論 文
表面ばっ気における総括酸素移動容量
係数の算出方法に関する一考察
平山公明今岡正美
片山けい子
中村寛治 （昭和53年8月31日受理）Estimation of Over-all Oxygen Transfer
Coefficients in Surface Aeration
KimiakiHIRAYAMA MasaharuIMAOKA KeikoKATAYAMA KanjiNAKAMURA
Abstract Some methods for estimating the over・all oxygen transfer coe伍cient（K．a）in surface aeration are investigated． The dissolved oxygen in water is removed with nitrogen gas or sodium su1丘te． When nitrogen gas is used， the moment method reproduces Cガt curve so exactly that it is thought to be the best method to estimate KLa in this example， and the Iog value difference method follows． However， the moment method is not suitable when dissolved oxygen is removed with sodium sul丘te， because the KLa value estimation is easily affected by the existence of residual sodium sulfite． Since the log value difference method 」 does not have such an inconvenience， it can be applied more widely．
1．はじめに
総括酸素移動容量係数（KLa）は水中への酸素の溶 解速度を表す指標であり，この値を算出することは， 下水処理におけるぽっ気槽のばっ気性能，あるいは河 川における再ぽっ気量などを知る上で極めて重要であ る。このKLaの算出方法には，水温に対する飽和溶 存酸素濃度（Cs）を数表あるいは数式によって求める Table Cs法，飽和溶存酸素濃度を実測する実測Cs 法，傾斜法，対数差法，モートント法などのいくつか の方法があり，それらの比較検討はすでに橋本，藤 田1・2｝によって行われモーメント法が最良の方法であ るとされている。ところでぽっ気には排水処理に用い られる散気式ばっ気，機械式ばっ気と，湖，河川など での風や流れによる再ぽっ気があり，前者は自由表面 以外に水中の気泡表面や飛沫表面でも酸素の吸収がお こっているのに対して，後者は酸素の移動が自由表面 に限られているために一般に単位体積あたりの酸素の 溶解速度が小さい。したがって仮に，前者を高いぼっ 気レベル，後者は低いぽっ気レベルと呼ぶことにする と，橋本らの研究は下水処理場のぼっ気槽を対象とし たぽっ気レベルの高い気泡ぽっ気に対して行われてい る。しかし，これらのKLa算出方法の比較結果がそ のままばっ気レベルの低い場合にあてはまるかどうか は明らかでない。そこで本報告では，たとえば河川の 再ばっ気を対象としたぽっ気レベルの低い自由表面か らのばっ気による実験を行い，各種算出方法を比較検 討した。 ＊東北大学大学院学生2．実験方法
実験に使用した実験装置の概要を図一1に示す。ばっ 気槽は直径26cm，高さ40 cmの塩化ビニル製円筒型モータ ・46．7 （単位：cm） 図一1実験装置の概要
団
容器である。この容器に水道水を約12．51満たし，窒 素ガスまたは亜硫酸ナトリウムを用いて前もって水中 の溶存酸素濃度を0．5mg／1以下とした。そしてモー タで擢型の羽根を回転させて撹拝を行い水面から酸素 を溶け込ませる。水中の溶存酸素濃度はオリエソタル 電気製のDOメータを用いて測定し，その指示を理研 電子製の記録計で記録しKLaの算出に用いた。羽根 の回転速度は115rpm（撹拝レイノルズ数NRe＝8．06 ×104ただしNRe＝d2n／v d：羽根の長さ［cmコ， n：羽根の回転速度［rps］， y：水の動粘性係数［cm2／s］） で一定とし，水温は恒温水槽を用いて26±0．5°Cと 一定にした。なお，亜硫酸ナトリウムで溶存酸素を除 去する際には触媒として硫酸銅を0．1g／1の割合で加 えた。 実験は，水中の溶存酸素の除去に窒素ガスを用いる 場合と亜硫酸ナトリウムを用いる場合の2つに分けて 行い，それぞれ5回ずつ同一の実験をくり返した。 KLaを算出する実験では，溶存酸素の除去に窒素 ガスまたは亜硫酸ナトリウムが用いられるが，酸素の 除去にはできるだけ窒素ガスを用いるのが普通であ り，亜硫酸ナトリウムを用いる場合には，酸素と亜硫 酸ナトリウムの反応が水や試薬中の微量不純物の影響 を強く受けるなどの注意すべき点がいくつか指摘され ている3・4）。しかし，水量が501をこえる大きな容量 の装置のKLaを測定しようとする際には，窒素ガス では時間もかかり効率も悪いのでどうしても亜硫酸ナ トリウムを使用せざるを得ない。したがって本実験の ような小規模なものでは窒素ガスを用いて酸素を除去 する方がよいのであるのだが，亜硫酸ナトリウムの方 が実用的な場合もあるので，溶存酸素の除去には窒素 ガスと亜硫酸ナトリウムの両方を用い両者を比較し た。 3． KLaの各種算出方法 水中の溶存酸素濃度の時間変化は次の式で表され る。 dC． ＝ KLa（Cs−C．）dt
CL：水中の溶存酸素濃度［mg／1］ Cs：水中の飽和溶存酸素濃度［mg／1］ KLa：総括酸素移動容量係数［1／hr］ t：時間［hr］ （1）式を積分すると 1n（C8−CL）＝−1（Lat十C c：積分定数 となる。よって C．＝Cs−、4exp（−KLat） ．4：定数 となる。今， なり（3）式は C． ＝Cs｛1−exp（−KLat）｝ （1） （2） （3）t＝0のときC．＝0とするとA＝Csと
（4） となる。KLaを算出するのにこれらの式を用いたい くつかの方法があるのでそれらを簡単に述べる。 （1）Table Cs法 この方法では，まず，（1）式中のCsの値を定数表な いしは計算式により求める。Csが与えられると（2）式 にしたがい縦軸に1n（Cs−C．），横軸にtをとって実 測値をプロットすれぽその直線の傾きから1（詔が算 出される。ここでは衛生工学ハンドブックの「純水中 の飽和溶存酸素量5）」によりCsの値を定めた。 （2）実測Cs法 （1）式中のCsの値を実測により求める方法で，充分 ぽっ気した検水中の溶存酸素濃度を，DOメータやウ ィソクラー法またはその変法で求めその値をCsとし て採用する方法である。Csが求まれぽTable Cs法 と同様の方法で（2）式にしたがいKLaを算出すること ができる。本実験ではウィンクラー法のナトリウムア ザイド変法によった。 （3）傾斜法 表一1に示すように0＜x〈1のとき ・一・−x≒・（1十一 6）−3 （・） であることを利用すると（4）式は C・≒C・・’・K・・t（ KLat1十 6）−3 （・） となる。ゆえに昭和53年12月 山梨大学工学部研究報告 第29号 表1・−e−xと・（1十一 6）−3の比較 0 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0 2．0 3．0 1−e−x 0．000 0．181 0．330 0．451 0．551 0．632 0．865 0．950 x（1十三 6）−3 表一2各種算出法によるKLa， Cs値（窒素ガスを用いた場合） 実験 番号 1 O．OOO O．181 0．330 0．451 0．550 0．630 0．844 0．889 2 3 4 5 IT・bl・C・法 KLa（1／hr） Cs（mg／の KLa（1／hr） Cs（mg〃） KLa（1／hr） Cs（mg／の KLa（1／hr） Cs（mg／1） KLa（1／hr） Cs（mg〃） 1．092 8．01 O．989 7．99 1．019 7．97 1．034 7．97 1．061 8．00 実測Cs法 1．282 7．53 1．150 7．51 1．244 7．49 1．264 7．49 1． 254 7．52
傾斜法
1．405 7．58 1．326 7．36 1．359 7．48 1．332 7．50 1，522 7．37 対数差法 1．472 7．23 1．337 7．19 ］．409 7．19 1．353 7．27 1．714 7．08 ㌃メン1水温（°c） 1．518 7．16 1．417 7．05 1．580 6．93 1．444 7．12 1．714 6．90 25．8 26．0 26．1 26．1 25．9 （」LC．）1／3−（C・・’・K・a）一＋蹴・t（・） となるので，縦軸に（t／CL）i／3，横軸にtをプロット した時の直線の傾きをa1，縦軸切片をa2とするとal一誌： （・）
a2：＝（Cs・KLa）−1／3 （9） であるからK。a＝一勉L ⑭
a2 1 ￠1） Cs＝ a23・KLa で与えられる。 （4）対数差法 等時間間隔0，tl， t2，…， tn（ti−ti．1＝dt（一定）） でのCLの値が得られるとして， d（τD＝CL（τD−CL ×（t，．、）でd（t‘）を定義しさらにC．に（4）式を代入 すると d（t‘）＝Cs・exp（−KLa・t‘）｛exp（KLa・∠lt）−1｝ ⑫ となる。両辺の対数をとると lnd（ti）＝lnCs十ln｛exp（KLa・∠lt）−1｝−KLa・ti a3） Cs， exp（KLa・dt）−1は定数であるから， tiに対し てlnd（t‘）をプロットすればその傾きからKLaが求 まる。傾きを求めるのに最小自乗法を用いるとよい。 Csを求めるには， R＝Σ［Cs｛1−exp（−KLa・tt）｝−C．（t‘）コ2（14 を最小とするようにCsを定めるのがよい。そのため には，∂、R／∂Cs＝0とおくと Σ〔Cs｛1−exp（−K。a・D｝−C。（の］i
×｛1−exp（−KLa・t‘）｝＝O as） CsΣ｛1−exp（−KLa・t‘）｝2i
一ΣCL（ti）｛1−exp（−KLa’ti）｝＝O i ゆえに ΣC．（t‘）｛1−exp（−KLa・ti）｝ i Cs＝ Σ｛1−exp（−KLa・ti）｝2 i となる。 （5）モーメント法 この方法は（4）式中の未知の値KLaとCsを， ⑯ ⑰ ゼロ次モーメントΣCLと1次モーメントΣtC．とから
求める方法である。（4）式よりゼロ次モーメントΣC．e＃ ΣC．（τD＝ΣCs｛1−exp（一 KLa・ti）｝ i i ＝nCs−Cs Z exp（−KLa・t‘） ⑱ i 1次モーメントΣtCLは Σ t乞C．（ti）＝Σ tiCs｛1−exp（−KLa・t‘）｝ i i ＝CsΣち一Cs Z ttexp（−KLa・ti） i i ⑲ Csを消去するために㈹式をag）式で割ると ］Z］ C．（ti） n一Σexp（−KLa・tz） 言，、C。ω一Σt一ξ，、exp（−K。a，ti）e・） i i i となる。また㈱式より ΣCL（ti） L−is−・一琴・xp（−K・a’ti） 2・） したがって，20）式，2i）式によりあらかじめKLaと ］Z］ C．／Σ ttCL， KLaとΣC乙／Cぷの関係をグラフに i i i示しておけぽ，実測値C．よりΣCL／ΣtzCLを計
t t算するとKLaの値が得られ，その得られたKLaの
値を⑳式に代入すれぽCsが得られる。20）式，⑳式の グラフはti ＝1，2，3，…， n（hr）に対して作っておくとよい。そうすれぽtiをたとえばtz＝＝1／6，2／6， ・，n／6（hr）のようにとった時には，仮にtiをti＝1， 2，…，n（hr）としてΣC．／Σ tC．を求め，得られ i i
たKLaの値を6倍すれぽ求めるべきKLaの値が得
られる。そこで，測定値をt＝0から等間隔にn個
とすれば，すべての場合のKLaをひとつのKLa
一ΣCL／］Z］ tC．のグラフから計算でき便利であると i i されている。 4． 実験結果と考察 （1）窒素ガスによる酸素除去の場合 実験は5回くり返して行い，それぞれについて各算出方法によりKLaとCsとを計算した。その計算結
果を表一2に示す。各算出法でのKLaの値は相互に 1割∼5割異なっている。KLaの値はモーメント法， 対数差法，傾斜法，実測Cs法， Table Cs法の順に 大きく，Csの値は逆にこの順に小さくなっている。 （2）式によれば，KLaとCsの値には関係があり 畑一h（Cs−C2Cs−Ci）−h（1＋εi三芸）￠2） tl−t2 tl−t2 であるからCsが大きくなれば1＋（C1−C2）／（Cs−C1） が小さくなるのでKLαは小さい値が得られることに なる。表一2のKLaとCsの値にもこの関係が現れて いる。 各算出方法で算出されたKLa， Cぷの値がどの程度 実際に測定されたC．−t曲線に一致するかを示す指 標として（4）式C．＝C8｛1−exp（−KLa・t）｝に，算出し たKLa， Csの値を代入して得られるC．値と，実際 に測定して得られたCLの値との差の自乗を0時間か ら等間隔にとった10点について加えた値を求めた。そ の値をSとすると S＝Σ（計算C．一実測C．）2 23） i であり，Sは曲線の再現性を示す指標とみなされる。 Sの計算結果を表一3に示す。この表によれぽ従来か らよく用いられているTable Cs法，実測Cs法によ るKLa， Csの値は実測されたC． −t曲線をあまり忠 実に再現してはいない。この2つの方法は実測される CL −t曲線とは無関係にC，をあらかじめ定めるた め，そのCs“の値が適当でないとC．−t曲線を正確に 再現できない。このように実際のC． −t曲線からのず れが大きいということはCsの定め方に問題があり， これらの方法はよいKLaの算出方法とは言えない。 これに対して対数差法，そして特にモーメソト法は 極めて忠実にC．−t曲線を再現していると言える。この2つの方法はCsを与えないでKLaを求める方
法であり，Csも実測されたCL−t曲線から求めてお りそれだけ曲線に適したCsを得ることが可能であ 表一3C．−t曲線再現性の比較実験翻」・C・法1実測c・法已斜法1対数差法1モー・ソ・法
1 2 3 4 5 0．789 0．845 1．418 0．761 1．779 0．231 0．333 0．398 0．124 0．822 0．340 0．146 0．389 0．234 0．389 0．010 0．023 0．104 0．040 0．075 O．006 0．009 0．034 0．022 0．026平∋・．・19
O． 382 0．300 0．051 0．019 表一4各種算出法によるKLa， Cs値（亜硫酸ナトリウムを用いた場合） 実験番司 T・・1・C・ ilk 1実測C・法已斜法1対数差法1モー・ソ・法1水温（・C） 1 2 3 4 5 KLa（1／hr） Cs（mg／の KLa（1／hr） Cs（mg〃） KLa（1／hr） Cs（mg／1） KLa（1／hr） Cs（mg／1） KLa（1／hr） Cs（mg／の 0．818 7．99 0．829 8．03 O．823 8．01 0．779 8．01 0．813 8．04 0．926 7．55 0．904 7．59 0．889 7．57 0．936 7．57 1．003 7．60 0．815 7．66 0．812 7．92 0．892 7．53 0．870 7．76 0．919 7．79 0．948 7．79 1．006 7．73 0．960 7．65 1．041 7．38 1．183 6．90 0．558 10．25 0．452 12．31 0．599 9．99 0．702 9．04 0．662 10．17 26．0 25．7 25． 8 25．8 25．6昭和53年12月 山梨大学工学部研究報告 第29号 る。それゆえ曲線の再現性がよくなっておりKLaの 算出にはこのいずれかの方法を用いるのがよいと思わ れる。
傾斜法もCsを与えないでKLaを求める方法であ
るけれども，近似式（5）式はx＞1の範囲では近似性が 悪くなりCLがC8の60％を越えると誤差が大きくな る。C．の値が大きい範囲にまで（5）式を適用してKLa を算出することには少し無理がある。 このようにC．−t曲線の再現性という観点からみ ると，KLaの算出方法としてはモーメソト法が最良の 方法であり対数差法がこれについでいる。以上の結果 は橋本らの結論と共通しており，窒素ガスで酸素を除 去した場合には高いばっ気レベルの結果がそのまま低 いばっ気レベルにもあてはまる。 （2）亜硫酸ナトリウムによる酸素除去の場合 KLaとCsの算出結果を表一4に示す。5つのすべて の算出方法において，窒素ガスを用いて酸素を除去し た場合よりもKLaの値が小さくなっている。すなわ ち，亜硫酸ナトリウムを用いた時のモーメント法によ るKLaの値は，窒素ガスを用いた時のモーメント法 によって求めたKLaの値の30∼40％で，他の方法に よるKLaの値も窒素ガスを用いたモーメント法によ る値の50∼70％であり，モーメソト法によって得られ るKLaの値が特に小さく，同時に， Csの値が非常に 大きくなっている。これは，溶存酸素を除く目的で投 入した亜硫酸ナトリウムの一部が未反応のまま容器内 に残り，その亜硫酸ナトリウムと溶け込んできた酸素 とが反応するため，実測されたCL−t曲線が（4）式で 表されるような形になっていないことが原因であると 思われる。このことは，CL −t曲線が図一2のように初 期には下に凸になり，変曲点が存在してその後は上に 凸になることからも明らかであろう。（4）式で表される 曲線はすべての領域で上に凸でなければならない。 このようにモーメソト法にだけ未反応の亜硫酸ナト リウムの影響が大きく現れるのは，モーメント法では CL 0 図一2 t CL一τ曲線の例（亜硫酸ナトリムを用いる場合） 亜硫酸ナトリウムの影響が大きい測定値を除いてKLa を算出することが難しいからである。モーメソト法で はtの値をいったんt＝1，2，…，n（hr）という具合 にとってKLaとΣC．／Σt、C．， KLaとΣC乙／Cs i i i の関係を求めた時には，CL＝0の時刻から等間隔にη 個の点をとらねぽならず，そうするとどうしても未反 応の亜硫酸ナトリウムの影響を強く受けている初期の 測定値を含めて計算を行わねぽならない。このことと 関連して，（4）式を用いる以上，モーメソト法には，必ずt＝0でC乙＝0でなければKLaの値を計算できない
という欠点がある。このため，初期の溶存酸素濃度を ゼロにする目的で亜硫酸ナトリウムを多量に加えねぽ ならず，そのために未反応の亜硫酸ナトリウムが一部 水中に残留しKLaの算出に不都合が生じやすい。同 様のことが（4）式を用いている傾斜法にもあてはまる。 ところが対数差法は次のように（3）式を用い，すなわちt＝0でCムキOでもKLaを求めることが可能で
ある。（3）式より CL（t）＝Cs−Aexp（−KLat） d（ti）＝C．（ti）−CL（ti＿1）＝−A｛exp（一」KLa・tz） −exp（−KLa・tt＿1）｝＝＝ Aexp（−K乙a・ti） ×｛exp（KLa・∠tt）−1｝ 24 この式の対数をとると lnd（ti）＝lnA十1n｛exp（KLa・∠ft）−1｝−KLa・ti 2s） であるからtiに対してln d（’Dをプロットすれぽそ の直線の傾きからKLaの値を得ることができる。し たがって対数差法ではt＝0でC乙＝0とする必要が なくモーメソト法よりも実用的に便利な面がある。 また，Table Cs法も実測Cs法もいずれも直線の 傾きからKLaを求める方法であるので亜硫酸ナトリ ウムの影響が大きい点を計算上除くことが可能であ り，初期に酸素濃度をゼロにする必要はない。 亜硫酸ナトリウムで酸素を除去した場合にlll CL−t 曲線が（4）式からずれるので，窒素ガスを用いた時のよ うなCL−t曲線の再現性という観点からの考察は行 わず，主として未反応で残留している亜硫酸ナトリウ ムの影響という観点から各算出方法について考察した が，窒素ガスを用いた実験から示されたように，Cs を与えないでKLaを計算する方法e＃ C．−t曲線を正 確に再現できる。この点を考慮すると，あらかじめ Csの値を与えるTable Cs法や実測Cs法よりも， Csを与えないで計算する対数差法の方がKLaの算出 方法としては適切であると思われる。 したがって，亜硫酸ナトリウムで酸素を除去して KLaを算出する時にはモーメソト法によるのではな く，対数差法によるのが最も適切であると思われる。すなわち，この結果は橋本らの高いぼっ気レベルの結 果と少し異なり，亜硫酸ナトリウムで酸素を除去した 場合，低ぽっ気レベルではモーメソト法を使用して KLa， C8を求めるのは適当でない。しかし，対数差 法によるKLaの値も窒素ガスを用いモーメソト法で 計算した時の値に比べると30∼40％小さな値になって おり，亜硫酸ナトリウムを用いるときこの算出方法で は低いKLa値を与える結果となり，亜硫酸ナトリウ ムを使用する際の触媒の種類と濃度の検討が今後の課 題である。 5． おわりに 高いぼっ気レベルで得られたKLa算出法の比較結 果がそのまま低いぼっ気レベルにあてはまるかどうか は，もともと実験的に得られた結果であるだけに，未 知の部分があると考えられたが，低いばっ気レベルで は未反応で残留している亜硫酸ナトリウムの影響が強 く現れた以外は橋本らの結論と大きな差異はなく次の ようにまとめられる。 窒素ガスで溶存酸素を除去した場合にはモーメント 法が高いC．−t曲線の再現性をもち，対数差法がこ れについでいるのでKLaを算出するにはいずれかの 方法によるのがよい。しかし，モーメソト法には初期 の溶存酸素濃度をゼロにまで減少させなけれぽKLa を算出できないという欠点があり，しかも未反応の亜 硫酸ナトリウムの影響が現れている測定値を計算上除 くことができず，本実験の亜硫酸ナトリウムを用いた 時のように不正確な値を与えることがある。この点， 初期の溶存酸素濃度をゼPtにする必要がなく亜硫酸ナ トリウムの影響が大きい点を除いて計算することも可 能な対数差法は融通性においてモーメント法よりもま さる。
