プレゼンファイル record

.

.

線織部分多様体について

木村 真琴

茨城大学理学部

平成30年1 月26日

内容

Introduction

の線織面

球面内の線織部分多様体

内容

Introduction

R

球面内の線織部分多様体

球面内の 部分多様体の構成 複素双曲空間内の線織実超曲面について

内容

Introduction

R

球面内の線織部分多様体

内容

Introduction

R

球面内の線織部分多様体

球面内の austere 部分多様体の構成

複素双曲空間内の線織実超曲面について

内容

Introduction

R

球面内の線織部分多様体

球面内の austere 部分多様体の構成

変分問題と 微分幾何学

微分幾何学において 、 重要な研究対象は変分問 題の解と し て 得ら れる こ と が多い。  

コ ン パク ト 多様体 上の 計量 に 対し て 、 全スカラ ー曲率 の臨界点は

計量 である 。   多様体間の写像

のエネルギー汎関数 の臨界点 は調和写像 と よ ばれる 。

変分問題と 微分幾何学

微分幾何学において 、 重要な研究対象は変分問 題の解と し て 得ら れる こ と が多い。  

コ ン パク ト 多様体 M 上の Riemann計量 g に

対し て 、 全スカラ ー曲率

∫

µ

Einstein計量 Ricg

=

λ

多様体間の写像

変分問題と 微分幾何学

微分幾何学において 、 重要な研究対象は変分問 題の解と し て 得ら れる こ と が多い。  

コ ン パク ト 多様体 M 上の Riemann計量 g に

対し て 、 全スカラ ー曲率

∫

µ

Einstein計量 Ricg

=

λ

Riemann多様体間の写像 f

: (

,

)

_→

(

,

)

(

/

)

∫

|

_|

µ

は調和写像traceg

∇

=

極小部分多様体

Riemann多様体

(

,

)

いて 、 体積汎関数の (compact supportを も つ)

変分の臨界点は、  

極小部分多様体 である 。

こ こ で、 は

部分多様体 の平均曲率ベク ト ル、 は

の第二基本形式で、 は の接空間

極小部分多様体

Riemann多様体

(

,

)

いて 、 体積汎関数の (compact supportを も つ)

変分の臨界点は、  

極小部分多様体 H

=

こ こ で、 は

部分多様体 の平均曲率ベク ト ル、 は

の第二基本形式で、 は の接空間

の正規直交基である 。

極小部分多様体

Riemann多様体

(

,

)

いて 、 体積汎関数の (compact supportを も つ)

変分の臨界点は、  

極小部分多様体 H

=

こ こ で、 H

= (

/

)

∑

σ

(

,

) (

=

)

σ

部分多様体の第二基本形式

(

,

)

_∇

に関する M の Levi-Civita接続を

_∇

に接する ベク ト ル場 について 、 と する と 、

は、 の各点で法ベク ト ル空間に値を も つ 対称双一次形式で、 の第二基本形式と いう 。

部分多様体の第二基本形式

(

,

)

_∇

に関する M の Levi-Civita接続を

_∇

M に接する ベク ト ル場 X

,

σ

(

,

) =

_∇

XY

− ∇

XY と する と 、

部分多様体の第二基本形式

(

,

)

_∇

に関する M の Levi-Civita接続を

_∇

M に接する ベク ト ル場 X

,

σ

(

,

) =

_∇

XY

− ∇

XY と する と 、

σ

対称双一次形式で、 M の第二基本形式と いう 。

全測地的部分多様体

特に、

σ

=

る と いう 。

空間 の全測地的部分多様体は、 線形 部分空間 を 平行移動し た 部分空間 であり 、 球面 の全測地的部分多様体は、 大 球 である 。

定義よ り 、 全測地的部分多様体は極小である が、 一般に逆は成り 立たない。

全測地的部分多様体

特に、

σ

=

る と いう 。

Euclid空間

R

部分空間

R

球Sk である 。

定義よ り 、 全測地的部分多様体は極小である が、 一般に逆は成り 立たない。

対称空間の全測地的部分多様体は 長野 によ っ て 研究さ れて いる

全測地的部分多様体

特に、

σ

=

る と いう 。

Euclid空間

R

部分空間

R

球Sk である 。

定義よ り 、 全測地的部分多様体は極小である が、 一般に逆は成り 立たない。

全測地的部分多様体

特に、

σ

=

る と いう 。

Euclid空間

R

部分空間

R

球Sk である 。

定義よ り 、 全測地的部分多様体は極小である が、 一般に逆は成り 立たない。

対称空間の全測地的部分多様体は Chen-長野

によ っ て 研究さ れて いる (Duke Math. J., 1977,1978)

R

の極小曲面

3 次元Euclid 空間

R

の曲面を 、 局所的に 変数関数 の グラ フ と 表し た時、 極小曲面の 方程式は 

R

の極小曲面

3 次元Euclid 空間

R

R

₍

_,

₎

(

,

,

(

,

))

と 、 階楕円型偏微分方程式になる 。

R

の極小曲面

3 次元Euclid 空間

R

R

₍

_,

₎

(

,

,

(

,

))

(

+

)

−

+ (

+

)

=

部分多様体の対称性

「 Einstein計量」「 調和写像」「 極小部分多様

体」 の方程式は、 一般にそ れぞれ偏微分方程式 と なり 、 解く のは難し い。  

そ こ で、 考えて いる 対象に対称性を 仮定し て 、 方程式を 常微分方程式に帰着さ せて 、 そ の解を 調べる こ と も 多い。  

の曲面で、「 対称性」 を も つク ラ スと し て 、 回転面と 線織面がある 。

部分多様体の対称性

「 Einstein計量」「 調和写像」「 極小部分多様

体」 の方程式は、 一般にそ れぞれ偏微分方程式 と なり 、 解く のは難し い。  

そ こ で、 考えて いる 対象に対称性を 仮定し て 、 方程式を 常微分方程式に帰着さ せて 、 そ の解を 調べる こ と も 多い。  

部分多様体の対称性

「 Einstein計量」「 調和写像」「 極小部分多様

体」 の方程式は、 一般にそ れぞれ偏微分方程式 と なり 、 解く のは難し い。  

そ こ で、 考えて いる 対象に対称性を 仮定し て 、 方程式を 常微分方程式に帰着さ せて 、 そ の解を 調べる こ と も 多い。  

R

回転面と 線織面がある 。

部分多様体の対称性

「 Einstein計量」「 調和写像」「 極小部分多様

体」 の方程式は、 一般にそ れぞれ偏微分方程式 と なり 、 解く のは難し い。  

そ こ で、 考えて いる 対象に対称性を 仮定し て 、 方程式を 常微分方程式に帰着さ せて 、 そ の解を 調べる こ と も 多い。  

R

回転面の一般化

R

こ のと き 、 極小曲面の方程式は常微分方程式に 帰着さ れて 、 具体的に解く こ と ができ て 、  

の回転面が極小曲面なら ば、 平面か懸垂 面の一部である 。

こ の結果は、 対称空間内の極小超曲 面の構成など に一般化さ れて いる

。

回転面の一般化

R

こ のと き 、 極小曲面の方程式は常微分方程式に 帰着さ れて 、 具体的に解く こ と ができ て 、  

の回転面が極小曲面なら ば、 平面か懸垂 面の一部である 。

こ の結果は、 対称空間内の極小超曲 面の構成など に一般化さ れて いる

回転面の一般化

R

こ のと き 、 極小曲面の方程式は常微分方程式に 帰着さ れて 、 具体的に解く こ と ができ て 、  

R

こ の結果は、 対称空間内の極小超曲 面の構成など に一般化さ れて いる

。

回転面の一般化

R

こ のと き 、 極小曲面の方程式は常微分方程式に 帰着さ れて 、 具体的に解く こ と ができ て 、  

R

こ の結果は、 Riemann 対称空間内の極小超曲

懸垂面

R

の線織面

R

の線織面の例と し て 、 平面、 柱面、 錐面、 常螺旋面、 接線曲面、 一葉双曲面、 双曲放物面

最後の２ つは、 二重線織面 がある 。  

R

の線織面

R

R

(最後の２ つは、 二重線織面)がある 。  

内の直線は 変換で保たれる ので、 線 織面は 幾何の研究対象でも あり 、 さ ら に 射影幾何、 代数幾何でも 研究さ れて いる 。

R

の線織面

R

R

(最後の２ つは、 二重線織面)がある 。  

R

織面は affine幾何の研究対象でも あり 、 さ ら に

R

の線織面

R

R

(最後の２ つは、 二重線織面)がある 。  

R

織面は affine幾何の研究対象でも あり 、 さ ら に

射影幾何、 代数幾何でも 研究さ れて いる 。

8

の字曲線の錐面

一葉双曲面

双曲放物面

R

の極小線織面

R

こ の結果は、 断面曲率 が一定の実空間型

空間 球面 と 双

曲空間 内の線織部分多様体に一般

R

の極小線織面

R

こ の結果は、 断面曲率K が一定の実空間型 Nn

(

)

空間 球面 と 双

曲空間 内の線織部分多様体に一般

化さ れて いる

R

の極小線織面

R

こ の結果は、 断面曲率K が一定の実空間型 Nn

(

)

Euclid空間

R

₍

₌

₎

₍

_>

₎

(

<

)

常螺旋面

実空間型の線織部分多様体

Nn

(

)

上余次元 の葉層構造 が存在 し て 、

実空間型の線織部分多様体

Nn

(

)

M 上余次元 1 の葉層構造(foliation) F が存在

し て 、

の各 が の全測地的部分多様体 である こ と を いう 。

実空間型の線織部分多様体

Nn

(

)

M 上余次元 1 の葉層構造(foliation) F が存在

し て 、

F の各leaf L がNn

(

)

実空間型の

極小

線織部分多様体

実空間型Nn

(

)

小部分多様体なら ば、

の全測地的部分多様体 を 、 の等長変換の 群で動かし たも のになっ て いる 。

証明のポイ ン ト は、 線織部分多様体 の各 点で、 全測地的 に直交する 方向の単位 ベク ト ル場の積分曲線が、

の等長変換の 群の軌道に なっ て いる こ と を 示すと こ ろ にある 。

実空間型の

極小

線織部分多様体

実空間型Nn

(

)

小部分多様体なら ば、

Nn

(

)

(

)

Nn

(

)

たも のになっ て いる 。

証明のポイ ン ト は、 線織部分多様体 の各 点で、 全測地的 に直交する 方向の単位 ベク ト ル場の積分曲線が、

実空間型の

極小

線織部分多様体

実空間型Nn

(

)

小部分多様体なら ば、

Nn

(

)

(

)

Nn

(

)

たも のになっ て いる 。

証明のポイ ン ト は、 線織部分多様体 Mk+1 _の各 点で、 全測地的 leafL に直交する 方向の単位

ベク ト ル場の積分曲線が、

の等長変換の 群の軌道に なっ て いる こ と を 示すと こ ろ にある 。

実空間型の

極小

線織部分多様体

実空間型Nn

(

)

小部分多様体なら ば、

Nn

(

)

(

)

Nn

(

)

たも のになっ て いる 。

証明のポイ ン ト は、 線織部分多様体 Mk+1 _の各 点で、 全測地的 leafL に直交する 方向の単位

ベク ト ル場の積分曲線が、

Nn

(

)

線織部分多様体の一般化

では、 実空間型の線織部分多様体の定義で、 葉 層構造の余次元を 2以上にし たら ど う か？

特に、 の単位球面 内の大円

の 族から なる 、 次元部分多様体 を大域的にはど う 構成し たら よ いか？

の 余次元が のと き には、 各

に直交する 方向の積分曲線を 見れば、 線織部分 多様体 の構造がわかっ たが、

余次元が 以上の場合は、 の接空間の直交補 空間が作る 接分布 は、 積分可能 と は限ら ない！

線織部分多様体の一般化

では、 実空間型の線織部分多様体の定義で、 葉 層構造の余次元を 2以上にし たら ど う か？

特に、

R

Sn

(

)

(

)

を大域的にはど う 構成し たら よ いか？

の 余次元が のと き には、 各

に直交する 方向の積分曲線を 見れば、 線織部分 多様体 の構造がわかっ たが、

線織部分多様体の一般化

では、 実空間型の線織部分多様体の定義で、 葉 層構造の余次元を 2以上にし たら ど う か？

特に、

R

Sn

(

)

(

)

を大域的にはど う 構成し たら よ いか？

(Foliation の)余次元が 1 のと き には、 各 leafL

に直交する 方向の積分曲線を 見れば、 線織部分 多様体Mk+1 _{の構造がわかっ たが、}

余次元が 以上の場合は、 の接空間の直交補 空間が作る 接分布 は、 積分可能 と は限ら ない！

線織部分多様体の一般化

では、 実空間型の線織部分多様体の定義で、 葉 層構造の余次元を 2以上にし たら ど う か？

特に、

R

Sn

(

)

(

)

を大域的にはど う 構成し たら よ いか？

(Foliation の)余次元が 1 のと き には、 各 leafL

に直交する 方向の積分曲線を 見れば、 線織部分 多様体Mk+1 _{の構造がわかっ たが、}

余次元が 2以上の場合は、 L の接空間の直交補

線織部分多様体の一般化

R

Sn

(

)

R

2

次元部分空間

R

₍

₎

ゆえに、 内の 向き つけら れた 大円の集 合 は、

内の 向き つけら れた 次元部分空間全

体のなす 多様体 と 同一

視でき る

線織部分多様体の一般化

R

Sn

(

)

R

2

次元部分空間

R

₍

₎

ゆえに、 Sn

(

)

合C は、

内の 向き つけら れた 次元部分空間全

体のなす 多様体 と 同一

線織部分多様体の一般化

R

Sn

(

)

R

2

次元部分空間

R

₍

₎

ゆえに、 Sn

(

)

合C は、

R

(向き つけら れた) 2 次元部分空間全

体のなす Grassmann 多様体 G2

(

R

)

視でき る:

線織部分多様体の一般化

C

=

_{

_⊂

_}

=

_{

R

_⊂

R

}

=

(

R

)

そ こ で、 内の 次元曲面 から 、 内の大円の 族から なる 、

の 次元部分多様体 が構成でき る はずで

ある 。

線織部分多様体の一般化

C

=

_{

_⊂

_}

=

_{

R

_⊂

R

}

=

(

R

)

(

R

)

Σ

Sn 内の大円の 2-parameter 族から なる 、 Sn

の 3 次元部分多様体 M3 が構成でき る はずで

ある 。

具体的には、 ど う し たら よ いか？

線織部分多様体の一般化

C

=

_{

_⊂

_}

=

_{

R

_⊂

R

}

=

(

R

)

(

R

)

Σ

Sn 内の大円の 2-parameter 族から なる 、 Sn

の 3 次元部分多様体 M3 が構成でき る はずで

ある 。

Stiefel

多様体

V2

(

R

) =

{

(

,

)

∈

(

+

,

,

R

)

| ∥

∥

=

∥

_∥

₌

_,

_⟨

_,

_⟩

₌

_}

R

に対し て 、 と で張ら れる

の 次元部分空間

を 対応さ せる 写像を と する と 、

は を 射影と する 、 上の、 主 束の全空間である こ と がわかる 。

Stiefel

多様体

V2

(

R

) =

{

(

,

)

∈

(

+

,

,

R

)

| ∥

∥

=

∥

_∥

₌

_,

_⟨

_,

_⟩

₌

_}

R

(

_,

₎

_∈

₍

R

₎

R

(oriented) 2 次元部分空間span

_{

_,

_}

π

:

(

R

)

→

(

R

)

Stiefel

多様体

V2

(

R

) =

{

(

,

)

∈

(

+

,

,

R

)

| ∥

∥

=

∥

_∥

₌

_,

_⟨

_,

_⟩

₌

_}

R

(

_,

₎

_∈

₍

R

₎

R

(oriented) 2 次元部分空間span

_{

_,

_}

π

:

(

R

)

→

(

R

)

V2

(

R

)

π

(

R

)

引き 戻し 束

2 次元多様体

Σ

2

(

R

)

immersion (はめ込み)

ϕ

: Σ

→

(

R

)

主 束 の引き 戻し 束を

と する 。

ま た、 を 、

引き 戻し 束

2 次元多様体

Σ

2

(

R

)

immersion (はめ込み)

ϕ

: Σ

→

(

R

)

主S1-束

(

(

R

)

,

(

R

))

(

ϕ

(

R

)

,

Σ

)

ま た、 を 、

多様体の元に対し て そ の第一成分を 対 応さ せる 写像と する 。

引き 戻し 束

2 次元多様体

Σ

2

(

R

)

immersion (はめ込み)

ϕ

: Σ

→

(

R

)

主S1-束

(

(

R

)

,

(

R

))

(

ϕ

(

R

)

,

Σ

)

ま た、 pr₁

:

(

R

)

→

(

,

) =

Stiefel 多様体の元に対し て そ の第一成分を 対

図式

こ のと き 、 M3

:=

ϕ

(

R

)

こ こ で は束写像である 。

図式

こ のと き 、 M3

:=

ϕ

(

R

)

M3

_{−−−−→}

η V2

(

R

₎

−−−−→

pr₁ S n

π



y



y

Σ

_{−−−−→}

(

R

)

図式

こ のと き 、 M3

:=

ϕ

(

R

)

M3

_{−−−−→}

η V2

(

R

₎

−−−−→

pr₁ S n

π



y



y

Σ

_{−−−−→}

(

R

)

こ こ で

η

大円の

2-parameter

族

こ のと き 、 写像M3 における p

_∈

Σ

は、

Φ :=

_◦

η

:

_→

によ っ て 定ま る の大円に う つる 。

ゆえに、 によ る の像は、 内の大円の 族から なる

大円の

2-parameter

族

こ のと き 、 写像M3 における p

_∈

Σ

は、

Φ :=

_◦

η

:

_→

ϕ

(

)

∈

(

R

₎

ゆえに、 によ る の像は、 内の大円の 族から なる

。

大円の

2-parameter

族

こ のと き 、 写像M3 における p

_∈

Σ

は、

Φ :=

_◦

η

:

_→

ϕ

(

)

∈

(

R

₎

複素射影空間

C

_{− {}

_}

_∼

_{⇔ ∃}

_λ

_∈

_C

_{− {}

_}

₌

_λ

複素射影空間と いい、 と かく 。

は 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。

に対し て 、 代表元

を の斉次 座標と いう 。

複素射影空間

C

_{− {}

_}

_∼

_{⇔ ∃}

_λ

_∈

_C

_{− {}

_}

₌

_λ

CP

は 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。

に対し て 、 代表元

複素射影空間

C

_{− {}

_}

_∼

_{⇔ ∃}

_λ

_∈

_C

_{− {}

_}

₌

_λ

CP

CP

C

に対し て 、 代表元

を の斉次 座標と いう 。

複素射影空間

C

_{− {}

_}

_∼

_{⇔ ∃}

_λ

_∈

_C

_{− {}

_}

₌

_λ

CP

CP

C

[

_]

_∈

CP

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

_∈

C

複素二次曲面

複素射影空間

CP

z₀2

+

+

· · ·

+

=

面を 、

複素二次曲面と いい、 と かく 。

の定義方程式は、 の斉次座標 が、 の 内積を 複素線形に拡張し た 複素双 次形式について

ベク ト ルである こ と を 示し て いる 。

複素二次曲面

複素射影空間

CP

z₀2

+

+

· · ·

+

=

面を 、

複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。

の定義方程式は、 の斉次座標 が、 の 内積を 複素線形に拡張し た 複素双 次形式について

複素二次曲面

複素射影空間

CP

z₀2

+

+

· · ·

+

=

面を 、

複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。

Qn−1 の定義方程式は、

[

_]

_∈

R

ベク ト ルである こ と を 示し て いる 。

複素二次曲面

複素射影空間

CP

z₀2

+

+

· · ·

+

=

面を 、

複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。

Qn−1 の定義方程式は、

[

_]

_∈

R

Q

−

と

G

(

R

+

)

(

_,

₎

_∈

₍

R

₎

_CP

[

₊

√

₋

_]

そ し て 、 と

の対応は全単射になる 。 以下、 こ の対応によ り と を同 一視する 。

Q

−

と

G

(

R

+

)

(

_,

₎

_∈

₍

R

₎

_CP

[

₊

√

₋

_]

_{

_,

_{} ∈}

₍

R

)

[

₊

√

₋

_]

_∈

Q

−

と

G

(

R

+

)

(

_,

₎

_∈

₍

R

₎

_CP

[

₊

√

₋

_]

_{

_,

_{} ∈}

₍

R

)

[

₊

√

₋

_]

_∈

(

R

)

形作用素

M を Riemann多様体

(

,

)

σ

を M の第二基本形式と する 。

の法ベク ト ル と 接ベク ト ル につい て 、 と する と 、 は

の接空間の対称線形変換と なる 。 を の に関する形作用素と いう 。

の 実 固有値を 、 の 方向の主曲率と いう 。

が全測地的 すべて の について であり 、

形作用素

M を Riemann多様体

(

,

)

σ

を M の第二基本形式と する 。

M の法ベク ト ル

ν

,

て 、

_⟨

,

⟩

=

⟨

σ

(

,

)

, ν

⟩

ν

M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の

ν

の 実 固有値を 、 の 方向の主曲率と いう 。

が全測地的 すべて の について であり 、

が極小 すべて の について である 。

形作用素

M を Riemann多様体

(

,

)

σ

を M の第二基本形式と する 。

M の法ベク ト ル

ν

,

て 、

_⟨

,

⟩

=

⟨

σ

(

,

)

, ν

⟩

ν

M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の

ν

Aν の (実)固有値を 、 M の

ν

が全測地的 すべて の について であり 、

形作用素

M を Riemann多様体

(

,

)

σ

を M の第二基本形式と する 。

M の法ベク ト ル

ν

,

て 、

_⟨

,

⟩

=

⟨

σ

(

,

)

, ν

⟩

ν

M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の

ν

Aν の (実)固有値を 、 M の

ν

M が全測地的

_⇔

ν

=

であり 、

が極小 すべて の について である 。

形作用素

M を Riemann多様体

(

,

)

σ

を M の第二基本形式と する 。

M の法ベク ト ル

ν

,

て 、

_⟨

,

⟩

=

⟨

σ

(

,

)

, ν

⟩

ν

M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の

ν

Aν の (実)固有値を 、 M の

ν

M が全測地的

_⇔

ν

=

であり 、

Austere

部分多様体

M を Riemann多様体

(

,

)

のすべて の法ベク ト ル について 、 形作用 素の固有値の集合が、 の部分集合と し て

倍で不変、

すなわち 方向の主曲率が を 含めて プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、

は の 部分多様体と いう 。

Austere

部分多様体

M を Riemann多様体

(

,

)

M のすべて の法ベク ト ル

ν

素の固有値の集合が、

R

(

₋

)

すなわち 方向の主曲率が を 含めて プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、

Austere

部分多様体

M を Riemann多様体

(

,

)

M のすべて の法ベク ト ル

ν

素の固有値の集合が、

R

(

₋

)

すなわち

ν

ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、

は の 部分多様体と いう 。

Austere

部分多様体

M を Riemann多様体

(

,

)

M のすべて の法ベク ト ル

ν

素の固有値の集合が、

R

(

₋

)

すなわち

ν

ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、

C

+

の

_{special Lagrangian cone}

特に、 N を Euclid空間

R

の 部分多様体から 、 複素 空

間 の が構成で

き る  （

さ ら に、 多様体

多様体 の 部分多様体は、

数理物理 で重要である 。

部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。

C

+

の

_{special Lagrangian cone}

特に、 N を Euclid空間

R

N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空

間

C

さ ら に、 多様体

多様体 の 部分多様体は、

数理物理 で重要である 。

C

+

の

_{special Lagrangian cone}

特に、 N を Euclid空間

R

N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空

間

C

さ ら に、 Calabi-Yau 多様体(Ricci-flat K ¨ahler

多様体)の special Laigrangian 部分多様体は、

数理物理?で重要である 。

部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。

C

+

の

_{special Lagrangian cone}

特に、 N を Euclid空間

R

N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空

間

C

さ ら に、 Calabi-Yau 多様体(Ricci-flat K ¨ahler

多様体)の special Laigrangian 部分多様体は、

数理物理?で重要である 。

Special Lagrangian 部分多様体について は、 馬

Austere

部分多様体の例

2 次元の極小曲面は austere。

偶数次元 空間 を 複素 空間 と 同一視する と き 、 の複素部分多様

体は 。

球面 内の等径超曲面 主曲率が一定 で、

極小であり 、 異なる 主曲率の個数 が か ある いは で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は 。

さ ら に、 のすべて の等径超曲面の

は 。

Austere

部分多様体の例

2 次元の極小曲面は austere。

偶数次元Euclid空間

R

C

C

球面 内の等径超曲面 主曲率が一定 で、

極小であり 、 異なる 主曲率の個数 が か ある いは で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は 。

さ ら に、 のすべて の等径超曲面の

Austere

部分多様体の例

2 次元の極小曲面は austere。

偶数次元Euclid空間

R

C

C

球面Sn+1 _{内の等径超曲面 (主曲率が一定)で、} 極小であり 、 g (異なる 主曲率の個数)が 3か 6,

ある いは g

=

し い場合は austere。

さ ら に、 のすべて の等径超曲面の

は 。

Austere

部分多様体の例

2 次元の極小曲面は austere。

偶数次元Euclid空間

R

C

C

球面Sn+1 _{内の等径超曲面 (主曲率が一定)で、} 極小であり 、 g (異なる 主曲率の個数)が 3か 6,

ある いは g

=

し い場合は austere。

さ ら に、 Sn+1 _{のすべて の等径超曲面の focal}

Austere

線織部分多様体の構成

複素2次曲面Qn−1 は Hemite対称空間で、 特

に K ¨ahler 多様体、 複素多様体である 。

を の複素部分多様体と する 。 の任意 の接ベク ト ルを 、 の斉次座標で 表し た時、「 」 ベク ト ルである と き 、 は等方的である と いう 。

こ のと き 、 前と 同様に構成でき る 上の 束 から 球面へのはめ込みによ っ て 、 は

の 部分多様体と なる 。

Austere

線織部分多様体の構成

複素2次曲面Qn−1 は Hemite対称空間で、 特

に K ¨ahler 多様体、 複素多様体である 。

Σ

Σ

CP

₍

_⊃

₎

Σ

こ のと き 、 前と 同様に構成でき る 上の 束 から 球面へのはめ込みによ っ て 、 は

Austere

線織部分多様体の構成

複素2次曲面Qn−1 は Hemite対称空間で、 特

に K ¨ahler 多様体、 複素多様体である 。

Σ

Σ

CP

₍

_⊃

₎

Σ

こ のと き 、 前と 同様に構成でき る

Σ

-束M から 球面へのはめ込みによ っ て 、 M は Sn の austere部分多様体と なる 。

Austere

線織部分多様体の構成

複素2次曲面Qn−1 は Hemite対称空間で、 特

に K ¨ahler 多様体、 複素多様体である 。

Σ

Σ

CP

₍

_⊃

₎

Σ

こ のと き 、 前と 同様に構成でき る

Σ

-束M から 球面へのはめ込みによ っ て 、 M は Sn の austere部分多様体と なる 。

Austere

部分多様体の結果

こ の後、 井川・ 田崎・ 酒井によ っ て 、 球面内の

austere (ある いは弱鏡映)軌道に関する 結果が

ある (J. Math. Soc. Japan, 2009)。  

内の実超曲面 の

によ る 逆像である 、 超曲面 が

と なる ための条件について の結果も 得

ら れた 。

Austere

部分多様体の結果

こ の後、 井川・ 田崎・ 酒井によ っ て 、 球面内の

austere (ある いは弱鏡映)軌道に関する 結果が

ある (J. Math. Soc. Japan, 2009)。  

CP

_Σ

S5

_→

CP

_⊂

と なる ための条件について の結果も 得

Austere

部分多様体の結果

こ の後、 井川・ 田崎・ 酒井によ っ て 、 球面内の

austere (ある いは弱鏡映)軌道に関する 結果が

ある (J. Math. Soc. Japan, 2009)。  

CP

_Σ

S5

_→

CP

_⊂

austere と なる ための条件について の結果も 得

ら れた(Cho-K., 2014)。

複素空間形

K ¨ahler多様体

(

,

,

)

₌

₋

(

) =

(

(

,

)

,

)

の単位接ベク ト ル)を 、  

と で張ら れる 平面の正則断面曲率と いう 。

が単連結完備で、 正則断面曲率が の点 にも 単位接ベク ト ル にも よ ら ないと き 、

は複素射影空間 複素 空

間 複素双曲空間 の

いずれかである 。

複素空間形

K ¨ahler多様体

(

,

,

)

₌

₋

(

) =

(

(

,

)

,

)

の単位接ベク ト ル)を 、  

X と JX で張ら れる 平面の正則断面曲率と

いう 。

が単連結完備で、 正則断面曲率が の点 にも 単位接ベク ト ル にも よ ら ないと き 、

は複素射影空間 複素 空

間 複素双曲空間 の

いずれかである 。

こ れら の空間を複素空間形と いう 。

複素空間形

K ¨ahler多様体

(

,

,

)

₌

₋

(

) =

(

(

,

)

,

)

の単位接ベク ト ル)を 、  

X と JX で張ら れる 平面の正則断面曲率と

いう 。

M が単連結完備で、 正則断面曲率が M の点 x

にも 単位接ベク ト ルX にも よ ら ないと き 、

は複素射影空間 複素 空

間 複素双曲空間 の

いずれかである 。

複素空間形

K ¨ahler多様体

(

,

,

)

₌

₋

(

) =

(

(

,

)

,

)

の単位接ベク ト ル)を 、  

X と JX で張ら れる 平面の正則断面曲率と

いう 。

M が単連結完備で、 正則断面曲率が M の点 x

にも 単位接ベク ト ルX にも よ ら ないと き 、 M は複素射影空間

CP

₍

_>

₎

C

₍

₌

₎

CH

₍

_<

₎

こ れら の空間を複素空間形と いう 。

複素空間形

K ¨ahler多様体

(

,

,

)

₌

₋

(

) =

(

(

,

)

,

)

の単位接ベク ト ル)を 、  

X と JX で張ら れる 平面の正則断面曲率と

いう 。

M が単連結完備で、 正則断面曲率が M の点 x

複素双曲空間

z

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

w

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

_∈

C

指数 の 形式

を 考える 。

こ の実部 は、 の指数

の実双一時形式である 。

と こ の不定値内積の組みを と 書く 。

複素双曲空間

z

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

w

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

_∈

C

指数1 の Hermite 形式

(

_,

₎

₌

₋

_¯

₊

_¯

₊

_{· · ·}

₊

_¯

こ の実部 は、 の指数

の実双一時形式である 。

複素双曲空間

z

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

w

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

_∈

C

指数1 の Hermite 形式

(

_,

₎

₌

₋

_¯

₊

_¯

₊

_{· · ·}

₊

_¯

_⟨

_,

_⟩

₌

₍

_,

₎

C

2 の実双一時形式である 。

と こ の不定値内積の組みを と 書く 。

複素双曲空間

z

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

w

_{= (}

_,

_,

_{· · ·}

_,

₎

_∈

C

指数1 の Hermite 形式

(

_,

₎

₌

₋

_¯

₊

_¯

₊

_{· · ·}

₊

_¯

_⟨

_,

_⟩

₌

₍

_,

₎

C

2 の実双一時形式である 。

C

_C

複素双曲空間

C

1 の超曲面H 2n+1

1

=

{

∈

C

1

| ⟨

,

⟩

=

−

}

₋

疑Riemann 計量を も ち 、  

次元 空間と よ ばれる 。 こ の空間を 、 への単位複素数

の作用で割っ た空間が、

複素双曲空間 である 。

複素双曲空間

C

1 の超曲面H 2n+1

1

=

{

∈

C

1

| ⟨

,

⟩

=

−

}

₋

疑Riemann 計量を も ち 、  

2n

+

こ の空間を 、 への単位複素数 の作用で割っ た空間が、