d
√0.1 80
#
0.025 = 0.5−P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 80
#
0.475 =P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 80
#
によれば正規分布表を参照して 0.1d
√80 ∼1.96、つまり、d∼0.022が分かります。これは
0.05∼P[|X¯−12| ≥0.022]
を意味し、求める棄却域は(−1,11.978]∪[12.022,1)です。今回の具体値12.04はこ の棄却域に入っていますから、仮説は棄却され直径の平均値は12mmではないと判断 されます。
（３）帰無仮説H0が正しいと仮定します。この場合サンプル数が大きいので母分散 は0.122で代用し、中心極限定理により標本平均は正規分布で近似します。
つまり標本平均X¯ はN≥
120,0.12802¥
に従いますから、0.05 =P[|X¯ −12| ≥ d]とな
る様なd >0を求めると、
0.05∼P∑ØØØØN µ
12,0.122 80
∂
−12 ØØ ØØ≥d
∏
=P
"
|N(0,1)| ≥ d
0.12√ 80
#
= 2P
"
N(0,1)≥ d
0.12√ 80
#
0.025 = 0.5−P
"
0≤N(0,1)≤ d
0.12√ 80
#
0.475 =P
"
0≤N(0,1)≤ d
0.12√ 80
#
によれば正規分布表を参照して 0.12d
√80 ∼1.96、つまり、d∼0.026が分かります。これは 0.05∼P[|X¯ −12| ≥0.026]
を意味し、求める棄却域は(−1,11.974]∪[12.026,1)です。今回の具体値12.04はこ の棄却域に入っており、仮説は棄却され平均値は12mmではないと判断されます。
（４）帰無仮説H0： 『全てのスチールボールの直径の平均値は12mmである』
対立仮説H1： 『全てのスチールボールの直径の平均値は12mmより大きい』
帰無仮説H0が正しいと仮定します。（１）と同様の事情によってこの母集団からとっ た大きさ２０の標本平均をX¯ は正規分布N≥
12,0.1202¥
に従います。
この場合は片側の棄却域で判定すれば良く、0.05 =P[ ¯X−12≥d]となる様なd >0 を求めると、標準化して
0.05 =P
"
N(0,1)≥ d
√0.1 20
#
0.05 = 0.5−P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 20
#
0.45 =P
"
0≤N(0,1)≤ d
√0.1 20
#
ですから、正規分布表から 0.1d
√20 ∼1.645、つまり、d∼0.037が分かります。これは 0.05∼P[|X¯ −12| ≥0.037]
を意味し、今回の具体値12.04はこの棄却域に入っているので仮説は棄却され、直径の 平均値は12mmより大きいと判断されます。
基本演習 15.10 (高専教科書 問題16.11) ある工場で製品の寿命時間は正規分布 に従い、その標準偏差は120時間であることが分かっています。この会社では『当 工場の製品の寿命の平均値は1800時間である』と公表しています。この工場の製 品10個を無作為に抽出して寿命を測定したところ平均値が1760時間でした。こ の会社の公表は正しいと認められるでしょうか、有意水準５％で検定して下さい。
帰無仮説H0： 『寿命の平均値は1800時間である』
対立仮説H1： 『寿命の平均値は1800時間でない』
帰無仮説H0が正しいと仮定します。するとこの母集団から取った大きさ１０の標本 平均X¯ は正規分布N≥
1800,120102¥
に従います。
平均値が1800に等しいかどうかが問題になっているので両側検定として棄却域を求 めます。
0.05 =P[|X¯ −1800| ≥d]
=P∑ØØØØN µ
0,1202 10
∂ØØØØ≥d
∏
= 2P
∑ N
µ 0,1202
10
∂
≥d
∏
0.025 = 0.5−P
∑ 0≤N
µ 0,1202
10
∂
≤d
∏
0.475 =P
∑ 0≤N
µ 0,1202
10
∂
≤d
∏
=P
"
0≤N(0,1)≤
√10d 120
#
ですから、正規分布表から√10d
120 ∼1.96、つまり、d∼74.38が分かります。これは 0.05∼P[|X¯ −1800| ≥74.38]
を意味し、求める棄却域は(−1,1725.62]∪[1874.38,1)です。今回の具体値1760は この棄却域に入りません。従って仮説を棄却するだけの根拠はなく、会社の公表は正し いと判断されます。
基本演習 15.11 (高専教科書 練習問題16-1) ある工場で生産しているスチール
パイプから１００個取り出して直径を測定したところ、平均値が20.1mm、分散が 0.232mmでした。
（１）直径の母平均mの信頼度９９％の信頼区間を求めて下さい。
（２）直径の平均値mは20.0mmであると工場は言っています。その主張は正 しいと言えるでしょうか、有意水準１％で検定して下さい。
（１）スチールパイプ全体の中からとった大きさ１００の標本平均をX¯ とします。母 平均をmとすれば、X¯ は正規分布N≥
m,0.231002¥
に従いますから、
0.99 =P[|X¯ −m| ≤d]
となるようなdを求めます。実際標準化してゆけば 0.99 =P[|X¯ −m| ≤d]
=P∑ØØØØN µ
0,0.232 100
∂ØØØØ≤d
∏
= 2P
∑ 0≤N
µ 0,0.232
100
∂
≤d
∏
0.495 =P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.023
∏
がわかり、正規分布表から d
0.023 ∼2.575、すなわち、d∼0.059が得られます。これは ９９％の確率で|X¯−m| ≤0.059となることを意味し、従って今回の具体値20.1に対 しては、信頼度９９％で|20.1−m| ≤0.059、つまり、
20.1−0.059∼20.04≤m≤20.16∼20.1 + 0.059 です．従って求める信頼区間は[20.04,20.16]です。
（２） 帰無仮説H0： 『スチールパイプの直径の平均値mは20.0mmである』
対立仮説H1： 『スチールパイプの直径の平均値mは20.0mmでない』
帰無仮説H0が正しいと仮定します。するとスチールパイプ全体の中からとった大き さ１００の標本平均X¯は正規分布N≥
20.0,0.231002¥
に従います。
問題は直径の平均値が20.0mmであるかどうかを問題にしていますから有意水準0.01 で両側検定すれば良く、まずは棄却域を求めます。
0.01 =P[|X¯−20.0| ≥d]
=P∑ØØØØN µ
0,0.232 100
∂ØØØØ≥d
∏
= 2P£
d≤N°
0,0.0232¢§
0.005 = 0.5−P[0≤N(0,0.0232)≤d]
0.495 =P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.023
∏
によれば正規分布表を参照して d
0.023 ∼ 2.575、つまり、d∼0.059が分かります。こ れは
0.01∼P[|X¯−20.0| ≥0.059]
を意味し、棄却域は(−1,19.94]∪[20.06,1)であり、今回の具体値20.1はこの棄却域 に入っており、仮説は棄却されます。
以上から主張は正しいとは言えません。
基本演習 15.12 (高専教科書 練習問題16-4) ある工場で生産している製品は通
常重さの平均値が80g、標準偏差が4gの正規分布をしています。ある日の製品の 中から５０個の標本を抽出して測定したところ、重さの平均値が80.8gでした。そ の日の製品は平常と比べて重いと言えるでしょうか。標準偏差は変わらないものと して有意水準５％で検定して下さい。
帰無仮説H0： 『この日も重さの平均値は80gであった』
対立仮説H1： 『この日は重さの平均値は80gより重かった』
帰無仮説H0が正しいと仮定します。するとこの日の製品の中から取り出す大きさ５ ０の標本平均X¯ は正規分布N≥
80,4502¥
に従います。
今回問題になっているのは平常より重いかどうかですから片側検定として有意水準５
％の棄却域を求めます。つまり、
0.05 =P[d≤X]¯ となるd >0を求めます。標準化すれば
=P
"
d−80
4 5√ 2
≤N(0,1)
#
= 0.5−P
"
0≤N(0,1)≤ d−80
4 5√ 2
#
0.45 =P
"
0≤N(0,1)≤d−80
4 5√ 2
#
ですから正規分布表を参照して d−480
5√2 ∼1.645、つまり、d∼ 80.93が分かります。こ れは
0.01∼P[80.93≤X¯]
を意味し、棄却域は[80.93,1)であり、今回の具体値80.8はこの棄却域に入っておら ず、仮説を棄却するだけの合理的な根拠はないと判定されます。
従ってこの日も平常よりも重かったとは言えません。
基本演習 15.13 ある工場の資料によると、機械Ａで作られた製品の平均重量は
5.68gです。新しい機械Ｂが導入されて同じ製品が作られていますが、製品の平均
重量に変化が生じたように思われたので、Ｂによる製品から１００個無作為に抽出 したところ平均重量が5.71g、標準偏差が0.23gでした。Ｂを用いて作られた製品 の重量は正規分布に従うものとし、また標準偏差はサンプル値の0.23gであると仮 定し、平均重量は変化したと言って良いかどうか、有意水準５％で仮説検定して下 さい。
帰無仮説H0： 『Ｂで作られた製品の平均重量は5.68gである』
対立仮説H1： 『Ｂで作られた製品の平均重量は5.68gでない』
帰無仮説H0を仮定します。すると問題に書かれている仮定から、Ｂで作られた製品 全体の中から取った大きさ１００の標本平均X¯は正規分布N≥
5.68,0.231002¥
に従います。
問題は平均重量に変化があったかどうかですから両側検定として有意水準５％の棄却 域を取ります。
0.05 =P[|X¯ −5.68| ≥d]
となる様なd >0を求めれば良いわけですが、標準化して
=P∑ØØØØN µ
0,0.232 100
∂ØØØØ≥d
∏
=P
∑
|N(0,1)| ≥ d
0.23 10
∏
= 1−2P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.023
∏
0.475 =P
∑
0≤N(0,1)≤ d 0.023
∏
ですから正規分布表を参照して d
0.023 ∼1.96、つまり、d∼0.045が分かります。これは 0.05 =P[|X¯−5.68| ≥0.045]
を意味し、棄却域は(−1,5.635]∪[5.725,1)となります。今回の具体値5.71はこの棄 却域に入っていませんので仮説を棄却するに足る理由はないと考えられ、平均重量が変 化したとは言えないことが分かります。
