九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

一自由度Duffing形自由振動方程式の厳密解の計算法 に関する研究

岡部, 匡

https://doi.org/10.11501/3111012

出版情報：Kyushu University, 1995, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

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第5章 結 論

本論文では， ばね関数が変位の 1次項と3次項で構成される対称Du伍ng系お よび0�3次項を有す非対称Duffing系の自由振動厳密解について検討した第1 種完全楕円積分， およびヤコビの楕円関数の高精度計算法を確立した上で， 対 称Du箇ng系については， その厳密解の高精度数値化のためのアルゴリズムを詳 細に検討し また非対称Duffing系については， その厳密解の一計算手法を提案 し， 非対称Du伍ng系に属する各振動系の振動特性について考察した 以下に 論文で得られた結論の要点を各章ごとにまとめておく.

第1章では， 非線形振動系に関するこれまで主たる研究をまとめ， 本論文の 研究目的， 意義および構成を示した

第2章では， 本論文においてその取り扱いが特に重要となる第1種完全精円 積分κ(μ。)およびヤコビの楕円関数(sn， cn， dn関数〉に関する基礎的関係式お よびその特性について考察し， その高精度数値化の問題を論じた母数μ。→0 なる場合にqo'μ1→1なる場合にはqlによる展開表示式の使い分けによる第1 種完全楕円積分の計算法を示し， さらに， 新たなKoCμ。)の高精度計算法とし て， μ。 =0�1の中間値であるん=1/2近傍における展開表示式を示した. こ れにより， μ。→0，μ。→1およびその中間値μ。=1/2のそれぞれの領域におけ る三様の手法の使い分けにより， 母数μ。の全域にわたる第1種完全楕円積分の 高精度な数値計算が可能となった. また， 一般に公知であるμi二μ1Cりなる展 開公式の逆関数問題であるqi = qiCμ)なる多項式をべき級数反転の手法を前川 して作成し， その多項式の128次項までの係数の計算結果を示すとともに， 得 られた多項式の精度検証を行い， その有効性を確認した さらに， 定語長計算 機を用いて計算する場合に， その処理過程固有の障害である “相対誤差の増幅 現象" に対して考察し， その誤差の増幅率の定量的な推定が可能とならしめる 誤差増幅率なる概念を提案した

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第3章では， 対称Duffing振動系の自由振動の厳密解の高精度数傾化のための アルゴリズムおよびその振動特性に関して論じた. まず， 対称Duffing族の分知 を示した上で， 対象となる振動系の解とヤコビの楕円関数との対応が -怠(I�に 決定されることを示し， その場合の母数の定義範囲を明かにした さらに， 各 振動系の厳密解決定の基礎となる未定定数の条件式を導き， 厳密解特定のため のアルゴリズムの概要を論じた. さらに， 対称Duffing族に属する各振動系に対 して， 振幅が与えられる場合または振動数が与えられる場合の二様の初期条件 に対し， 超低周波振動域や準線形振動域など数値計算上多くの障害を有する領 域に対して， その厳密解の計算の際に生じる問題点を逐一洗い出した上で， 利 用する計算式を丹念に吟味して， その高精度数値化を実現するアルゴリズムを 示した. また， 解の波形， 振幅および調波振幅の周波数特性とそれらの他の漸 近特性，ならびに母数μ(i⁼ 0， 1)とq;，Qなどの諸特性値との対応関係、について の計算結果を図示し， 対称Duffing系の自由振動特性の詳細を解明したさらに，

ヤコビの楕円関数のフーリエ展開における有限項の打ち切りにより発生する誤 差の問題を論じ， 余弦関数展開 (cn.dn関数〉および正弦関数展開(sn I某!数〉の それぞれについて， その打ち切り誤差を推定する手法を論じ， 個々の振動系に 対し， 打ち切り誤差を満足するために必要となるフーリエ級数の最高次数の推 定値の計算法を示した

第4章では， 非対称Duffing系の自由振動厳密解の一計算法を提案した その アルゴリズムの要点は， 変位関数の双一次変換を導入して， 非対称Duffing系を 第3章で論じた厳密解が既知なる対称Du伍ngに帰着させて， その自由振動f砕を 特定するものであり， 最終的に非対称Duffing系の自由振動の厳密解が計算され るまでの全体的な計算のフローを解説した 非対称単項3次曲線ばね， 非対称 ハード， 非対称ソフト， 非対称スナップスルースプリンクO系のそれぞれについ て， 変換係数(G，W，H，A，T)， 振幅の周波数応答および振動波形の計算結果を 示し， その厳密解の存在の数値的証明と振動特性を考察したこれらの結果カ ら， ばねの非対称性〈定数項の存在〉の基本的効果は， 波形， 振幅特性に非対

fo 戸、J可SA

称性を与える以外に， 非対称単項3 次曲線ばね， ハード， スナップスルースプ

リング系に対しては， 振幅特性に多価性を生ぜしめることが判明し， これらの 系の解は， 振動数の増大(振幅の増大〉とともに対称単項3次曲線ばねのそれ に漸近することが明らかとなった また， 非対称Duffing系のばね特性山線の幾 何学的特性について考察し， 各振動系に対して， その特性点を示した さらに，

以上までの議論の応用例として， 非対称単項3次曲線ばね系の厳密解を用いて，

摂動法およびRKG法の精度検証を試みた. 特にRKG法の数値計算誤差では，

周知である積分のきざみ幅~誤差聞に存在する規則正しい関係を示す例証が伊­

られた.

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謝 辞

本論文を終えるにあたり， 長期間にわたって， 懇切丁寧なご指導とご鞭踏を賜 った田村英之教授に心から厚く御礼申し上げます.

また， 本論文の作成にあたり有益なご教示を賜った金光陽一教授， 木|尚淳児教 授， 深田 悟教授に心から感謝の意を表しますとともに， 種々の面においてご協 力頂きました松崎健一郎講師， 徐 志祥助手， 劉 孝宏助手， 井上卓見講師， 高 山佳久助手， 機械力学研究室職員の方々ならびに歴代の修士および卒業研究生諸 氏に深く感謝致します.

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J. Non-Linear Mech.， 28-1 (1993)， p. 87.

ぐJrb 噌Ei

(116) 谷口編， 振動工学ハンドブック， (1976)， 養賢堂. p.388.

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(118) 田村・李， 二次曲線ばね非線形系における自由振動厳密解(その1. 解のぷぷと フーリエ係数の試行解)， 機論， 55-509C (1989)， p. 13.

(119) 田村・李， 二次曲線ばね非線形系における自由振動厳密解(その2， 幣線形微小 振動と強非線形低周波振動)， 機論， 55-512C (1989)， p. 823.

(120) 田村・松崎， 二次曲線ばね系自由振動の厳密解とその数値化プログラム， 機論，

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(122) Atkinson， C.P.， On the Stability of the Linearly Related Modes of Certain Nonlincar Two­

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(124) Caughey， T. K.， Vakakis， A. and Sivo， J. M.， Analytical Study of Similar Normal Modcs and Their Bifurcations in a Class of Strongly Non-Linear Systcms， Int. J. Non-Lincar Mech. 25-5 (1990)， p. 521.

(125) 黒田， 2 自由度非線形ばね-質量系の自由振動の周期解， 機論， 39-321 (1973). p.

1461.

(126) 渡辺・黒田， ガレルキン法による多自由度非線形ばね質量系の自由振動の周期解 の解析(第1報， ガレルキン近似解の存在性)， 機論. 44-387(1978)， p. 3711.

(127) 渡辺・黒田， ガレルキン法による多自由度非線形ばね質量系の自由振動の周WJ解 の解析(第 2 報， ガレルキン近似解の近傍における厳密な周期解の存在性)， 機 論， 44-387 (1978). p. 3711.

(128) 伊里・藤野， 数値計算 の常識， (1988). p.1. 共立出版.

(129) 安藤， 楕円関数入門， (1988)， ^p. 1， 日新出版.

(130) FACOM FORTRAN SSL 11 使用手引き書(992P-0050-5). (1980)， P. 215.

(131) 田村・深田• q展開による第1種完全だ円積分の数値計算， 九州大学て学集報，

61-2 (1988)， p. 149.

(132) Byrd， P. F.， and Friedman， P.F.， Handbook of Elliptic Integrals for E碍ineers and Scientists，

(1971).2nd edition， Springer-Verlag， p. 303.

(133) 機械工学便覧. (1975). 2-15. 日本機械学会.

(134) 戸田， 楕円関数入門. (1976). p. 93. 日本評論社.

(135) 文献(131)の300ページ.

- 1 66^-

(136) 田村・李・岡部・深田・末岡， べき級数の反転公式について， 九州大学工学集報，

61-4 (1988)， P .431.

(137) 田村， べき級数の演算と反転について， 機論， 56-531(1990)， p.3154.

(138) 守口 ・宇田川・ー松， 数学公式II， (1987)， p.34， 岩波書店.

(139) 文献(131)の465ページ.

(140) ラルストン・ ラビノヴィッツ(戸田・小野訳)， 電子計算機のための数値解析の ための理論と応用， (上)， (1986)， P.199， ブレイン図書出版.

(141) 高田， 機械計算法. (1981)， p. 94， 養賢堂.

(142) 文献(133) の2-3ページ.

一167-

付録A べき級数の演算処理と逆転のアルゴリズム(136)，(137)

独立変数X1 ，X2を引数とする， べき級数Zl'Z2を次のように定義する.

ーIlll〉lllJ

X X G b

一一 一一

、A qL

Z

Z (A.l)

n�O

X1 = X2 = Xならば， 以下のようなZl'Z2同志の四則演算 zが定義され， その演算結果も，

引数xのべき級数として表示される.

1)線形結合算

Z

=

Cn = H人+Hみ， Hl' H2 ，定数

|

2)乗算

(A.2)

Z = HZ1Z2二ヱcj，n�O

Cn =HIαんr (A.3)

，=0

二HIb，an_，

，

3) 除算

Z

=

bm = 0， (m < N)， bN学0， H;定数，

Co = Hao / bN

C1 =H(α1 -cObN+J / bN

=H(α1 -aabN+l /九) / bN，

(A.4)

に=H(α1 -Ic，b川ザ) / bN ，=0

以上のべき級数の四則演算において， 演算結果のべき級数の係数c は， すべて被演算べ き級数の係数αm'bkから計算されることがわかる.

以上の演算を少し複雑に組み合わせると ， 次のような演算が可能となる.

-^{1 68}-

4)べき級数のべき級数展開 x = X2' Z二Zl'X1ごろとおくと，

Z = Z(X) = ZJZ2(X2)] = Zl[Z2(X)]

ニエamCIbんt

m註o k註O

= Lcnxn (A.5)

ーレだた

c o C1

1 九boz b03

o b1 b12 b13

o b2 b22 b/

o b3 b32 b33

nu

、A

「，&

勾3 aa a

G (A.6)

C 2 C 3

ここで， bn M (M > 1)は次の漸化式により定義される.

b-G M b。 ^。 boM-1

bl ^Af b1 b。 ... bIM-1 hM b2 b1 b( ... bzM-1

b3 ^Af b3 b2 b} 九 . . . b3M-1| (A.7)

ただし， M> 1， bn} = bn

5)べき級数の逆転

X = x1' y ⁼ x2とおいて， Z1とろを等値すれば，

Lαnxn ⁼ Lbmym (原級数) (A.8)

n::>:1 m::>:}

これから，

X = LCkyk (逆級数) (A.9)

k::>:}

ここに， 逆級数 xは原級数の根である. その係数Ck ⁼ ck (αl'a2，' ..ak ，bl'b2，' ..bk)は次のア ルゴリズムにより計算される.

b} C} α1

b2 C2 C2 2 _。 α z

b3 C3 C3 2 C3 3 a3 (A.10)

b4 z 3 4

C4 C4 C4 C4 α 4

bs Cs Cs ^Z Cs 3 Cs 4 C ^{5 5} as

- 1 69-

M M-l

CM C1 CM-1

CM+1 M C2 C1 ^。 CM M-l CM+2 M C3 C2 C1 CM+1 M-l

CM+3 M C4 C3 C2 C1 CM+2 (A.ll)

fこだし， A4>l，cnl=cn

式(A.10)， (A.11)を交互に適用すると， 式(A.10)の正方行列中第1 �Ijのにが順次求めら れる. すぐに得られるC1から， 式(A.11)の第1行の関係を漸化的に適用すると， 式(A.I0) の右下に向かう要素がすべて既知となり， c2が解かれる. 既知となったcいらにより，

式(A.11)の第2行の関係を漸化的に適用すると，式(A.10)のらから右下に向かう要素が すべて既知となり， c3が解かれ， 以下同様にしてすべてのCn のを決定することができ る.

-

-

付録B 2次曲線ばね系自由振動 の厳密解い20)

ばね関数が変位に関する (1+2) 次項で構成される 2 次曲線ばね系の1'1出振動解も，

Duffing系と同様にヤコビの楕円関数(cn関数またはsn関数)により厳密に解くことが

できる.

運動方程式は次式とする.

ZZ

�

ただし， α> 0 J

(B.1)

無次元化を行う と ， d2X 今 一一了+X+X�=O、

dT�

、』Ill11krill--J

α

lv 一一

X

，rf MV 一一一

ここで， (B.2)

を得る. 式(B.2)における円振動数を0とし， Tに関しての周期を2rr とする ここで式(B.2) の周期解を

X(T) = Ccn2(KI。βT/ rr)-D ， ただし，

C.D:定数

|

Ko;第1種完全楕円積分[式(2.1.6)参照] )

(B.3)

のように仮定し， 上式を式(B.2)に代入し， ∞2 に関する1 ，2，3次項を， それぞれで等間 し， さらに整理すると次なる関係式を得る.

C=3 μ。/2p (= 0'"'"'3/2)

ì

D= (ρ-1+2 μ。)/2p (= 0�1) J

12 = 1/ Ko

JP

�

ただし，

P三)1-

)

)

ここで， μ。:楕円関数の母数

μ1 補母数[式(2.1.8)参照]

(B.4) (B.5)

(B.6)

-171-

式(B.5)，(B.6)より， 未定定数 C，D，f2をμ。に関して解くことができる. これらから，

解X(T)の最大値(XmaJ， 最小値(XmiJは， それぞれ，

X max

= ^max(T)

>

ì

X _{min =}

m

(T)

<

となる• A.Dの聞には， エネルギー積分から導かれる次なる関係が成注する.

(B.7)

3(A - D)+2(A2 _AD+D2) = 0

2

{

⁽ -J)}

l-

i(

J) { ^ベカ }

(B.8)

ここで， 式(2. 1.10)にて示したcn関数のフーリエ展開表示を式(B.3)に対し適用し， さ らに式を変形， 整理すれば， 解X(T)は次のように表示することができる.

(B.9)

n

o

∞マム

n�O(all)

Av三3f22

L

k註l(odd)

3μ02

= 3f22(a32 +α5 +G72+…)-

2(1+μ。+ρ)p φ。+qo[ 110 - f21 (1 + J.10)一μ。(2+qO)/16]

+24� ^U

(1 +qo)2(1 +μ。+ρ) ただし，

M。=μ。(μ。+ρ)/2(1 +ρ)

ρ1三(1- f2)[2 - (1- f2)]

φ。三qO- μ。/16， qO: [式(2.1 .9) ] _， an = 2

;;;;

(B.10)

ーIlll1tFIll--J

、、.，J

F、J 司、} 噌EA 一一

/・1 n

\111111Jノ

+ n ι凡

LE内 n - p- 国 ， 、 d m

今L i - - 〆1、 lF 、、 ，J 』 e v L'h

一

ピ

/FIll--1\ つ- fo

--一

A

、、，，J

1i 噌EA RU 〆'E、、

A 三6f22 ') _{ム I*-nl}

*(0ω)

(

n

-172-

X(T)の最大置または最小値が初期条件 として与えられる問題では， Aまたはρに対

応するμ。 (またはμ1 )を式(B.7)， (B.4)から特定できる. また振動数οがうえられ る問題では， 式(B.5)からんが特定される. このμ。が決定されれば， 式(B.4)， (B.5)か ら， 与えられた条件に対応する未定定数(C. ^D. f2など)を決定することができる な お， 厳密解の高精度数値化に際しては， 第3章で論じた対称Duffing系と同様に， IÎ間11 なるアルゴリズムの検討が必要であり， このことについては文献(120)に詳論されてい

る.

また， 式(B.2) の解をsn関数を用いて，

X(T) ⁼ D' - C'sn2(Kof2T /2)，

ì

ただし， C'.D':定数

J

と仮定しでも， ほぼ同様の処置にて厳密解を特定することが可能である(1州11勾

(B.12)

-173-

付録C 誤差増幅率の基本的性質

2.5節で論じた以外の誤差増幅率に関する簡単な基本形と例題のいくつかを列心して おく.

1. Y = Co' Ci = ^const. (i二整数， 以下同様); <(y 1 Ix)) = ⁰

11. y=C1x;<(xlly))=1

111. <((1 1 y) 1 Ix)) = <<Y 1 1(1 1 x))) = <(y Ilx))

IV. y = Mxλ，ただしO<IMI，IλI，x<∞;((y 1 1 x ) ) = Iλ|

V. y=日Yi(X) IITyj(x); <(y Ilx))三乞<(Yi1 Ix)) +乞<<Y j 1 Ix))

VI. Y = y(x)が図式で与えられる場合;点(XO' Yo)における接線とx車1'1の 交点をxc' Y軸の交点をYcとするとき，

(<Y 1 Ix)) = I x 1 (x -xc)1 = I(Y -Yc) 1 Y 1， (図C-1参照)

VII. y = Co lnx ; <<Y 1 Ix)) = 1/11nx

I

VIII. y = CoZ(u)， u = C1x ; <(y Ilx))ニ<(z 1 Ix)) = ((y 1 lu)) = <(z Ilu))

y。

Yc

一一一ーー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1

i (注意)

(誤差増幅皐は次式[式(2.5.2)^{Jて'らえられる} : ((y//x))=I(dy/dx)/(x/y)1

i右図より，

dyl _ y -yc _ Y dxl.".. X x-xc

; 〈〈y//x〉〉=|(dy/dx)/(X/y)|

I _1 y xlーIY-Yc xl

I Ix -xc YI I X yl

L

J

図C-l y = y(X) が図形で与えられる場合の誤差増幅率

-

-

付録D 非対称Duffing系の特性点の導出

D.1 3次方程式の根(142)

4.3節で示した非対称 Du妊ing系の特性点兵， �， (i = 1， 2)は， 式( 4.3.1)のばね特性l山総 の根として求められる. このばね特性曲線は 変位Yに関しての3方程式であり， その似

は代数的に解くことが可能で‘ある. まず，

Z3 +αZ2 +bz+c = 0 D

なる3次方程式に対し， z=x-a/3なる変換を行えば， 次式を得る.

ーIll--〉Ill111ノ

C一2+

G一3 b一2

\Illi--/

α一3

/Illi--\

一一 ny QU

=一，

ムU 一 司3 ha 十

\111ノ 戸じμ ト は つ』 '- 一

♂

ム DA

(D.2)

このと き， 式(D.2)の3つの根X1' x2' x3は次式にて表される.

x， =U+ν X2 -二w，u+ W�V. "1"" X二w�u+wν

，

u =

V

石平

寸

N平

W1 = -(1+iJ3)/2， W2 = -(1- i-/3)/2 上式から次の関係式が成立する.

(D.3)

ν=-p/u (D.4)

また，

D(P， q)三q2+ p3 (D.5)

なる関数値の符号により， 式(D.2)が持つ 3 根の形を次のように決定することができる.

1) q2 + p3 > 0 ; 1個の実根と 2個の共役な虚根 ₁ 2) q2+p3二 0; 3個の実根 . ただい そのうちの2個は相等しい

ト

3) q2 + p3 = 0 : 3個の実根 ^J

(D.6)

特に上式の3)の場合における3 個の実根は次式にて表される.

X1 =2

ι五

X2二2Hcos(^u /3+ 1200)，

I

X3 = 2H cos(^u / 3+ 2400)，

I

ここで， cosu = q / (pH)， 0 < u < 1800， /

また以後の議論に用いられる基礎的 な関係式を列記して おく .

(D.7)

175-

si凶lX

=

/2，

coshx

=

+

/2，

sinh -1 x

=

+ぷ可I)，

cosh-1 X = ^log(x

+長亡I)，

0.2 非対称ハードスプリング系

非対称ノ\ードスプリング系のばね特性曲線は次式で表される.

φ(η= (1-p)2/3y +y3

P

式(0.2)との比較により， 次の関係式を得る.

p = (1- P)ν3/3， q=-P/2

ここで， O<P<lであるので，

D(p， q)>

、‘.，JハツD /1、

が存在する. 式(0.3)から51は，

争):' +iγr-(1-712+):' +iγ] ν3

=?子占+)(子刊イ

ー(1利子占+)(子占r +lJ 一(1-P)ν3 ^J3

店

亡

+

τν3

1 t 3

(1-

J3

P)ν3

+ゾJI2+

1r

ν31

ここで，

1

JI， 式 (4.3.3)参照

|

さらに， 式(0.8)の関係式を用いると， 51 は次式にて表される.

、‘.，ノ噌iti D ，，.‘、

S1=2

(?

=元(l-P内n作曲一1 ^II)

0.2 非対称ソフトスプリング系

非対称ソフトスプリング系のばね特性曲線は次式で表される.

-176-

φ(η= (1-P)2!3y ^_ y

3 ^_

式(D.2)との比較により，次の関係式を得る.

p

ν3

，

非対称ソフトスプリング系ではo<P<Pc [pc;式(4.3.2)参照]においてのみ周期解が 存在し，このとき，式(D.12)には3個の実根(九ζ，51)が存在し，それらは式(D.7)を 用いて次のように求めることができる.

η 3-13 P

u = _'1 一二一二二一一=-ll → u=cos-1(-ll)

pよp

R =両cos(u/ 3)

=元日ν34∞S-l(ーの]

ζ=

元

L ，_ ^_， 11"，1 u 1r . ^U

.

= 方(1-P)ν 3

l

|

=

古

^ベ

=-

)

51についてもζとほぼ同様にして次のように表される.

S1=元山

(D.14) (4.3.7)

(4.3.�)

(4.3.8)

次に， �の対となる振幅� (図4.2参照)を求める. まず，非対称ソフトスプリング系 においては，式(4.2.2)から次の関係が存在する.

(町+ RJ[2(1-P)2/3 - �2 -R12] = 4P (D.15)

また， y=町においてはd2y/dθ2L=r=Oであるので， 明らかに次の関係が成立する.

(1 - P) 213 � -

�3

あるいは，

�

P/ξ+γ= (1_P)2!3 )

上式を式(D.15)に代入し， 整理すると次の関係式すると，

(1'; -R1)[� 2 + 31';2 + 21';� -2(1- p)2!3] ^{= 0} (D.17)

明らかに只t=�であるので，式(D.17)を満足するためには，次の関係が成立することか 必要である.

勺/7'

R1

2

3�2

P)2/3 =

上式は R1に関する2 次方程式であり， R1はその根として次のように表される.

R1

= -

.f

p)2/3

ただし 式(D.19)の根としては，上式の平方根の前の符号は±の複合で表されるが， 切j らかに�>-�であるので， この場合は式(D.19)のように+を採用する)]-の根を川い る. さらに式(D.16)の関係式を用いて整理すると， R1は次式で表される

R1

=-�十五百�

4

3

D.3 非対称スナップスルースプリング系

非対称スナップスルースプリング系のばね特性曲線は次式で表される.

φ(η=

P)2/3Y

y3

P

式(D.2)との比較により， 次の関係式を得る.

p =

P)ν3/3，

= -P /2

(D.20)

(D.2

1

非対称スナップスルースプリング系のばね特性曲線においては，0<P<Pc の場令には3 個の実根町(=ζ)，

S1' S2' Pc

P

(1) 0 < P < Pc (0 < 17 < 1)の場合

∞su=- _pゾ-p L=坐f

- P = 万 → u=∞s吋め (D.22)

式(D.7)より，

S1 = 2仔cos(u/3) =元日ν3Cや則的]

S2 =元 ( 川旧V3 co川C∞ωOωos(u /

=主(1-叶cosicイーsinisini]

= 土 ( 山内s竺 一 円 川 ^{� �} -1 _{� 2(1-}

^{J 3} _P)ν3 ^{m V3} SJ

=

^�

p)2/3ーお12/4-S1/2 K=元(1-p)V3 cos(u /3

(4.3.11)

-1 7 8-

次にξの対振幅�を求める. 非対称スナップスルースプリング系の場合， 式(4.2.2) は 次のように表される.

(� +RJ卜2(1- P)2/3 +γ+ R}2] = 4P (0.23)

また， 式(D.16)の場合と同様に式(D.20)から 次の関係式が成立する.

一(1-p)2/3� +γ=P， ì

あるいは，

ト

-P/Y，，+γニ(1- p)2/3 )

上式を式(D.23)に代入し， 整理すると次の関係式すると，

(� -RJ卜�2_ 3� 2 _ 2�Rl + 2(1- p)2/3] = 0 (0.25) 明らかに �:t�であるので， 式(D.25) を満足するためには， 次の関係が成立することが 必要である.

R12+ 3K2+2RR1-2(1- P)m=0 (D26)

上式は R}に関する2 次方程式であり， R}はその根として次のように表される.

R} = -y" ^I

�

ただし， 上式の平方根の前の複合±は， 明らかに+がR}， ーがlSに対応する. さらに 式(D.24)の関係式を用いて整理すると， Rl' lSは次式で表される.

R}= -�+

�

R} = -yz -

�

(2) Pc < P < 1 (1 <万<∞)の場合

Pc <P<1の場合， 1個の実根S}のみが存在する.

れ ^子

^�プ ]

^ナ [ ^{子 F ず}

l

=�1

1

阿 古

� ^(子刊

l

+�1-

:

廿 占

再 ^三 r

l

(4. 3.11 ) (4. 3.12)

=

ぺ

+守)旧日2

¹¹³

さらに，式(D.8)の関係式を用いると， Slは次式にて表される.

S= 2(ト ₁₃ P)凶I

(

^{∞sh -}

ì

( - .!.cosh-1

ì I

I ， n �J:' \3…ー ノ ペ 3 ノ |

= 元 ^{(1- P)ν3C} 吋 ^ω111 )

- 179^-

(D.2H)

(4.3.13)

-1 80-

付録E 対称Du百ïng 系の自由振動厳密解の計算プログラム

第3章において， 対称Duffing系[対称ハード， ソフト， スナップスルースプリング系 (両振りモード， 片振りモード)]を対象として， その自由振動の厳密解の尚精度数仙化に 関するアルゴリズムの検討を行った. ただし， 実際に， この厳密解を数合11化するには， 、月然 プログラム作成という作業が必要となる. 高精度計算に際しては， そのアルゴリズムの検討 とともに， 実際のプログラミングに際しても， その構成等に工夫と技巧が要求される. ここ では， 第2章および第3章までの議論をもとに作成した対称Du妊mg系f'1由振動の厳鰐併の 計算のためのプログラムの全文およびその使用説明書を提示する. 使用言語はFortran77で あり， プログラムの語長はすべて 16バイトCREAL*16)， いわゆる4倍精度で作成されて いる. すべてのプログラムの概略は， 振幅Axまたは振動数。のどちらか-一つを人)JイII'iと して， 振動数Ax' 振幅{2， 調波振幅An等が計算され出力される. 計算条件(各振動系で

異なる. 各サブルーチンの使用説明書を参照のこと)は， 入力パラメタISWで指定するが，

各入力ノぞラメタには精度保証のため入力する数値に制限がある. また， 解に対する相ーは、J誤去 を指定すると， それに必要な高調波の次数の推奨値が計算され11\ノユされる.

出力ノぞラメタの中には， 入力ノぞラメタとまったく同ーのものがふくまれているが， -，日J f'd 後者(入力値そのまま)が直接出力されるのではなく， 他の出力パラメタとInJ様の数イIN処.B1l を経て計算された結果である. したがって対応する前者と後者を比較すれば計算池利で‘先生 する数値処理上の誤差が判明する. この処置を自己点検を称することとする. すべてのプロ グラムに対しこの自己点検を適用した結果， 変位の最大値， 振動数などの出力は， いずれも 相対誤差の値は10-30以下であることが確認済みであり， 事実上の数他的厳続解がぶ引され る. その他プログラム使用に関する詳細については， 各プログラムごとの使用説明1件付lに銘 記している. なお， 各振動系に対するプログラム(サブルーチン)名の一覧を， 表E-lにま とめた.

表E-1 対称Du百mg系自由振動厳密解計算のサブルーチン名一覧

振動系の名称 サブルーチン名

対称ハードスプリング系 DUHRD

対称ソフトスプリング系 DUSFT

対称スナップスルースプリング系(両振りモード〉 DUSPF 対称スナップスルースプリング系(片振りモード〉 DUSPH

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E.1 対称ノ\ードスプリング系(DUHRD) E.1.1 使用説明書

(1)機能

対称ハードスプリング系;

d2X ^{-- --，}

ーーァ+X+XjニO

dTL. (E.l)

の自由振動厳密解の フーリエ展開;

X(T) ⁼ Al cosilI+ � cos3ilI+ As cos5ilI+… (E.2)

におけるフーリエ係数 : �，�，As， .・1 最大値 Ax ⁼ max(T) X (T)なるAx' 円振動数12， そ の コンプリメンタリ1-12などを数値計算する. 与える条件 はAx' 12-1のいずれかけIbJと

する. 補助的計算作業として指定された相対誤差を保証するに必要なA の次数l二I{l�

N(�n)の近似値を推算する.

(2)ノぞラメタ

AO・・・ 入力/出力• Ax ⁼ max(T) X(T). ただし， AO> 10-38• ISW=10の場合は人 力. それ以外 は出力.

OMG ・・・ 出力. 円振動数12.

OM1... 入力/出力. 12-1. ただし， OM1> O. ISW=21の場合は人ノ]. それ以外 は出力.

AN ... 出力. フーリエ係数 AJn⁼ 1，3，5，. ..NN). 大きさNNの一次元配列.

NN ... 入力. フーリエ係数の最高次数(必吋参照). NN三1.

EN ... EN(l):入力. 所要のM吋を推算するためのX(T)の相対誤差の絶対イIIJL EN(2) :出力. EN(l)を満足する NNの推定値. 大きさ2の一次元配列.

ER ... 出力. 解X(T)の相対誤差の推定値.

ISW... 入力. 計算条件の指示.

ISW=10 : AO， ISW=20 : OM1のいずれか. 上述の AO， OM1を参照.

ICON ... 出力. コンディションコード.

0:正常終了， 90000: ISWが上記以外の指定であった. またはISWの他と 対 応する入力パラメタの値の範囲が対応していない ことを意味し計算を打ち切

る.

(3)使用上の注意

a)使用する副プログラム名

①FORTRAN基本関数一. QSQRT， QLOG， QEXP， QATAN， MIN， ABS， SIGN

②本プログラム中…SOLMQ， APRXH， SUB 1. OM 1QO， SUB3， APROH， PRSET，

AMPLH， ERROR， KANDM， REGUL b)注意

①[EN(り+ 10-ぉ]により指定 される解X(T)の相対誤差(要求値)を保証するNN の推定 値がEN(2)に出力される. EN(l)=Oとおくと 10引(--.，一語の丸め)を採用したことにな る.

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E.1.2 プログラムリスト

00010 *一一一一一TOP OF F1LE-一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一DUHRD 00020 * EXACT SOLUT10NS OF THE FREE OSC1LLAT10N

00030 * 00040 00050

女 工SW

* AO

1N DUFF1NG OSC1LLATOR W1TH S1NGLE-DEGREE-OF-FREEDOM (HARD SPR1NG)

00060 * OMG

00070 * OM1=OMG-1 00080 * AN(NN) 00090 * EN(2)

MAX. OF D1SPLACEMENT， A NATURAL FREQUENCY

COMPLEMENTARY FREQUENCY HARMON1C AMPL工TUDES

EST工MAT10N OF NN (.. .SEEMANUAL)

(1N/OUT) (OUT) (1N/OUT) (OUT) (工N/OUT) 00100 * ER : EST1MAT10N OF RELAT1VE ERROR OF SOLUT10N (OUT) 00110 * 1SW : 1ND1CAT10N THE 1NPUT PARAMETER (1N)

00120 * 1CON : COND1T10N CODE (OUT)

00130 *一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一-931028 00140 *

00150 SUBROUT1NE DUHRD(AO，OMG，OM1，AN，NN，EN，ER，1SW，1CON) 00160 1MPL1C1T REAL*16 (A-H，O-Z)

00170 DIMENSION AN(NN)，EN(2)

00180 DATA H20/0.043213918263772249774417737171728QO/

00190 工CON=O

00200 1CHK=O

00210 1F(1SW.EQ.10.AND. AO.GT.1Q20) 1CHK=1CHK+1 00220 1F(1SW.EQ.21.AND.OM1.GT.1Q20) 1CHK=1CHK+1 00230 1F(1CHK.NE.O) THEN

00240 CALL KANDM(H20，EM，QK，P，S，F1)

00250 ELSE 1F(1SW.EQ.10.AND.AO.GT.1Q-38) THEN

00260 SS=AO女AO

00270 CALL SOLMQ(SS/2/(1+SS))

00280 ELSE 1F(1SW.EQ.21.AND.OM1.GT.OQO) THEN 00290 CALL OM1QO(OM1)

00300 ELSE

00310 1CON=90000

00320 RETURN

00330 END1F

00340 EN(2)=ABS(EN(ユ)) +lQ-35

00350 CALL AMPLH(H2，AN，NN，AO，OMG，OM1，EN， 1SW) 00360 CALL ERROR(H2，NN，ER)

00370 RETURN

00380 END

00390 安一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 00400 SUBROUT1NE SOLMQ(EM)

00410 1MPL1C1T REAL*16 (A-H，O-Z) 00420 EXTERNAL SUB1

00430 CALL APRXH(EM，H2) 00440 CALL PUTEM(EM)

00450 CALL REGUL(H2，H2*1.01+lQ-30，SUB1，EF，KOUNT) 00460 RETURN

00470 END

00480 安一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一ー一一一一一一 00490 SUBROUTINE APRXH(EM，HH)

00500 1MPL1C工T REAL*16 (A-H，O-Z)

00510 HH=O

00520 DO 10 1=10，1，-1 00530 HH=(HH+1QO/工)*EM

司、d06

00540 10 CONTINUE 00550 HH=HH/16 00560 RETURN

00570 END

00580 安一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 00590 SUBROUTINE SUB1(H2，F)

00600 IMPLICIT REAL*16 (A-H，O-Z) 00610 CALL KANDM(H2，EM，QK，P，S，F工) 00620 F=(EM+1Q-70)/QM-1

00630 RETURN

00640 ENTRY PUTEM(PUT) 00650 QM=PUT+1Q-70 00660 RETURN

00670 END

00680 *一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 00690 SUBROUTINE OM1QO(OM1)

00700 IMPLICIT REALす16(A-H， O-Z) 00710 EXTERNAL SUB3

00720 OMU=OM1/(1+0M1) 00730 CALL APROH(OMU，H2) 00740 CALL PUTOM(OMU)

00750 CALL REGUL(H2，H2女1.01+lQ-30，SUB3，EF，KOUNT) 00760 RETURN

00770 END

00780 *一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 00790 SUBROUTINE SUB3(H2，F)

00800 IMPLICIT REAL*16 (A-H，O-Z) 00810 CALL PRSET(H2，EM，UOM，0) 00820 F=(UOM+1Q-70)/OMU-1 00830 RETURN

00840 ENTRY PUTOM(PUT) 00850 OMU=PUT+1Q-70 00860 RETURN

00870 END

00880 安一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一ー一一 00890 SUBROUTINE APROH(OMU，H2)

00900 IMPL工CIT REAL*16 (A-H，O-Z) 00910 DIMENSION F(5)

00920 DATA F(1)，F(2) ，F(3)/0.4196244QO， 0.2349253QO， 0.2696268QO/

00930 DATA F(4)，F(5)/ -0.1979276QO， 0.2027534QO/

00940 H2=0

00950 DO 10 1=5，1，-1 00960 H2=(H2+F(工))*OMU 00970 10 CONTINUE

00980 H2=OMU/12/(1+H2) 00990 RETURN

01000 END

01010 安一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 01020 SUBROUTINE PRSET(H2，EM，UH，K)

01030 IMPLICIT REAL*16 (A-H，O-Z)

01040 IF(K.EQ.O) CALL KANDM(H2，EM，QK，P，S，FI) 01050 IF(K.EQ.1) CALL TAKEO(H2，EM，QK，P，S，FI) 01060 P2=2*P

01070 EM1河=1-2*EM

01080 RTM2=QSQRT(ABS(E附))

01090 IF(EMM.GE.O) UH=4川EM*QK*勺/2-P2川1+P2))/(1+QK*RTM2)