こ のと き 、 写像M3 における p ∈ Σの各fiber は、 Φ := pr1◦η :M3 → Sn によ っ て 、
によ っ て 定ま る の大円に う つる 。
ゆえに、 によ る の像は、 内の大円の 族から なる
。
大円の 2-parameter 族
こ のと き 、 写像M3 における p ∈ Σの各fiber は、 Φ := pr1◦η :M3 → Sn によ っ て 、
ϕ(p) ∈G2(Rn+1) によ っ て 定ま る Sn の大円に う つる 。
ゆえに、 によ る の像は、 内の大円の 族から なる
。
木村 真琴 線織部分多様体について
大円の 2-parameter 族
こ のと き 、 写像M3 における p ∈ Σの各fiber は、 Φ := pr1◦η :M3 → Sn によ っ て 、
ϕ(p) ∈G2(Rn+1) によ っ て 定ま る Sn の大円に う つる 。
ゆえに、 Φ によ る M3 の像は、 Sn 内の大円の 2-parameter族から なる (K. Osaka J. Math., 2000)。
複素射影空間
Cn+1− {0} において 、 z ∼w ⇔ ∃λ ∈ C− {0}, z = λwで定義さ れる 同値関係によ る 商集合を
複素射影空間と いい、 と かく 。
は 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。
に対し て 、 代表元
を の斉次 座標と いう 。
木村 真琴 線織部分多様体について
複素射影空間
Cn+1− {0} において 、 z ∼w ⇔ ∃λ ∈ C− {0}, z = λwで定義さ れる 同値関係によ る 商集合を 複素射影空間と いい、 CPn と かく 。
は 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。
に対し て 、 代表元
を の斉次 座標と いう 。
複素射影空間
Cn+1− {0} において 、 z ∼w ⇔ ∃λ ∈ C− {0}, z = λwで定義さ れる 同値関係によ る 商集合を 複素射影空間と いい、 CPn と かく 。
CPn は Cn+1 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。
に対し て 、 代表元
を の斉次 座標と いう 。
木村 真琴 線織部分多様体について
複素射影空間
Cn+1− {0} において 、 z ∼w ⇔ ∃λ ∈ C− {0}, z = λwで定義さ れる 同値関係によ る 商集合を 複素射影空間と いい、 CPn と かく 。
CPn は Cn+1 内の原点を 通る 複素直線全体の集 合と みなせる 。
[z] ∈ CPn に対し て 、 代表元
z = (z0,z2,· · · ,zn) ∈Cn+1− {0} を [z]の斉次 座標と いう 。
複素二次曲面
複素射影空間 CPn で、 方程式
z02+ z12+ · · ·+zn2 = 0 で定義さ れる 複素超曲 面を 、
複素二次曲面と いい、 と かく 。
の定義方程式は、 の斉次座標 が、 の 内積を 複素線形に拡張し た 複素双 次形式について
ベク ト ルである こ と を 示し て いる 。
木村 真琴 線織部分多様体について
複素二次曲面
複素射影空間 CPn で、 方程式
z02+ z12+ · · ·+zn2 = 0 で定義さ れる 複素超曲 面を 、
複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。
の定義方程式は、 の斉次座標 が、 の 内積を 複素線形に拡張し た 複素双 次形式について
ベク ト ルである こ と を 示し て いる 。
複素二次曲面
複素射影空間 CPn で、 方程式
z02+ z12+ · · ·+zn2 = 0 で定義さ れる 複素超曲 面を 、
複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。
Qn−1 の定義方程式は、 [z] ∈ Qn−1 の斉次座標 z が、 Rn+1 の Euclid内積を 複素線形に拡張し た 複素双1 次形式について
ベク ト ルである こ と を 示し て いる 。
木村 真琴 線織部分多様体について
複素二次曲面
複素射影空間 CPn で、 方程式
z02+ z12+ · · ·+zn2 = 0 で定義さ れる 複素超曲 面を 、
複素二次曲面と いい、 Qn−1 と かく 。
Qn−1 の定義方程式は、 [z] ∈ Qn−1 の斉次座標 z が、 Rn+1 の Euclid内積を 複素線形に拡張し た 複素双1 次形式について
isotropicベク ト ルである こ と を 示し て いる 。
Q
n−1と G
2( R
n+1)
(e,f) ∈ V2(Rn+1) に対し て 、 CPn の元 [e+ √
−1f]は Qn−1 に含ま れる こ と がわかる 。
そ し て 、 と
の対応は全単射になる 。 以下、 こ の対応によ り と を同 一視する 。
木村 真琴 線織部分多様体について
Q
n−1と G
2( R
n+1)
(e,f) ∈ V2(Rn+1) に対し て 、 CPn の元 [e+ √
−1f]は Qn−1 に含ま れる こ と がわかる 。 そ し て 、 span{e,f} ∈G2(Rn+1) と
[e+ √
−1f] ∈Qn−1 の対応は全単射になる 。
以下、 こ の対応によ り と を同 一視する 。
Q
n−1と G
2( R
n+1)
(e,f) ∈ V2(Rn+1) に対し て 、 CPn の元 [e+ √
−1f]は Qn−1 に含ま れる こ と がわかる 。 そ し て 、 span{e,f} ∈G2(Rn+1) と
[e+ √
−1f] ∈Qn−1 の対応は全単射になる 。 以下、 こ の対応によ り Qn−1 と G2(Rn+1) を同 一視する 。
木村 真琴 線織部分多様体について
形作用素
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体、 σ を M の第二基本形式と する 。
の法ベク ト ル と 接ベク ト ル につい
て 、 と する と 、 は
の接空間の対称線形変換と なる 。 を の に関する形作用素と いう 。
の 実 固有値を 、 の 方向の主曲率と いう 。
が全測地的 すべて の について であり 、
が極小 すべて の について である 。
形作用素
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体、 σ を M の第二基本形式と する 。
M の法ベク ト ル ν と 接ベク ト ル X,Y につい て 、 ⟨AνX,Y⟩ = ⟨σ(X,Y), ν⟩ と する と 、 Aν は M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の νに関する形作用素と いう 。
の 実 固有値を 、 の 方向の主曲率と いう 。
が全測地的 すべて の について であり 、
が極小 すべて の について である 。
木村 真琴 線織部分多様体について
形作用素
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体、 σ を M の第二基本形式と する 。
M の法ベク ト ル ν と 接ベク ト ル X,Y につい て 、 ⟨AνX,Y⟩ = ⟨σ(X,Y), ν⟩ と する と 、 Aν は M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の νに関する形作用素と いう 。
Aν の (実)固有値を 、 M の ν 方向の主曲率と いう 。
が全測地的 すべて の について であり 、
が極小 すべて の について である 。
形作用素
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体、 σ を M の第二基本形式と する 。
M の法ベク ト ル ν と 接ベク ト ル X,Y につい て 、 ⟨AνX,Y⟩ = ⟨σ(X,Y), ν⟩ と する と 、 Aν は M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の νに関する形作用素と いう 。
Aν の (実)固有値を 、 M の ν 方向の主曲率と いう 。
M が全測地的 ⇔すべて の ν について Aν = 0 であり 、
が極小 すべて の について である 。
木村 真琴 線織部分多様体について
形作用素
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体、 σ を M の第二基本形式と する 。
M の法ベク ト ル ν と 接ベク ト ル X,Y につい て 、 ⟨AνX,Y⟩ = ⟨σ(X,Y), ν⟩ と する と 、 Aν は M の接空間の対称線形変換と なる 。 Aν を M の νに関する形作用素と いう 。
Aν の (実)固有値を 、 M の ν 方向の主曲率と いう 。
M が全測地的 ⇔すべて の ν について Aν = 0 であり 、
M が極小 すべて の について traceA = 0
Austere 部分多様体
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体と する と き 、
のすべて の法ベク ト ル について 、 形作用 素の固有値の集合が、 の部分集合と し て
倍で不変、
すなわち 方向の主曲率が を 含めて プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、
は の 部分多様体と いう 。
木村 真琴 線織部分多様体について
Austere 部分多様体
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体と する と き 、
M のすべて の法ベク ト ル ν について 、 形作用 素の固有値の集合が、 R の部分集合と し て (−1) 倍で不変、
すなわち 方向の主曲率が を 含めて プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、
は の 部分多様体と いう 。
Austere 部分多様体
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体と する と き 、
M のすべて の法ベク ト ル ν について 、 形作用 素の固有値の集合が、 R の部分集合と し て (−1) 倍で不変、
すなわち ν 方向の主曲率が (0を 含めて)プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、
は の 部分多様体と いう 。
木村 真琴 線織部分多様体について
Austere 部分多様体
M を Riemann多様体 (N,g) の部分多様体と する と き 、
M のすべて の法ベク ト ル ν について 、 形作用 素の固有値の集合が、 R の部分集合と し て (−1) 倍で不変、
すなわち ν 方向の主曲率が (0を 含めて)プラ ス・ マイ ナスのペア と し て 現れる と き 、 M は N の austere 部分多様体と いう 。
C
n+1の special Lagrangian cone
特に、 N を Euclid空間 Rn ある いは球面 Sn と する と き 、
の 部分多様体から 、 複素 空
間 の が構成で
き る （
さ ら に、 多様体
多様体 の 部分多様体は、
数理物理 で重要である 。
部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。
木村 真琴 線織部分多様体について
C
n+1の special Lagrangian cone
特に、 N を Euclid空間 Rn ある いは球面 Sn と する と き 、
N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空 間Cn+1 の special Lagrangian cone が構成で き る （ Harvey-Lawson, Acta Math., 1982)
さ ら に、 多様体
多様体 の 部分多様体は、
数理物理 で重要である 。
部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。
C
n+1の special Lagrangian cone
特に、 N を Euclid空間 Rn ある いは球面 Sn と する と き 、
N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空 間Cn+1 の special Lagrangian cone が構成で き る （ Harvey-Lawson, Acta Math., 1982) さ ら に、 Calabi-Yau 多様体(Ricci-flat K ¨ahler 多様体)の special Laigrangian 部分多様体は、
数理物理?で重要である 。
部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。
木村 真琴 線織部分多様体について
C
n+1の special Lagrangian cone
特に、 N を Euclid空間 Rn ある いは球面 Sn と する と き 、
N の austere部分多様体から 、 複素 Euclid空 間Cn+1 の special Lagrangian cone が構成で き る （ Harvey-Lawson, Acta Math., 1982) さ ら に、 Calabi-Yau 多様体(Ricci-flat K ¨ahler 多様体)の special Laigrangian 部分多様体は、
数理物理?で重要である 。
Special Lagrangian 部分多様体について は、 馬 場先生が研究さ れて いま す。
Austere 部分多様体の例
2 次元の極小曲面は austere。
偶数次元 空間 を 複素 空間
と 同一視する と き 、 の複素部分多様 体は 。
球面 内の等径超曲面 主曲率が一定 で、 極小であり 、 異なる 主曲率の個数 が か ある いは で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は 。
さ ら に、 のすべて の等径超曲面の
は 。
木村 真琴 線織部分多様体について
Austere 部分多様体の例
2 次元の極小曲面は austere。
偶数次元Euclid空間 R2n を 複素Euclid空間 Cn と 同一視する と き 、 Cn の複素部分多様 体は austere。
球面 内の等径超曲面 主曲率が一定 で、 極小であり 、 異なる 主曲率の個数 が か ある いは で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は 。
さ ら に、 のすべて の等径超曲面の
は 。
Austere 部分多様体の例
2 次元の極小曲面は austere。
偶数次元Euclid空間 R2n を 複素Euclid空間 Cn と 同一視する と き 、 Cn の複素部分多様 体は austere。
球面Sn+1 内の等径超曲面 (主曲率が一定)で、
極小であり 、 g (異なる 主曲率の個数)が 3か 6, ある いは g = 4 で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は austere。
さ ら に、 のすべて の等径超曲面の
は 。
木村 真琴 線織部分多様体について
Austere 部分多様体の例
2 次元の極小曲面は austere。
偶数次元Euclid空間 R2n を 複素Euclid空間 Cn と 同一視する と き 、 Cn の複素部分多様 体は austere。
球面Sn+1 内の等径超曲面 (主曲率が一定)で、
極小であり 、 g (異なる 主曲率の個数)が 3か 6, ある いは g = 4 で主曲率の重複度がすべて 等 し い場合は austere。
さ ら に、 Sn+1 のすべて の等径超曲面の focal submanifoldは austere。