位相空間の直積・直和と選択公理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2015
年
12
月
26
日
定理 1. 選択公理 ⇐⇒{Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λは位相空間の族で，各λ∈ ΛについてXλ∼= Yλ(同相)とする． このとき ∏ λ∈Λ Xλ ∼= ∏ λ∈Λ Yλである． 証明. (=⇒) Hλ:={f : Xλ −→ Yλ| f は同相写像}と置けば仮定によりHλ ̸= ∅である． 選択公理によって(fλ)λ∈Λ ∈ ∏ λ∈Λ Hλを取る．f : ∏ λ∈Λ Xλ −→ ∏ λ∈Λ Yλ をf ((xλ)λ∈Λ) := (fλ(xλ))λ∈Λ で定めればf は同相写像である． (⇐=) {Xλ}λ∈Λ を非空集合の族とする．まず，各XλがDedekind無限であるとする． ※「集合XがDedekind無限⇐⇒ Xに含まれない元∞に対して|X| = |X ∪{∞}|」 が成り立つ．定義などは有限集合・無限集合の定義を参照． どのXλにも含まれない元∞を一つ取り，Yλ:= Xλ∪ {∞}とする．Xλ, Yλに離散位 相を入れると，|Xλ| = |Yλ|だからXλ∼= Yλである．故に仮定から ∏ λ∈Λ Xλ ∼= ∏ λ∈Λ Yλ̸= ∅ が分かる． Xλ がDedekind無限とは限らないときはZλ := Xλ× N と置く．ZλはDedekind無 限だから，既に示したように ∏ λ∈Λ Zλ̸= ∅である．よって元(⟨xλ, nλ⟩)λ∈Λ ∈ ∏ λ∈Λ Zλ が取 れるが，このとき(xλ)λ∈Λ ∈ ∏ λ∈Λ Xλである． この定理の⇐=の証明ではXλやYλが離散位相である場合しか使っていない．故に次 の系が分かる． 系 2. 次の命題は(ZF上)同値．1. 選択公理 2. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は集合族で，各λ ∈ Λについて|Xλ| = |Yλ|とする．このと き ∏ λ∈Λ Xλ = ∏ λ∈Λ Yλ である． 3. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は離散位相空間の族で，各 λ ∈ ΛについてXλ ∼= Yλとす る．このとき ∏ λ∈Λ Xλ ∼= ∏ λ∈Λ Yλである． 4. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は距離空間の族で，各λ∈ ΛについてXλ∼= Yλとする．こ のとき ∏ λ∈Λ Xλ∼= ∏ λ∈Λ Yλである． 5. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は一様空間の族で，各λ∈ ΛについてXλ∼= Yλとする．こ のとき ∏ λ∈Λ Xλ∼= ∏ λ∈Λ Yλである． 定理 3. 選択公理 ⇐⇒{Xλ}λ∈Λ と {Yλ}λ∈Λ はコンパクト Hausdorff 空間の族で，各 λ ∈ Λ について Xλ∼= Yλとする．このとき ∏ λ∈Λ Xλ ∼= ∏ λ∈Λ Yλである． 証明. (=⇒)明らか． (⇐=) {Xλ}λ∈Λ を非空集合の族とする．次の性質を満たすようなDedekind無限集合 K を取ることができる: {Fλ}λ∈Λ が有限集合の族ならばK ̸⊂ ∪ λ∈Λ Fλである． . ..) A := {ℵ |全射Λ× N −→ ℵが存在する} として|K| > sup A となるような整 列順序集合K を取ればよい． このK が条件を満たすことを示すため，有限集合の族{Fλ}λ∈Λ がK ⊂ ∪ λ∈ΛFλ を満たすと仮定する．K = ∪λ∈ΛFλ としてよい．このとき K の整列順序により 各Fλに順序が入る．これを使って Fλ ={x0λ, . . . , x nλ−1 λ }と書くことが出来る．元 a∈ K を一つ取り，写像f : Λ× N −→ Kを f (λ, n) := { xnλ (n < nλのとき) a (それ以外) により定める．この f は明らかに全射である．故に |K| ∈ A となるが，それは |K| > sup Aに矛盾する． 定理1のときと同様，必要ならばXλ× K を考えることにより，|K| ≤ |Xλ|と仮定し ても一般性を失わない．(このときXλはDedekind無限である．) どのXλ にも含まれない異なる二つの元a, bを取る．Yλ := Xλ∪ {a}を離散位相空間
Xλの一点コンパクト化，Zλ:= Xλ∪ {a, b}を離散位相空間Xλ∪ {a}の一点コンパクト 化，とする．即ち，Yλ, Zλの位相を OYλ :=P(Xλ)∪ {O ⊂ Yλ | |Yλ\ O| < ∞} OZλ :=P(Yλ)∪ {O ⊂ Zλ| |Zλ\ O| < ∞} で定める．これにより Yλ, Zλはコンパクト Hausdorff空間で，Yλ ∼= Zλとなる．故に 仮定から同相写像 f : ∏ λ∈Λ Yλ −→ ∏ λ∈Λ Zλ が存在する．z := (a)λ∈Λ ∈ ∏ λ∈Λ Zλ だから f (y) = z となるような y = (yλ)λ∈Λ ∈ ∏ λ∈Λ Yλ が存在する．y ∈ ∏ λ∈Λ Xλ であること を示せば証明が終わる．その為にy /∈ ∏ λ∈Λ Xλ と仮定すると，ある µ ∈ Λが存在して yµ ∈ Yµ\ Xµ = {a}，即ちyµ = aである．A := ( ∏ λ̸=µ {yλ} ) × Xµ ⊂ ∏ λ∈Λ Yλ と置く． |A| = |Xµ| ≥ |K| である．y の開近傍 U ⊂ ∏ λ∈Λ Yλ を任意に取ると OYλ の定義から |A \ U| < ∞である．B := f (A)と置けばf が同相写像だから，|B| = |A| ≥ K，かつ zの任意の開近傍V ⊂ ∏ λ∈Λ Zλに対し|B \ V | < ∞が分かる．{a} ⊂ Zλは開集合だから |B \ πλ−1(a)| < ∞である．y /∈ Aだからz = f (y) /∈ B，故に B = B\ {z} = B \ ∩ λ∈Λ πλ−1(a) = ∪ λ∈Λ ( B\ πλ−1(a)). これはK の取り方に反する． 同様のことが，直積を直和に変えても成り立つ． 定理 4. 次の命題は(ZF上)同値． 1. 選択公理 2. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は位相空間の族で，各λ∈ ΛについてXλ∼= Yλとする．こ のとき ⨿ λ∈Λ Xλ∼= ⨿ λ∈Λ Yλ． 3. {Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は距離空間の族で，各λ∈ ΛについてXλ∼= Yλとする．こ のとき ⨿ λ∈Λ Xλ∼= ⨿ λ∈Λ Yλ． 4. {Xλ}λ∈Λ と {Yλ}λ∈Λ はコンパクト Hausdorff 空間の族で，各 λ ∈ Λについて Xλ ∼= Yλとする．このとき ⨿ λ∈Λ Xλ∼= ⨿ λ∈Λ Yλ．
証明. 1 =⇒ 2と2 =⇒ 3と2 =⇒ 4は明らか． (4 =⇒ 1) {Xλ}λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．定理 3 の証明と同様，Xλ は Dedekind 無限集合としてよい．どの Xλ にも含まれない元 ∞ を一つ取り Yλ := Xλ∪ {∞} と置き，XλとYλ に離散位相を入れる．I := (0, 1] ⊂ Rを半開区間として， 直積位相空間Xλ× I, Yλ× Iを考える．これらは局所コンパクトHausdorff空間である． Xλ∗ とYλ∗ をXλ× IとYλ× I の一点コンパクト化とするとXλ∗とYλ∗は連結なコンパク トHausdorff空間である． . ..) まずXλ× I の一点コンパクト化Xλ∗ の定義を確認する．(Yλ× I についても同 様．) Xλ× I に含まれない元aλを一つ取りXλ∗ := (Xλ× I) ∪ {aλ}と置く．Xλ∗の 位相を OXλ∗ :=OXλ×I∪ Qλ Qλ :={O ∪ {aλ} | O ∈ OXλ×I, (Xλ× I) \ O ⊂ Xλ× I はコンパクト} で定める． まずXλ∗ がコンパクトHausdorff空間であることは簡単に分かる． 次にXλ∗が連結であることを示す．O1, O2 ⊂ Xλ∗を互いに素な開集合でXλ∗ = O1∪ O2を満たすとする．aλ ∈ O1としてよい．O2 ̸= ∅と仮定する．あるx ∈ Xλ, r ∈ I が存在して⟨x, r⟩ ∈ O2 である．すると，I は連結だから{x} × I ⊂ O2である．OX∗ λ の定義から(Xλ× I) \ O1 = O2は(Xλ× I の)コンパクト閉集合であるO2がコンパ クトだから，その閉部分集合{x} × I ⊂ O2もコンパクト．しかし，明らかに{x} × I はコンパクトでないから矛盾する．故にO2 =∅となりXλ∗ の連結性が分かった． λ ∈ Λとする．このときXλ∗ ∼= Yλ∗である． . ..) Xλ がDedekind無限であるから全単射hλ: Xλ −→ Yλ が存在する．このとき gλ := hλ× idI : Xλ× I −→ Yλ× Iとするとgλは同相写像である．Yλ∗\ (Yλ× I) = {bλ}と書いて，fλ: Xλ∗ −→ Yλ∗ を f (y) := { g(x) (x ∈ Xλ× Iのとき) bλ (x = aλのとき) で定めればfλは同相写像である． よって仮定 4 から同相写像 f : ⨿ λ∈Λ Xλ∗ −→ ⨿ λ∈Λ Yλ∗ が存在する．Xλ∗, Yλ∗ はそれぞ
れ ⨿ λ∈Λ Xλ∗, ⨿ λ∈Λ Yλ∗ の連結成分である．故にある写像 h : Λ −→ Λ が存在して，任 意の λ ∈ Λ に対して f (Xλ∗) = Yh(λ)∗ となる．⟨∞, 1⟩ ∈ Yh(λ) × I ⊂ Yh(λ)∗ だから ⟨xλ, rλ⟩ := f−1(⟨∞, 1⟩)と定めると⟨xλ, rλ⟩ ∈ Xλ× Iである． (3 =⇒ 1) 4 =⇒ 1の証明においてXλ∗, Yλ∗の位相を次のように変更すればよい．Xλ∗ の 位相は aλの開近傍系を{Xλ× (0, r) | r ∈ I} ⟨x, r⟩の開近傍系を{{x} × U | r ∈ U ∈ OI} で定める．Yλ∗ についても同様． ※ 系2の条件2の直和バージョン「{Xλ}λ∈Λ と{Yλ}λ∈Λ は集合族で，各λ ∈ Λに ついて|Xλ| = |Yλ|とする．このとき ⨿ λ∈Λ Xλ = ⨿ λ∈Λ Yλ である」が選択公理と同 値かどうかは未解決問題であるが，Partition Principleを導くことは知られている． Partition Principleを参照． 定義. (X,O)を位相空間，U ⊂ Oとする． 1. V ⊂ OがU の開細分⇐⇒任意のV ∈ V に対してあるU ∈ U が存在してV ⊂ U となる． 2. U が局所有限⇐⇒任意のx ∈ X に対してあるx ∈ O ∈ Oが存在して|{U ∈ U | U ∩ O ̸= ∅}| < ∞となる． 3. U が点有限⇐⇒任意のx ∈ Xに対して|{U ∈ U | x ∈ U}| < ∞となる． 4. U がshrinkable⇐⇒開被覆{VU}U∈U で，任意のU ∈ U に対して∅ ̸= VU ⊂ U と なるものが存在する． 定義. Xを位相空間とする． 1. X がパラコンパクト⇐⇒ X の開被覆は局所有限な開細分を持つ． 2. X がメタコンパクト⇐⇒ X の開被覆は点有限な開細分を持つ． 3. X がPFCS ⇐⇒ Xの点有限な開被覆はshrinkableである． 定理 5. AMC ⇐⇒パラコンパクト空間の直和はパラコンパクトである． 証明. (=⇒) {Xλ}λ∈Λ をパラコンパクト空間の族としてX := ⨿ λ∈Λ Xλ を直和，U をX の開被覆とする．任意のU ∈ U に対してλ ∈ Λが一意に存在してU ⊂ Xλとなる，と
してよい．Uλ :={U ∈ U | U ⊂ Xλ}，Aλ := {V | V はUλ の局所有限な開細分}と置 く．Uλ はXλの開被覆でXλがパラコンパクトだから，Aλ ̸= ∅ である．故に{Aλ}λ∈Λ にAMCを適用して，有限集合の族{Fλ}λ∈Λ を∅ ̸= Fλ ⊂ Aλとなるように取ることが 出来る．このときVλ := ∪ W∈Fλ W はUλの局所有限開細分で， ∪ λ∈Λ VλはU の局所有限な 開細分である． (⇐=) {Xλ}λ∈Λ を非空集合の族とする．各Xλ は無限集合としてよい．Xλ に離散位 相を入れてXλ∗ = Xλ∪ {∞λ}を一点コンパクト化とする．Xλ∗ はパラコンパクトだから， 仮定により直和X := ⨿ λ∈Λ Xλ∗もパラコンパクトである． U := {U ⊂ X | ある λ∈ Λ に対してU ⊊ Xλ∗ かつU は∞λ の開近傍} はXの開被覆だから，局所有限な開細分Vが存在する．このときFλ := ∪ ∞λ∈U∈V Xλ\ U は有限集合である． 定理 6. AMC ⇐⇒メタコンパクト空間の直和はメタコンパクトである． 証明. 定理5と同様． 定理 7. AMC ⇐⇒ PFCS空間の直和はPFCSである． 証明. (=⇒) 定理5と同様． (⇐=) {Xλ}λ∈Λ を非空集合の族とする．各Xλは無限集合としてよい．定理5の証明 と同様の構成をすれば，Xλ∗ はPFCS だから仮定よりX もPFCSである．U := {Xλ | λ∈ Λ} ∪ {Xλ∗ | λ ∈ Λ}はX の開被覆だから，開被覆{VU}U∈U で，任意のU ∈ U に対 して∅ ̸= VU ⊂ U となるものが存在する．即ちλ ∈ Λに対して∅ ̸= VXλ ⊂ Xλである． このときVXλ ⊂ Xλは空でない有限集合である． 定理 8. AMC ⇐⇒コンパクトHausdorff空間の直和はパラコンパクトである． 証明. (=⇒) 定理5から明らか． (⇐=) 定理5の証明の Xλ∗ はコンパクトHausdorffである．故に同様にしてAMCが わかる． 定理 9. AMC ⇐⇒コンパクトHausdorff空間の直和はメタコンパクトである． 証明. 定理8と同様．
定理 10. AMC ⇐⇒コンパクトHausdorff空間の直和はPFCSである． 証明. 定理8と同様． 定義. 1. 集合Aに対して∪A := ∪ x∈A xと書く． 2. 集合S が∆-システム ⇐⇒ある集合rが存在して任意のx, y ∈ Sに対して「x̸= y =⇒ x ∩ y = r」． この集合rを根と呼ぶ． 補題 11. nを正整数，S をn元集合からなる無限集合とするとき，ある有限部分集合 r ⊂∪S が存在して任意の正整数kに対してあるT ⊂ S が存在して「|T | = kかつT は rを根とする∆-システム」となる． 証明. nに関する帰納法．n = 1のときはr =∅とすればよい． n > 1のとき．x∈ S とm≥ 0に対して Em(x) := { {x} (m = 0のとき) { y∈ S y ∩ (∪Em−1(x))̸= ∅ } (m > 0のとき) とする．S の同値関係∼を x∼ y ⇐⇒あるm≥ 0が存在してy∈ Em(x) で定める．x ∈ S の属する同値類を[x]で表すことにする．明らかに，[x] ̸= [y]のとき x∩ y = ∅である．よってS/∼が無限集合のときは r =∅とすればよいから，S/∼は有 限集合であるとする．[x] が無限集合となるようなx ∈ S が存在するので，そのような x∈ Sを一つ取る． (i)任意の有限部分集合z ⊂∪[x]に対して，あるy ∈ [x]が存在してy∩ z = ∅となる とき．任意の正整数kに対してあるT ⊂ [x]が存在して「|T | = kかつT は∅を根とする ∆-システム」となる． . ..) k に関する帰納法．k = 1のときは明らか． k > 1のとき．帰納法の仮定によりT ⊂ [x]で「|T | = k − 1かつT は∅を根とする ∆-システム」となるものが存在する．T ={y1,· · · , yk−1}と書く．y1∪ · · · ∪ yk−1 ⊂ ∪ [x]は有限部分集合だから，あるyk ∈ [x]が存在してyk∩ (y1∪ · · · ∪ yk−1) =∅で ある．よってT ∪ {yk}が条件を満たす． 故にr =∅とすればよい．
(ii)ある有限部分集合 z ⊂ ∪[x]が存在して，任意のy ∈ [x]に対して y∩ z ̸= ∅とな るとき．w ⊂ z でU := {y ∈ [x] | y ∩ z = w}が無限集合となるものを取る．([x] が無 限集合だからこのようなw は存在する．) |w| ≥ 1である．A := {y \ w | y ∈ U}と置 く．wの取り方から，Aは(n− |w|)元集合からなる集合である．故に帰納法の仮定から， r0 ⊂ ∪ Aが取れる． r := r0 ∪ w とする．正整数 k を取る．r0 の取り方から，ある B ⊂ A が存在して 「|B| = kかつBはr0 を根とする∆-システム」となる．よってT :={b ∪ w | b ∈ B}と 置けば「|T | = kかつT はrを根とする∆-システム」である． 補題 12. A を有限集合からなる無限集合として，k は非負整数，x は∪Aの有限部分 集合を動くとする．D(x) := {a ∈ A | a ∩ x = ∅}と置く．A は「ある k, x に対して |D(x)| ≤ k」を満たすとして n0 := min{ n > 0 |あるx, kが存在して|x| = nかつ|D(x)| ≤ k } と置き， k0 ∈ { k ≥ 0 |あるxが存在して|x| = n0かつ|D(x)| ≤ k } を一つ取る．このときS :={x ⊂∪A | |x| = n0, |D(x)| ≤ k0}は有限集合である． 証明. S が無限集合であると仮定する．S に補題11を適用してr ⊂∪S を得る．明らか に|r| < n0 であり，またn0 の最小性からD(r)は無限集合である．T ⊂ S をrを根とす る∆-システムとするとき任意のa ∈ D(r)に対して {x∈ T | x ∩ a ̸= ∅} ≤ |a|である． . ..) x1,· · · , xm ∈ {x ∈ T | x ∩ a ̸= ∅}を互いに異なる元とする．T の取り方から i̸= j に対してxi∩ xj = rである．故にx1 \ r, · · · , xm\ rは互いに素である．一方 b∈ D(r)だからb∩ r = ∅となる．よって(xi\ r) ∩ a = xi∩ a ̸= ∅である．従って ((x1\ r) ∩ a) ∪ · · · ∪ ((xm\ r) ∩ a) ⊂ bからm≤ |a|でなければならない． 異なるk0 個の元a1,· · · , ak0 ∈ D(r)を取る． k0 ∪ i=1 {x ∈ T | x ∩ ai ̸= ∅} ≤ k0 ∑ i=1 |ai| =: M である．N > 0を任意に取る．r の取り方により，ある T ⊂ S が存在して「|T | = M +NかつT はrを根とする∆-システム」とできる．T′ := T\∪k0 i=1{x ∈ T | x∩ai ̸= ∅} と置けば|T′| ≥ N である．a0 ∈ D(r) \ {a1,· · · , ak0}を一つ取る． 任意のx∈ T′を取る．任意の1≤ i ≤ k0に対してx∩ai =∅となる．またx∈ T′ ⊂ S だから |D(x)| ≤ k0 であり，a∩ x = ∅ となる a ∈ Aは高々 k0 個しかない．よって a0∩ x ̸= ∅でなければならない．x ∈ T′ は任意だったから，T′ ⊂ {x ∈ T | a0∩ x ̸= ∅}
である．故にN ≤ |T′| ≤ {x ∈ T | x ∩ a0 ̸= ∅} ≤ |a0|となる．N > 0は任意だったか らa0 が無限集合となり矛盾する． 定義. Xを位相空間とする． 1. X がT4 空間 ⇐⇒互いに素な閉集合 E, F ⊂ X に対して，ある開集合U, V ⊂ X が存在して E ⊂ U, F ⊂ V, U ∩ V = ∅となる 2. X がU-空間 ⇐⇒互いに素な閉集合E, F ⊂ X に対してある連続関数f : X −→ [0, 1]が存在し てf|E = 0, f|F = 1となる． 3. X がT-空間 ⇐⇒ F ⊂ X を閉集合，f : F −→ [0, 1]を連続関数とするとき，ある連続関数 f : X−→ [0, 1]が存在してf|F = f となる． 4. X がcollectionwise Hausdorff ⇐⇒ F ⊂ Xが離散閉集合ならば，X の互いに素な開集合の族{Ux}x∈F が存在し て，x∈ F に対してx∈ Uxとなる． 5. X がcollectionwise T4 ⇐⇒ {Fλ}λ∈Λ がX の互いに素な閉集合の族ならば，X の互いに素な開集合の族 {Uλ}λ∈Λが存在して，λ∈ Λに対してFλ⊂ Uλとなる． 命題 13. 1. T-空間はU-空間である． 2. U-空間はT4 空間である． 3. パラコンパクトHausdorff空間はT4空間である． 4. 選択公理=⇒ T4 空間はU-空間である．(Urysohnの補題) 5. 選択公理=⇒ T4 空間はT-空間である．(Tietzeの拡張定理) ※ 即ち，選択公理の下ではT4 空間，U-空間，T-空間は同一の概念である．また「T4 空間=⇒ U-空間」や「T4空間=⇒ T-空間」はZFでは証明できないことが知られて いる．[3] 定理 14. 次の命題は(ZF上)同値． 1. AMC 2. T-空間の直和はT-空間である．
3. T-空間の直和はU-空間である． 4. T-空間の直和はT4 空間である． 5. U-空間の直和はU-空間である． 6. U-空間の直和はT4空間である． 7. T4空間の直和はT4 空間である． 8. パラコンパクトHausdorff空間の直和はT4 空間である．
9. collectionwise Hausdorff空間の直和はcollectionwise Hausdorffである．
10. collectionwise T4空間の直和はcollectionwise T4 である． 11. collectionwise T4空間の直和はT4 空間である． 証明. 2=⇒3，3=⇒4，5=⇒6，6=⇒4，8=⇒7，7=⇒6，10=⇒11は明らかだから，1=⇒2， 1=⇒5，1=⇒8，4=⇒1と1=⇒9，9=⇒1と1=⇒10，11=⇒1を示せばよい． (1 =⇒ 2) {(Xλ,Oλ)}λ∈Λ をT-空間の族としてX := ⨿ λ∈Λ Xλとする．F ⊂ X を閉集 合，f : F −→ [0, 1]を連続写像とする．Fλ:= F ∩ Xλ, fλ := f|Fλ とすれば，Xλが T-空間であることから Aλ:={g : Xλ−→ [0, 1] | g|Fλ = fλ} は空でない．{Aλ}λ∈Λ にAMCを適用して空でない有限集合Bλ ⊂ Aλ を得る．このと き連続関数f : X −→ [0, 1]をx∈ Xλに対してf (x) := max{g(x) | g ∈ Bλ}で定めれば f|F = f である． (4 =⇒ 1) {Xλ}λ∈Λ を非空集合の族とする．各Xλ は無限集合としても一般性を失わ ない．P0 fin(Xλ) :={F ⊂ Xλ| 0 < |F | < ∞}として Mλ := { ⟨A, B⟩ A, B ⊂ Pfin0 (Xλ), A, B ̸= ∅ 任意のF ∈ Aと任意のG∈ Bに対してF ∩ G ̸= ∅ } と定義する．このときfλ: Mλ−→ Pfin0 (Xλ)となる写像の族(fλ)λ∈Λ が存在する． . ..) ⟨A, B⟩ ∈ Mλ とする．まず A が無限集合だとする．(A に補題 12 を適用す る．) G ∈ B に対して G∩∪A は∪A の有限部分集合であり，Mλ の定義から |D(G ∩∪A)| ≤ 0を満たす．よって n0 := min{ n > 0 |あるx, kが存在して|x| = nかつ|D(x)| ≤ k } が存在する． k0 := min{ k ≥ 0 |あるxが存在して|x| = n0かつ|D(x)| ≤ k }
とすれば，補題 12によりS := {x ⊂ ∪A | |x| = n0, |D(x)| ≤ k0}は有限集合で ある． そ こ で fλ(A, B) := { ∪ A (Aが有限集合のとき) ∪ S (Aが無限集合のとき) と す れ ば fλ(A, B) ∈ P0 fin(Xλ)である． aλ:=⟨0, Xλ⟩, bλ:=⟨1, Xλ⟩としてYλ:={aλ, bλ} ∪ Pfin0 (Xλ)と置く．F ∈ Pfin0 (Xλ) に対してF↑ :={G ∈ Pfin0 (Xλ)| F ⊂ G}, F∗ :={G ∈ Pfin0 (Xλ) | F ∩ G ̸= ∅}とする． Yλの開集合U ⊂ Yλを次の二条件を満たすものとして定める． (1) aλ ∈ U ならばあるF ∈ Pfin0 (Xλ)が存在してF↑ ⊂ U (2) bλ∈ U ならばあるF ∈ Pfin0 (Xλ)が存在してF∗ ⊂ U すると各YλはT-空間である． . ..) まずYλが位相空間であることを示す． (i)明らかに∅とYλは開集合である． (ii) 開集合の和集合も明らかに開である． (iii) U, V を開集合とする．aλ ∈ U ∩ V とする．このときaλ ∈ U, aλ ∈ V であ る．よってあるFU, FV ∈ Pfin0 (Xλ)が存在してFU↑ ⊂ U, FV↑ ⊂ V となる．このとき F := FU ∪ FV と置けば明らかにF↑ ⊂ U ∩ V である．故にU ∩ V は開集合の定義 (1)を満たす．(2)についても同様である． 以上によりYλは位相空間である． YλがT-空間であることを示すため，A ⊂ Yλ を閉集合，f : A −→ [0, 1]を連続写 像とする．Yλの位相の定義から，y̸= aλ, bλのとき{y} ⊂ Yλが開であることに注意 し，f : Yλ −→ [0, 1]を以下のように定義すればよい． (i) aλ, bλ∈ A/ のとき． f (y) := { f (y) (y ∈ Aのとき) 0 (y /∈ Aのとき) と定義すればf は連続である． (ii) aλ, bλ∈ Aのとき．
開近傍U ∋ aλ, V ∋ bλ, U ∩ V = ∅を取り f (y) := f (y) (y ∈ Aのとき) f (aλ) (y ∈ U \ Aのとき) f (bλ) (y ∈ V \ Aのとき) 0 (それ以外のとき) と定義すればf は連続である． (iii) aλ∈ A, bλ ∈ A/ のとき． 開近傍U ∋ aλ, V ∋ bλ, U ∩ V = ∅, V ∩ A = ∅を取り f (y) := f (y) (y∈ Aのとき) f (aλ) (y∈ U \ Aのとき) 0 (それ以外のとき) と定義すればf は連続である． (iv) aλ ∈ A, b/ λ∈ Aのとき． (iii)と同様． Y := ⨿ λ∈Λ Yλと置く．仮定によりY はT4空間である．A := {aλ | λ ∈ Λ}, B := {bλ| λ∈ Λ}とすればこれらはY の閉集合で互いに素である．故にU ⊃ A, V ⊃ B, U∩V = ∅ となる開集合 U, V が存在する．Aλ := {F ∈ Pfin0 (Xλ) | F↑ ⊂ U}, Bλ := {F ∈ P0 fin(Xλ) | F∗ ⊂ V } と置くとAλ̸= ∅, Bλ ̸= ∅で，任意のF ∈ Aλと任意のG ∈ Bλに 対してF ∩ G ̸= ∅となる． . ..) F ∩ G = ∅とするとF ∈ G∗ である．よってF↑∩ G∗ ̸= ∅となりU ∩ V = ∅に 矛盾する． 故に⟨Aλ,Bλ⟩ ∈ Mλである．そこでFλ := fλ(Aλ,Bλ)と置けばよい． (1 =⇒ 5) 1=⇒2と同様． (1 =⇒ 7) {(Xλ,Oλ)}λ∈Λ をT4 空間の族としてX := ⨿ λ∈Λ Xλとする．E, F ⊂ X を 互いに素な閉集合とする．Eλ := E ∩ Xλ, Fλ := F ∩ Xλと置けばこれらはXλ の互い に素な閉集合．よってXλがT4だから Aλ:={⟨U, V ⟩ ∈ Oλ× Oλ| U ⊃ Eλ, V ⊃ Fλ, U ∩ V = ∅} は空でない．{Aλ}λ∈Λ にAMCを適用して空でない有限集合Bλ ⊂ Aλ を得る．このと
きUλ := ∩ ⟨U,V ⟩∈Bλ U，Vλ := ∩ ⟨U,V ⟩∈Bλ V とすればEλ ⊂ Uλ，Fλ⊂ Vλ，Uλ∩ Vλ =∅で ある．そこでU := ∪ λ∈Λ Uλ∈ O, V := ∪ λ∈Λ Vλ∈ O とすれば明らかに U ⊃ E, V ⊃ F, U ∩ V = ∅. 故にX はT4 である． (9 =⇒ 1) 4=⇒1の証明で定義したYλはcollectionwise Hausdorffである．故に仮定 11からY := ⨿ λ∈Λ Yλはcollectionwise Hausdorffとなる．A, B ⊂ Y は離散閉集合とな るから，4=⇒1と同様にしてAMCを示すことができる． (11 =⇒ 1) 4=⇒1の証明で定義したYλはcollectionwise T4 である．故に仮定11か らY := ⨿ λ∈Λ YλはT4 空間となり，4=⇒1と同様にしてAMCを示すことができる． 命題 15. 可算選択公理⇐⇒コンパクトな空間の可算直和はLindel¨ofである． 証明. (=⇒) 明らか． (⇐=) {Xn}n∈N を非空集合の族とする．離散位相空間 ∪ n∈N Xn の一点コンパクト化を X ={∞}∪∪ n∈N Xnとする．Xはコンパクトだから，仮定よりX⊔N = X⊔{0}⊔{1}⊔· · · はLindel¨ofである．{X} ∪ {{n, x} | n ∈ N, x ∈ Xn}はX∪ Nの開被覆だから，可算部 分被覆{Un | n ∈ N}が存在する．n∈ Nに対してn∗ := min{m ∈ N | n ∈ Um}として Un∗ ={n, xn}と書けば(xn)n∈N ∈ ∏ n∈N Xnである． 定理 16. 選択公理 ⇐⇒コンパクトな空間の直積は Lindel¨of である，かつコンパクトな空間の可算直和は Lindel¨ofである． 証明. (=⇒) 明らか． (⇐=) 選択公理が成り立たないと仮定する．非空集合の族{Xλ}λ∈Λ で ∏ λ∈Λ Xλ = ∅と なるものが存在する．各Xλに密着位相を入れて直和Yλ := Xλ∪ {∞}を考える．Yλ は コンパクトだから仮定によりY := ∏ λ∈Λ YλはLindel¨of となる．πλ: Y −→ Yλ を標準射 影とすると，∏ λ∈Λ Xλ =∅だから{πλ−1(∞) | λ ∈ Λ}はY の開被覆である．Y がLindel¨of だから，可算部分集合 Γ ⊂ Λが存在して{πλ−1(∞) | λ ∈ Γ}がY の開被覆となる．こ
のとき ∏
λ∈Γ
Xλ = ∅であるが，一方命題 15より可算選択公理が成立するから，矛盾す
る．
参考文献
[1] Paul Howard, Kyriakos Keremedis, Herman Rubin and Jean E. Rubin, Disjoint Unions of Topological Spaces and Choice, Math. Log. Quart. 44 (1998), 493–508, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/malq.19980440408/
[2] Horst Herrlich and Kyriakos Keremedis, Topological sums and products in ZF-set theory, Topology and its Applications 156 (2009), 1994–1999, http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864109000960
[3] H. L¨auchli, Auswahlaxiom in der Algebra, Comment. Math. Helv. 37 (1963), 1–18 [4] Horst Herrlich, Products of Lindel¨of T2-spaces are Lindel¨of ― in some models
of ZF, Comment. Math. Univ. Carolin. 43,2 (2002), 319–333, http://dml.cz/ handle/10338.dmlcz/119322
