演習問題解答例

問１: _{ଵ ଶ} における二次のテイラー近似を 求めなさい（ log の底は 2 とする） ଵ ଵ ଶ _୪୭୥ଵ ೐ ଶ ௘ ଶ ௫_௫మ భ ௫_భ ௫_మ ௘ ଵ ଵ ୪୭୥_೐ ଶ ௘ ଵ ଵ ଶ _୪୭୥ଵ ೐ ଶ ௫_మ ௫_భమ ଵ ௫_మ ଵ ௫_భ ଵ ௫_మ ଵ ௫_భ ௫_భ ௫_మమ ଵ ୪୭୥_೐ ଶ ଵ ଵ ଵ ் ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ் ଵ ଵ ଶ ଵ ୪୭୥_೐ ଶ ௘ ் ଵ ଶ ௘ ଵ ଶ ் ଵ ଶ ଵ ଵ ଶ ଵ ଶ ଶ ଶ ଶ ଵ ଵ ௘ ଶ ଶ ௘ ଵ ௘

問１: _{ଵ ଶ} における二次のテイラー近似を 求めなさい ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ଶ ଵ ଶ ଶ ଶ ଶ ் ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ் ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ଶ ଶ ଵଶ ଶଶ

1

)

,

(

x

x



x



x



f

問１: _{ଵ ଶ} における二次のテイラー近似を 求めなさい ଷ ௫ା௬ ௫ା௬ ଷ ଷ ଷ ଵ ଶ ௫ା௬ ௫ା௬ ௫ା௬ ௫ା௬ ଷ ଷ ଷ ଷ ଷ ଷ ଷ ் ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ் ଷ ଵ ଶ 後はこれを計算すればよい

問２：関数 ଵ ସ ସ ଵ ଶ ଶ ଵ ଷ ଷ ଶ _{について考える} (a) 勾配ベクトルとヘッセ行列を計算せよ． (b) すべての停留点（勾配ベクトルがゼロの点）を求めよ． さらに，_{2次の最適性条件（十分条件）を用いて，極小解を求めよ．} ଷ ଶ ଶ よって停留点は ଷ ଶ _{の解すべて} 停留点は (-1,-4), (-1,0), (0, -4), (0, 0), (1, -4), (1,0) これらの点でのヘッセ行列を計算すると，それぞれ ヘッセ行列が正定値なのは(-1,0), (1,0) のとき これらの点は極小解である

問3：対称な2×2行列 A に対し、次の関係を証明せよ。 Aは半正定値 ⇔ a₁₁≧０, a₂₂ ≧０, a₁₁a₂₂ – a₁₂2_≧０ の証明 行列Ａが半正定値任意の _{ଵ ଶ} に対して ் ଵଵ ଵଶ ଶଶ ଶଶ ଵଶ ଵ ଶ • _ଵଵ のとき： ் ଵଵ ଵ ଵଶ ଵଵ ଶ ଶ ଵଵ ଵଵ ଶଶ ଵଶ ଶ ଶଶ ଵ ௔_௔భమ భభ ଶ ଶ ଶଶ は常に非負であり， ଵଵ ଵଵ ଶଶ ଵଶଶ が成り立つので， ் が成立 • _ଶଶ のとき： 上と同様にして証明できる． • _{ଵଵ ଶଶ} のとき： ் _{ଵଶ ଵ ଶ} ଵଵ ଶଶ ଵଶଶ ଵଶଶ より ଵଶ よって ் が成立

問3：対称な2×2行列 A に対し、次の関係を証明せよ。 Aは半正定値 ⇔ a₁₁≧０, a₂₂ ≧０, a₁₁a₂₂ – a₁₂2_≧０ の証明 行列Ａが半正定値任意の _{ଵ ଶ} に対して ் ଵଵ ଵଶ ଶଶ ଶଶ ଵଶ ଵ ଶ • _{ଵ ଶ} を代入： ் _ଵଵ 成立 • _{ଵ ଶ} を代入： ் _ଶଶ 成立 • _ଵଵ のとき， _{ଵ ଶ ଵଶ ଵଵ} を代入： ் ଵଵ ଵଶଶ ଶଶ ଵଵଶ ଵଵ ଵଶଶ ଵଵ ଵଵ ଶଶ ଵଶଶ よって _{ଵଵ ଶଶ ଵଶ}ଶ が成立． • _ଶଶ のとき， _{ଵ ଶ ଶଶ ଵଶ} を代入： ் ଵଵ ଶଶଶ ଶଶ ଵଶଶ ଶଶ ଵଶଶ ଶଶ ଵଵ ଶଶ ଵଶଶ よって _{ଵଵ ଶଶ ଵଶ}ଶ が成立． • _{ଵଵ ଶଶ} のとき， _{ଵ ଶ} を代入： ் ଵଶ より ଵଶ よって _{ଵଵ ଶଶ ଵଶ}ଶ が成立．