演習問題解答例

(1)

演習問題解答例

3. F

パラメータが既知の二端子対回路に電圧源

E

とインピーダンス

Z

_G が接続された回路に対する等価電圧源を求めよ。

A 　 B C 　 D E

Z

_G

E

₀

Z

₀

Z

_out

Z

₀

等価電圧源の内部インピーダンス

Z

₀ は、元の回路の出力インピーダンス

Z

_out に等しい。

A CZ

B DZ

I A C V

I B D V AI

CV

BI DV

I Z V

G G

out 

 

 

 

 



1 1

2 2

V

₁

V

₂

I

₁

I

₂

= Z

₀

次に等価電圧源の電源電圧

E

₀ は、元の回路の出力開放電圧

V

₂

|

_I₂_{= 0} に等しい。

V

₂

|

_I₂_{= 0}

E

₀

2 1

CV I

AV V



1

V

I Z

E

 _G 

より

V

₂ を求めると、

CZ

G

A V E

 

2 これが

E

₀ に相当する。

(2)

今後の講義日程

8

章分布定数線路

　 8.1

線路の伝送方程式

　 8.2

伝送方程式の定常解

　 8.3

波の伝ぱん

　 8.4

線路の縦続行列

　 8.5

波の反射

　 8.6

反射係数

　 8.8

理想線路、無ひずみ線路、

RC

線路

8.8.1

理想線路

8.8.2

減衰極小条件

8.8.3

無ひずみ線路

9

章分布定数回路としての線路

　 9.1

複合線路

　 9.2

無損失線路と反射波、

　　　　インピーダンスの測定　　

9.2.1

伝送式

9.2.2

電圧、電流の円線図

9.2.3

定在波比

9.2.4

定在波による負荷の測定

喜安、斎藤著　電気回路

12/19

1/9

1/16

1/23

山田博仁著　電気回路

7

章分布定数回路

　 7.1

分布定数回路とは

　 7.2

伝送線路

　 7.3

　 7.4

波の伝搬

　 7.5

線路の行列表現

　 7.6

線路端条件による電圧・電流分布

　 7.7

波の反射と定在波

　 7.8

反射係数

　 7.9

各種線路

a

理想線路

b

減衰極小条件と無ひずみ線路

　 7.10

複合線路

　 7.11

無損失線路上での電圧

,

電流

a

線路の伝送式

b

線路上の電圧

,

電流の円線図　　

c

定在波比

(3)

分布定数回路

(

伝送線路

)

とは

立体回路

分布定数回路

集中定数回路

v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)

電圧、電流は回路部品内での位置には依存しない　　

v(t), i(t)

Maxwell

方程式を解かなけれ

ばならない ( 電磁気学の範疇

)

E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)

本章で扱う分布定数回路

(

伝送線路

)

これまでの章で扱ってきた回路

λ

x λ

y z

x, y, z ≥ λ

y z x

x, y, z, d, l ≪ λ λ

l d l d

d ≪ λ l ≥ λ

電圧、電流は線路上の位置に依存　

v(z, t), i(z, t) TEM

波電圧 ( 電界 ) 、電流 ( 磁界 ) は回路内の位置に依存

波長

λ　= c/f

c:

光速度、

f:

周波数

c　=

約

3×10

⁸

m/s

なので、

f　= 50Hz

では　

λ = 6,000 km f　= 3GHz

では　

λ = 10 cm

TE, TM

波

(4)

伝送線路

(

分布定数回路

)

x=0

Z

_L 受電端送電端

E

C G

R L

R:

線路単位長当りの抵抗

(/m)

L:

線路単位長当りのインダクタンス

(/m) C:

線路単位長当りの容量

(F/m)

G:

線路単位長当りのコンダクタンス

(S/m) Δx x

i

v v+Δv

i+Δi R　Δx L　Δx

C　Δx G　Δx

Δx v+Δv

i+Δi i

v

微小区間の等価回路

(5)

線路の伝送方程式

) / (

} / ) (

{ )

(

t v x C v x G i

t i i x L i i x R v





































伝送路微小区間

Δx

の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、

t C v x Gv

i

t i L i

i i x R

v



 

 









 





 



( )

)

従って、

(

t C v x Gv

i x

i

t L i x Ri

v x

v

x x



 

 

 





 

 

 











0 0

lim

伝送の

基礎方程式

v,　i　

は

x　

と

t　

の関数、即ち

v(x, t), i(x, t)

2 2 2

2

2 2 2

2

) (

t LC i t

GL i RC

x RGi i

t LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



 



 



 



 



電信方程式あるいは伝送方程式基礎方程式第

1

式の両辺を

x　

について微分し、第

2

式と以下の関係式より、

x t i x

t i t i i x

t i

x

x 





 













 











/ ) lim (

) (

0 0

電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。

電圧 ( 電流 ) が波動として伝送線路を伝搬していく様子を表す波動方程式の一種

(6)

t j x

e I x t i

e V x

t v





) , (

v(t, x), i(t, x)

正弦波交流 ( 高周波 ) の場合を考えると、

ここここ

:

角周波数

V

_x

, I

_x は位置

x　

の関数であるが時刻

t　

には依存しない ( つまり、変数分離できる ) とするこの仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない

伝送の基礎方程式に当てはめると、

x x

x

x x

x

yV V

C j dx G

dI

zI I

L j dx R

dV











) (



x x

dx zyI I d

dx zyV V d



2 2

波動方程式を得ると表せる

ただし、

R + jL　= z, G + jC = y

と置いた

上式より、

式

(8.8)

( 電信方程式からも直接導出できる

)

(7)

波動方程式の解

x zy x

zy x

x zy x

zy x

e I e

I I

e V e

V V

 



 









0 0

波動方程式の一般解









0 0 0

0

, V , I , I

V

は積分定数

この一般解を式

(8.8) の第 2

式に代入すると、

y z V

I y z V

I

₀^  ₀^

/ ,

₀^   ₀^

/

x x

x

x x

x

Z e e V

Z I V

e V e

V V



 















0 0 0

0

0 0

y z Z

yz

j

 





  ,

₀



Z

₀

:

特性インピーダンス　単位

:

オーム

()

従って、

ここで、

　: 伝搬定数

　: 減衰定数　単位

:

ネーパ

(Np)

　: 位相定数　単位

:

ラジアン

(rad)

波長

λ　= 2π /

周期

T =1/f = 2π /

 , Z₀ は、伝送線路を特徴づけることから、線路の二次定数というこれに対して

R,　G,　L,　C

は、

線路の一次定数という

(8)

線路の一次定数と二次定数

一次定数

(

実数

)

R (/m) L (/m) C (F/m) G (S/m)

二

次定数

(

複素数

)

) )(

( R j L G j C

j   





    

γ =　α　+　jβ

伝搬定数

特性インピーダンス　

Z

₀

()

減衰定数

(Np)

位相定数

(rad)

一次定数と二次定数との関係式

C j G

L j Z R





 

0

伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある

(9)

波の伝搬

) (

0 ) 0

( 0

0 0

0

) (

0 ) (

0 0

0

x t j x x

t j x t

j x t

j x

x t j x x

t j x t

j x t

j x

e Z e

e V Z e

e V I

e e V e

e V e

V















































 

 

 



























時間依存因子

e

^j^^t を含む伝送式

e

^j(^^t±^^x) は、∓

x

方向に進む角周波数 

,　

位相定数 の正弦波を表す

x

何故なら、

e

^j(^^t±^^x)

=cos(t±x)+j sin(t±x)

e

x

V

₀は波の振幅を表し、^ ^

>0 (<0)

なら、

x

が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する

x

) (



v

_p





v

_p

:

位相速度ここで、





d

v

_g 

d

因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度

: v

_g という

(10)

波の伝( 搬) 0

) (

0

x t j x x

t j x t

j

x

e V e e V e e

V

^  ^ ^ ^ ^^  ^ ^^ ^ ^^

−x

方向 ( つまり、送電端から受電端の方向 ) に位相速度

ω/ こ進む波 ( 進

行波 ) で、

α >0

なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波

+x

方向 ( つまり、受電端から送電端の方向 ) に位相速度

ω/ こ

進む波 ( 進行波 ) で、

α >0

なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波

)}

( ) 1 {(

) 1 (

) (

0 0

反射電圧波入射電圧波

反射電流波入射電流波

反射電圧波入射電圧波





































V Z Z V

I I I

V V

V

x x

x x x

x x

x

0 0 0

0 0

, ,

Z e e V

I Z I

e e V

I I

e V V

x x

 





 



 











Z

E

x

入射波反射波

ただし、



 

 _x _x

x

V V

I

Z

₀

(11)

線路上での電圧と電流

x x

x

x x

x

e I Z Z V

I

e I Z V e

I Z V V















) 2 (

) 1 2 (

1 ) 2 (

) 1 2 (

1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

Z

E

l

V

₀

I

₀

線路上の任意の点

x

での電圧と電流を、受電端電圧と電流

V

₀ および

I

₀ で表すと、

V

_x

I

_x

x x = 0

線路上の任意の点

x

での電圧

V

_x 、電流

I

_x は、前頁の式より













0 0

2 2

V I

Z V

V I

Z

V

従って、

 



0 0 0



0

0 0 0

0

2 1 2 1

I Z V V





























0 0

0

V V

I Z

V V

V

であった。

















x x

x

x x

x

V V

I Z

V V

V

0

従って、受電端

x = 0

での電圧

V

₀ 、電流

I

₀ は、

左式で、右辺の第

1

項は入射波を第

2

項は反射波を表わす

(12)

線路の縦続行列

x x

x

x x

x

e I Z Z V

I

e I Z V e

I Z V V















) 2 (

) 1 2 (

1 ) 2 (

) 1 2 (

1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

x I

Z x I V

x I

Z x V

V

x x



cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0

























 



 





l Z l

l Z

l D

C B A



cosh 1 sinh

sinh cosh

0

従って、特性インピーダンス

Z

₀

,

長さ

l　

の線路に対する

F

行列は、

Z

E

l

送電端

E Z

_L

受電端

D C

B V

₀

A

I

₀

) 2 (

sinh 1

) 2 (

cosh 1

x x

e e

x

e e

x











左式に双曲線関数の公式

を適用すると、

D A



線路は相反

(

可逆

)

回路

V

_x

I

_x

x x=0

1 sinh

cosh

²  ² 





BC l l

AD

 

線路は対称線路上の任意の点

x

での電圧と電流

が得られる 



 





















 



 





0 0

0

cosh 1 sinh

sinh cosh

I V x

Z x

x Z

x I

V

x

 



(13)

演習問題

8.17

















 



 





l Z l

l Z

l D

C B A



cosh 1 sinh

sinh cosh

0

特性インピーダンス

Z

₀

,

伝搬定数 

,

長さ

l

の線路に対応する

F

行列は、

l l l AD

BC



tanh cosh

sinh

2

2 



従って、線路は相反

(

可逆

) D

C B A l

Z

₀ 

1 sinh

cosh

²  ² 





BC l l

AD

 

(8.26)

式　

p.170

0 2

0

Z

C Z

B

 

受電端を開放

(I

₀

= 0)

した線路で、受電端からの距離

x

の点から受電端の方を見た入力インピーダンス

Z

_f

　

は、

l

Z

₀ 

V

₀

I

₀

=0

x　=0 x

Z

_f 

 





















 



 





cosh 0 1 sinh

sinh cosh

0

V

x Z x

x Z

x I

V

x

 



(14)

受電端を短絡

(V

₀

= 0)

した線路で、受電端からの距離

x

の点から受電端の方を見た入力インピーダンス

Z

_S

　

は、

l Z

₀ 

I

₀

V

₀

=0

x　=0 x

Z

_S 

 





















 



 





0 0

0

0 cosh 1 sinh

sinh cosh

x I Z x

x Z

x I

V

x

 



演習問題

x Z

Z x

x I

Z V

x I x

f



 coth

1 sinh cosh

0

0 0



よって、

x x Z

x Z

I Z V

x V x

S 



tanh

cosh sinh

0 0



よって、

0 2

0

Z

Z Z

Z

_S _f  

x x

Z Z

f

S 

tanh

² 

tanh



(15)

受電端に負荷

Z

_L

　

を接続したときの、受電端からの距離

x

の点から負荷の方を見た入力インピーダンス

Z

_in

　

は、



 





















 



 





0 0

0

cosh 1 sinh

sinh cosh

I V x

Z x

x Z

x I

V

x

 



演習問題

L f

L S

f L

L L

L

L L

L L I

Z x V x in

Z Z

x Z

Z x Z

x Z

Z

x Z x

x Z Z x

x Z

Z

x Z

x x Z

Z x

Z x Z

x Z

I Z V

L



 



 











 



) (

coth

) tanh

( coth coth

cosh ) ( sinh

sinh cosh

coth

) sinh cosh

sinh (

cosh sinh

sinh cosh

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0



 



よって、

0

Z I

V

 _L

l

Z

₀ 

I

₀

V

₀

x x　=0

Z

_in

Z

_L

(16)

演習問題

2.

全長

400km

の線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端か

ら見たインピーダンスの値が

j250Ω

、また受電端を開放した場合

、送電端から見たアドミタンスの値が

j1.5×10

^-3

Ʊ

であった。この線路の伝搬定数

γ

、特性インピーダンス

Z

₀ 、および

1km

当たりのリアクタンス

X

、サセプタンス

B　

を求めよ。

解

) Z

₀

=408 Ω, γ =j1.37×10

^-6

m

^-1

, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10

^-6

Ʊ/km 1.

電源電圧

E,

内部インピーダンスが

Z

₀ の電源に、伝搬定数

が 　

,

特性インピーダンスが

Z

₀

,

長さが

l　

の線路が接続されている。これに等価な電圧源を求めよ。さらに、線路が無損失なら、それはどのように表わせるか

?

ただし、

sinh(iθ) = i　sinθ, cosh(iθ) = cosθ　

である。

l

,　Z₀

E

Z

₀

演習問題解答例

3. F

E

Z

A B C D E

Z

E

Z

Z

Z

Z

Z

A CZ

B DZ

I A C V

I B D V AI

CV

BI DV

I Z V

V

V

I

I

= Z

E

V

|

V

|

E

CV I

AV V

V

I Z

E

V

CZ

A V E

E

8

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.8

RC

8.8.1

8.8.2

8.8.3

9

9.1

9.2

9.2.1

9.2.2

9.2.3

9.2.4

12/19

1/9

1/16

1/23

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

a

b

7.10

7.11

,

a

b

,

A 　 B C 　 D E

　 8.1

　 8.2

　 8.3

　 8.4

　 8.5

　 8.6

　 8.8

　 9.1

　 9.2

　 7.1

　 7.2

　 7.3

　 7.4

　 7.5

　 7.6

　 7.7

　 7.8

　 7.9

　 7.10

　 7.11

λ　= c/f

c　=

f　= 50Hz

λ = 6,000 km f　= 3GHz

i+Δi R　Δx L　Δx

C　Δx G　Δx