1 2013 年度「論理回路」演習問題解答例

2013

年

7

月

2013 年度「論理回路」演習問題 解答例

石浦 菜岐佐

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問題や解答例に修正があった場合は講義

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に訂正を出すので

,

疑問に思った場合は確認すること

. – 7

月

13

日:

2 (2)

の解答

(b)(c)

を修正

1 ^{論理式の計算等}

(1) (a)

最小

−2ⁿ⁻¹,

最大

2ⁿ⁻¹−1 (b)

最小

−32,

最大

31

(c) D516= 1101 01012= 21310

(d) 12310= 111 10112= 7B₁₆ (2) (a) −36

(b) 10110011

(3) (a)

与式= ((

x+a) +b)((x+a) +b)((x+c) +a)((x+ c) +a)

= ((x+a) +bb)((x+c) +aa)

= (x+a)(x+c) = x+ac

(b)

与式

= ((x+yz) +a)((x+yz) +b)((x+yz) + c)((x+y+z)+a)((x+y+z)+b)((x+y+z)+c)

= (x+yz+abc)(x+y+z+abc)

=abc+ (x+yz)(x+y+z)

=abc+x+yz(y+z) =abc+x (c) xab+x+b+c·yab+y+b+c

=xab·(x+b+c)·yab·(y+b+c)

= (x+a+b)·(x+b+c)·(y+a+b)·(y+b+c)

= (x+(a+b))·(y+(a+b))·(x+(b+c))·(y+(b+c))

= (xy+ (a+b))(xy+ (b+c))

=xy+ (a+b)(b+c) =xy+b+a c (4) (a)

与式

= (x⊕x(a⊕b)⊕ab)(a⊕b)

=x(a⊕b)⊕x(a⊕b)⊕ab(a⊕b)

=ab(a⊕b) =ab⊕ab= 0 (b)

与式

= (a⊕b⊕c)(a⊕bc)

=abc⊕ab⊕ac⊕bc

= (a⊕1)bc⊕ab⊕ac

=abc⊕ab⊕ac=ac(b⊕1)⊕ab

=abc⊕ab=ab(c⊕1) =abc (c)

与式

=x⊕ax⊕bx⊕ab⊕ab⊕abx

=x⊕ax⊕bx⊕abx= (1⊕a⊕b⊕ab)x

= ((1⊕a)⊕(1⊕a)b)x= (a⊕ab)x

⊕

(d) a⊕b=ab+ab

左辺

=x(y⊕z) =x(yz+yz) =xyz+xyz

右辺

=xy⊕xz =xyxz+xyxz

= (x+y)xz+xy(x+z) =xyz+xyz

=

左辺

(5) (a) f^d(x, a, b, c) =f(x, a, b, c)

=x a+x b+x c+abc=x a·x b·x c·abc

= (x+a)(x+b)(x+c)(a+b+c)

= (x+abc)(a+b+c) = xa+xb+xc+abc

=f(x, a, b, c)

よって

f(x, a, b, c)

は自己双対関数である.

(b) f

のカルノー図より

f = Σ(1,3,6,7)

a

b c

d

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

f =f =abcd+abcd+abcd+abcd

= (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+ b+c+d)

(c) F

1 1

1 1

1

=

G

1 1 1 1 1 1 1 1 1

·

Q

X X X X 1 1

X 1 1

X 1 X

Q=ad+cd+ad

a

b c

d X X X X

1 1

X 1 1

X 1 X

または

Q=ad+ac+ad

a

b c

d X X X X

1 1 X 1 1 X 1 X

(6) (a) g(a, b, c) =ab·c=ab c

(b) g(a, b, c) =ab·bc·ca

= (ab⊕1)(bc⊕1)(ca⊕1)

= (ab⊕1)(bc⊕1)(ca⊕1)⊕1 (c) ∂f

∂x =f(0, y, z)⊕f(1, y, z) =yz⊕(y+yz)

=yz(y+yz) +yz·(y+yz)

= (y+z)(y+yz) +yz·y·yz

= (y+zyz) + 0 =y (7) (a)

a b

c f

d (b) a b c

d h

e

2 ^{順序回路の設計}

(1) (a)

A/0 B/0 C/1 D/0 E/1

0 1 0

1 0

1

0

1 0 1

(b) 0 0 1 0 1 0 1 1 入力

状態 出力

A 0

→1 B 0

→1 C 1

→0 B 0

→1 C 1

→1 D 0

→1 E 1

→1 C 1 (c)

現状態 次状態

a b c

出力

a b c x= 0 x= 1 z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1

da=abcx

a

b c

x 1

X X X X X X

db=a+bx+cx

a

b c

x 1 1 1 1 1 X X X X X X

dc=ax+bx+abx

a

b c

x 1 1

1 1

1 X X X X X X

z=a+bc

a

b c

1 1 X X X

(2) (a) 0 0 0 1 0 1 0 入力

状態 出力

A11

→0 A01

→0 B 01

→0 C 01

→1 C 00

→0 C11

→1 A11

→0 A

(b) 現状態 次状態a b/出力z a b xy= 00 xy= 01 xy= 11 0 0 0 0 / 1 1 0 / 0 0 0 / 0 1 0 1 0 / 1 1 1 / 0 0 0 / 1 1 1 1 1 / 0 1 1 / 1 0 0 / 1 (c) 現状態 FFの入力j_ak_aj_bk_b/出力z

a b xy= 00 xy= 01 xy= 11 0 0 0X 0X / 1 1X 0X / 0 0X 0X / 0 1 0 X0 0X / 1 X0 1X / 0 X1 0X / 1 1 1 X0 X0 / 0 X0 X0 / 1 X1 X1 / 1

j_a =xy

a

b x

y

1 X

X X X X X X X X X X X X

k_a=x

a

b x

y X X X X X X X X 1 X 1 X

j_b=axy

a

b x

y X X X X X X X X X

1 X

k_b=x

a

b x

y X X X X X X X X 1 X X X X X

z=ax+by+by

a

b x

y

1 X

X X X X 1 1 X

1 1 X

(3) (a) 00 10 11 00 01 10 11 00 入力

状態 出力

00A 1

→ C 10

0

→D 11

1

→ A 00

0

→ B 01

0

→ C 10

1

→ E 11

0

→ A 00

(b) 現状態 次状態 出力

x= 0 x= 1 y z 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 (c) da =bx+cx

a

b c

x 1 X X 1 1

1 X X

X X

db=abx+cx

a

b c

x 1 1 1 X X 1 X X X X

dc=abx+bcx

a

b c

x 1 1 1 X X

X X 1 X X

y=a+b

a

b c

X 1 1 X 1 X

z=a+bc

a

b c

1 X

1 X 1 X

(d) 現状態 FFの入力jakajbkbjckc

a b c x= 0 x= 1

0 0 0 0 X 0 X 1 X 0 X 1 X 1 X 0 0 1 0 X 1 X X 0 1 X 1 X X 1 0 1 1 1 X X 0 X 1 1 X X 1 X 1 1 1 0 X 0 X 1 0 X X 1 X 1 0 X

ja=b+cx

a

b c

x 1 X X 1 1 X X X X X X X X

ka=b+x

a

b c

x X X X X X X X X 1 X X 1 1 X X

jb=c+ax

a

b c

x 1 1 1 X X X X X X X X X X

kb =x+aorc+x

a

b c

x X X X X X X 1

1 1 X X X X X X

j_c=a+bx

a

b c

x 1 1 X X X X X X X X 1 X X

k_c =b+x

a

b c

x X X 1 X X 1 1 X X X X X X X X

3 順序回路の状態最小化

(1) 現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₂/0 S₃/1 0 1 S₂ S₉/0 S₆/1 0 1 S₃ S₇/0 S₄/0 0 0 S₄ S₂/0 S₇/1 0 1 S₅ S₅/1 S₆/1 1 1 S₆ S₆/1 S₅/1 1 1 S₇ S₃/0 S₄/0 0 0 S₈ S₂/0 S₈/0 0 0 S₉ S₉/0 S₈/1 0 1

⇒

現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₂/0 S₃/1 0 1 S₂ S₉/0 S₆/1 0 2 S₄ S₂/0 S₇/1 0 1 S₉ S₉/0 S₈/1 0 1 1 S₃ S₇/0 S₄/0 1 0 S₇ S₃/0 S₄/0 1 0 S₈ S₂/0 S₈/0 0 1 2 S₅ S₅/1 S₆/1 2 2 S₆ S₆/1 S₅/1 2 2

⇒

現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₂/0 S₃/1 3 1 S₄ S₂/0 S₇/1 3 1 S₉ S₉/0 S₈/1 0 4 3 S₂ S₉/0 S₆/1 0 2 1 S₃ S₇/0 S₄/0 1 0 S₇ S₃/0 S₄/0 1 0 4 S₈ S₂/0 S₈/0 3 4 2 S₅ S₅/1 S₆/1 2 2 S₆ S₆/1 S₅/1 2 2

⇒

現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₂/0 S₃/1 3 1 S₄ S₂/0 S₇/1 3 1 5 S₉ S₉/0 S₈/1 5 4 3 S₂ S₉/0 S₆/1 5 2 1 S₃ S₇/0 S₄/0 1 0 S₇ S₃/0 S₄/0 1 0 4 S₈ S₂/0 S₈/0 3 4 2 S₅ S₅/1 S₆/1 2 2 S₆ S₆/1 S₅/1 2 2

⇒

現状態 次状態

/

出力

0 1

S₁₄ S₂/0 S₃₇/1 S₉ S₉/0 S₈/1 S₂ S₉/0 S₅₆/1 S₃₇ S₃₇/0 S₁₄/0 S₈ S₂/0 S₈/0 S₅₆ S₅₆/1 S₅₆/1 (2) 現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₆/0 S₇/1 0 1 S₂ S₇/0 S₅/0 0 0 S₃ S₈/1 S₆/0 1 0 S₄ S₉/0 S₂/1 0 1 S₅ S₄/1 S₉/1 1 1 S₆ S₁/0 S₃/1 0 1 S₇ S₂/1 S₁/0 1 0 S₈ S₃/0 S₅/0 0 0 S₉ S₄/1 S₈/1 1 1

⇒

現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₆/0 S₇/1 0 2 S₄ S₉/0 S₂/1 3 1 S₆ S₁/0 S₃/1 0 2 1 S₂ S₇/0 S₅/0 2 3 S₈ S₃/0 S₅/0 2 3 2 S₃ S₈/1 S₆/0 1 0 S₇ S₂/1 S₁/0 1 0 3 S₅ S₄/1 S₉/1 0 3 S₉ S₄/1 S₈/1 0 1

⇒

現状態 次状態/出力

0 1

0 S₁ S₆/0 S₇/1 0 2 S₆ S₁/0 S₃/1 0 2 4 S₄ S₉/0 S₂/1 5 1 1 S₂ S₇/0 S₅/0 2 3 S₈ S₃/0 S₅/0 2 3 2 S₃ S₈/1 S₆/0 1 0 S₇ S₂/1 S₁/0 1 0 3 S₅ S₄/1 S₉/1 4 5 5 S₉ S₄/1 S₈/1 4 1

⇒

現状態 次状態

/

出力

0 1

S₁₆ S₁₆/0 S₃₇/1 S₄ S₉/0 S₂₈/1 S₂₈ S₃₇/0 S₅/0 S₃₇ S₂₈/1 S₁₆/0

S₅ S₄/1 S₉/1 S₉ S₄/1 S₂₈/1

4 ^{算術演算回路}

(1) (a) s=a⊕b⊕c, c=ab+bc+ca (b)

FAs co

a b ci coFAs

a b ci coFAs

a b ci coFAs a b ci

a₃ b₃ a₂ b₂ a₁ b₁ a₀ b₀

s₃ s₂ s₁ s₀

c₄

c₃ c₂ c₁

x y

(2)

真理値表は次のようになる

.

直接カルノー図を作成し てもよい.

g₁ l₁ g₀l₀ G L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 X X 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 X X 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 X X 1 1 0 0 X X 1 1 0 1 X X 1 1 1 0 X X 1 1 1 1 X X

G=l₁g₀+g₁

g₁

l₁ g₀

l₀ X 1 X X X X X

1 1 X 1

L=g₁l₀+l₁

g₁

l₁ g₀

l₀ 1 X 1 1 X 1 X X X X

X

(3) (a)

a b ci co s

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

(b) gi=aibi

p_i=a_i+b_i (p_i =a_i⊕b_i

も可)

ci+1=gi+pici

c₄=g₃+p₃g₂+p₃p₂g₁+p₃p₂p₁g₀+p₃p₂p₁p₀c₀ (4) (a) 01111 (1510)−00111 (710) = 01000 (810)

(b) 10000 (−1610)−10111 (−910) = 11001 (−710) (c) 11110 (−210)−10000 (−1610) = 01110 (1410) (d) 00100 (410)−01111 (1510) = 10101 (−1110)

(e) _{x a}

4 b4 s4 fv

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 ←正＋正＝負

2 0 0 1 0 0

3 0 0 1 1 0

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1 ←負＋負＝正

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 0

11 1 0 1 1 1 ←正−負＝負 12 1 1 0 0 1 ←負−正＝正

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 0

f_v(x, a₄, b₄, s₄) =

(1,6,11,12)

5 ^{状態遷移グラフの設計}

状態の名前

(なくてもよい)

やレイアウトは任意だが, 初期 状態を表す → を忘れないこと

.

(1)

S S₁ S₁₀ S₁₀₁

0/0

1/0 0/0

1/0

0/0

1/0

0/0 1/1

(2)

S₀₀₀/00

S₁₀₀/01 S₀₀₁/01 S₀₁₀/01

S₁₀₁/10

S₁₁₀/10 S₀₁₁/10 S₁₁₁/11

0

1 0

1

0

1 0

1

1 0

1 0

1 0 0

1

(3)

A/0

A₁/0 B₀₀/1

A₁₁/0 B₀/1

B/1 1

0

1 0

1 0

0

1 0

1 0

1

(4)

S₀ S₁ S₂ S₃

S₄ 0/000 0/000 0/000

1/000 1/001

1/010

0/011, 1/100 0/101, 1/110

Nagisa ISHIURA