【論 文｝ UDC ：624
．
02 ：624．
042．
7 ：620．
1 日本建築学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 372 号・
昭和 62 年 2 月柱
の
変 動 軸 力
を
考
慮
し た
RC
造
骨
組
の
弾
塑
性 解
析
そ の1
解析 法
と芯筋柱
の構 造実 験 解析
正 会 員 正 会 員 正 会 員福
磯
高
澤
崎
橋
栄
元
治
＊浩
＊ ＊美
＊ ＊ ＊1．
序 超 高 層 鉄 筋コ ンクリー
ト造 建 物 （超 高 層RC
造 建物 ） で は， 地 震 時にと くに下 層 階において，
柱の軸方 向力と こ の 変動 量が大き く な る。 RC 柱で は，
こ の 変 動 する 軸 方 向 力によっ てその瞬 間 剛性，
ひび割れ応 力， 降 伏 応 力 を含め た時々刻々 の弾塑性々状 が変 化す る。
たとえ ば， 引張 側 外 柱は早期に ひ び 割れ が発生し，
剛性，
耐 力とも に減 少す るの に対し， 圧縮側 外 柱は ひ び割れが遅く，
剛 性低下が比 較 的少ない。
その結 果，
左 右 対 称 形の骨 組で あっ て も，
許 容 応 力 度 設 計 を行う1次 設 計に お い て は，
弾 性 解 析に立脚し た設計用 応 力に対し応 力 再 配 分を考え る と，
引張側に 比べ圧縮側の応 力 負 担 が 大きく な る こと が予 想さ れ る。 終 局 強 度設計を行う2次 設 計で は，
引 張 側の柱の耐 力減少に対して もはた して通 常 想 定する は り 曲げ降 伏 先 行の崩壊メ カニ ズムが成 立する の か，
また圧 縮 側の柱に対 して は応 力 負担 増に対する終局耐 力の余 裕 度が どの程度ある の かを，肇
動 軸 力の影 響 も含め て正確 に把 握す ることが 耐震設 計 上 重 要な課 題と なっ て いる。 こ の よ うな現状に対 し，
筆 者ら は，RC
造平 面骨組を 対 象に新た に柱に関し てその材端モー
メ ン ト と軸 方 向 力 の応 力 平 面におい て，
塑性論に も と づ き 2つの降 伏 曲面 を導 入し，
柱の変勤軸力を考慮 し た弾 塑 性 解 析 法 を 開 発 し た。 本 論 文は，
第 1報 と して，
解析 法の内 容と柱の弾 塑 性 構 成 方 程 式の妥 当性を検証す る た めこ の解 析 法 を 30階 建 RC 造 建 物の下 層階外 柱に採 用され た芯 筋 柱の 構 造実験Dの解 析に適用し た結果に つ い て示 す もの であ る。
塑 性 論を導入 し た RC 構造物の弾 塑 性 解 析に関して は滝 沢Z ）−
4 ）は，一
淀 軸力 逆対 称 曲げモー
メン トを 受ける RC 柱を対 象に ひび割れ楕円 と降 伏 楕円を 用いて耳
折 線 型 復元 力モ デル の 2軸 曲 げ問 題へ の拡 張を行っ て い る。
これに対 して，
こ こ に提 示する解析法 は，
次に述べ る特 嚀 鹿 島建 設 武藤記 念 研 究 室 工 博 ＊1 鹿 島 建 設 武藤 記 念研究室 工 修 率輯 鹿 島 建 設 情 報シ ステム部 〔昭 穣61年3月5日原 稿 受 理 〕 徴を有してい る。
1） 解析の対 象と する骨 組は， 純ラー
メ ン構造の RC 造建物を，
柱，
は り お よ び接 合 部パ ネルか ら構 成さ れ る 平 面 骨 組とし て そ の ま まモ デル化し た もの とす る。
し た がっ て，
柱，
は りの 曲げモー
メ ン ト分布と しては，
逆 対 称状態 を含む中間荷重の ない場 合の任意の分布を扱い得 る もの であ る。
2） 柱の材 端モー
メン トと軸 方 向 力の応 力 平 面に お い て導入 す る降 伏 曲 線は， コ ンクリー
トと鉄 筋の累 加 強 度 式によっ て求め た終 局 強 度 を政
物 線で近 似し たもの とす るQ3
）柱の弾 塑 性 履 歴 特 性と し て は， 基 本 的に は漸 増 地 震 力に対す る弾 塑 性 解 析 用 と．
し て，
非 剛 性 低 下 型の もの を 採 用 す る。
4
） 本論で述べ る柱の弾塑性構 成 方 程 式の考え方は， 2軸 曲 げモー
メ ン トと変 動 軸 力 を考 慮す るRC
造 立 体 骨 組の弾 塑 性 解 析 法に も拡張 可 能な もの である。
2．
解 析 式 2．
1 解 析上の諸 仮 定 1） 図一
1に示す よ う に，RC
造平面骨組は，
柱， は り と接 合 部パ ネルの部 材要素か ら構 成され る もの とす る。
2
） 柱に は，
曲 げ，
せ ん断お よび軸 方 向 変 形 を， は り に は曲げ，
せん断変形を， 接 合部パ ネル に は せ ん断 変形 を考慮す る。 3 ） 弾塑性特性は，
柱の曲げ お よび軸 方 向変形とは り の 曲げ変形に対し考慮し，
せ ん断変形は弾性と す る。
こ の場合，
は りの弾塑性 特性は， 軸方向力を零と し， 逆 対 称 曲げモー
メ ン トが作 用してい る時に， 材 端モー
メ ン ト と材 端 曲 げ接 線回転 角の関 係が一
定の 三折 線 型の特 性を 有す るとする。
また，
接 合 部パ ネル の軸 方 向 変 形は，
弾 性お よ び弾 塑 性の全 領 域にわ たっ て柱の軸 方向変形と し て取り入 れ ること と す る。
この場 合，
柱の弾性 お よ び弾 塑 性の 全 領 域にわ たっ て，
柱の軸方 向剛性に対す る有効 断 面 積は，
柱の等価断 面積Ac
をlc
／lN
倍 （図一
1 参照 ） に低 減 し た もの を 採 用 す る。
こ こ に， 図一
1に示す よ う一
31
一
響
パ糎
H
準
魅
⊥
蜘
一蠶
揖
1
一
→嬲
トー 一一 一 一
→窿挧
トー
T
T
図一
1RC 平 面 骨 組の部 材 要 素へ の置 換 に，lc
は柱の材 長 を，
恥は柱の上 下の接 合 部 中 心 間 距 離を表す。 4） 各 階 床 は 水平方向に剛と し，
骨 組 全 体が複 数の平 面骨組か ら構成さ れ る場 合に は，
そ れ らを 各 階 床 位 置で 剛床の仮 定で連結さ せ る ものと する。
5
） 解 析は荷 重 増 分 法 を用い， 各荷 重段階で の応力お よび変位は， 1段 階 前の応 力と変 位に増分量を順 次 累 加 して求め る。
ま た，
増 分応力は増 分 変 位と線 形の関係に あり，
増 分 内で の各部材 要 素の剛 性は一
定と する。
6） 各荷 重 段 階にお ける部 材 要素の剛 性は，一
段階前 の部 材 応 力により弾 塑 性 状 態の判 定 を行い，
それ に基づ き算定す る。 2．
2 部 材 要 素か ら建 物 全 体のつ り合い方 程 式の誘 導 柱，
は り お よ び接 合 部パ ネル の各 部 材 要 素の局 所 座 標 系にお け るつ り合い方程式か ら建物 全 体のつ り合い方 程 式の誘 導は，
通 常のマ トリック ス法に よる座 標 変 換5）に より行 うの で，
その詳 細はこ こ で は省 略す る。
2．
3 柱の弾 塑 性 構 成 方 程 式 （1） 柱に関する基 本 仮 定i
）図一2
に示す ように，i
層 ノ番 目の柱の局 所 座 標 系にお け るつ り合い方 程式 は，
次 式で表 現する。
こ こ に，
U OMMN ddd一
32
一
“一
［
1
＝ ［kC
］ ‘丿・
籔
i
］
“・
露
wd
θ．d
θ．d
ω り……・
…一 ……
（1） 幽廴
ゴへ ， ヱ甑
Lx
孀 dNt」 （a）材 端変位 （b） 材 端 応 力 図一
2 irej番目の柱の材 端 変 位と材 端 応 力 N 降伏 状 騾 醜→罵 降 吠 状 慰 初 朗 降 伏 曲 粮．
胎 o ひび割れ状 愚・
Ψ一
呪 靭 期 ひ ぴ 割 れ曲 鱠b／言
＼丶
／ ＼ 丶 ＼ 丶 瓦 弾 慳 択 鰻 ／ ／へ
。。蹴一
メ ！ 〔RC 親 準 ） 丶丶
丶 ∠！
∠一
砿一
（配二一
禰 M‘一
蝋 ‘一
岨 M 図一
3 柱の状 態と初 期ひ び割れ 曲線，
初 期 降 伏 曲 線dMu ，
dMp
：柱 頭お よび柱 脚の増分材 端モー
メ ン トdN
：増分軸 方 向 力d
砺，de3
：柱頭お よび柱脚の増分材 端接線回転角d
ω ：両 材 端 間の増 分 相 対 軸 方 向 変 位 （縮む場 合 を正 ） を示す。 な お，
式 （1）にお ける両 材 端の状態 ご との剛 性 行 列kb
は，
本項 （4 ）におい て誘 導す る。 な おこ の 場合の柱に関す る表現で は，一
般例と し てi
層j
番目 の柱 を 対 象 と し て 添 字ii
をつ け た が，
これ 以 後 柱 に関 する表現 では， 添字i
ノが常に共通につ け られ るの で， 繁 雑さを避け る た めに添 字 ガを省 略す ること とす る。
2） 柱 頭お よび柱 脚で それぞれ ， 図一
3に示す よ うに， 降伏 条 件と して ひ び割れ曲線と降伏曲線の 2つ を材 端 モー
メ ン トと軸 方 向 力の応 力平面 （MN
平面）に おい て導入 す る。
この降伏曲線はi
コ ンク リー
トと 鉄 筋の累 加強 度式よ り求め た終局MN
曲線を放物 線で近似し た も の と し，
ひび割れ曲線は，
降 伏 曲 線と相 似な放 物 線と して設定する。
こ こ で， ひび割れ曲線の下 側は，通 常の ひび割れ状 態， すな わち，
引 張 縁コ ン クリー
トが引 張 強 度に達して引 張 力 を負担し なくな っ た状態を 想定し た もの である。 し か し，
ひ び割れ曲線の上側は，
便 宜上 ひび割れ曲 線と名 付 け て はい る が， 前述の ような通常言わ れて いる ひ び割れ 状 態 を扱っ てい るの では な く，
圧縮 力を負 担するコ ン ク リー
ト部 分の応 力・
ひずみ関 係の非 線 形 性に起 因する降 伏前の状態に お け る材端モー
メ ン トと材 端 曲 げ 接線 回 転角
，
軸 方 向 力と軸 方 向 相 対 変位の非 線 形 復 元 力特 性を二 折線で近似し た時に，
第二剛性の状 態に あ ること を意味 す る もの であ る。 ま た，
ひび割れ曲 線が降 伏 曲 線と相 似で ある とい う仮 定は， 次項3
）で述べ る よ う に， 柱 頭お よ び柱 脚の状態 と して，
弾性，
ひび割れ お よび降伏の 3つ の状態を設定 し た時に，
塑 性 論に従っ て仮定し た応 力点や 曲線の位置 関係，
剛 性お よ び曲線の移 動量 の算 定を行 う上で，
数 値 解析上非常に取 り扱いや す く，
かつ 短か い時 間で効率的 に演 算 処 理 出来る とい う利 点か ら採 用し たもの であ る。 つ ま り，
第一
折点に相 当 するひび割れ曲 線 と第二折点 に相当する降 伏曲線と が必 ずしも 曲げモー
メ ン ト・
軸方 向 力 平 面にお け る荷 重の 経 路で水 平お よ び斜め方 向とも 相 似で よいとい う判断か ら来たもの でない。し た がっ て，
と くに ひび割れ曲線の上側におい て は，
ひび割れ開始応 力点の絶 対 値を厳 密に問題 すべ きでな く ， む し ろ ひび割 れ後の剛性低 下率 を， 降 伏 時の変形が降 伏 応 力に対 応し て実 情に近い もの となる よ うに評 価 する こと が重 要な課 題とな る。
3） 柱 頭お よび柱 脚の状 態 として， 各々弾 性， ひび割 れ お よ び降 伏の 3つ を設 定 する。
こ の場 合，
弾 性 状 態で は， 応 力 点 （M ，N ）は， ひ び割れ 曲 線ノ＝
0の内にある と する。 ひび割れ状 態では， 応 力点はひび割れ曲 線 上に ある とし， ひび割れ曲 線は大き さと 形 を変えずに平 行 移 動するものと する。
降 伏 状 態で は， 応 力 点はひ び割れ曲 線およ び 降 伏 曲 線h
＝O
の 2曲 線 上にある ものとし、
こ の状 態で は両 曲 線は応 力 点で相 接して同 時に形 を変えず に平 行 移 動す るもの とす る。 上記の 弾 性，
t
ひび割れ お’
よ び降伏の 3っ の状 態 間の 相 互 の推移現象か ら，
ひび割れ曲線は降 伏 曲線の内部に あっ て降 伏曲線を 越 え ること が ない よ うに仮 定す ること が妥当であ る と考え ら れ る。
ま た， 降伏状態では， 本節 （4
）の式 （23
）に示す と お り，
全 変 位 増分 は弾性 変 位 増分，
ひび割れ塑 性変位 増分 お よ び降 伏 塑性 変位増分の 和と仮定する の で， 塑性論によ る硬化法則に従う と すれ ば，
応 力 点が両 曲 線 上に同 時に存 在す ること が妥当な仮 定 と な る。 以上 2つ の仮 定か ら，
降 伏状態では，
ひび割 れ お よ び降 伏の両曲線は応 力点で相 接す る とい う仮定が 妥当な もの と し て導か れ る。
4） 弾塑性 特 性は， 曲げモー
メ ン トに関 して は塑性関 節 理 論に よっ て，
柱 頭 （U端 ），
柱 脚 （D端 ）の材 端モー
メ ン トMu，
M。と材 端 曲 げ接 線 回転 角 θ．，
θ。 の関 係に お い て，
軸方向力に関し て は軸方向 力N と軸 方 向 相対変 位 ω の関 係に お い て考 慮する。
5） 1軸 応 力 下で の弾 塑 性 特 性 として，
2つ の 降 伏 曲 線の中心 を通る一
定 軸 力 逆 対称 曲 げモー
メ ン ト作 用 時に おい て，
M一
θ関 係が， 図一
4に示すよ ケに ， 正 負 点対 称の三折 線 型 特 性を有 する とする。
また，M ・
＝
Oの状 態 下で N一
ω 関 係が，
図一
5に示すよ うに，
圧 縮 側と引張 側で非 対 称 形の三折 線 型 特 性を有 する とする。こ の場 合，
後 述 する よ うに，
曲線の 中心 は N 軸に関し て対称な2 つ の放 物 線から成る閉 曲 線の 中 心 を もっ て定 義す る。 な お，
図一
4に示し たU
端とD
端で仮定す るM 一
θ関係は， 柱 頭お よ び柱脚の配 筋が異なる場合を想定し た もの であ る。 それらが逆 対 称 曲 げモー
メ ン トを 受 ける時の1
軸状 態で のM 一
θ関 係は，
文 献6
）の考え方に基づ き，
両 端 がいずれ も柱 頭また は柱 脚の配 筋と同一
の仮 想の 2ケー
スを考え， それぞ れ が逆 対 称の曲 げを受 ける時に想 定さ Mu．
M6 o θ泌 θ乱n・
KE （a ） U端 （b｝ D端 図一
4一
定 軸 力 逆 対 称 曲 げモー
メ ン ト作 用 時に仮 定 する M一
θ 関 係 N 〔圧 縮 力 ） ’v，
，
≡
N 嘉＋NJ 帳二’
v ‘・
一
蝶 1 ρ砥．
α
帆 鰯一
ω犀
y ω星
c卩
ヨ
「
「一
一
1
。爵i
・魂
κ 1ω
cご
1佃
「
．
m
閃
・
κ番＿
＿
＿
＿
」
＿
7
α「
評・
邸1 墜＾
・
＆†吟 或，
＿
。尹一
蝶＋ 四トー
／鴪．
い川 乏加ω
図一
5 中 心 圧 縮 力および 中心引 張 力 作 用時に仮 定す る N一
ε関 係 b b「
−
7
−
「
「
一 一一
「
D一
●一
‘【1−
●−
r‘
2−一
●一
〃3−
●一
摩：
十 α 1丑
・1D 図一
6 鉄 筋コ ンク リー
ト断 面と鉄 筋の配 置．
ゴ
覧，
．
v、
覡．
’
臧尸
へ’
1
十，
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．
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、．
1 、！
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」
1．
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A』7
四1
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b ” 剛 κ Q 「■
．
川，
M、
7
，ノ
！l
lll
レ1
闘T・
勘 1寺
鋼 ・．
畝 M 図一
7 無筋コ ンク リー
トと鉄 筋の耐 力 曲 線の累 加一
33
一
れ る
M 一
θ関 係 を もっ て仮 定し たもの である。 （2
） 初期降 伏 曲 線と初 期ひび割れ曲 線の設 定 図一6
に示す よ うに，
角フー
プとス パイラル フー
プの 併用に よ る せ ん断補強を さ れ た16本の主 筋 と 中央に8
本の芯 鉄 筋 を 有す るHi
RC
芯 筋柱】，を対 象に，
全 主 筋 を 5 段配筋とみ な して， 文 献7）に 示さ れて い るよ うに， 累 加 強 度 式に よ り終局MN
曲線を算 定す る と，
図一
7 の破線で示 し た曲線ABCDEFGHUVWX
と して求め ら れ る。 す な わ ち，
終 局 耐 力 曲 線 ABCDEFGHUVWX は， 鉄 筋の 耐 力 曲me
JKLPQR
の原点を無 筋 コ ン ク リー
トの 耐 力 曲 線SY 、
Z、
TZ，
Y，
0
上を一
周 さ せて包 絡 線を求め る ことによ り得られ る。
こ の場合， 終局耐力曲線は，
放 物 線SY
，Z，TZ，Y
，O
の 各 部 分と線分JK ，
KL，
LP，
PQ，
QR
を そ れ ぞ れ平 行 移 動し て得られる放 物 線 と線 分 を連 結さ せ た曲 線とな る。
こ こ に，
点 Y， ，Z、，
Z
、，
お よ びY，は， 放 物 線STO に おい て，
その 接 線の こ う 配が， 線 分JK
，
KL，
PQ お よ びQR
の こ う配にそ れ ぞ れ等 しくな る点で あ る。
初 期 降 伏 曲 線は，
曲 線ABCDEFGHUVWX
を1つ の 放 物 線AIX で近 似 し たもの と し，M
の 負側 もN
軸に 関し線 対 称 と して， 最 終 的に式 （2 ）， （3
）に示す よう に表 現す る。。
州 舞
1
・（
ハ1− NoNX
）
2＋ ・一 ・
…一
（・）M
議＝ cハJc・
1
）／8
十rM2，
N 監＝
c1Vc ／2一
トrNo ハら； cNc ／2 ， cハ厂c＝bDFt
F
告；
Fc（0．
85−
2．
5Pc），
rMt ＝ σy（atdi 十a2d ！）「
ハlo：
ay（2αL十2αt十al）………・
…・
……・
……・
一 ・
…
（3
） こ こ に，
δ：柱幅，D
：柱成Fc
：コ ンク リー
トの設 計 基準強 度 ρ。： コ ンク リー
ト断 面に対する圧 縮 側 鉄 筋 断 面 積の比 σy ：鉄 筋の降 伏 応 力 度 α 1，
at，
α 3 ：一
段 筋，
二段 筋および 三段 筋の断 面 積dl
，d
、：一
段 筋および二段 筋の重 心 間距 離 （図一
6） で ある。
な お， 式 （3 ）に おける F2 は， コ ン ク リー
ト の低 減 圧 縮 強 度で， 文 献8
）で は p。と し てコ ンクリー
ト断 面 積に対する圧 縮 側 鉄 骨の断 面 積の比 を用い てい る の に対 応し て，
こ こ で は圧縮 側の一
段 目の鉄 筋の断 面 積 （α1｝の比 〔α1／bl
））を用い たもので あ る。 ま た，
式 （2 ）で表さ れ る 降伏 曲線が，
実験 や 理 論式 で得られ る終局強 度に対して危 険 側の耐 力 評 価にな る恐 れ がある場 合に は， 式 （3 ）に お ける MX を 決 定す る た めの鉄 筋 部 分の純 曲 げ耐 力．
脇 を一
段 筋の断 面 積 （al＞ の み を考 慮 し，
次式で評 価する こと が考え られ る。
rM ：：
＝
ayald ，・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
tt…
一・
・
・
・
・
・
…
一
・
（4） 初 期ひび割れ 曲線は，
図一
3に示す よ うに， 初 期 降伏 曲 線に相 似で，
かつ中心を共 有する放 物 線と して次 式の一
34
一
ように設定する。
・
f
一
膿
1
・（
N−
NoN 翕）
’−
1−
・・
…・
・
…・
…
（・） こ こに，M
訂M 幕＝ N ；IN
翕＝
x ＞1 こ の場 合，
初 期ひび割れ曲 線は，
その下側に おい て，
次式で表さ れ る ひび割れ モー
メ ン トに近 似す るよ うに設 定 すること が望 ましい。
M ＝L8
v厩
『
・
Ze
十N ・
D
／6 ・
−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
…
（6 ）9） こ こ に， Z。 は鉄 筋考慮の断面係数で あ る。 初 期ひび割れ曲線の設定法の
一
例と して，
直 引 張 力を 作 用 さ せ た時の 引 張 応 力 度が0．
sVil に達し た時を もっ て ひ び割れ が生 じる よ うに定め た場 合のM
鼠，N
： を求 めると，
次 式の よ うにな る。
M
島＝M
議（ハlo十 〇．
5 V〆7
π』
・
Ac）／N 監・
………
（7）N
：＝
No十 〇．
5海
・
Ac こ こに，Ac
は柱の 等 価 断 面 積である。
式 （7 ＞で ひ び割れ曲線を設 定し た場 合に は，
直 引 張 力を
作用 さ せ た時の ひび割れ引 張 軸 力0．
5》π
A。は， 学会RC
基 準の式 （6
）で算 定し た時の 1．
8Vi
7Ac
に 対し約O．3
倍に 過少 評価し たことにな る。
しか し，
ひび 割れ曲 線の下 側 であ る 軸 方 向 力 N が0〈N 〈N。の範 囲 で式 （6
＞で算定し た ひ び割れモー
メ ン トに対して比 較 す る と，
柱の配筋状態で異な る が，
本 論 文 3章で取り上 げ た 芯 筋 柱 を対称 と し た場 合，
O．
75〜
1．
4倍の範 囲の値 と なっ てい る。
これ らの値は，
式 （6）に対する実 験 値 の ぱらつ き9） を考 慮す る と，
許 容でき る もの と考え ら れ る。
（3） ひび割れ条 件と降 伏 条 件 a） ひび割れ状 態で の塑 性 流れ則 と硬 化 則 柱頭お よ び柱 脚における ひび割れ状 態での部 材の力 学 的 性 質 が，
ひ び割れ曲 線の移 動に よ る硬 化に基づ くPrager
の硬 化 法 則s］ に従うとすれ ば，
ひび割れ塑 性 変 形 後の n ス テップで の ひび割れ条 件は，
次 式で表さ れ る。 甌ノ（reM，
nN ）＝
。f
（nllf一
π醒＆認一
冠V
言十No）＝
0…………・
…・
…・
・
・
………・
…
（8）こ の 場 合
，
♂（M，
N ）＝
0 は，
n ス テ ッ プの ひび割れ 曲 線で， 次 式で仮 定する。
nf （M
，
N）−
IM
譜
1
・（
N 一
冠V
ぎ 醐）
t−
1−
・・
・
一
・
777
・
・
一
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
一・
・
一・
・
…
（9） こ こ に，
1
。Ql
’＝
1
。M ，
認 ｝は．
n ス テッ プの材 端モー
メ ン ト と軸 方 向 力で あり，
｛πQ
詳＝
lne
， C，
認 ぎ｝は，
n ステッ プの ひび割れ曲線の中心であ る。
n ス テップでの部 材 端の ひび 割れ塑 性 変位 増 分｛d
πg 『 『＝
ld
．
θc，
d。
ωc｝が，
v、
Mises
の塑 性 流れ則］1 ｝に 従う と す れ ば， 部 材 端 応 力に お ける ひび割れ曲 線の外 向き法線 を む くベ ク トル と考え ら れ るの で，IdnqCI
’ は次 式で表 現 さ れ る。
N
。
プ＝
0。
−
1∫＝
o一一 ．
【
P陪
N一一 一一 一一
膠
一
匚P 丶。
一
【
N Q81・
一一一一
4どノR−
1乙厂
才
〆
14．
Q「’
1丶
、D
劇 ト i丶 14．
翻 1 《・
1。
一
正Q｝、
lI II、
丶1。
Q81剛
一
IM 誤4 図一
8 ひび割れ状態で のひ び割れ曲線の移動 M ｛dnqC
｝．・
d
ηλ cl ∂n＿
if ／∂n＿
iM，
∂n＿
lf／∂n＿
1ハ厂｝T ＝d
．λ cIn＿
，F
｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（10
） こ こに，dn
λC は 正の 実 数であ り，
1n
−
，FI
は （n− 1
）ス テ ップの ひび割れ曲線の外 向き法線ベ ク トル であ る。
’
こ こ で，
図一
8に示ず よ うに，
ひび割れ曲 線の 中心の 移 動 量の増 分ldnQ81
は，
ひび 割れ曲
線の中心 n．
、U
と応 力 点n．
iP を結ぶ方向に向か う と考え るZiegler
の修正 に よ るPrager
の移動 硬 化 則12）に従うとすれ ば，
｛d
。Q
：トd
。StCl。．
、Q
− 。
．
，Q
：｝………・
………・
・
（11） が 成 立す る。
こ こ で， d曜
‘
は正の実 数で ある。
部 材 断面に ひび割れ塑 性 変 形が起っ て い る間，
応 力 点 はひ び割れ曲 線 上にな けれ ばな らない の で，
ln
−
，FIT・
ldnQ
−
dnQe ｝＝
0・
…………・
・
……・
…
（12） が成 立す る。
式 （11） （12）か ら，dnSlc
は次 式で得 られ る。dvattC
＝
1
。．
iFI ’ld
。Ql
／ln
．
IF 円。．
iQ− 。
一
：Qgl
…
（13）b
） 降伏状 態での塑 性 流れ則 と 硬 化 則 n ステップでの降 伏 条 件 式 として，
ひび割れ状 態にお ける条 件 式と同 様の ものを，
ひび割れ曲線と降 伏曲線の 両 方に関して適 用すれば，
次式が成 立 する。綴黙
；
：
1
纏
二
蠶瀦
二
搾淵
：
1
｝
一・
・
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r…
r−・
・
・
・
・
…
（14 ） こ こ に， n ステッ プでの降 伏 曲線 を， 次 式で表 す。
．
h
（M
，N
）一
1
W
’
！
！
！
9
1
・（
ハ1−
nV ぎ ハ1
蒹）
2−
1−
・・
・
・
…
一…
−stt
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
…
（15） V．Mises
の塑性 流れ則を適 用す る と， 次 式が成 立す るQ1d πqCI＝dn
λ c1 ∂n−
1∫／∂跖
一
1ルf
，∂湾＿
L∫／∂π
＿
iN ｝『 ニdη
λ¢ 』一
lF ｝ト
ld
πq 讐＝d
πλ ’ ｛∂n＿
1 九／∂n＿
，M ，∂n＿
ih ／∂n＿
iN ド＝dn
λ’L
＿
，H ｝・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−t・
・
（16 ） ここ に，dn
λ’は 正の実数で あ り，1n
−
，HI
は （n−
1）ス テップでの 降 伏曲線の外 向き法線ベ グ トル で あ る。 降 伏 曲 線の 移動に 関してZiegler
の修 正 則 を 適 用し て，降 伏 曲 線の中 心の移 動 量の増 分 を 次の よ うに求める。ldnQ
ぎ1
＝
・
dntt
’．
ln
−
iQ−
n．
iQSt…・
・
………・
…・
・
《17）dnlt’
＝
ln
−
iHHdnQ ｝／ln
−
iH ｝ ’ ｛n−
tQ−
n−
iQ ぎ1
”・
（18） 式 （17 ）（18）に よ り降 伏 曲 線の中 心』翩 を求め， ひ び割れ曲線は応 力 点におい て降 伏 曲 線に内接 するという 条 件か ら，
ひび割れ曲線の 中心InQgl
＝
lnM
：，
nN81 が次 式 の よ うに求 め られ る。轍
二
撒
獻
ト
ー ・
・
…一 ・
・19 ・ こ こ に，
x はひび割れ曲線に対す る降 伏 曲 線の相 似比 で次 式で定 義 する。 x＝
＝
M 新／M 翕＝
fV孟／fV島＞1 （4） 増 分 構 成 方 程 式 a）4行 4列の柔 性 行 列を用いたつ り合い方 程 式 柱の増 分 荷 重に対 するつ り合い方程 式は，
まず式 （20 ） に示 す よ うに，
柱 頭，
柱 脚で の増 分 応 力1dQ
“，
ldQ
，i
，
増 分 変 位ldq
晟，
ldqM
に関す る4
行 4列の柔性 行列を 用 い て表現 し た ものと して誘 導す る。
鵬
巨
£
：
：
£
訓
謝
一
［D ］｛
謝
…・
…・
…・
・
…・
…・
…・
…・
・
……
（20
｝こ こ に
，
ldqJ
’＝
ld
θ。，
dt
・」，
ldqSi
’＝
ide
，
、．
d
姻な お， 本 項の増 分 応 力
，
増 分 変 位，
柔 性 行 列 等の表示 は，
n ス テッ プを想 定し たもので，
この場合添字と し て n が必 要で あるが，
本項で は表現 を簡 略化す る た め に，
添 字 n を すべて省 略し た。 増 分 材 端 変 位は，
状 態に応じて次のよ うに表現さ れ る。
1＞ 弾 性 状態跏
一
胤
・
…・
…・
…・
・
・
・
……・
……・
・
・… 2） ひび割れ状態隠
｝
一
鬧
・鬧
…・
・
………・
…
（22 ） 3） 降 伏 状態儲
H
號
Hl
謝
・ほ
；
鍋
…・
（・・）式 （20）に お ける柔性行 列
0
は，U
端お よ びD
端の 状 態の組み合わせ に応じて，
合計 9 種 類ある。 ．
U ，D
端 共 弾 性の場 合に は，1
）は次式で表 さ れる。；
：
二
二
鰍
搬
劉
・
・
・
・
・
…一
・
一
（・4・ こ こ に， DZ＝
1／K翕＝1
。／6EI，
。，
那＝
1／K
：＝1
．ノEA
。lc
：等 価 断 面2
次モー
メ ン ト，
lc
：材長A
。：等価 断 面 積，tN
：接 合 部パ ネル を含む伸 縮 有 効 長 材端が塑 性状態にある場 合の増 分っ り合い方 程 式の代 表 例 として，
両 端が降 伏 状 態にあ る場 合を以 下に誘 導す一
35
一
．
．
x．
u へ1．
A 』．
A をr．
N”
1’
Vu囗
一
’
Nv H−1tNt
n−，
κ。
．
Mu M・
，
−
1Mu．
Mlr （a） U端ひび割れ曲線 （b） D端 降 伏 曲線 図一
9 降 伏状態に おける部 材 端 応 力 とひ び割 れ 曲線， 降伏 曲 線 （柱 頭） る。 式 （16
）の塑 性 流れ則 より，
次 式が成 立す る。
dgsdqS
面 私dqC
ー
ー
o 凡o
鴟 （o
翡 oー
ー
＝
；d
λ言d
λEd
λ当d
λ影・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25）・
一一・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26） ひ び割れ 塑性 変 位 増 分Idg
『および降 伏 塑 性 変 位 増 分ldqV
｝に よ る部 材 端 応力の増分 を そ れ ぞ れidQC
｝お よ び 酬 と して次式で仮 定する。
旛
一［
KSu KV． K3vKS ．］
・
號
一 ［Rc
］1
霊
・
一
・
…
噛
9…
曁
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
…
（27）鬻
一
［
髭激 ］
慌
一
［knl
諺
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28 ） こ こ に，
［KC
］お よ び ［KY
］は，
各々 ひ び割れ状態お よ び降 伏状 態に おけるひずみ硬 化を表す剛性 行列で， これ らを構 成する要 素 行 列は すべて対 角 行 列であり，
本項b
） で剛性 低 下率 との関 係を 後 述 す る。
ま た，
式 （27）お よ び 式 （28
）で仮定し たldQ
‘ ｝お よび 酬 は，MN
応 力 平面に お け る塑 性 異 方性を考 慮し てお り， 図一
8お よ び 図一
9に示 す よ うに，
各々 ひび割れ曲 線と降伏 曲 線の応 力 点で の 外 向き法 線ベ ク トル の 方 向に向かうもの と す る。 降 伏 状 態で は，
図一
9に示す よ うに，
全 応力増分ldQI
を 次 式で仮 定 する。dQv
−
dQS
＋dQ
ε ．dQ
汚．
，
．
．
（29 ）dQS
dQ
；dQS
dQ
． こ こ に，
酬 は弾 性 変 位 増 分による応 力 増 分である。IdQel
，
ldQC
｝お よ び｝d
酬 に関 する図一
9に示す関 係か ら，
ldQe
＋d
酬 は，
♂＝
0の 応 力点で の法 線ベ ク トル に 直 交 するの で，
式 （25）〜
（29） を 用い て次 式 が 誘 導さ れ る。
［
7
銅
露
1
一
隴
：
騫
1
：
］
・
［
｛
；
”B
．］
麗
1
・
…・
…・
…
（・。） 同 様に， 図一
9に示す関 係か ら，ldQe
＋dQC
｝は，
nh ＝o
の応 力 点での法 線ベ ク トル に直交 するの で．
式 （25
）一
（29） を用い て次 式が誘 導 される 。く
ー
o 島 ア ァ ひ o 丑 u ∬0
現 o，ー
1
ー
dQvdQ
，d
λ当dNX
一
［
碍 ひ 瀦 o 醐 び κ 謬ひ］
＿ 0 ＿．
＿
（31）0
式 （30）お よび （31）を各々 dAS， dAS お よび Mvd
λ髫，
d
鳰 につ い て解 き，
式 （25），
〔26）か らldqcl
お よ びld
ゲ｝を求め，
次い で これらを式 （23） に代入 す れ ば，
降 伏 状態 にお け る増分つ り 合い方 程 式が式 （20
）の形で得ら れ る。b
）ひずみ硬 化 を表 す 剛 性 行 列［KC
］お よび［Ke
］ 式 （27 ＞， （28 ）に おける ひずみ硬 化を表す剛性 行 列 ［KC］，
［KS
］は， 本 節の （1 ）の5
）に述ぺ た1
軸応 力状 態下で のM 一
θ曲 線およびN一
ω の曲 線が，
それ ぞ れ 図一
4および図一
5に示す三折 線 型の復元力特 性を示す よ うに仮定 する。 こ こ で，M 一
θ曲 線におけ る ひび 割れ状 態で の弾 性剛性に対す る剛 性 低 下 率 磁，
昭 は，U
端お よびD
端でそ れ ぞ れ 異 な る 値 を仮定できるもの と する。
N一
ω 曲線に おける ひび割れ状態で の弾性 剛 性に対 する 剛 性 低 下 率 轟， aX は，
d
ω C が 正 （圧縮 ）の場 合と負 （引 張）の場 合とで異な る値 を仮 定す る。
ま た，
降伏 状 態で の弾 性 剛 性に対する剛 性 低下率 p は，M 一
θ曲線お よ びN 一
ω 曲 線 と も，U
端，
D
端におい て同一
と す る。 aM およ び αN は，
n ス テップにお け る 応 力点の ひ び割 れ曲wa
if
＝
0上の位置に応じて次式に示すよ うに定め る。
・− N
島十 雇V
ぎ≦ nN 〈nlV ：の と き M＿
甜 ”＿
tN α一
α ， a−
a。
nN ぎ≦nN ≦N 姦十nlV ： aM＝
（αSN一
αtM）｛（認一
n！v：）／N
鼠｝ ： 十atM こ こ に，
aSM ＞αtH とする。 N＿
CN a−
a…
（32
） な お，
上 記の 剛 性 低 下 率におい て a” は，
応 力点がひ び割れ曲 線の下側にあ る時は，
通 常の 曲げひび割れ後の 剛 性 低下 を想 定し一
定値と す る。 応力点がひび割れ曲 線 の上 側にある時は， コ ン ク リー
トの圧縮応力 領域の大き さカN
に依 存す ること を勘案し，
αM は 認 の 2次 式で 増 加さ せ る型 式と し た。 これ ら の ♂，
ゴ は，
実 験結果に基づい て定めるべ き もの で，
今後 実験 解 析 を 重 ね ることに より適正な評価 式 を確率すべ き も のであ る が，
こ こ で は とりあえず 式 （32） によっ て仮 定し た。
こ の よ うに し て，
［KC
］，
［K
判は，
柱 頭 お よ び 柱 脚 の 状 態に よ り， 剛 性 低 下 率 aM， aN，
ρが決 定さ れ れば，
弾 性を除く8
つ の状態ご とに各々設 定 することができる。 c）3
行 3列の 柔性行 列へ の縮 約と せ ん断 変 形の導 入 柱には中 間荷重が作 用し ない こと，
柱の材 軸 方 向の軸 ひずみ 分布が線形であ るこ と を仮 定す れ ば，
次 式を得る。一
36
一
dNu
＝dN
．＝d1V
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（33 ）d
ω一
（d
ω u＋d
ω。）／2 せ ん断 変 形は材 軸 方 向に7 定と し， その増分 をd7c
と お く と， 式 （．
1 ）で の dθ． ， dθ。は， 次式で表され る。d
θり＝d
θレ十己γ： dθP；
de．一
トd7c・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34）d7c＝
（dMv
十dMo
）／GAsclc 式 （33
）（34
）を用 い て，
式 （20
）に おけるld
θ．，
鵡，、
d
ω 。，dtUpl
とIdMv
，
dM
．，
dNu，
dNM
を結ぶ 柔 性 行 列 ［D］ か らld
θ，，
d
θ。，
d
爾とldM
σ，
dM
．，
d
酬 を結ぶ柔 性 行 列 ［Dc
］が両 材端の状態ご と に次の ように求め ら れ る。 こ の柔 性 行 列 ［Dc
］の逆 行 列 をと るこ とに より，
式 （1 ） に示 し＃柱の局 所座標系にお け る 剛 性行列 ［kC
］が求め られ る。
d
θ，d
θ， dω 一［
翻
憐
樹欝
・
・
・
・
・
…
．
・
・
一・
一・
・
…
一・
・
・
・
・
…
（35 ） ［Dc
］の 要素 E，
b，
i，
？，
∫，
歹は，
両 材 端の 状 態9種 類に応じて次の よ うにな る。
こ の場 合，U
端，
D
端の応 力点で の ひび割れ曲線お よ び降 伏 曲線の法 線ベ ク トル を 以 下の よ うに表 現して いる。 鰐＝1
α ，．
嚇F5
＝ ｛α、，
cbiH
畧 ＝leu
，
9瀦，
HS
＝le
’
D，
gbl 1）U
端， D端と も弾性 互F2Dfi 十D
詈，b＝− D
島十D
詈b ＝O
， 万＝2D
螽十D
詈・
／＝0
， 歹＝
D 多 こ こ に，
………
（36
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（37
）D9
＝1
／（；Asclc
Asc
：せ ん断 断 面 積………
（38） 2 ＞．U
端ひ び割れ，
D
端弾性 石＝
＝
2DZ
十D
ぎ十α彭K
勧，
b
＝− D
名十D9
万＝ ＝auCu ／2 KSu，
百；2P
島十P
ぎ ノ；
0， 歹＝
D多十 c忌／2KSu…
（39） こ こに，
K
忘u＝ 2α急αぢκ島／3（1−
aY〕十 c急α害κ欝／（1−
a粉匸
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（40 ）3
）U
端降伏，D
端弾性 互；2D
翕十D
詈十α急／κ翫 十θ急／κ呂ub
＝− D
雋十D
窒 で＝
auCv／2κ言ひ十．
eugu／2κ翫 ？＝2D
雋十D
羣，
f
； O 歹＝1
）冨十 c右／2KSv 十g診／2κ移u・
・
…
一・
・
（41） こ こ に，
K玩は式 （40 ）に，
K翫は次 式のとお り．
である。K
書び＝2e
レa甞・
ρ・
KZ
／3（αV
−
p） 十9
急・
a謬・
ρ・
K
＃／（α彩一
ρ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
《42
） 4）．U
端 弾 性，D
端ひび割れd ＝2D
雋十D
窰，b＝− D
昌十D
鬘i ＝0
，．
？＝2D
翁十D
ぎ十aちノKS
．・
・
…
（43 ） ∫＝ aoCp／2
K
忘o，
歹＝ D得十 cち／2 KS ， こ こに，KS
，＝2
（蔓螽・
α労・
K
雋／3 （1−
a摎） 十 cち馬α窒・
Kfi
／（1一
α；）・
…
一・
…
一・
・
・
・
・
…
（44｝ 5）U
端，D
端と も ひび 割れ 石＝
2D 島十D詈十abKSD ／Tc
δ＝−
D島十D詈一
α v α DK eUD／ Tc i＝
（a。c、KS广 α。c。κ言。）／2
T
， 百＝
2D 島十D
詈十aBKSv ／Tcf
＝
（−
aDCvK CVD十αDCpK 筈u）／2 Tc 歹＝1
）得十（cちKSD
十 cちK6
σ一
2 c，CoKS ．）／2
：「c・
・
・
・
・
…
（45） こ こ に，
i
「c＝KEu．
K
呂P−
（KSo
）2・
・
・
・
・
…
r・
・
…
▼
・
・
・
・
・
・
・
・
…
P・
（46）KSv，
KS
。，KS
，は， ar と 鍔の大 小で以 下の よ うにな る。
・
媚≧ a盤の と き κ5u
＝ α言・
K
雋1
αV
／2
（1一
α｛f
）十 aX／6
（1−
a9 ）｝ 十 cb・
α弼・
K得／（1−
a粉KS
、i2 αB
・
a謬・
K名／3
（1一
α摎）＋ cSa 暮K爵／（1一
α扮 κ乞P＝
α v α DarK 島／3（1一
αM
・
一
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（47） ・岾くaV の と き κ乞u＝2
α訪・
αr
・
KZ
／3
（1一
α停） ＋cレa男・
K
得／（1一
α扮KS
，＝ α孟・
K
島la
筈／6
（1一
α督）十α摎／2
（1−
a舒）｝ 十 cB’
a 鍔・
K2
／（1−
a扮KS
。＝ αvαoaVK 爵／3
（1−
aX ）…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
…
（48）6
）U
端降 伏，D
端ひ び割れ マ万＝21
）爵十D
望十α言κ呂ρ／Tc
十θ急／κ彰ub
＝−
D雋＋D鬘一
αゲα。K各DIT。
i
＝
（auCuKSn−
auCoKSD ）ノ2 Tc十eugv／2κ翫万
＝
21）昌十D
窒十αちκ筋／Tc
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（一
αpcσκ名〇十αoc卩κ害ひ）／2
Tc
9
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）：＋（c譲 呂。＋ cbKS 、− 2
c。c。κ 名。）／2T。
十9 乞／2
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（49） こ こ に，
Tcは式 （46＞に，
KEv，
KS
．，
κ恥は式 （48） に，
κ翫は式 （42）に各々示 すと お りである。
7） U端 弾 性，
D端 降 伏 五＝
2D 怠十D誓，
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D雋十Dξi ＝o
， ？＝2D
雋十D
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十 eち／K
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…
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…
（
50
） こ こ に，
KS． は式 （44）に，
Klp は次 式の とお りであ一
37
一
応力の算定
