6Taylor の定理　演習問題解答例

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6 Taylorの定理 演習問題解答例

問題 6.5.1 適当な関数に対して５次の項までを近似値とし６次の項を誤差とする

Taylorの定理を適用し、√

3の近似値とそのときの誤差の限界を求めて下さい。

５次の近似を行う場合、誤差項には６階微分が現れるので６階までの微分を計算して おきましょう。f(x) =√

1 +xとします。

f(x) = (1 +x)¹² f⁰(x) = 1

2(1 +x)¹²⁻¹ f⁰⁰(x) = 1

2 µ1

2 −1

∂

(1 +x)¹²⁻²

f⁽³⁾(x) = 1 2

µ1 2 −1

∂ µ1 2−2

∂

(1 +x)¹²⁻³

f⁽⁴⁾(x) = 1 2

µ1 2 −1

∂ µ1 2−2

∂ µ1 2−3

∂

(1 +x)¹²⁻⁴

f⁽⁵⁾(x) = 1 2

µ1 2 −1

∂ µ1 2−2

∂ µ1 2−3

∂ µ1 2 −4

∂

(1 +x)¹²⁻⁵

f⁽⁶⁾(x) = 1 2

µ1 2 −1

∂ µ1 2−2

∂ µ1 2−3

∂ µ1 2 −4

∂ µ1 2 −5

∂

(1 +x)¹²⁻⁶

するとx= 0でのTaylorの定理から、

f(2) =f(0) +f⁰(0)2 +f⁰⁰(0)

2! 2²+f⁽³⁾(0)

3! 2³+f⁽⁴⁾(0)

4! 2⁴+f⁽⁵⁾(0)

5! 2⁵+f⁽⁶⁾(c) 6! 2⁶

√3 = 1 +1 2·2 +1

2 ·−1

2² ·2²+1 6 · 3

2³ ·2³+ 1

24·−3·5 2⁴ ·2⁴ + 1

120 ·3·5·7

2⁵ ·2⁵+ 1

720· −3·5·7·9

2⁶ (1 +c)¹²⁻⁶·2⁶

となる様なcが0と2の間に存在します。この右辺の最初の６項目までの和を近似値、

最後の項を誤差と考えると、

（近似値）= 1 + 1 +−1 2 +1

2 −5 8 +7

8

= 2.25

であり、また誤差の絶対値は

|（誤差）|= ØØ ØØ

63

48(1 +c)¹³⁻⁶ ØØ ØØ

=63 48

1 (1 +c)⁴⁻¹³

≤63 48

= 1.3125

と評価されます。これでは誤差が大き過ぎますね。

一方、x= 3でのTaylorの定理を適用すれば f(2) =f(3) +f⁰(3)(2−3) +f⁰⁰(3)

2! (2−3)²+f⁽³⁾(3)

3! (2−3)³ +f⁽⁴⁾(3)

4! (2−3)⁴+f⁽⁵⁾(3)

5! (2−3)⁵+f⁽⁶⁾(c)

6! (2−3)⁶

√3 = 2 + 1

2²(−1)− 1

2⁶(−1)²+ 1

2⁹(−1)³− 5

2¹⁴(−1)⁴+ 7

2¹⁷(−1)⁵− 21

2¹⁰(1 +c)⁻¹¹²(−1)⁶ となる様なcが2と3の間に存在します。この右辺の最初の６項目までの和を近似値、

最後の項を誤差と考えると、

（近似値）= 2− 1 2² − 1

2⁶ − 1 2⁹ − 5

2¹⁴ − 7 2¹⁷

=227025 131072

= 1.73206329. . .

であり、また誤差の絶対値は

|（誤差）|= ØØ ØØ21

2¹⁰(1 +c)⁻¹¹² ØØ ØØ

= 21 2¹⁰

1 (1 +c)¹¹²

≤ 21 1024

√1 3¹¹

≤ 21 1024·3⁵

≤0.0000843944

と評価されます。これぐらいの誤差ならまあ良いんじゃないでしょうか。

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演習問題6.5.2 関数f(x) =√³

1 +xに対して３次の項までを近似値とし４次の項 を誤差とするTaylorの定理をx= 0の近くで適用し、√³

2の近似値とそのときの誤 差の限界を求めて下さい。

３次の近似を行う場合、誤差項には４階微分が現れるので４階までの微分を計算して おきましょう。

f(x) = (1 +x)¹³ f(0) = 1

f⁰(x) =1

3(1 +x)¹³⁻¹ f⁰(0) = 1

3 f⁰⁰(x) =1

3 µ1

3−1

∂

(1 +x)¹³⁻² f⁰⁰(0) = 1 3

µ1 3−1

∂

f⁽³⁾(x) =1 3

µ1 3−1

∂ µ1 3 −2

∂

(1 +x)¹³⁻³ f⁽³⁾(0) = 1 3

µ1 3−1

∂ µ1 3 −2

∂

f⁽⁴⁾(x) =1 3

µ1 3−1

∂ µ1 3 −2

∂ µ1 3 −3

∂

(1 +x)¹³⁻⁴

するとTaylorの定理から、

f(1) =f(0) +f⁰(0) +f⁰⁰(0)

2! +f⁽³⁾(0)

3! +f⁽⁴⁾(c) 4!

√3

2 = 1 +1 3 + 1

2·3 µ1

3 −1

∂ + 1

6·3 µ1

3 −1

∂ µ1 3−2

∂

+ 1

24·3 µ1

3 −1

∂ µ1 3 −2

∂ µ1 3−3

∂

(1 +c)¹³⁻⁴

となる様なcが0と1の間に存在します。この右辺の最初の４項目までの和を近似値、

最後の項を誤差と考えると、

（近似値）= 1 + 1 3+ −2

2·3²+ 2·5 6·3³

= 3⁴+ 3³−3²+ 5 3⁴

= 104 81

= 1.28395. . .

であり、また誤差の絶対値は

|（誤差）|= ØØ ØØ 1

24·3 µ1

3 −1

∂ µ1 3 −2

∂ µ1 3−3

∂

(1 +c)¹³⁻⁴ ØØ ØØ

= 2·5·8 24·3⁴

1 (1 +c)⁴⁻¹³

≤ 10 3⁵

≤0.04116

と評価されます。ちなみに正確な数値は√³

2 = 1.259921. . . です。