九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

位相振動子モデルを用いたオルガンパイプの周波数 引き込み現象に関する研究

岡田, 昌大

http://hdl.handle.net/2324/2236238

出版情報：九州大学, 2018, 博士（芸術工学）, 課程博士 バージョン：

権利関係：

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A study on frequency locking of organ pipes using the phase oscillator model

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Masahiro Okada

2019 ೥ 3 ݄

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1.1 ͸͡Ίʹ . . . 1

1.2 ࣗྭৼಈܥͱҐ૬ৼಈࢠϞσϧ . . . 1

1.3 प೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅ . . . 4

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1.5 ຊ࿦จͷ໨తͱߏ੒ . . . 6

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2.2 Ґ૬ৼಈࢠϞσϧʹΑΔ༧ଌ . . . 8

2.3 ਖ਼ݭ೾֎ྗʹΑΔݕূ . . . 10

2.3.1 ݕূํ๏ . . . 10

2.3.2 ݁Ռ. . . 10

2.4 ෳ߹Ի֎ྗʹΑΔݕূ . . . 17

2.5 ୈ2ষͷ·ͱΊ . . . 19

ୈ3ষ ਖ਼ݭ೾ʹΑΔҐ૬ײडؔ਺ͷਪఆ 20 3.1 ͸͡Ίʹ . . . 20

3.2 ཧ࿦ . . . 20

3.3 ਪఆํ๏ . . . 24

3.4 ݁Ռͱߟ࡯ . . . 26

3.5 ୈ3ষͷ·ͱΊ . . . 32

ୈ4ষ ଞछ֎ྗʹΑΔҐ૬ײडؔ਺ͷਪఆ 33 4.1 ͸͡Ίʹ . . . 33

4.2 ύϧεΛ༻͍ͨਪఆ๏ . . . 33

4.2.1 ཧ࿦. . . 33

4.2.2 ਪఆํ๏ . . . 35

4.2.3 ݁Ռͱߟ࡯ . . . 37

4.3 ϗϫΠτϊΠζΛ༻͍ͨਪఆ๏ . . . 37

4.3.1 ཧ࿦. . . 39

4.3.2 ਪఆํ๏ . . . 41

4.3.3 ݁Ռͱߟ࡯ . . . 41

4.4 ୈ4ষͷ·ͱΊ . . . 42

ୈ5ষ Ґ૬ײडؔ਺Λ༻͍ͨύΠϓରͷ૊Έ߹Θͤ࠷దԽ 46 5.1 ͸͡Ίʹ . . . 46

5.2 Ґ૬ײडؔ਺ͱ૊Έ߹Θͤ࠷దԽ . . . 46

5.3 ̎ຊͷύΠϓରͷ૊Έ߹Θͤ࠷దԽ . . . 47

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5.3.2 ࢧ഑ํఔࣜͷ෼཭ . . . 48

5.3.3 ධՁ݁Ռ . . . 50

5.4 Ґ૬ײडؔ਺͕ෆ໌Ͱ͋Δ৔߹ͷ૊Έ߹Θͤ࠷దԽ . . . 53

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5.5 ୈ5ষͷ·ͱΊ . . . 57

ୈ6ষ ૯ׅ 58 6.1 ຊ࿦จͷ·ͱΊ . . . 58

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6.3 ͓ΘΓʹ . . . 61

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1.1 ^͸͡Ίʹ

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ਤ1.1: ύΠϓΦϧΨϯʢ௰ΦϧΨϯ,࡞඼44, 1987ʣɽ

空気流 エッジ

スリット ジェット 振動 音波

ਤ1.2: ΦϧΨϯύΠϓͷൃԻػߏɽࠨͷࣸਅ͸ਤ1.1ͷύΠϓΦϧΨϯΛ֦େͨ͠΋ͷɽӈ ͷ໛ࣜਤ͸ύΠϓΛԣ͔Βݟͨॎஅ໘Ͱ͋Δɽ

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dx

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

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dx

dt =f(x)+p(t) (1.6)

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∂x _x=x

c

·

f(x_c)+p(t)

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∂θ

∂x _x=x

c

·f(x_c)= ω₀ (1.8)

ͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽͭ·Γɼࣜ(1.7)͸ dθ

dt = ω₀+ ∂θ

∂x _x=x

c

·p(t) (1.9)

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dθ

dt =ω0+Z(θ)·p(t) (1.10)

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1.3 ^{प೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅}

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nΩ₀t+ϕ(t) (1.11)

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dt =− m

nΩ₀−ω₀

+Z m

nΩ₀t+ϕ

·p(t) (1.12)

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m

nΩ₀−ω₀

+ Γ_m,n(ϕ) (1.13)

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Γ_m,n(ϕ)= lim 1 T

Z T

Z m

nΩ₀s+ϕ

·p(s)ds (1.14)

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minϕ^∗ {Γ_m,n(ϕ^∗)}<

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nΩ₀−ω₀

<max

ϕ^∗ {Γ_m,n(ϕ^∗)} (1.15) Λຬͨ͢৔߹ʹɼdϕ/dt= 0͕੒Γཱͭɽ͜ͷͱ͖ɼθ(t)ͷఆٛࣜ(1.11)ΑΓ

dθ dt = m

nΩ₀ (1.16)

ͱॻ͚ΔͷͰɼࣗྭৼಈܥͷॠ࣌֯प೾਺dθ/dt͸ܥ͕༗͢Δࣗવͳ֯प೾਺ω₀Ͱ͸ͳ͘ɼ

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೾਺͸௿͍ʯͱ͍͏఺ͰҟͳΔɽ

1.4 ύΠϓΦϧΨϯʹؔ͢Δैདྷݚڀ

͜Ε·ͰʹߦΘΕ͖ͯͨύΠϓΦϧΨϯͷݚڀʹ͸ɼԻݯͰ͋ΔδΣοτ͕ڞ໐؅ʹ༩͑

ΔӨڹʢڞ໐؅ͷྭৼํ๏ʣ΍ൃԻ৚݅ɼͦͯ͠ɼͦͷࡍͷൃԻप೾਺ʹؔ͢Δ΋ͷ͕ଟ͍ɽ

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1.5 ^{ຊ࿦จͷ໨తͱߏ੒}

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ڞ໐؅ ௕͞ 8.8 cm

಺ܘ 10 mm

அ໘ ԁܗ

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น໘ͷް͞ 0.5 mm

Ϛ΢ε ॎ෯ 3 mm

ԣ෯ 8 mm τʔϗʔϧͷ௚ܘ 2.5 mm

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΋ʹࡱӨͨ͠΋ͷͰ͋Δɽ

アンプ

インター フェース

防音室 送風機

PC

10 cm

20 cm オルガン

パイプ

コンディショニング

パワー アンプ スピーカ

マイク

マイク プリアンプ

ਤ2.2: ଌఆܥɽ

ද2.1: ࣮ݧʹ࢖༻ͨ͠ػثɽ

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ύϫʔΞϯϓ SONY, V55ES Digital Cinema Sound Processing-32bit

ϚΠΫ B&K, type 4191

ϚΠΫϓϦΞϯϓ B&K, type 2669

ίϯσΟγϣχϯάΞϯϓ B&K, NEXUS Conditioning Amplifier ΠϯλʔϑΣʔε M-Audio, Fast track ultra

空気

おもり

モーター

オルガンパイプへ

通風弁

糸 蛇腹

ਤ2.3: ੡࡞ͨ͠ૹ෩ػʢࠨɿࣸਅɼӈɿ໛ࣜਤʣɽ͜ͷૹ෩ػ͸ɼശ͔ΒύΠϓ΁ૹΓग़͢

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प೾਺෯[Hz] 1.2 3.8 ඇൃੜ 3.6 ඇൃੜ ऑൃੜ

相対レベル [dB]

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz]

引き込み

ਤ2.4: प೾਺ൺ1 : 1ͷҾ͖ࠐΈݱ৅ɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz]

引き込み

相対レベル [dB]

引き込み

ਤ2.5: प೾਺ൺ1 : 2ͷҾ͖ࠐΈݱ৅ʢ্ɿୈ̎ഒԻͱਖ਼ݭ೾֎ྗɼԼɿجຊԻʣɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz] 相対レベル [dB]

ਤ2.6: प೾਺ൺ2 : 1ͷ৔߹ʢ্ɿجຊԻɼԼɿਖ਼ݭ೾֎ྗʣɽԼਤͷന఺ઢ͸ύΠϓԻͷج

ຊप೾਺ͷ൒෼ͷ஋Λද͢ɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz]

引き込み

相対レベル [dB]

引き込み

ਤ2.7: प೾਺ൺ1 : 3ͷҾ͖ࠐΈݱ৅ʢ্ɿୈ̏ഒԻͱਖ਼ݭ೾֎ྗɼԼɿجຊԻʣɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz] 相対レベル [dB]

ਤ2.8: प೾਺ൺ2 : 3ͷ৔߹ʢ্ɿਖ਼ݭ೾֎ྗɼԼɿجຊԻʣɽ্ਤͷന఺ઢ͸֎ྗप೾਺ͷ

3/2ഒͷ஋Λද͢ɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz]

弱い引き込み

相対レベル [dB]

弱い引き込み

ਤ2.9: प೾਺ൺ1 : 4ͷ৔߹ʢ্ɿୈ̐ഒԻͱਖ਼ݭ೾֎ྗɼԼɿجຊԻʣɽ

2.4 ^{ෳ߹Ի֎ྗʹΑΔݕূ}

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͸प೾਺ൺm:n=2 : 1ͷҾ͖ࠐΈݱ৅ʹয఺Λ౰ͯΔɽ؍ଌखॱ΍࣮ݧܥ͸2.3.1અͱಉ͡

Ͱ͋Δɽͨͩ͠ɼ֎ྗͷجຊप೾਺Λ0.1 HzࠁΈͰ૿Ճͤͨ͞ɽ͜ͷͱ͖ɼ֎ྗͷୈ̎ഒԻ ͷप೾਺ʹ૬౰͢Δ஋͸0.2 Hzͣͭ૿Ճ͢Δ͜ͱͱͳΔɽ·ͨɼෳ߹Ի֎ྗʹ͸̎छྨΛ༻

ҙͨ͠ɽͲͪΒ΋جຊप೾਺͸ಉ͋͡Δ͕ɼҰͭ͸جຊԻͱୈ̎ഒԻΛ଍͠߹Θͤͨ΋ͷɼ

΋͏Ұͭ͸جຊԻͱୈ̏ഒԻΛ଍͠߹Θͤͨ΋ͷͰ͋Δɽͳ͓ɼ̎छྨͷෳ߹Ի֎ྗͦΕͧ

Ε͕࣋ͭप೾਺੒෼ͷ͏ͪɼύΠϓԻͷप೾਺੒෼ͱۙ઀͢Δͷ͸ୈ̎ഒԻͷΈͰ͋Δɽ͢

ͳΘͪɼ͜ΕΒ̎ͭͷෳ߹Ի͸ͦͷഒԻͷप೾਺ʹؔͯ͠ɼʮύΠϓԻͷप೾਺੒෼ͱۙ઀͢

Δʗۙ઀͠ͳ͍ʯͱ͍͏ରর৚݅ͱͳ͍ͬͯΔɽ

ͯ͞ɼ͜͜Ͱෳ߹Ի֎ྗΛ਺ࣜͱͯ͠ද͓ͯ͘͠ɽຊݚڀͰ͸ෳ߹Ի֎ྗp(t)Λ࣍ͷΑ͏

ʹߏ੒ͨ͠ɽ

p(t)∝sin (Ω0t)+

P_l P₁

sin (lΩ0t+∠Pl) (2.5)

ͨͩ͠ɼl = 2·ͨ͸3ɼ∠P_l = 0Ͱ͋Δɽ·ͨɼ͜ͷෳ߹ԻΛ࣮ࡍʹεϐʔΧ͔Βग़ྗͯ͠

ΈΔͱɼ20 log₁₀|P_l/P₁| ≈ −10 dBͰ͋ͬͨɽ

ҎԼͰ݁ՌΛड़΂Δɽ·ͣɼجຊԻͱୈ̎ഒԻΛ଍͠߹Θͤͨ΋ͷΛ֎ྗͱͨ͠৔߹ͷ݁

ՌΛࣔ͢ʢਤ2.10ʣɽ͜ͷ݁Ռ͔Βಛච͢΂͖͜ͱ͸ɼ֎ྗ͕جຊԻͷΈͷ৔߹ʢͭ·Γਖ਼ ݭ೾ʣͰ͸ى͜Βͳ͔ͬͨप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ɼ֎ྗʹୈ̎ഒԻΛՃ͑Δ͜ͱͰىͬͨ͜

ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɽ·ͨɼ͜ͷ݁Ռ͸ୈ̎ഒԻͷॳظҐ૬Λ90^◦͚ͩͣΒͨ͠֎ྗΛ༻͍ͯ

΋มΘΒͳ͔ͬͨʢ∠P2 = −π/2ʣɽ͕ͨͬͯ͠ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅ͷ༗ແ͸֎ྗͷҐ૬ε ϖΫτϧʹ͸ӨڹΛड͚ͳ͍ͱ͍͏͜ͱ͕ࣔࠦ͞Εͨɽͳ͓ɼෳ߹Ի֎ྗ͸ύΠϓԻʹର͠

ͯɼ0.011ʙ0.90 dBͰ͋ͬͨɽ

ଓ͍ͯɼجຊԻͱୈ̏ഒԻͰߏ੒ͨ͠֎ྗΛ༻͍ͨ৔߹ʹ͍ͭͯड़΂Δʢਤ2.11ʣɽͪ͜

Βͷ݁ՌͰ͸ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ى༷ͬͨ͜ࢠ͸ΈΒΕͳ͍ɽ·ͨɼͪ͜Βͷෳ߹Իʹ

͍ͭͯ΋ɼୈ̏ഒԻͷॳظҐ૬Λ90^◦͚ͩͣΒͯ͠Έ͕ͨɼಘΒΕͨ݁Ռʹ͸ಛʹมԽ͸

ͳ͔ͬͨʢ∠P₃ = −π/2ʣɽ͜͜Ͱɼෳ߹Ի֎ྗ͸ύΠϓԻʹରͯ͠ɼ−0.71ʙ−0.045 dBͰ

͋ͬͨɽ

Ҏ্ͷ݁ՌΑΓɼΦϧΨϯύΠϓʹ͓͚Δप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͸ɼύΠϓԻͱ֎ྗԻͷप

೾਺੒෼ͷۙ઀ʹΑͬͯҾ͖ى͜͞ΕΔ͜ͱΛ࣮ূͰ͖ͨɽ·ͨɼ֎ྗ͕جຊ೾੒෼ͱୈ̎

ߴௐ೾੒෼Ͱߏ੒͞ΕΔ৔߹ʢ|l|= 1,2ʣʹ͸ɼཧ࿦௨Γʹप೾਺ൺ2 :nͰ΋Ҿ͖ࠐΈݱ৅

͕ੜ͡Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠ɽͳ͓ɼύΠϓԻͷप೾਺͕લઅʹൺ΂ͯ௿͍ͷ͸ɼ͜ΕΒͷ؍ଌ

͕ΑΓ௿͍ࣨԹ23^◦Cͷ؀ڥͰߦΘΕͨͨΊͰ͋Δɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz]

引き込み

相対レベル [dB]

ਤ2.10:جຊԻͱୈ̎ഒԻΛؚΉ֎ྗΛ༻͍ͨ৔߹ʢ্ɿύΠϓجຊԻͱ֎ྗୈ̎ഒԻɼԼɿ

֎ྗجຊԻʣɽ

外力周波数 [Hz]

観測周波数 [Hz] 相対レベル [dB]

ਤ2.11: جຊԻͱୈ̏ഒԻΛؚΉ֎ྗΛ༻͍ͨ৔߹ʢ্ɿ֎ྗୈ̏ഒԻɼதɿύΠϓجຊԻɼ

Լɿ֎ྗجຊԻʣɽਤதͷനഁઢ͸֎ྗجຊप೾਺ͷ̎ഒΛ͍ࣔͯ͠Δɽͳ͓ɼനഁઢʹͭ

͍ͯ͸ɼ΋ͱͷε΃ΫτϩάϥϜΛӅ͞ͳ͍ͨΊʹɼதԝ෦෼ΛΘ͟ͱࡌ͍ͤͯͳ͍ɽ

2.5 ^ୈ 2 ^ষͷ·ͱΊ

ຊষͰ͸ɼΦϧΨϯύΠϓ͕Ґ૬ৼಈࢠϞσϧʹै͏͔Ͳ͏͔Λ؍࡯ͨ͠ɽखॱͱͯ͠͸ɼ

·ͣҐ૬ৼಈࢠϞσϧΛ༻͍ͯཧ࿦తʹ༧ଌΛߦͬͨɽͦͷޙɼ࣮ࡍͷΦϧΨϯύΠϓʹର

ͯ͠ɼཧ࿦ͱಉ͡ঢ়گʹ࣮ͯ͠ݧΛߦͬͨɽͦͷ݁Ռɼ֎ྗ͕ਖ਼ݭ೾Ͱ͋Δ৔߹ʹ͸ɼཧ࿦

্͸प೾਺ൺ͕1 : nͷҾ͖ࠐΈݱ৅͔͠ى͜Γಘͳ͍͕ɼಉ͜͡ͱ͕ݱ࣮ͷύΠϓͰ΋ੜ

͡Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠ɽՃ͑ͯɼෳ߹Ի֎ྗΛ༻͍ͨݕূʹΑΓɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͡

Δ৚݅͸ɼύΠϓԻͱ֎ྗԻͷͦΕͧΕͷप೾਺੒෼ͷۙ઀Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤͨɽ΋ͪΖΜɼ

͜ͷ৚݅΋Ґ૬ৼಈࢠϞσϧ͔Βಋ͔ΕΔ͜ͱͰ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ؍ଌ݁Ռ͸Ґ૬ৼಈࢠ ϞσϧʹΑΔཧ࿦త༧ଌͷ௨ΓͰ͋ͬͨͨΊɼΦϧΨϯύΠϓ͸Ґ૬ৼಈࢠϞσϧʹै͏ͱ ݴ͑Δɽ

ୈ 3 ^ষ ਖ਼ݭ೾ʹΑΔҐ૬ײडؔ਺ͷਪఆ

3.1 ^͸͡Ίʹ

લষͰ͸ɼݱ࣮ͷΦϧΨϯύΠϓ͕Ґ૬ৼಈࢠϞσϧʹै͏͔Λௐ΂ͨɽ͜͜Ͱ͸ɼຊݚ ڀͷ໨తͰ͋ΔҐ૬ײडؔ਺ͷଌఆʢਪఆʣΛߦ͏ɽҐ૬ײडؔ਺ͱ͸ɼҐ૬ৼಈࢠϞσϧ ʹ͓͍ͯ࠷΋ॏཁͳྔͰ͋Γɼʮ֎ք͔Βड͚Δܹࢗʹରͯ͠Ͳͷఔ౓प೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅Λ ੜ͡΍͍͔͢ʯΛද͢΋ͷͰ͋Δɽ͜ΕΛଌఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Ε͹ɼղੳ͕೉͍͠ΦϧΨϯ ύΠϓΛఆྔతʹѻ͏͜ͱ͕ՄೳͱͳΔɽ

Ҏ্Λ౿·͑ɼຊষͰ͸ɼୈ2ষͰಘΒΕͨप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅ͷଌఆσʔλΛ༻͍ͯҐ ૬ײडؔ਺Λߏ੒͢ΔɽҎԼʹड़΂Δ͕ɼ֎ྗ͕ਖ਼ݭ೾ͷͱ͖ʹ͸ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅ͷ

݁Ռʢप೾਺෯ͳͲʣ͔ΒҐ૬ײडؔ਺ͷਪఆ͕ՄೳͱͳΔɽͦ͜Ͱɼલষͷද2.2ͷप೾

਺෯ͳͲΛɼҐ૬ײडؔ਺ͱ͍͏ܗͰදݱ͢Δ͜ͱΛࢼΈΔɽ

3.2 ^ཧ࿦

·ͣɼ͔͜͜Βͷٞ࿦ͷͨΊʹɼҐ૬ৼಈࢠϞσϧͱҐ૬ײडؔ਺Λఆٛ͠௚͢ɽ͜Ε·

ͰҐ૬ৼಈࢠϞσϧͱݺΜͰ͖ͨ΋ͷ͸

dθ

dt =ω₀+Z(θ)·p(t) (1.10)

Ͱ͋ͬͨɽࠓɼ֎ྗΛp(t)= [

Dݸ

z }| { 0 0 . . . 0 p(t)

|{z}

d൪໨

0 . . . 0]^Tͱ͢Δͱɼ্ࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

dθ

dt = ω₀+Z(θ)p(t) (3.1)

ͨͩ͠ɼZ(θ) = [Z₁(θ)Z₂(θ) . . . Z_d−1(θ)Z(θ)Z_d+1(θ) . . . Z_D(θ)]^Tͱදͨ͠ɽ͜ͷૢ࡞͸ɼDݸ ͷཁૉͰߏ੒͞ΕΔZ(θ)ͷத͔Βɼ͋Δ࣍ݩΛ࣋ͭ֎ྗ p(t)ʹର͢ΔZ(θ)ͷΈΛऔΓग़͢

͜ͱʹରԠ͢ΔɽຊݚڀͰ͋Ε͹ɼΦϧΨϯύΠϓ͕Իѹ΍ྲྀྔɼྲྀ଎ͳͲͷ༷ʑͳ֎ྗ͔

ΒӨڹΛड͚ͨͱͯ͠΋ɼԻѹ͔ΒͷӨڹͷΈʹয఺Λ౰ͯɼԻѹʹର͢ΔZ(θ)͚ͩΛऔΓ

ग़͢͜ͱΛҙຯ͢ΔɽҎ߱ɼҐ૬ৼಈࢠϞσϧ͸ࣜ(3.1)ΛɼҐ૬ײडؔ਺͸Z(θ)ͷd൪໨

ͷཁૉͰ͋ΔZ(θ)Λ͢͜͞ͱͱ͢Δɽͳ͓ɼ͜ͷͱ͖Γ_m,n(ϕ)ʢࣜ(1.14)ʣ͸

Γ_m,n(ϕ)= lim

T→∞

1 T

Z T

0

Z m

nΩ₀s+ϕ

p(s)ds (3.2)

ͱͳΔɽ

ͯ͞ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͡Δͷ͸ɼ࣍ͷඍ෼ํఔࣜ

dϕ dt =−

m

nΩ₀−ω₀

+ Γ_m,n(ϕ) (1.13)

ʹ͓͍ͯɼdϕ/dt =0ͷͱ͖ɼ͢ͳΘͪϕ(t)= ϕ^∗= const.͕ଘࡏ͢Δ৔߹Ͱ͋ͬͨɽͦͯ͠ɼ

͜ͷ৚݅ॻ͖௚ͨ͠ͷ͕ҎԼͷෆ౳ࣜͰ͋Δɽ minϕ^∗ {Γ_m,n(ϕ^∗)}<

m

nΩ₀−ω₀

<max

ϕ^∗ {Γ_m,n(ϕ^∗)} (1.15)

͜͜Ͱɼ֎ྗ͕ਖ਼ݭ೾Ͱ͋Δ৔߹

p(t)=2|P₁|cos (Ω₀t+∠P₁) (3.3) Λߟ͑Δɽ͞ΒʹɼҐ૬ײडؔ਺Λ

Z(θ)= X∞ k=−∞

|Z_k|e^i(kθ+∠Zk) (3.4)

ͷΑ͏ʹෳૉϑʔϦΤల։͢Ε͹ɼΓ_m,n(ϕ)͸ Γ_m,n(ϕ)=2|P₁|lim

T→∞

1 T

Z T

0

X∞

k=−∞

|Z_k|eⁱ[^k(^mnΩ₀s+ϕ)⁺∠Zk] cos (Ω₀s+∠P₁)ds

=|P₁| X∞ k=−∞

|Z_k|e^i(kϕ+∠Zk) lim

T→∞

1 T

Z T

0

e^ikmnΩ0sh

e^{i(Ω0s+∠P1)}+e^{−i(Ω0s+∠P1)}i ds

=|P1| X∞ k=−∞

|Zk|e^{i(kϕ+∠Zk+∠P1)} lim

T→∞

1 T

Z T

0

e^i(km+n)

Ω0 n s

ds

+|P₁| X∞ k=−∞

|Z_k|e^{i(kϕ+∠Zk−∠P1)} lim

T→∞

1 T

Z T

0

e^{i(km−n)Ωn0s}ds

=|P₁||Z_n|e^{−i(nϕ+∠Zn−∠P1)}+|P₁||Z_n|e^{i(nϕ+∠Zn−∠P1)}

=2|Zn||P1|cos (nϕ+∠Zn−∠P1) (3.5)

ͱॻ͚Δ [19, 20]ɽͳ͓ɼࣜมܗதʹm = 1ͱͳͬͨ͜ͱʹ͸஫ҙ͞Ε͍ͨɽ͜ͷͱ͖ɼ

ࣜ(1.13)͸

d(nϕ)

dt = −(Ω₀−nω₀)+2n|Z_n||P₁|cos (nϕ+∠Z_n−∠P₁) (3.6)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼࣗྭৼಈܥ͕ൃ͢Δ৴߸ʢͭ·ΓύΠϓͷԻ৴߸ʣΛ s(t)=

X∞ k=−∞

|A_k|e^{i[kθ(t)+∠Ak]} (3.7)

ͱϑʔϦΤදࣔ͠ɼ͞Βʹ

φ(t)=[nθ(t)+∠A_n]−(Ω₀t+∠P₁)=nϕ(t)+∠A_n−∠P₁ (3.8) Λఆٛ͢Δɽ͜Ε͸ࣗྭৼಈܥ͕ൃ͢Δ৴߸ͷୈn࣍ߴௐ೾੒෼ͱਖ਼ݭ೾֎ྗͷҐ૬ׯবΛ ද͢ɽͨͩ͠ɼ࠷ӈล΁ͷมܗʹ͸θ= Ω₀t/n+ϕΛ༻͍ͨɽ͜ͷ৽ͨͳม਺Λద༻͢Ε͹ɼ

ࣜ(3.6)͸

dφ

dt = −(Ω₀−nω₀)+2n|Z_n||P₁|cos (φ+∠Z_n−∠A_n) (3.9) ͱͳΓɼࣜ(1.13)ͱߏ଄͕ಉ͡ํఔ͕ࣜಘΒΕΔɽͦͯ͠ɼ

minφ^∗ {2n|Z_n||P₁|cos (φ^∗+∠Z_n−∠A_n)}<(Ω₀−nω₀)<max

φ^∗ {2n|Z_n||P₁|cos (φ^∗+∠Z_n−∠A_n)}

⇐⇒ nω₀−2n|Z_n||P₁|<Ω₀ <nω₀+2n|Z_n||P₁| (3.10) Ͱ͋Δ৔߹ʹɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ى͜Δͱݴ͑Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ֎ྗͷप೾਺Ω₀Λม Խͤͨ͞৔߹ͷप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͡Δप೾਺෯∆_n͸ɼ࣍ͷΑ͏ʹఆٛͰ͖Δɽ

∆_n =(nω₀+2n|Z_n||P₁|)−(nω₀−2n|Z_n||P₁|)=4n|Z_n||P₁| (3.11)

͜Ε͕ද2.2ͱରԠ͢Δɽͳ͓ɼఴ͑ࣈͷn͸ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅ͷप೾਺ൺ͕1 :nͰ͋

Δ͜ͱΛද͢ɽ

ͱ͜ΖͰɼप೾਺ൺ1 : nͷҾ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͍ͯ͡Δࡍʢ͢ͳΘͪɼࣜ (3.9)ʹ͓͍ͯ

φ(t)= φ^∗ =const.Ͱ͋Δ৔߹ʣͷɼࣗྭৼಈܥ͕ൃ͢Δ৴߸ͱਖ਼ݭ೾֎ྗͷҐ૬ׯবதͷύ

ϫʔʹ͍ͭͯߟ͑ͯΈΔɽͦ͜Ͱɼ͜ͷ͕̎ͭࠞͬͨ͟৴߸ͷ௕࣌ؒೋ৐ฏۉ஋EΛߟ͑Δɽ

ࣜ(3.3)ͱࣜ(3.7)ΑΓ E = lim

T→∞

1 T

Z T

0

[s(t)+ p(t)]²dt

= lim

T→∞

1 T

Z T

0







 X∞ k=−∞

|A_k|e^{i{kθ(t)+∠Ak}}+2|P₁|cos (Ω₀t+∠P₁)









2

dt

= lim

T→∞

1 T

Z T

0







 X∞

k=−∞

|A_k|exp (

i kΩ₀t+∠P₁+φ^∗−∠A_n

n +∠A_k

!)

X∞ k=−∞

|A_k|exp (

i kΩ₀t+∠P₁+φ^∗−∠A_n

n +∠A_k

!)

+|P₁|n

e^{i(Ω0t+∠P1)}+e^{−i(Ω0t+∠P1)}o







2

dt

=2|A_n||P₁|

e^iφ∗ +e^−iφ∗ +

X∞

k=−∞

|A_k|²+2|P₁|²

=4|A_n||P₁|cosφ^∗+ X∞

k=−∞

|A_k|²+2|P₁|² (3.12)

ͱॻ͚Δɽͳ͓ɼࣜมܗͷ్தʹ͓͍ͯࣜ(3.8)Λ༻͍ͨɽ͜͜Ͱɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕

ੜ͍ͯ͡Δ৔߹ʹ͸ɼࣜ(3.9)ΑΓ

φ^∗ =cos⁻¹2(Ω₀−nω₀)

∆_n −(∠Z_n−∠A_n) (3.13)

ͱදͤΔͷͰ cosφ^∗ =cos

"

cos⁻¹2(Ω₀−nω₀)

∆_n −(∠Z_n−∠A_n)

#

=cos

"

cos⁻¹2(Ω₀−nω₀)

∆_n

#

cos (∠Z_n−∠A_n)+sin

"

cos⁻¹2(Ω₀−nω₀)

∆_n

#

sin (∠Z_n−∠A_n)

= 2(Ω0−nω0)

∆_n cos (∠Z_n−∠A_n)+ s

1−

"

2(Ω0−nω0)

∆_n

#2

sin (∠Z_n−∠A_n) (3.14) ͱͳΔɽ͜ΕΑΓɼ্ͰٻΊͨE͸

E = 4|A_n||P₁|











2(Ω₀−nω₀)

∆_n cos (∠Z_n−∠A_n)+ s

1−

(2(Ω₀−nω₀)

∆_n

)2

sin (∠Z_n−∠A_n)











+ X∞ k=−∞

|A_k|²+2|P₁|² (3.15)

ͱॻ͚Δɽ͢ͳΘͪɼ֎ྗͷप೾਺Ω₀ΛมԽͤͨ͞ࡍɼࣗྭৼಈܥͷ৴߸ͱਖ਼ݭ೾֎ྗͷ

߹੒ύϫʔE͸ࣜ(3.15)ʹ͕ͨͬͯ͠มಈ͢Δɽ͜ͷมಈΛܾఆ͢Δύϥϝʔλͱͯ͠

ψ_n =∠Z_n−∠A_n (3.16)

Λఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͳ͓ɼࣜ(3.15)ͷׅ֯ހ಺ͷୈ߲̍໨͸௚ઢతมԽΛɼୈ߲̎໨

͸ඇ௚ઢతมԽΛද͢ɽ

Ҏ্ͷٞ࿦ΑΓɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͡Δप೾਺෯∆_nͱͦͷࡍͷύϫʔมಈͷύϥ ϝʔλψ_nΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Ε͹ɼࣜ(3.11)ͱࣜ(3.16)ΑΓɼ࣍ͷΑ͏ʹ|Z_k|ͱ∠Z_kΛܾఆ͢

Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

|Z_k|= ∆_k

4k|P₁| and ∠Z_k =∠A_k+ψ_k (3.17) ͳ͓ɼࣗྭৼಈܥͱ֎ྗݯͷҐஔؔ܎ʹΑͬͯɼ͜ΕΒͷ৴߸ʹҐ૬ࠩʢڑ཭ࠩxʹ૬౰ʣ

͕ੜ͡Δ৔߹ʹ͸ɼ

φ(t)= [nθ(t)+∠A_n]− Ω₀t+∠P₁+ Ω₀ c x

!

=nϕ(t)+ ∠A_n− Ω₀ c x

!

−∠P₁ (3.8’) ͱఆٛ͠௚͢͜ͱͰิਖ਼͕Ͱ͖ΔʢcɿԻ଎ʣɽ͢ͳΘͪɼ͜Ε·Ͱͷٞ࿦Ͱͷ∠A_nΛ[∠A_n−

(Ω₀/c)x]ʹஔ͖׵͑Ε͹Α͍ʢͳ͓ɼxʹ͔͔Δූ߸͍ͭͯ͸ɼ֎ྗ৴߸͕ύΠϓ͔ΒͷԻ

৴߸ΑΓ΋ઌʹϚΠΫʹऩ࿥͞ΕΔ৔߹Λ૝ఆ͍ͯ͠Δʣɽ͜ͷͱ͖ɼE͸ E = 4|A_n||P₁|











2(Ω₀−nω₀)

∆_n cos ∠Z_n−∠A_n+ Ω₀ c x

!s 1−

(2(Ω₀−nω)

∆_n

)2

+ s

1−

(2(Ω0−nω0)

∆_n

)2

sin ∠Z_n−∠A_n+ Ω₀ c x

!







 +

X∞ k=−∞

|A_k|²+2|P₁|² (3.15’) ͱͳΔ͕ɼ͜͜Ͱࡾ֯ؔ਺಺ͷΩ₀͸ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͡Δप೾਺෯∆_n͕ڱ͍৔߹

ʹ͸ɼΩ₀ ≈ nω0ͷΑ͏ʹࣗવͳप೾਺Ͱۙࣅͯ͠΋ࠩ͠ࢧ͑ͳ͍ʢࣜ (3.10)ࢀরʣɽͨ͠

͕ͬͯɼψ_n͸࣍ͷΑ͏ʹ࠶ఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɼ ψ_n =∠Z_n−∠A_n+nω₀

c x (3.16’)

ͦͯ͠ɼಘΒΕΔҐ૬ײडؔ਺͸

Z(θ)= X∞

k=−∞

|Z_k|exp [i(kθ+∠Z_k)]= X∞

k=−∞

|Z_k|exp

i

k

θ− ω₀ c x

+∠A_k+ψ_k

(3.18) ͱͳΔɽͭ·ΓɼҐ૬ײडؔ਺ͷԣ࣠΁ͷฏߦҠಈͰิਖ਼͕ՄೳͱͳΔɽલষͰಘΒΕͨҾ

͖ࠐΈ෯ʢද2.2ʣ͸ɼຊݚڀͰ༻͍ͨύΠϓԻͷجຊप೾਺ʢ໿1640 Hzʣʹൺ΂ͯͱͯ΋

খ͍͞஋Ͱ͋ΔͨΊɼຊݚڀͰ͸∆_n͸ڱ͍ͱΈͳ͢͜ͱͱͨ͠ɽ

3.3 ^ਪఆํ๏

ୈ2ষͰಘΒΕͨද2.2ͷप೾਺෯͸∆_nͦͷ΋ͷͰ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼࣜ(3.17)ΑΓɼҐ

10 cm

(10√5-10 ) cm

x

パイプ

マイク

音波伝搬経路

ਤ3.1: ຊଌఆͷηοςΟϯά͔Βੜ͡ΔԻ೾఻ൖͷڑ཭ࠩɽਤ2.2಺ͷύΠϓͱεϐʔΧɼ ϚΠΫͷҐஔͷΈΛநग़͠ɼ୯७Խͨ͠΋ͷΛࣔ͢ɽεϐʔΧ͔Β์ࣹ͞ΕͨԻ೾͸ύΠϓ ͷҐஔʹ౸ୡͨ͠ޙɼύΠϓΛՃৼ͢Δɽͦͷ௚ޙɼࣜ(3.9)ʹैͬͯύΠϓԻ͕์ࣹ͞Ε ΔͨΊɼεϐʔΧԻ͸ύΠϓԻΑΓ΋ઌʹϚΠΫʹ౸ୡ͢Δ͜ͱͱͳΔɽ

͑ͨ֎ྗͷԻѹ͸ύΠϓԻʹର͢Δ૬ର஋ͱ͔ͯ֬͠͠ೝ͍ͯ͠ͳ͔ͬͨͨΊɼ|P1|ͷઈର

஋͸ෆ໌Ͱ͋Δɽͦ͜Ͱɼ|P₁|͸ৗʹҰఆͰ͋ͬͨ͜ͱΛར༻͠ɼ|Z_k/Z₁|ͱ͍͏૬ର஋Ͱٻ ΊΔ͜ͱͱͨ͠ɽ

࣍ʹɼҐ૬ײडؔ਺ͷภ֯∠Z_kͷਪఆํ๏ʹ͍ͭͯड़΂Δɽ·ͣɼϚΠΫʹΑΓಘΒΕͨɼ ύΠϓԻͱਖ਼ݭ೾֎ྗͷ͕̎ͭࠞͬͨ͟৴߸ͷೋ৐ฏۉ஋ʢύϫʔʣΛࢉग़ͨ͠ɽ͜ͷͱ͖ɼ

ୈ2ষͱಉ͡Α͏ʹɼ֎ྗͷप೾਺͕ҰఆͰ͋Δ60ඵͷ۠ؒͷ͏ͪɼޙ൒ͷ40ඵΛ࢖ͬͯ

ࢉग़ͨ͠ɽͦͯ͠ɼಘΒΕͨύϫʔͷ֎ྗप೾਺ʹର͢Δมಈͷ༷ࢠ͔Βψ_nΛਪఆͨ͠ɽͦ

ͷޙɼύΠϓԻ୯ମͷ৴߸ʹରͯ͠ࡾ֯ؔ਺ΛϑΟοςΟϯά͢Δ͜ͱͰɼύΠϓԻͷୈn

࣍ϑʔϦΤภ֯∠A_nΛࢉग़͠ɼࣜ(3.17)Λ༻͍ͯ∠Z_kΛܾఆͨ͠ɽ

ͳ͓ɼຊଌఆͷηοςΟϯάͰ͸ɼਤ3.1ʹࣔ͢Α͏ʹɼύΠϓͱεϐʔΧͷҐஔؔ܎ʹ ΑͬͯɼϚΠΫʹऩ࿥͞ΕΔ৴߸ʹҐ૬ࠩʢڑ཭ࠩʹΑΔԻ೾ͷ౸ୡ࣌ؒͷͣΕʣ͕ੜ͡Δ

͜ͱͱͳΔɽਪఆͷ࠷ޙʹɼલઅͰઆ໌ͨ͠ิਖ਼๏Λ༻͍ͯɼx= 30−10√

5 cmɼc=340 m/s ͱ͠ɼิਖ਼Λߦͬͨɽ

3.4 ^݁Ռͱߟ࡯

ਤ3.2ͱද3.1ʹਪఆ݁ՌΛ·ͱΊΔɽՃ͑ͯɼਤ3.3ʙ3.5ʹɼ֤प೾਺ൺ৚݅ʹ͓͚Δɼ ύΠϓԻͷجຊ೾੒෼ͱϚΠΫʹऩ࿥͞Εͨ৴߸ͷύϫʔมಈΛࣔ͢ɽͳ͓ɼલষͱൺ΂ɼ

֤ε΃ΫτϩάϥϜͷදࣔ͢Δप೾਺ྖҬΛগʑมԽ͍ͤͯ͞Δ͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨɽ͜͜

Ͱɼप೾਺ൺ1 : 4ͷ݁Ռ͸Ҿ͖ࠐΈͷఔ౓͕খ͔ͬͨͨ͞Ίɼଞͷप೾਺ൺͱൺ΂ͯແࢹ Ͱ͖Δͱͯ͠Ґ૬ײडؔ਺ͷਪఆ݁Ռ͔Β͸আ֎ͨ͠ʢਤ2.9ࢀরʣɽ·ͨɼਤ3.3ʙ3.5ͷ ԼଆͷάϥϑʹΑΕ͹ɼप೾਺Ҿ͖ࠐΈݱ৅͕ੜ͍ͯ͡Δͱ͖ɼύϫʔ͕େ͖͘มಈ͍ͯ͠

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䢲 䢴 䢶 䢸 䢯䢳

䢯䢲䢰䢷 䢲 䢲䢰䢷

䢳

位相 [rad]

振幅 [a.u.]

ਤ3.2: ਖ਼ݭ೾֎ྗʹΑͬͯਪఆ͞ΕͨҐ૬ײडؔ਺ʢଠઢʣɽࢀߟͷͨΊʹɼ఺ઢͰύΠϓ Իͷ೾ܗ̍पظ෼Λซͤͯࡌ͍ͤͯΔɽͳ͓ɼ྆ۂઢ͸ͦΕͧΕઈର஋ͷ࠷େ஋Ͱج४Խ͠

͍ͯΔɽ

ද3.1: ਖ਼ݭ೾֎ྗʹΑΔҾ͖ࠐΈ݁Ռ͔Βͷ֤ਪఆ஋ɽ प೾਺ൺʢ1 :nʣ 1 : 1 1 : 2 1 : 3

प೾਺෯∆_n [Hz] 1.2 3.8 3.6 ύϥϝʔλψ_n[rad] 0.011 0.0016 −0.0032 ϑʔϦΤৼ෯ͷ૬ର஋|Z_n/Z₁| 1 1.6 1 ϑʔϦΤ܎਺ͷภ֯∠Z_n[rad] 0.0051 0.15 2.9

䢳䢸䢵䢹 䢳䢸䢵䢺 䢳䢸䢵䢻 䢳䢸䢶䢲 䢳䢸䢶䢳 䢳䢸䢶䢴 䢴

䢶

䢸 䢳䢲 ^䢯䢵

正弦波外力の周波数 [Hz]

相対レベル [dB]

引き込み

パワー [a.u.] 観測周波数 [Hz]

引き込み

ਤ3.3: प೾਺ൺ1 : 1ͷ݁Ռɽ্ਤ͸ύΠϓجຊԻͷε΃ΫτϩάϥϜɼԼਤ͸ϚΠΫʹऩ

࿥͞Εͨ৴߸ͷύϫʔมಈͰ͋Δɽ

䢵䢴䢹䢷 䢵䢴䢹䢸 䢵䢴䢹䢹 䢵䢴䢹䢺 䢵䢴䢹䢻 䢵䢴䢺䢲 䢵䢴䢺䢳 䢵䢰䢷

䢶

䢶䢰䢷 䢳䢲 ^䢯䢵

正弦波外力の周波数 [Hz]

相対レベル [dB]

引き込み

パワー [a.u.] 観測周波数 [Hz]

引き込み

ਤ3.4: प೾਺ൺ1 : 2ͷ݁Ռɽ

䢶䢻䢳䢲 䢶䢻䢳䢴 䢶䢻䢳䢶 䢶䢻䢳䢸 䢵䢰䢺

䢶 䢶䢰䢴

䢶䢰䢶 䢳䢲 ^䢯䢵

正弦波外力の周波数 [Hz]

相対レベル [dB]

引き込み

パワー [a.u.] 観測周波数 [Hz]

引き込み

ਤ3.5: प೾਺ൺ1 : 3ͷ݁Ռɽ

ジェット

平面波外力

侵入

刺激

パイプ内伝搬中に 位相が π だけ回転

ジェット

平面波外力

侵入

刺激

パイプ内伝搬中に 位相が2π だけ回転

ਤ3.6: ΦϧΨϯύΠϓʹ͓͚Δڞ໐؅಺ͷৼಈঢ়ଶͱ֎ྗͷδΣοτ΁ͱ޲͔͏఻ൖܦ࿏Λ දͨ͠໛ࣜਤɽ্ਤ͸ύΠϓԻͷجຊप೾਺ɼ͢ͳΘͪح਺࣍ڞ໐Λද͠ɼԼਤ͸ۮ਺࣍ڞ ໐Ͱ͋ΔύΠϓԻͷୈ̎ഒԻʹରԠ͢Δɽ

3.5 ^ୈ 3 ^ষͷ·ͱΊ

ຊষͰ͸ɼୈ2ষͰಘΒΕͨ݁Ռ͔ΒҐ૬ײडؔ਺Λߏ੒ͨ͠ɽ۩ମతʹ͸ɼਖ਼ݭ೾֎ྗ

ʹΑΔҾ͖ࠐΈ݁Ռ͔ΒɼҐ૬ײडؔ਺ͷϑʔϦΤৼ෯ͱภ֯ͷ৘ใΛಘΒΕΔΑ͏ʹɼҐ ૬ৼಈࢠϞσϧͷཧ࿦Λ੔ཧͨ͠ɽͦͷޙɼ࣮ࡍʹୈ̍ʙ̏࣍ͷϑʔϦΤ܎਺Λ༻͍ͯҐ૬ ײडؔ਺Λߏ੒ͨ͠ɽ͞Βʹ͜ͷͱ͖ʹɼप೾਺ൺ1 : 2ͷҾ͖ࠐΈ෯͕࠷΋޿͔ͬͨཧ༝

ΛɼύΠϓ্෦ͷڞ໐؅ͱؔ࿈෇͚ͯߟ࡯ͨ͠ɽ͓ͦΒ͘ɼڞ໐࣌ʹ͓͚Δ؅಺ͷཻࢠ଎౓

෼෍͕ح਺࣍ڞ໐ͱۮ਺࣍ڞ໐ͰҟͳΔ͜ͱ͕େ͖ͳཁҼͩͱߟ͑ΒΕΔɽ

ୈ 4 ^ষ ଞछ֎ྗʹΑΔҐ૬ײडؔ਺ͷਪఆ

4.1 ^͸͡Ίʹ

લষͰಘΒΕͨҐ૬ײडؔ਺ʢҾ͖ࠐΈ΍͢͞Λද͢ྔʣ͸ɼΦϧΨϯύΠϓΛ௚઀తʹ Ҿ͖ࠐ·ͤͨ݁Ռ͔ΒਪఆΛߦͬͨ΋ͷͰ͋ΔͨΊɼͦͷ৴པੑ͸ߴ͍ͱߟ͑ΒΕΔɽ͔͠

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ΔͨΊʹɼผछͷ֎ྗΛ༻͍ͯҐ૬ײडؔ਺Λܭଌ͢Δɽ

4.2 ^{ύϧεΛ༻͍ͨਪఆ๏}

͜͜Ͱ͸ɼैདྷͷҐ૬ײडؔ਺ͷܭଌݚڀʹΑ͘༻͍ΒΕΔύϧεՃৼΛࢼΈΔɽ͔͠͠

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4.2.1 ཧ࿦

Ґ૬ৼಈࢠϞσϧ

dθ

dt = ω₀+Z(θ)p(t) (3.1)

͸ɼp(t)= 0ͳΒ͹

θ(t)=ω₀t+θ₀ (4.1)

ͱ͍͏ղΛ࣋ͭɽ͔͠͠ɼຊདྷ͸p(t), 0Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱɼ֎ྗp(t)͕ඍऑͰ͋Δ͜ͱʹண

໨ͯ͠ɼࣜ(3.1)ͷղΛ

θ(t)= (ω₀t+θ₀)+θ₍₁₎(t) (4.2)