一次関数

第２学年〇組 数学科学習指導案 １．単元 「一次関数」 ２．指導観 ○小学校算数科では、変化の様子を表や式、折れ線グラフを用いて表したり、変化の特徴を読み取った り、ともなって変わる２つの数量などの関係に着目し変化や対応の特徴を考察したりして、比例・反比 例の関係について学習してきている。さらに、中学校第１学年では、これらの学習の上に立って、具体 的な事象から、ともなって変わる２つの数量を取り出して、その変化や対応に着目し、関数関係の意味 を理解し、比例・反比例を関数として捉え直している。 本単元では、第１学年と同様に具体的な事象における２つの数量の変化や対応を調べることを通し て、一次関数を理解できるようにする。具体的な事象の中から関数関係を見いだし、表・式・グラフを 相互に関連付けながら特徴を捉え考察する力を養う。一次関数の活用については、一次関数を用いて具 体的な事象を捉え説明するために、表・式・グラフを用いて考察したり、観察や実験の結果を一次関数 と見なすことによって、未知の状況を予測したりできることのよさを実感する。その際、判断の根拠や 理由を説明できるようにすることも大切である。 このように、日常生活の事象を、数学的な表現を用いて処理したり、相互に関連付けて考察したりす ることによって、現実の世界における数量の関係を、数学の世界において考察することができる。この ように、様々な事象の中に潜む関係や法則を数理的に捉え、数学的な表現を用いて考察し処理すること は、数学の学習をする上で大変意義深い。 ○本学級の生徒は、男子〇名、女子〇名の合計〇人学級である。教科の意識調査アンケートを取ると、 「数学の授業は好き・楽しい、どちらかといえば好き・楽しい」と答えた生徒は〇％、「数学の授業や 勉強をしているときに達成感や楽しさを感じることがある、どちらかといえばある」と答えた生徒が 〇％と数学に意欲的な生徒が多く、「数学を学ぶことでつく力は将来役に立つと思う」と答えた生徒は 〇％である。また、「難しい課題に直面したとき、どのように解決していくか」という問に対して「ど うしても分からないときは友達や先生の手を借りる」と回答した生徒が多数である。しかし、比例・反 比例のテストを実施したところ、式を作る問題の正答率は約〇％、式からグラフを書いたりグラフから 式を読み取ったり問題の正答率は約〇％、活用問題は約〇％の正答率であった。 また、学級には自己肯定感が低い生徒が少なからずおり、自分の考えや思いを進んで発表することを 恥ずかしがるなど、学習に対する意欲がわかない生徒が数人いる。 以上のことから、数学は好きだが、比例・反比例は十分に定着できておらず、問題場面から数量の関 係を見つけ式にすることや活用問題に対する苦手意識を持った生徒が多い。さらに、人前で自分の発表 することが苦手な生徒がいる。「どうしても分からないときは友達や先生の手を借りる」という生徒が 多いことから、周りの友達と考えを確認したり班活動を取り入れたりしていきながら、生徒同士で考え を共有し教え合う場面を設定する必要があると考える。そのことで自分の意見に自信を持たせ発表す る場面を設定し、自己肯定感を高める事ができる授業を展開する必要があると考えられる。

○そこで、本単元の指導にあたっては、一次関数の特徴を表・式・グラフで捉えさせるとともに、それ らを関連付けて考えることで、一次関数の理解を深めさせたい。 ・一次においては、一次関数の学習に見通しをもつことができるように、水そうに水を入れる時間と水 面の高さの具体例を通して、比例する部分と定数の部分との和の形になっていることに気づかせ、一 次関数を定義する。 ・二次においては、水そうの問題をもとにして一次関数のグラフと、一次関数と方程式の関係について 考える。 ・三次においては、一次関数を利用して解決することのよさや一次関数とみなして考えることのよさ を実感することができるように、具体的な場面の問題を扱う。また、考えた理由を説明することがで きるように、ペアやグループで学び合う場を設定する。 ３．単元目標 ・一次関数について、表・式・グラフを用いて考えようとしている。 【関心・意欲・態度】 ・一次関数について理解し、与えられた事象を一次関数と見て考察することができる。【知識・理解】 ・一次関数の特徴を理解し、一次関数のグラフを書いたり、与えられた直線の式を求められたりできる ようにする。 【数学的な技能】 ・一次関数として捉えられる２つの数量について、変化や対応の特徴を見いだし、表・式・グラフを 相互に関連付けて考察し表現できるようにする。 【数学的な見方や考え方】 ・一次関数を用いて具体的な事象を捉え考察し表現できるようにする。 【数学的な見方や考え方】

４．単元指導計画（１７時間） 次 学習活動・内容 指導上の留意点 時 一 1．関数、一次関数の意味を知る。 (1)水そうに水を入れる時間と水面の高さの具 体例を通して、一次関数を定義する。 ・一次関数はy = ax b ( a,bは定数)で表され る。 (2) 一次関数で表される身の回りの具体例を 考える。 ・生徒が理解しやすいように、1 年生で既に学 習した比例について振り返らせる。 ・比例との関係を比較させる。 １ 二 1．一次関数のグラフについて考える。 (1) 一次関数の変化の割合を定義する。 (2) 傾き、切片の意味を理解する。 (3) 一次関数のグラフを書く。 ・切片と傾きを利用したグラフの書き方 (4) 一次関数の式を求める。 ・グラフの切片と傾きを読み取り、一次関数の 式を求める。 ・傾きと 1 点の座標、2 点の座標から一次関数 の式を求める。 2．一次関数と方程式との関係について考える。 (1) 二元一次方程式の解をグラフで表す。 (2) 連立方程式の解とグラフの関係について 考える。 ・変化の割合が一定でない関数、反比例を取 り上げる。 ・変化の割合が、グラフの傾きになることを 理解させる。 ・一次関数の式の傾きが正ならばグラフは右 上がり、傾きが負ならばグラフは右下がりに なることを、問題を解いていくなかで何度も 確認させる。 ・切片からx 軸方向、y 軸方向にそれぞれどれ だけ変化したかを確認させる。 ・グラフの直線が右上がりならば傾きが正、 右下がりならば傾きが負になることを、常に 確認させる。 ・求めた式の傾きと切片が、グラフの傾きと 切片がある程度一致しているかどうかを確認 させる。 ・方程式のグラフを書くことができるよう に、等式の変形の復習をする。 ・𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 ･･･①、𝑎′𝑥+𝑏′𝑦=𝑐′ ･･･② の解を、連立方程式を用いて求めさせ、直 線①、②のグラフを書くことで、この連立 方程式の解はグラフの交点の座標と一致す ることに気づかせる。 11 三 本 時 ５ ／ ５ 1．一次関数を利用して身近な事象をの問題を 解決する。 ・バネにおもりをつるす問題 ・道のり、速さ、時間の問題 ・図形における動点の問題 ・携帯電話の料金プランの問題 ・ハイブリッド車とガソリン車の比較の問題 ・生徒の興味・関心を高め、具体的な事象を 数学化することができるように、写真や ICT を活用する。 ５

5．本時 (1) 令和 2 年〇月〇日 第〇校時 体育館アリーナ (2) 本時の指導観 前時までに生徒は、一次関数の式を求めたり、表やグラフをもとに変化や対応の様子を調べ、その特 徴を捉えたり、活用場面として様々な問題に取り組んだりしている。そこで本時は、ガソリン車とハイ ブリッド車の総費用と使用年数の関係を比較する問題に取り組ませる。総費用と使用年数の関係を関数 関係とみなして問題を解決する見通しをもつことができるように、条件を提示し、表・式・グラフのど れを用いて解決しようとしているかを把握する。また、自力解決できるように、1 年間当たりのガソリ ン代を考えさせたり、小集団で交流したりする活動を設定する。次に、ガソリン車とハイブリッド車の、 使用年数と総費用との関係式をつくりグラフにかくことで、２直線の交点の座標と連立方程式の解が一 致し、その横軸(x 軸)の解が、ハイブリッド車の方がお得になるときであることに気づかせる。最後に、 一次関数のグラフを使うことのよさをまとめさせる。 (3) 主眼 ガソリン車とハイブリッド車の総費用と使用年数の関係を、関数とみなして問題を解決することを通 して、一次関数についての理解を深めさせる。 (4) 準備 学習プリント、パソコン、スクリーン、プロジェクター、ホワイトボード、掲示物 (5) 本時の学習過程 学習活動・内容 指導上の留意点・てだて 学習 形態 配時 導 入 【目標設定】 １ これまで学習してきた一次関 数の式やグラフを復習する。 ２ 本時の場面設定、課題を確認 する。 ３ 本時のめあてを確認する。 ４ 見通しを持つ。 ・表、式、グラフを使う。 ・年数と総費用の関係を考える。 ○身近な先生の出来事を課題として設定し、 実際にこすった車の写真を見せることで興 味を持たせる。 全体 3 分 5 分 2 分 購入したハイブリッド車が、いつお得になる（なった）のかを考えよう。 【課題】 隈本さんの現在の愛車はハイブリッド車です。 購入から 1 年 9 ヶ月が経った現在、お得にな っているだろうか？ また、お得になるのはいつと言えるだろうか？

［式］ ガソリン車･･･ y =12 x +200 ハイブリッド車･･･ y =6x +250 ［生徒の発表例］ ・ハイブリッド車がお得になるのは、8 年 4 ヶ月後である。 ・グラフの交点の座標が、ハイブリッド 車がお得になるポイントである。 ・交点の座標は、2 直線を連立方程式に して解くことで求められる。 ［振り返り］ ・一次関数とみなして考える ことで、先のことを予想できた り大体のことが分かったりし て、今後の対策や判断の材料に 活用する事ができると思った。 ・ガソリン車とハイブリッド車 の 1 年間のガソリン代を、それ ぞれ考える。 ・購入から約何年後に、ハイブリ ッド車の総費用がガソリン車 の総費用より安くなるかを予 想する。 ○13,000(km)÷13(km/L)＝1,000(L) 13,000(km)÷26(km/L)＝500(L) で 1 年間の使用燃料であることを確認する ことで、1 年間のガソリン代を考えやすく する。 展 開 【挑む】 ５ 課題に取り組む。 ①ガソリン車の使用年数と総費 用との関係式をつくり、グラフ を書く。 ②ハイブリッド車の使用年数と 総費用との関係式をつくり、グ ラフを書く。 ③「お得になるのはいつか」を、 表・式・グラフのいずれかを使 って説明する。 ④各班で話し合ったことを全体 で発表する。 ６ 本時のまとめをする。 ○切片と傾きを確認する。 ○班員全員が理解できるように、お互いに教 え合わせる。 ○「現時点でお得と言えるのか」、「お得に なるのはいつか」の 2 点で整理させる。 ○お得になる方が変わるポイントに気づくこ とができるように、グラフのどこがそのポ イントなのか、式ではどう求められるかを 確認する。 ○より分かりやすい説明に気づくことができ るように、不十分な説明にとどまっている 班から意図的に発表させる。 ○まとめを考えることが苦手な生徒も整理で きるように、まとめを空欄式にする。 個人 ↓ 全体 個人 ↓ 小集団 ↓ 全体 個人 ↓ 全体 10 分 20 分 5 分 終 末 【振り返る】 ７ 自己評価を行う。 ・学習を通して分かったこと、理 解できなかったこと、疑問に思っ たことを書く。 ○理解度が高い生徒のために、学習プリント に、条件変更した追加課題を載せ、一次関 数のグラフを使うことで大体のことが予測 できる点に気づかせる。 個人 5 分 ・ガソリン車とハイブリッド車の総費用と使用年数の関係をグラフに表すことで、使用 年数の応じた総費用を比べることができた。 ・総費用の安さの関係が変わる年数は、グラフの交点の座標を求めることで分かる。 〈評価基準〉 【関心・意欲・態度】 課題に対して、相手に根拠を持って説明できるよ うに、グラフを用いて場面。 【知識・理解】 問題の解決を通して、事象を一次関数とみなすこ とができることを理解している 【数学的な見方・考え方】 事象を一次関数とみなして考察し、問題を解決 し、それぞれの場面を説明することができる。

隈本さん：新しい車を買いに来ました。ハイブリッド車の購入を考えています。 ハイブリッド車は燃費がよくガソリン代が高くないし、静かなので魅力的です。 でも、ガソリン車の購入費が 200 万円、ハイブリッド車は購入費が 250 万円、 ガソリン車の方が、購入費が安いのでどうしようかと悩んでいます。 店員さん：ハイブリッド車の購入費は高いですが、燃費(ガソリン１Ｌで走れる距離)がいいので、年間走行 距離が多いならば、ハイブリッド車の方が将来的にはお得です。 隈本さんは勤務先が家から遠くなる可能性があるのですね。 それならばハイブリッド車の方が、将来的にはお得になるでしょう。 【課題】 隈本さんの現在の愛車はハイブリッド車です。 ハイブリッド車を購入する際、購入店舗の店員さんからは、このような説明がありました。 購入から 1 年 9 ヶ月が経った現在、お得になっているだろうか？ また、お得になるのはいつと言えるだろうか？ 〈見通し〉

・

（ ）

、

（ ）

、

（ ）を使って考える

・

（ ）と（ ）の関係を考える

・予想・・・

（ ）年くらい

めあて

【班で協力して考えよう！！】 （問 1）ハイブリッド車とガソリン車の、1 年間のガソリン代を、下の表に書き入れなさい。 ガソリン車 ハイブリッド車 購入時にかかった費用 200 万円 250 万円 燃費 (ガソリン１Ｌで走れる距離) 13ｋｍ/L 26ｋｍ/L 1 年間の走行距離 13,000ｋｍ 13,000ｋｍ 1 年間のガソリン代 （１Ｌあたり 120 円） 万円 万円 （問 2）ハイブリッド車・ガソリン車を x 年間使用したときの総費用(ガソリン代＋購入時にかかった費 用)を y 万円として、y を x の式で表し、グラフも書きなさい。

（式） ガソリン車 ：

y = x +

ハイブリッド車 ：

y = x +

（グラフ）

（ ）

（ ）

○自己評価 学習内容の理解度・・・ 意欲的に取り組めた・・・ 分かったこと できたこと 難しかったこと 理解できなかったこと 疑問に思ったこと ～追加課題（条件変更）～ （問）①～③において、お得になる時期はどうなるだろうか。 ①年間走行距離が増える （ ） ②１Ｌあたりのガソリン代が高くなる （ ） ③１Ｌあたりのガソリン代が安くなる （ ）

まとめ

①ガソリン車とハイブリッド車の（ ）と（ ）の関係を

（ ）に表すことで、

（ ）に応じた（ ）を比べ

ることができた。

②総費用の安さの関係が変わる年数は、グラフの（ ）を求めることで

分かる。