局所体のアーベル拡大について

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(1)局所体のアーベル拡大について’ 教科・領域学教育学専攻. 自然系コース M1 0 1 7 4H 庄田保雄. 本論文では局所体のアーベル拡大につ. 割を演じるヘンゼルの補睡と，それから導. いて考察する．大域体を局所化して得られ. かれる結果について述べる．完備離散付値. る局所体Kのアーベル拡大のありさまが. 体Kの付値環。の元を係数とする多項式. 乗法群K＃に映し出される一端をかいま. が，剰余体で互いに素な2つの多項式の積. 見ることが本論文の目的である．局所体の. に分解できれば，oでも分解できるという. 不分岐アーベル拡大のガロア群がノルム. のがヘンゼルの補題である．これより「K. 剰余群と同型になることの証明を与え，ま. 係数モニック既約多項式の定数項が。の. た，局所体の有限次アーベル拡大と，乗法. 元であれば，すべての係数が。の元であ. 群の指数有限な開部分群が1対1に対応. る」などの著しい結果が導かれる．. し，そのガロア群がノルム剰余群と同型に. §2．3では付値体（K，μ）の付値リの有限. なることなどの結果を展望する．. 次拡大ムベの延長μが与えられたとき，μ. ．1章では，後章で用いる，群，環，体，ガ. の剰余体Fがμの剰余体の部分体と見な. ロア理論の基本事項，代数的整数論の基本. せる’ことを示した後，剰余次数∫（μ／リ），分. 事項，および付値論の基本事項について述. 岐指数ε（μル）を定義する．さらに，（K，レ）. べる．. が完備離散付値体の場合は，ムベの延長. 2章では，完備離散付値体について考察. μが一意に定まり，完備離散付値となるこ. する1. と，剰余次数，分岐指数が有限で，その積. §2．1では付値から定まる付値環，素イデ. ∫（μル）ε（μル）が工／Kの拡大次数［ム＝K］. アル，剰余体の概念を導入する．特に離散. に一致することなどを示す1またKの2. 付値体では素イデアルが単項イデアルと. つの有限次拡大の間のK同型が，それら. なること，完備離散付値体では付値環の任. の剰余体の間のF同型を誘導することも. 意の元が完全代表系を係数とする素元の. 示す．. べき級数として表されることなどを示す．. §2．4では完備離散付値体Kの不分岐. §2．クでは本論文の理論展開上重要な役. 拡大，完全分岐拡大を定義し，rKの剰余. 一326一.

(2) 体Fの任意の有限次分離拡大Eに対し. の有限次拡大に同型であり，等標数の局所. て，Kの不分岐拡大ムで，その剰余件軋. 体が有限体Fを係数体とするLaurent級. が五とF同型になるものが存在する」こ. 数体F（（士））に同型であることを示す．ま. と，不分岐拡大工／Kについて「工／κが. た，任意の自然数ηに対し，Kのη次不. ガロア拡大であることと，工の剰余件班. 分岐拡大κ。がK同型を除いて一意に. がんの剰余体Fのガロア拡大であるこ. 存在すること，κηがんのη次巡回拡. ととが同値である」こと，「ガロア群の同. 大であること，Ga1（Kれ／κ）がノルム剰余. 型Ga1（工／K）竺Ga1（凡／F）が成り立つ」. 群κ‡／NK、／K（K茸）に同型であること，な. こと，などを示す．. どを示す．. 3章では，完備離散付値体（κ，吹）の付. §4．2では，前節までに示した諸定理を基. 値環DKの高次単数群について考察する．. に，2つの定理. §3．1では，単数群ひκ：昨）と高次単数【同型定理】局所体の有限次アー. 群ψ）（乞≧1）を定義し，同型. ベル拡大のガロア群はノルム剰 σK／昨）皇F‡，ひ宴）／σ妄十1）窒F. 余群に同型である．. を示す．§3．2では，ηが剰余体Fの標数. 【存在定理】局所体の有限次ア」. と互いに素な自然数のとき，等式ψ〕＝. ベル拡大と，局所体の乗法群の指. （ひ妄〕）nが成／立つことを示す・1…では，ch（F）＝ρ＞0，かつ。h（κ）＝0の. 数有限な開部分群が1対1に対応する．. とき，e＝〃K（ρ）とおくと，任意の整数. 3＞、三、と任意の自然数ηに対して，等. 式ザ」（剛ρが成／立つことを示す．§3．4では，κの有限次不分岐拡大ム. の乞次単数群吋）のノルム写像による像がKの乞次単数群σ妄）に一致すること，. 単数群のノルム剰余と剰余体のノルム剰余の同型σκ／凡／κ（σ几）竺F＊／NE、ノF（珂）. を中心に，局所体のアーベル拡大について，展望する．. §4．3では，§4．2の結果の応用として，Qp. の有限次アーベル拡大が円分拡大の部分体であることを示す．これはクロネッカー・. ウェーバーの定理「有理数体Qの有限次アーベル拡大は円分体の部分体である」の Qρ板ともいえるものである。. が成り立つことなどを示す、. 4章では，局所体Kのアーベル拡大のありさまが乗法群K＃に映し出される一端をかいま見る． §4．1セは，混標数の局所体がρ進数体Q、. 1327一. 主任指導教員枠山廣. 指導教員松山廣.

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