ビーム物理_第４回.key

２０１４年度 加速器概論 I

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ビーム物理／第四回

鎌田 進

２０１４年５月２９日（木）

総研大加速器科学専攻

下記URLに置いた関連資料の公開期間は、一応、９月末日までとします。

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https://www.dropbox.com/sh/dit4gy9bqfje06z/ AACTnYoHW5vb7RgSMa0zAyfNa

1. Generation of Synchrotron Radiation

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2. Effects of Synchrotron Radiation on Beams





講義の全体構成

I. Generation of synchrotron radiation

I. Maxwell方程式のFeynmann表現

II. Syncrotron放射の数値計算


偏向磁石、アンジュレータ

III. 偏向磁石放射の統計的性質

II. Effects of synchrotron radiation on beams

I. 放射減衰

II. 放射励起 III. 平衡分布

参考文献

シンクロトロン放射光の発生に関して

• _{K-J.Kim’s text book}

アメリカ物理学会加速器学校のテキスト、シンクロトロン放射を真⾯面 ⽬目に取り扱う。位相の取り扱いに取り組むも、未完のようだ。 • _{J.Schwinger’s paper} 1948~9年頃の作。朝永先生が、 Schwinger ともあろう人が院生の演 習みたいな仕事をと評し、後に放射光分野の隆盛を受けて、さすがと 訂正。 • 一般の教科書


Classical Electrodynamics (Jackson)


放射光発生によるビームへの影響に関して • _{M. Sandsの教科書} 高エネルギー実験屋さん向け入門書、とても有名で読みやすい体裁。
 話の流れを理解するのに向いているが、専門的に扱おうとする時には 課題が多い。 • 拙著「ビーム物理学入門」
 未完。計算を馬鹿丁寧にフォローしており、ネット上からダウンロー ドできる場合がある。 ビーム物理学入門.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り slac-r-121.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り

Kim K.J., Characteristics of Synchrotron Radiation, AIP Conference Proceedings 184, vol. 1 p567 (American Institute of Physics, NewYork, 1989).

PhysRev.75.1912.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り

I. Maxwell方程式のFeynman表現

1.Maxwell方程式

Maxwell方程式

Maxwell方程式は電荷保存則を 満たすようにして作られた。

波動方程式

ポテンシャルによる電磁場表現を導入

Lorentz ゲージを選択

波動方程式が導かれる

運動荷電粒子が作る電磁場

Green’s 関数を使った波動方程式の一般解に

運動荷電粒子がソースであることをδ関数を使って表現

運動荷電粒子と観測者

発光体時間と観測者時間

観測者時間、発光体時間、見かけの運動

t’ : 発光体時間" t : 観測者時間

時間変換係数

発光体時間表示による電場表現

観測者時間表示での電場表現もできるはず、

遅延ポテンシャルを空間積分し、電磁場を求めるためにポテン シャルの微分を実行し、その後、発光体時間で積分する。独立 変数を観測者時間 t として、その関数である発光体時間 t’(t) を 使って、次のように電場が表現される。

電場の

Heaviside-Feynmann 表現

観測者時間表示の電場 これは観測者時間表示の電場。 だから、unit aiming vector ”n” の見かけの運動を思い浮かべれば、放射電場 が想像できる。 Coulomb場 加速度、" この項が遠距 離まで到達 Mixture

II. Syncrotron放射の数値計算

1. 偏向磁石のシンクロトロン放射"

2. アンジュレータ放射

観測者時間 観測者時間

円運動荷電粒子の放射電磁場

偏向磁石からの放射光

r@tp_D := 8r H1 - Cos@Cmov tp ê rDL, r Sin@Cmov tp ê rD<; H* curvature,observer,energy *L r = 10; robs = 80, 100<; grel = 50; H* physical consts.*L Clv = 299 792 458; e₀ = 1 4 Pi 10 ^H-7L Clv2 ; qelec = 1.602176462 ¥ 10 ^ -H19L; H* particle velocity *L Cmov = Clv SqrtB 1 - 1 grel2 F; tst = HPi ê 4L r ê Clv; 水平方向位置 進行方向位置

n

2 4 6 8 10 -10 -5 0 5 10 ParametricPlot@r@tpD, 8tp, -tst, tst<, AspectRatio Æ 2, PlotRange Æ 880, r<, 8-r, r<<D

観測者の目に映る運動

観測者時間

発光体時間 tobs@tp_D := tp +R@tpD êClv;

Plot@tobs@tpD, 8tp, -tst, tst<, PlotRange Æ AllD

R@tp_D := Sqrt@Hrobs - r@tpDL.Hrobs - r@tpDLD; -2.¥ 10-8 -1.¥ 10-8 1. ¥ 10-8 2. ¥ 10-8 3.32 ¥ 10-7 3.33 ¥ 10-7 3.34 ¥ 10-7 3.35 ¥ 10-7 3.36 ¥ 10-7 発光体時間 nx k@tp_D = D@tobs@tpD, tpD; Plot@k@tpD, 8tp, -tst, tst<D 時間変換係数 発光体時間 -2.¥ 10-8 -1.¥ 10-8 1. ¥ 10-8 2. ¥ 10-8 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 n@tp_D := Hrobs - r@tpDL ê R@tpD;

ParametricPlot@8tp, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <, PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D -2.¥ 10-8 -1.¥ 10-8 1. ¥ 10-8 2. ¥ 10-8 -0.030 -0.025 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 観測者時間 ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <, PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D

3.32 ¥ 10-7 3.33 ¥ 10-7 3.34 ¥ 10-7 3.35 ¥ 10-7 3.36 ¥ 10-7 -0.030 -0.025 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 nx

見かけの運動の微分

観測者時間 観測者時間

nx

ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <, PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D

3.32 ¥ 10-7 3.33 ¥ 10-7 3.34 ¥ 10-7 3.35 ¥ 10-7 3.36 ¥ 10-7 -0.030 -0.025 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 H*dnHt'L dt = 1 kHt'L dnHt'L dt' *L dndt@tp_D = 1 k@tpD D@n@tpD, tpD; H*d2nHt'L dt2 = 1 HkHt'LL2 d2nHt'L dt'2 -k' HkHt'LL3 dnHt'L dt' *L d2ndt2@tp_D = 1 Hk@tpDL2 D@n@tpD, 8tp, 2<D -D@k@tpD, tpD Hk@tpDL3 D@n@tpD, tpD; ParametricPlot@8tobs@tpD, dndt@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <, AspectRatio Æ 1D ParametricPlot@8tobs@tpD, d2ndt2@tpD@@1DD<, 8tp, -tstê 10, tst ê 10 <, PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D

観測者時間 nxの１階微分 3.32 ¥ 10-7 3.33 ¥ 10-7 3.34 ¥ 10-7 3.35 ¥ 10-7 3.36 ¥ 10-7 -5 ¥ 107 0 5 ¥ 107 観測者時間 nxの２階微分 3.33562 ¥ 103.33563 ¥ 10-7 3.33564 ¥ 10-7 3.33565 ¥ 10-7 3.33566 ¥ 10-7 3.33567 ¥ 10-7 -7 -2.0 ¥ 1021 -1.5 ¥ 1021 -1.0 ¥ 1021 -5.0 ¥ 1020

Feynmann表現の放射電場

H* EHx,tL= q 4pe0: n R2+ R c d dtJ n R2N+ 1 c2 d2n dt2> *L dnR2dt@tp_D = DB n@tpD R@tpD2, tpF ì k@tpD; Efield@tp_D = qelec 4 Pi e0 n@tpD R@tpD2 + R@tpD Clv dnR2dt@tpD + 1 Clv2 d2ndt2@tpD ;

Table@ParametricPlot@8tobs@tpD, Efield@tpD@@iDD<, 8tp, -tstê 10, tst ê 10 <, PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 1000, AspectRatio Æ 1D, 8i, 1, 2<D

観測者時間 3.33562 ¥ 103.33563 ¥ 10-7 3.33564 ¥ 10-7 3.33565 ¥ 10-7 3.33566 ¥ 10-7 3.33567 ¥ 10-7 -7 -0.000035 -0.00003 -0.000025 -0.00002 -0.000015 -0.00001 -5.¥ 10-6 観測者時間 水平方向電場 _{3.33562 ¥ 103.33563 ¥ 10}-7 _{3.33564 ¥ 10}-7 _{3.33565 ¥ 10}-7 _{3.33566 ¥ 10}-7 _{3.33567 ¥ 10}-7 -7 4. ¥ 10-10 6. ¥ 10-10 8. ¥ 10-10 1. ¥ 10-9 1.2 ¥ 10-9 1.4 ¥ 10-9 観測者時間 進行方向電場

運動荷電粒子が作る電場と磁場の関係

磁場はいつでも横波。電場は横波とは限らないが、充 分遠方なら、横波と見なせる。

偏向磁石放射光スペクトル

観測者時間が等間隔になるデータを作成しFourier変換 Nbin = 2 ^ 10; eqtime = Table@ FindRoot@

tobs@tpD ä Htobs@-tst ê 10D H1 -iê NbinL + tobs@tst ê 10D Hiê NbinLL,

8tp, -tstê 10, tst ê 10<,

AccuracyGoal Æ 24, WorkingPrecision Æ 34, MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D;

Edata = Efield@tpD ê. eqtime;

200 400 600 800 1000 -0.000035 -0.00003 -0.000025 -0.00002 -0.000015 -0.00001 -5.¥ 10-6

ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ AllD

20 40 60 80 100 0 5. ¥ 10-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025

Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;

アンジュレータ放射

運動方程式

アンジュレータ放射

電子軌道

-0.0001 -0.00005 0.00005 0.0001 0.1 0.2 0.3 0.4 進行方向位置 z 水平方向位置 x << "FourierSeries`" r@tp_D := :-Kund Clv Sin@wu tpD grel w_u , 1 -1 + Kund2 2 2 grel2 Clv tp - Kund 2 _{Clv Sin}@2 _w u tpD I8 grel2M _w u >; H* curvature,observer,energy *L

K_und = 1; l_u = 0.04; N_u = 10; robs = 80, 100<; grel = 50; H* physical consts.*L Clv = 299 792 458; e0 = 1 4 Pi 10^H-7L Clv2 ; qelec = 1.602176462¥ 10^-H19L;

H* undulater frequency, velocity of moving charge, time duration of observation *L

w_u = 2 Pi Clv

l_u ; Cmov = Clv SqrtB 1

-1

grel2 F;

tst = l_u N_u ê Cmov;

ParametricPlot@r@tpD, 8tp, 0, tst<, AspectRatio Æ 2, PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 5000D

意外に感じるかもしれないが、この電子軌道は近似。 zとt’の関係が積分で表示され解析的表現が煩瑣にな る。数値的に扱えば問題にならない

観測者時間 t 観測者時間 t

アンジュレータ放射

発光体時間と観測者時間 R@tp_D := Sqrt@Hrobs - r@tpDL.Hrobs - r@tpDLD; tobs@tp_D := tp + R@tpD ê Clv;

Plot@tobs@tpD, 8tp, 0, tstê N_u<, PlotRange Æ AllD

k@tp_D = D@tobs@tpD, tpD; Plot@k@tpD, 8tp, 0, tstê Nu<, PlotPoints Æ 1000D 2. ¥10-114. ¥10-116. ¥10-118. ¥10-111. ¥10-101.2 ¥10-10 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-101.2 ¥10-10 2.5 ¥10-8 3. ¥10-8 3.5 ¥10-8 4. ¥10-8 時間変換係数 κ 発光体時間 t’ 観測者時間 t 発光体時間 t’

観測者時間 t 観測者時間 t

アンジュレータ放射

unit aiming vector

n@tp_D := Hrobs - r@tpDL ê R@tpD;

Table@ParametricPlot@8tp, n@tpD@@iDD<, 8tp, 0, tstê Nu <,

AspectRatio Æ 1, PlotRange Æ AllD, 8i, 1, 2<D

nx 発光体時間 t’ 2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-101.2 ¥10-10 -1. ¥10-6 -5. ¥10-7 5. ¥10-7 1. ¥10-6 2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-10 1.2 ¥10-10 1 1 1 1 発光体時間 t’ nz Table@ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@iDD<, 8tp, 0, tstê Nu <,

AspectRatio Æ 1, PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 1000D, 8i, 1, 2<D

3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 -1. ¥10-6 -5. ¥10-7 5. ¥10-7 1. ¥10-6 観測者時間 t nx 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 1 1 1 1 観測者時間 t nz

観測者時間 t 観測者時間 t

Feynmamm表現の項別アンジュレータ放射

3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 -1.5 ¥10-19 -1. ¥10-19 -5. ¥10-20 5. ¥10-20 1. ¥10-19 1.5 ¥10-19 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 1.4405 ¥10-13 1.441 ¥10-13 1.4415 ¥10-13 1.442 ¥10-13 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 -6. ¥10-12 -4. ¥10-12 -2. ¥10-12 2. ¥10-12 4. ¥10-12 6. ¥10-12 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 9. ¥10-10 1. ¥10-9 1.1 ¥10-9 1.2 ¥10-9 1.3 ¥10-9 1.4 ¥10-9 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 -0.0010 -0.0005 0.0005 0.0010 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 3.33564 ¥10-7 5. ¥10-10 1. ¥10-9 E Hx, tL = q 4 pe₀ : n R2 + R c d dt n R2 + 1 c2 d2 n dt2 > Ex Ex Ex Ez Ez _Ez

第１項

第２項

第３項

観測者時間 t 観測者時間 t

アンジュレータ放射

エネルギースペクトル計算

Nbin = 2^15;

eqtime = Table@FindRoot@tobs@tpD ä Htobs@0D H1 - iê NbinL + tobs@tstD Hiê NbinLL, 8tp, 0, tst<, AccuracyGoal Æ 14, WorkingPrecision Æ 24,

MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D; Edata = Efield@tpD ê. eqtime;

5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 -0.0010 -0.0005 0.0005 0.0010 100 200 300 400 500 600 -25 -20 -15 -10 -5

ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ All, Joined Æ TrueD

Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;

ListPlot@Log@Abs@FdataDD, PlotRange Æ 880, Nbin ê 50<, All<, Joined Æ TrueD 観測者時間で等間隔なデータを求める計算で、もっとも時間を食う。

観測者時間 t 観測者時間 t

アンジュレータ放射

エネルギースペクトル計算

Nbin = 2^15;

eqtime = Table@FindRoot@tobs@tpD ä Htobs@0D H1 - iê NbinL + tobs@tstD Hiê NbinLL, 8tp, 0, tst<, AccuracyGoal Æ 14, WorkingPrecision Æ 24,

MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D; Edata = Efield@tpD ê. eqtime;

Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;

5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 -0.0010 -0.0005 0.0005 0.0010 50 100 150 200 250 300 -25 -20 -15 -10 -5

ListPlot@Log@Abs@FdataDD, PlotRange Æ 880, Nbin ê 100<, All<, Joined Æ FalseD

ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ All, Joined Æ False, PlotStyle Æ [email protected] 観測者時間で等間隔なデータを求める計算で、もっとも時間を食う。

III. 偏向磁石放射の統計的性質

1. 偏向磁石放射の解析的取扱い"

2. 偏向磁石放射の統計的性質

Analytical method of radiation

calculation

Far-field approximation

Acceleration gives electric field far from the source

where

Power and spectrum

Power

Spectrum

Photon number

Amplitude of electric field E^2 gives finding probability of photons.

Electric field of each polarization

in time domain

Electric field calculated in

frequency domain

Analytic calculation of

radiation from bending

Power spectrum of bending radiation

where 放射パワー、電子１個の時e^2に比例、N個の時は？ 電子１個と同じ領域にN個が詰まっているな ら、上式と同じ導出に従うので(Ne)^2 となる。 これを干渉性放射という。そうでない非干渉性 放射では、同じ電子間の干渉項のみが生き残り、 Ne^2となる。" 干渉性の度合いは、ビームの時間空間広がりと 対象とする波長領域とから決まる。

σ-polarization

%-polarization

Total

偏向磁石放射光の統計的性質まとめ

周回当たり放射エネルギー損失 周回当たり放出光子数

平均光子エネルギー

IV. Effects of Synchrotron Radiation on Beams"

1. 放射減衰"

2. 放射励起"

3. 平衡分布

放射をTransfer matrixで取り扱うため

放射エネルギー損失のビームエネルギー偏差依存

放射を含む進行方向運動の

Transfer matrixに拠る表現

リングモデル _{加速空洞のTransfer matrix}

放射のTransfer matrix

放射減衰

周回行列のDeterminant 時間当たり減衰率 減衰振動として表現 上のように書ける条件 シンクロトロン角周波数

量子励起

光子放出は量子化され、確率的に起きる現象。"

光子放出により、シンクロトロン振動が励起される。

ビームエネルギーの平衡分布

個々の電子のエネルギー偏差は、無限過去からの光子放 出とその後の減衰シンクロトロン振動の重ね合わせとし て書ける。 ここでui (放出光子エネルギー)と ti (放出時刻)は確率変 数。 これらは統計的に扱わなければならない。

特性時間∆tの存在を要求する

電子エネルギー偏差の二乗を求める

この時間幅∆tでスライスした時間内で総和を取る。

減衰が早過ぎる場合、シンクロトロン振動が極端に遅い場合 など、特性時間∆tが存在し ない具体例を考えると、以下の議論が適用できなくなり教訓になる。

アンサンブル平均が計算でき、

ビームエネルギの分散が求まる

減衰項が同じになる項を集める 減衰項を総和の外にくくり出す 異なる i, j 間では位相相関が 無いから、アンサンブル平均 すると消える。 光子放出はシンクロトロン振 動位相と相関が無いから、平 均すると、 分散は放射の統計的性質と して既に求めている。 上式の導出では、光子放出とシンクロトロン振動位相に相関が無いことを前提とした。FELなど、光子放出と位相に相関 がある場合は、話が変わってくる。

総和を積分で置き換え、

中心極限定理

中心極限定理が成立するなら、電子エネルギーはガウス 分布である。 ここで、 中心極限定理が成立しない時を考えると、理解が深まり面白い。 非線形運動、高強度散乱、干渉性運動、など。 非ガウステイル発生、ビーム寿命短縮、高バックグラウンドノイズなど、課題に直結。

水平エミッタンス

ここで、 垂直方向のemittanceは、水平方向と同じ取り扱いをするなら零となる。 実際には、放射光の発散角広がり、残留ガスやビーム内粒子間の散乱過程、さらに軌道誤差 や光学誤差に起因する水平垂直結合などのため一定の値をとる。 コライダーで高ルミノシティを達成するため、軌道や光学補正が鋭意追求される所以である。