２年３組 数学科学習指導案 １ 単元名 「一次関数」 ２ 単元について （１）単元観 数学の学習において、いろいろな事象の中にある関係や法則を数理的にとらえ、考察し処理して いくことは大切なねらいである。そのため、中学校での関数の学習では、事象の中にあるともなっ て変わる２つの数量の変化や対応に着目して、関数的な表現や処理の仕方について学び、関数的な 見方や考え方を伸ばすことが必要とされる。関数は本来、ある情報をもとに未来を予測するために 考えられたものであり、それによって時速４０ｋｍで走り続ければ、目的地まであと何時間で到着 するとか、風呂にお湯を入れる時間をその場にいなくてもおおよそ見当がつく、あるいは桜の開花 予想など日常でも意識することなく経験しているはずである。このように、これから先の事象を見 通す学習であることを強調すれば、生徒にとっても興味深く学習していける教材であると考えられ る。関数の指導で大切なことは、自分がとらえようとする事柄を、すでにわかっている事柄、ある いはよりとらえやすい事柄に置き換えて考えることができることを理解させることである。これは 問題解決における活動の中には必ず含まれていることであり、「関数」の章だけで扱うものではない が、ここではそれを「関数」として整理し、意識化していく。 小学校では、ともなって変わる２つの数量の関係については、低学年からいろいろな場面で学習 してきている。たとえば、２年生での九九の構成で、乗数と積の関係は比例関係にあるが、乗法の きまりということで取り扱われてきている。４年生においては「２つの変わる量」で、ともなって 変わる２つの数量を表に表し、５年生では、面積や体積の公式などの簡単な式で表すことができる 関係について、式から変化や対応の仕方の特徴を調べている。そして６年生では、比例の意味を理 解し、簡単な場合、表やグラフでその特徴を調べるという学習を進めている。さらに中学１年では 具体的な事象における２つの数量の変化や対応を調べ、比例・反比例の関係について学習した。そ こでは、変数と変域や座標について理解するとともに比例・反比例の関係を表・式・グラフなどで 表し、それらの特徴について学んだ。中学２年では、既習内容をもとに、比例関係の発展的な内容 である一次関数について考察していく。一次関数の一番の特徴は、変化の割合が常に一定の値とな り、グラフで表した場合に直線になることである。「変化の割合」や「グラフのかき方」の指導は、 その本質に関わる部分であり、特に丁寧に指導していく必要がある。しかし、その求め方や表現・ 処理ばかりが生徒の印象に残り、具体的な事象の中での意味や表・式・グラフの関連性、また式化 することの有用性などが見失われてしまう可能性もある。そこで前述したように、それらを、未知 の事柄について予測したり、より考えやすいものに置き換えて解決しようとする有用性、便利性を 感じさせながら課題に取り組ませたい。 （２）生徒の実態 （略） （３）指導観 「一次関数の利用」では、①日常生活の中に一次関数を見出し、関数式や表・グラフを利用して問 題を解決する、②実験・実測によって得た数値の変化を調べて、２つの数量の関係を求めて問題を解 決する、の２つの学習内容が考えられる。これらの学習を通して関数的なものの見方・考え方やその 処理の仕方を学び、問題解決能力を育んでいく。関数関係についての理解を深め、実生活に活用する
力は、主体的に問題を解決するための基盤となるものである。体験的な活動や表・式・グラフを相互 に関連づけたりする活動を多く取り入れながら、授業を進めていくことが大切であり、それが新学習 指導要領にある数学的な活動を通した数学の楽しさ、良さにつながると考える。 ３ 単元の目標 （１）さまざまな事象を一次関数としてとらえたり、表・式・グラフなどで表したりするなど、数 学的に考え、表現することに関心を持ち、意欲的に問題の解決に活用して考えようとしている （数学への関心・意欲・態度） （２）一次関数の特徴を、表・式・グラフを相互に関連づけて考察したり、それを説明したりする ことができる。 （数学的な見方や考え方） （３）一次関数の特徴を、表・式・グラフを用いて的確に表現したり、数学的に処理することがで きる。また、二元一次方程式を関数関係を表す式とみてグラフに表したりすることができる。 （数学的な表現・処理） （４）日常の事象の中には一次関数としてとらえられるものがあることや一次関数の変化の特徴を 表・式・グラフから理解することができる。 （数量や図形などについての知識・理解） ４ 単元の観点別評価規準 評価の観点 評価規準 数学への関心 ・意欲・態度 ・具体的な事象の中にある2 つの数量に関心を持ち、観察、実験等を通して一次関 数を調べようとする。 ・一次関数に関心を持ち、表・式・グラフ等を用いてその特徴を調べようとする。 ・一次関数が実生活に深く関わっていることに気づき、問題の解決に活用とする。 ・二元一次方程式を２つの変数の関数関係ととらえられることに気づき、一次関数 と関連づけて考察しようとする。 数 学 的 な 見 方 や考え方 ・具体的な事象の中にある２つの数量を取り出し、それらの間の変化や対応の関係 に着目して調べ考察し、一次関数によってとらえられるものがあることに気づ く。 ・一次関数の特徴を表・式・グラフなどを用いて考察することができる。 ・具体的な事象を一次関数を用いて考察し、その結果が適切であるか振り返って考 えることができる。 ・一次関数と二元一次方程式との関係を用いて、方程式の解の意味などを考察する ことができる。 数学的な 表現・処理 ・一次関数の関係を式で表すことができる。 ・一次関数の関係を表・式・グラフなどで表したり、その特徴を読み取ったりする ことができる。 ・一次関数の変化の割合を求めることができる。 ・一次関数の表・式・グラフなどを用いて、具体的な事象を表現したり、処理した りすることができる。 ・二次方程式の解を座標平面上に表すことができ、連立二元一次方程式の解を二直 線の交点の座標として求めることができる。
数量・図形につ いての知識・理 解 ・関数や関数関係、一次関数の意味を理解している。 ・一次関数の変化の様子、グラフの形、
y
ax
b
の意味、変化の割合の意味など 一次関数の特徴を理解している。 ・一次関数をどのような場面でどのように用いるのか理解している。 ・一次関数を用いることで、事象を考察したり、予測したりすることができること を理解している。 ・一次関数と二元一次方程式の関係を理解している。 ・、連立二元一次方程式の解は座標平面上の二直線の交点の座標であることを理解 している。 ５ 単元の指導と評価計画（１８時間） 節 項 時 学習活動 評価項目・方法 １ 一 次 関 数 と グ ラ フ 一 次 関 数 １ ・ ２ ・関数、一次関数の意味を理 解し、身の回りの事象の中 から一次関数を見出すこと ができる。 【関心・意欲・態度】 身の回りの事象の中から、関数や一次関数と見られ るものを見つけようとし、表現しようとする。（発 表・ワークシート） 【知識・理解】 関数、一次関数の意味などを理解している。 （ワークシート） 一 次 関 数 の 値 の 変 化 ３ ・一次関数の値の変化を考察 し、変化の割合について理 解する。 【見方・考え方】 一次関数y
ax
b
で、変化の割合は一定で傾きa
に等しいことがわかる。（ワークシート・ノート） 一 次 関 数 の グ ラ フ ４ ・ ５ ・ ６ ・一次関数のグラフの特徴 を理解し、一次関数のグラフ をかく 【関心・意欲・態度】 比例のグラフをもとにして一次関数をグラフに表そ うとし、グラフの特徴を明らかにすることなどに意 欲的に取り組もうとする。（発表・ノート） 【表現・処理】 一次関数のグラフをかくことができる。（ワークシー ト） 【知識・理解】 一次関数のグラフの傾きと切片の意味やグラフの特 徴などを理解している。（ワークシート） 一 次 関 数 の 式 ７ ・ ８ ・ ９ ・一次関数のグラフからそ の関数の式を求める。 【表現・処理】 一次関数の式を、グラフ、傾きと１点の座標、 2 点の座標から、それぞれ求めることができる。（発 表・ワークシート） 【見方・考え方】 一次関数のグラフで、傾き、切片、通る点のうちいを 求 め る こ と くつかがわかるとその関数の式を求めることができ ることに気づく。（ワークシート・ノート） 【知識・理解】 一次関数の式を与えられた条件によって効率よく求 める方法を理解している。 （発表・ワークシート） ２ 一 次 関 数 と 方 程 式 方 程 式 と グ ラ フ 10 ・二元一次方程式のグラフに ついて理解し、そのグラフ をかく 【知識・理解】 二元一次方程式
ax
by
c
のグラフの意味とそのか き方を理解している。（ワークシート・ノート） 連 立 方 程 式 と グ ラ フ 11 ・ 12 ・連立方程式の解とグラフの 関係を理解し、2 直線の交 点を求める。 【表現・処理】 連立方程式の解が 2 直線の交点の座標であることを 理解し、交点の座標を求めることができる。（ノー ト・ワークシート） ３ 一 次 関 数 の 利 用 一 次 関 数 の 利 用 13 ・ 14 ・ 15 本 時 ・事象の中から一次関数を見 いだし、一次関数を利用し て問題を解決する。 【関心・意欲・態度】 事象の中には一次関数と見ることができるものがあ ることに気づき、それらを 一次関数を用いて解決 しようとする。（ワークシート・発表） 【表現・処理】 事象を、一次関数の表・式・グラフを用いて表現し たり、処理したりすることができる。（ワークシー ト・ノート） 【見方・考え方】 事象を一次関数と見て考察することで、問題を解決 することができる。（ワークシート・ノート） 章 末 ま と め 16 基本の確かめ 17 18 章末問題 単元テスト ６ 本時の指導 （15／18 時間） (１) 主題 一次関数の利用「日常生活との関わりの場面で」 (２) 目標 ・グラフをもとに事象の考察を行うことができるようにする。（数学的な見方や考え方） (３) 観点別評価項目 ① 事象における意味や数量を問題文からではなく，グラフから読み取る。 （数学的な知識・理解） ② 与えられた問題文やグラフを，新たな事象の考察に活用できる。 （数学的な見方や考え方）(４) 展開 時配 学習活動と内容 教師の指導・支援（○）と 評価項目・方法（◎） 10 分 ＜本時の課題＞ 問題１ グラフ１は、兄弟が家を出てから兄が学校に着くま での時間
x
分と、弟の家からの距離y
ｍとしたときの 弟の動きを表したものです。このグラフからわかるこ とを説明してみましょう。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) O A 弟の動き グラフⅠ →予想される反応 ・速さ60ｍ/分 ・距離が1200ｍ ・まっすぐなところは兄の到着を待っている ・y
60
x
0
x
20
x
y
1200
20
など ★生徒が、ＯＨＰを用いて説明する。 ○グラフ１をＯＨＰで表示する。その 後、ワークシート１を配布し，自由に 考えさせる。学校までの距離や弟の速 さ，横にまっすぐになっているときの 弟の状態などに気づかせたい。 ◎評価①－１ ［ワークシート点検］ ・点Ａは何を表しているかわかる ・それ以降の水平な部分が何を表 しているかわかる。 （手だて） 速さ・距離・時間の関係を個別 指導で読み取らせる。 ○弟の速さ毎分60ｍ、家から学校まで の距離 1200ｍなど必要な事項を板 書する。 兄と弟がいっしょに家を出て、学校に向かった。ところが兄は途中で忘れ物に気づき、 家に戻り、忘れ物をとってすぐ学校に向かった。なお、弟はつねに一定の速さで歩いてい るが、兄は忘れ物に気づくまで弟と同じ速さで、それ以後はあらたに一定の速さで歩いて いるとする。10 分 問題２ 弟と別れてからの兄の速さはいつも毎分80ｍです。 また忘れ物に気づいたのは家を出てから8 分後です。 兄の動きを問題 1 のグラフに赤でかきこみましょ う。 x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) O A B C D 弟の動き 兄の動き
グラフⅡ
→予想される反応 ・兄の動きを式で表してからかくy
80
x
120
(
8
x
14
)
y
80
x
1120
(
14
x
29
)
・速さ、時間、道のりの関係からＢ、Ｃ、Ｄ点の座標 を求める。 ★シートに書き込み、生徒がＯＨＰで説明する。 問題3 Ａ君は、兄弟が家を出でてからの時間をx
分とし て、いろいろなグラフをかいてみました。それぞれ何 をy
としたグラフなのか、説明しましょう。また、グ ラフのどの部分からそのような判断をしたのかまと めましょう。 （１） x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) OグラフⅢ
○とまどっている生徒には、忘れ物に 気づくまで何ｍ進んでいるのか、家 にもどってから学校まで名分かか るのか考えさせる。 ○グラフから兄、弟の動きが読み取れ ることと点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの意味を 確認しておく。 Ａ：弟が学校に着いたとき Ｂ：兄が忘れ物に気がついたとき Ｃ：二人が学校で会ったとき Ｄ：兄が家にもどったとき ○ワークシート２を配布する。 ○表し方を 「兄弟が家を出てからの時間x
分とy
ｍの関係」 という書き込みの形にしておく。 ○戸惑っている場合は（1）のグラフ の水平になっている部分のy
の値 に注目させる。20 分 （２） x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) O
グラフⅣ
（３） x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) OグラフⅤ
（４） x(分) −100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 y(ｍ) OグラフⅥ
→予想される反応 （１）兄弟が家を出てからの時間x
分と弟の学校 からの距離y
ｍの関係 ＜根拠＞最初に近づいてきて 20 分後には一定になる など （２）兄弟が家を出てからの時間x
分と兄の学校 からの距離y
ｍの関係 ＜根拠＞一度、近づいてきたが、8 分後には離れてい き再度、近づいてきている など ○小グループで自由に話し合わせ、互 いに教えあいながら考えさせる。 ◎評価①－２ [話し合いの内容] ・時間が大きくなるにつれて、y
の値がどうなっているのか、こ とばで言うことができる。 (手だて) 線分図を用意し、兄・弟の動き のグラフの様子を目に見える形 で全体に説明する。 ○特に（3）、（4）は誰もが理解できる ことばで説明できるようにする。（５）板書計画 5 分 5 分 （3）兄弟が家を出てからの時間
