4 略解 : ベクトル , 行列値関数に対する線形微分方程式の解

龍谷大学>理工学部>数理情報学科>樋口>担当科目>2010年>理論物理学特論aka線形代数・演 習III>05回め

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理論物理学特論 aka ^{線形代数・演習} III

樋口さぶろお¹ 配布: 2010-05-13 Thu更新: Time-stamp: ”2010-05-20 Thu 12:36 JST hig”

4 ^略解 : ^ベクトル , 行列値関数に対する線形微分方程式の解

4.1 略解 : 行列値関数に対する線形微分方程式の解

略解

Y (t) = − 2e

^t

„ 1 √

√ 3 3 −1

«

= −

¹₂

(

3e^2t+e^−2t √

3(e^+2t−e^2t)

√3(e^+2t−e^−2t) e^2t+3e^−2t

)

4.2 ^略解 : ベクトル値関数に対する線形微分方程式の解

略解

1.

Y

⁰

(t) = (

₋⁰₄₋¹₄

) Y (t), Y (0) = (

¹₃

) 2.

(

y(t) v(t)

)

= e

^t

(

₋⁰₄₋¹₄

) (

¹₃

) =

(

e^−2t+5te^−2t 3e^−2t−10te^−2t

)

5 ^群

今日の目標

•

群の定義を知ろう

•

群のイメージを作ろう

5.1 quiz: 行列の群

0 G = {

(

^{1 0}_{0 1}

) , (

_{−1 0}

0 −1

) , (

^{1 0}_{0 −1}

) , (

⁻_{0 1}^{1 0}

) }

は行列の乗法を演算として群であることを 示そう

.

1.

実

N × N

行列全体の集合は行列の乗法を演算として群ではないことを示そう

. 2. M

が実

N × N

行列のとき

{ M | det M 6 = 0 }

は行列の乗法を演算として群である

ことを示そう

.

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3. M

が実

N × N

行列のとき

{ M | | det M | = 1 }

は行列の乗法を演算として群であ ることを示そう

.

4. M

が実

N × N

行列のとき

{ M | det M > 0 }

は行列の乗法を演算として群である ことを示そう

.

5. M

が実

N × N

行列のとき

{ M | det M < 0 }

は行列の乗法を演算として群でない ことを示そう.

6.

直交行列全体は行列の乗法を演算として群であることを示そう

.

7. Unitary

行列全体は行列の乗法を演算として群であることを示そう

.

8.

対称行列全体は行列の乗法を演算として群ではないことを示そう.

9.

10. G = { (

^cos_sint^t−_cos^sint_t

) | t ∈ R}

は行列の乗法を演算として群であることを示そう.

11. Hermite

行列全体は行列の乗法を演算として群ではないことを示そう

.

12. G = {

(

^{1 0}_{0 1}

) , (

_{−1 0}

0 −1

) , (

^{0 1}_{1 0}

) , (

_{0 −1}

−1 0

)}

は行列の乗法を演算として群であることを 示そう.

13. G = {

(

^{1 0}_{0 1}

) , (

−1 2 −

√3 2 +

√3 2 −1

2

) ,

(

−1 2 +

√3 2

−

√3 2 −1

2

)}

は行列の乗法を演算として群であるこ とを示そう.

14. { λE | λ 6 = 0 }

は行列の乗法を演算として群であることを示そう

. 15. { λE | λ > 0 }

は行列の乗法を演算として群であることを示そう

. 16. { λE | | λ | > 1 }

は行列の乗法を演算として群ではないことを示そう.

17. { λE | λ < 0 }

は行列の乗法を演算として群ではないことを示そう

.

18. N × N

実行列

M

に対して

{ M | trM = 0 }

は行列の乗法を演算として群ではない ことを示そう

.

19. N × N

行列

M

に対して

{ e

^tM

| t ∈ R}

は行列の乗法を演算として群であることを 示そう.

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